第三章
单元复习
一、选择题
1.(呼和浩特质检)下列说法中,正确的是 (A)
A.直径所对的弧是半圆
B.相等的圆周角所对的弦相等
C.两个半圆是等弧
D.一条弧所对的圆心角等于它对的圆周角的一半
2.如图,已知四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是 (B)
A.70° B.110° C.130° D.140°
3.(青海玉树模拟)如图,D是的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是 (B)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.(甘肃定西期末)如图,在半径为5的☉O中,弦AB=6,OH⊥AB于点H,则OH= (B)
A.3 B.4 C.5 D.6
5.(银川模拟)如图,点A,B,C均在☉O上,当∠OBC=40°时,∠A的度数是 (A)
A.50° B.55° C.60° D.65°
6.如图,△ABC中,∠A=60°,BC=6,它的周长为16.若☉O与BC,AC,AB三边分别切于E,F,D点,则DF的长为 (A)
A.2 B.3 C.4 D.6
7.(内蒙古包头模拟)如图,在△ABC中,点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4.则△DBC的面积是 (B)
A.4 B.2 C.2 D.4
8.(柳州中考)如图所示,点A,B,C对应的刻度分别为1,3,5,将线段CA绕点C按顺时针方向旋转,当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时,记为点A′,则此时线段CA扫过的图形的面积为 (D)
A.4 B.6 C.π D.π
9.(宁夏石嘴山质检)如图,在△ABC中,AB+AC=BC,AD⊥BC于D,☉O为△ABC的内切圆,设☉O的半径为R,AD的长为h,则的值为 (B)
A. B. C. D.
10.(新疆喀什模拟)如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切,正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切,…按这样的规律进行下去,A11B11C11D11E11F11的边长为 (A)
A. B. C. D.
二、填空题
11.(甘肃天水模拟)圆内接四边形ABCD的内角∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠D=
90 度.
12.若正多边形的边心距与边长的比为1∶2,则这个正多边形的边数是 4 .
13.(鄂尔多斯中考)如图,小梅把一顶底面半径为10 cm的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平,得到一个圆心角为120°的扇形纸片,那么扇形纸片的半径为
30 cm.
14.(西宁模拟)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCO的顶点A,C分别在y轴、x轴上,以AB为弦的☉M与x轴相切.若点A的坐标为(0,8),则圆心M的坐标为
(-4,5) .
15.(青海中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆半径r=
1 .
16.如图,在边长为的正方形ABCD中,分别以四个顶点为圆心,以边长为半径画弧,分别与正方形的边和对角线相交,则图中阴影部分的面积为 4-π (结果保留π).
17.如图所示,一个边长为3的大正六边形ABCDEF中,铺上六个大小相同的直角三角形,中间围成一个小的正六边形.这个小正六边形A′B′C′D′E′F′的边长为 .
18.(兰州模拟)如图,四边形ABCD是正方形,曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的.其中:的圆心为点A,半径为AD;的圆心为点B,半径为BA1;的圆心为点C,半径为CB1;的圆心为点D,半径为DC1;…,
,,,…的圆心依次按点A,B,C,D循环.若正方形ABCD的边长为1,则的长是 4 039π .
三、解答题
19.(甘肃酒泉模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高.请用尺规作图法,求作△ABC的外接圆.(保留作图痕迹,不写作法)
【解析】如图所示:☉O即为所求.
20. (鄂尔多斯中考)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交AC于点D,BC于点E,直线EF⊥AC于点F,交AB的延长线于点H.
(1)求证:HF是☉O的切线;
(2)当EB=6,cos∠ABE=时,求tan H的值.
【解析】(1)如图
连接OE,
∵AB=AC,OB=OE,
∴OE∥AC,
又∵HF⊥AC,
∴OE⊥HF,
∴HF是☉O的切线.
(2)过点E作EG⊥AH于G,
∴∠EGB=90°,EB=6,
∵cos∠ABE=,
∴BG=2,EG=4,
∵∠H+∠HEG=90°,∠GEO+∠HEG=90°,
∴∠H=∠GEO,
在Rt△BEA中,
cos∠ABE=,EB=6,
∴AB=18,
∴OB=AB=9,
∴GO=OB-BG=7,
∴tan H=tan∠GEO==.
21. (新疆阿克苏模拟)如图,已知AB是☉P的直径,点C在☉P上,D为☉P外一点,且∠ADC=90°,直线CD为☉P的切线.
(1)试说明:2∠B+∠DAB=180°;
(2)若∠B=30°,AD=2,求☉P的半径.
【解析】(1)连接CP,
∵PC=PB,∴∠B=∠PCB,
∴∠APC=∠PCB+∠B=2∠B,
∵CD是☉P的切线,∴∠DCP=90°,
∵∠ADC=90°,∴∠DAB+∠APC=180°
∴2∠B+∠DAB=180°.
