4 解直角三角形
教材认知
解直角三角形
1.定义:在直角三角形中,由已知元素求出所有 未知 元素的过程,叫做解直角三角形.
2.依据:
(1)三边之间的关系: a2+ b2 =c2(勾股定理);
(2)锐角之间的关系: ∠A + ∠ B= 90°;
(3)边角之间的关系:
sin A= ,cos A= ,tan A= .
3.结论:
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道 两个 元素(其中至少有一个是边)就可以求出其余三个元素.
微点拨
解直角三角形有两种情况(其中至少有一边):
(1)已知两条边(一直角边和斜边或两直角边);
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边一锐角或斜边和一锐角).
基础必会
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=,则∠A等于 (D)
A.75° B.60° C.45° D.30°
2.(甘肃酒泉期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长度为 (A)
A.2 B.8 C.4 D.4
3.(宁夏吴忠质检)如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且AB=BD,则tan D的值为 (D)
A.2 B.3 C.2+ D.2-
4.如图,已知sin O=,OA=6,点P是射线ON上一动点,当△AOP为直角三角形时,则AP= 2或3 .
5.(新疆哈密模拟)如图,在△ABC和△DEF中,∠B=40°,∠E=140°,AB=EF=5,BC=DE=8,则两个三角形面积的大小关系为:S△ABC = S△DEF.(填“>”“=”或“<”)
6.(甘肃天水期末)在△ABC中,sin B=,tan C=,AB=3,则AC的长为 .
7. (内蒙古包头期末)如图,点D在钝角△ABC的边BC上,连接AD,∠B=45°,∠CAD=∠CDA,CA∶CB=5∶7,则∠CAD的余弦值为 .
8.(甘肃酒泉期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素:
(1)已知c=20,∠A=60°;
(2)已知a=,b=.
【解析】(1)∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B=90°-60°=30°.
∵c=20,∠B=30°,∴b=×c=10.a===10.
(2)∵∠C=90°,a=,b=,∴c===2.
∵sin B===,∴∠B=30°.∴∠A=90°-30°=60°.
9.(兰州期末)如图,在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=10,求△ABC的面积.
【解析】作AD⊥BC于点D,如图所示,
∵sin C=,AC=10,∴==,解得,AD=6,
∴CD===8,
∵cos B=,∠ADB=90°,∴∠B=45°,
∴∠BAD=∠B=45°,∴BD=AD=6,∴BC=BD+CD=6+8=14,
∴△ABC的面积是:==42.
能力提升
1.(甘肃天水期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,则Rt△ABC的三边a,b,c之比a∶b∶c为 (A)
A.2∶∶3 B.1∶∶ C.1∶2∶3 D.2∶∶
2.(西宁中考)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=45°,∠ADB=60°,CD=2,则AB= 3+ .
3. (宁夏中卫期末)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边上的中点,
DE⊥AB,AD=2DE.
(1)求sin B的值;
(2)若CD=,求CE的值.
【解析】(1)∵DE⊥AB,
∴∠ACB=∠ADE=90°,
∵∠A=∠A,∴∠B=∠AED.
设DE=x,则AD=2DE=2x,
∴AE==x,
则sin B=sin∠AED===.
(2)∵D为Rt△ABC斜边AB上的中点,
∴AD=BD=CD=,即AB=2,
则AC=ABsin B=2×=4,AE===,
∴CE=AC-AE=4-=.
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教材认知
解直角三角形
1.定义:在直角三角形中,由已知元素求出所有 元素的过程,叫做解直角三角形.
2.依据:
(1)三边之间的关系: a2+ =c2(勾股定理);
(2)锐角之间的关系: + ∠ B= 90°;
(3)边角之间的关系:
sin A= ,cos A= ,tan A= .
3.结论:
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道 元素(其中至少有一个是边)就可以求出其余三个元素.
微点拨
解直角三角形有两种情况(其中至少有一边):
(1)已知两条边(一直角边和斜边或两直角边);
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边一锐角或斜边和一锐角).
基础必会
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=,则∠A等于 ( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
2.(甘肃酒泉期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长度为 ( )
A.2 B.8 C.4 D.4
3.(宁夏吴忠质检)如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且AB=BD,则tan D的值为 ( )
A.2 B.3 C.2+ D.2-
4.如图,已知sin O=,OA=6,点P是射线ON上一动点,当△AOP为直角三角形时,则AP= .
5.(新疆哈密模拟)如图,在△ABC和△DEF中,∠B=40°,∠E=140°,AB=EF=5,BC=DE=8,则两个三角形面积的大小关系为:S△ABC S△DEF.(填“>”“=”或“<”)
6.(甘肃天水期末)在△ABC中,sin B=,tan C=,AB=3,则AC的长为 .
7. (内蒙古包头期末)如图,点D在钝角△ABC的边BC上,连接AD,∠B=45°,∠CAD=∠CDA,CA∶CB=5∶7,则∠CAD的余弦值为 .
8.(甘肃酒泉期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素:
(1)已知c=20,∠A=60°;
(2)已知a=,b=.
【解析】(1)∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B=90°-60°=30°.
∵c=20,∠B=30°,∴b=×c=10.a===10.
(2)∵∠C=90°,a=,b=,∴c===2.
∵sin B===,∴∠B=30°.∴∠A=90°-30°=60°.
9.(兰州期末)如图,在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=10,求△ABC的面积.
【解析】作AD⊥BC于点D,如图所示,
∵sin C=,AC=10,∴==,解得,AD=6,
∴CD===8,
∵cos B=,∠ADB=90°,∴∠B=45°,
∴∠BAD=∠B=45°,∴BD=AD=6,∴BC=BD+CD=6+8=14,
∴△ABC的面积是:==42.
能力提升
1.(甘肃天水期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,则Rt△ABC的三边a,b,c之比a∶b∶c为 ( )
A.2∶∶3 B.1∶∶ C.1∶2∶3 D.2∶∶
2.(西宁中考)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=45°,∠ADB=60°,CD=2,则AB= .
3. (宁夏中卫期末)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边上的中点,
DE⊥AB,AD=2DE.
(1)求sin B的值;
(2)若CD=,求CE的值.
【解析】(1)∵DE⊥AB,
∴∠ACB=∠ADE=90°,
∵∠A=∠A,∴∠B=∠AED.
设DE=x,则AD=2DE=2x,
∴AE==x,
则sin B=sin∠AED===.
(2)∵D为Rt△ABC斜边AB上的中点,
∴AD=BD=CD=,即AB=2,
则AC=ABsin B=2×=4,AE===,
∴CE=AC-AE=4-=.
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