(2)连接AC,∵∠B=30°,∴∠APC=60°,
∵PC=PA,∴△ACP是等边三角形,
∴AC=PA,∠ACP=60°,
∴∠ACD=30°,∴AC=2AD=4,
∴PA=4.即☉P的半径为4.
22. (白银中考)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,已知,C是弦AB上一点,请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.
(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法);
①作线段AC的垂直平分线DE,分别交于点D,AC于点E,连接AD,CD;
②以点D为圆心,DA长为半径作弧,交于点F(F,A两点不重合),连接DF,BD,BF.
(2)直接写出引理的结论:线段BC,BF的数量关系.
【解析】(1)①如图,直线DE,线段AD,线段CD即为所求.
②如图,点F,线段CD,BD,BF即为所求作.
(2)结论:BF=BC.
理由:∵DE垂直平分线段AC,
∴DA=DC,∴∠DAC=∠DCA,
∵AD=DF,∴DF=DC,=,∴∠DBC=∠DBF,
∵∠DFB+∠DAC=180°.∠DCB+∠DCA=180°,
∴∠DFB=∠DCB,
在△DFB和△DCB中,,∴△DFB≌△DCB(AAS),
∴BF=BC.
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单元复习
一、选择题
1.(呼和浩特质检)下列说法中,正确的是 ( )
A.直径所对的弧是半圆
B.相等的圆周角所对的弦相等
C.两个半圆是等弧
D.一条弧所对的圆心角等于它对的圆周角的一半
2.如图,已知四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是 ( )
A.70° B.110° C.130° D.140°
3.(青海玉树模拟)如图,D是的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.(甘肃定西期末)如图,在半径为5的☉O中,弦AB=6,OH⊥AB于点H,则OH= ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.(银川模拟)如图,点A,B,C均在☉O上,当∠OBC=40°时,∠A的度数是 ( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
6.如图,△ABC中,∠A=60°,BC=6,它的周长为16.若☉O与BC,AC,AB三边分别切于E,F,D点,则DF的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
7.(内蒙古包头模拟)如图,在△ABC中,点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4.则△DBC的面积是 ( )
A.4 B.2 C.2 D.4
8.(柳州中考)如图所示,点A,B,C对应的刻度分别为1,3,5,将线段CA绕点C按顺时针方向旋转,当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时,记为点A′,则此时线段CA扫过的图形的面积为 ( )
A.4 B.6 C.π D.π
9.(宁夏石嘴山质检)如图,在△ABC中,AB+AC=BC,AD⊥BC于D,☉O为△ABC的内切圆,设☉O的半径为R,AD的长为h,则的值为 ( )
A. B. C. D.
10.(新疆喀什模拟)如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切,正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切,…按这样的规律进行下去,A11B11C11D11E11F11的边长为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.(甘肃天水模拟)圆内接四边形ABCD的内角∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠D=
度.
12.若正多边形的边心距与边长的比为1∶2,则这个正多边形的边数是 .
13.(鄂尔多斯中考)如图,小梅把一顶底面半径为10 cm的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平,得到一个圆心角为120°的扇形纸片,那么扇形纸片的半径为
cm.
14.(西宁模拟)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCO的顶点A,C分别在y轴、x轴上,以AB为弦的☉M与x轴相切.若点A的坐标为(0,8),则圆心M的坐标为
.
15.(青海中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆半径r=
.
16.如图,在边长为的正方形ABCD中,分别以四个顶点为圆心,以边长为半径画弧,分别与正方形的边和对角线相交,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π).
17.如图所示,一个边长为3的大正六边形ABCDEF中,铺上六个大小相同的直角三角形,中间围成一个小的正六边形.这个小正六边形A′B′C′D′E′F′的边长为 .
18.(兰州模拟)如图,四边形ABCD是正方形,曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的.其中:的圆心为点A,半径为AD;的圆心为点B,半径为BA1;的圆心为点C,半径为CB1;的圆心为点D,半径为DC1;…,
,,,…的圆心依次按点A,B,C,D循环.若正方形ABCD的边长为1,则的长是 .
三、解答题
19.(甘肃酒泉模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高.请用尺规作图法,求作△ABC的外接圆.(保留作图痕迹,不写作法)
20. (鄂尔多斯中考)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交AC于点D,BC于点E,直线EF⊥AC于点F,交AB的延长线于点H.
(1)求证:HF是☉O的切线;
(2)当EB=6,cos∠ABE=时,求tan H的值.
21. (新疆阿克苏模拟)如图,已知AB是☉P的直径,点C在☉P上,D为☉P外一点,且∠ADC=90°,直线CD为☉P的切线.
(1)试说明:2∠B+∠DAB=180°;
(2)若∠B=30°,AD=2,求☉P的半径.
22. (白银中考)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,已知,C是弦AB上一点,请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.
(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法);
①作线段AC的垂直平分线DE,分别交于点D,AC于点E,连接AD,CD;
②以点D为圆心,DA长为半径作弧,交于点F(F,A两点不重合),连接DF,BD,BF.
(2)直接写出引理的结论:线段BC,BF的数量关系.
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