3 确定二次函数的表达式
教材认知
一、二次函数关系式的三种表达式
一般式:y= ax2+bx+c . 顶点式:y=a(x-h)2+k. 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) .
二、确定二次函数关系式的方式选择
1.已知顶点坐标确定二次函数关系式
设二次函数关系式为 y=a(x-h)2+k ,根据顶点坐标,利用待定系数法,计算a,h,k的值;
2.已知三个点确定二次函数关系式
设二次函数关系式为 y=ax2+bx+c ,然后利用待定系数法,计算a,b,c的值.
微点拨
1.求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出待定系数a, b, c的值,由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a, b, c的方程组,并求出a, b, c,就可以写出二次函数的表达式;
2.已知顶点的坐标,可设顶点式y=a(x-h)2+k,将h,k换为顶点坐标,再将另一点的坐标代入即可求出a的值.
基础必会
1.(西宁模拟)已知二次函数y=ax2+4x+c,当x等于-2时,函数值是-1;当x=1时,函数值是5.则此二次函数的表达式为 (A)
A.y=2x2+4x-1 B.y=x2+4x-2 C.y=-2x2+4x+1 D.y=2x2+4x+1
2.一抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的表达式为 (B)
A.y=-2(x-1)2+3 B.y=-2(x+1)2+3 C.y=-(2x+1)2+3 D.y=-(2x-1)2+3
3.(新疆和田模拟)如图,抛物线的函数表达式是 (A)
A.y=-x2+x+2
B.y=-x2-x+2
C.y=x2+x+2
D.y=x2-x+2
4.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的解析式是
y=-x2+2x+3 .
5.(银川一模)用配方法将二次函数y=2x2+4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式是
y=2(x+1)2+3 .
6.(呼和浩特质检)已知一抛物线的形状与抛物线y=-x2相同,顶点为(1,-2),则抛物线的解析式为 y=(x-1)2-2或y=-(x-1)2-2 .
7.(宁夏吴忠模拟)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标.
(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标.
【解析】(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=-1或x=3,
∴-1+3=-b,-1×3=c,
∴b=-2,c=-3,
∴二次函数解析式是y=x2-2x-3.
(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).
(3)设P的纵坐标为yP,
∵S△PAB=8,
∴AB·|yP|=8,
∵AB=3+1=4,
∴|yP|=4,
∴yP=±4,
把yP=4代入解析式得,4=x2-2x-3,
解得,x=1±2,
把yP=-4代入解析式得,-4=x2-2x-3,
解得,x=1,
∴点P在该抛物线上滑动到(1+2,4)或(1-2,4)或(1,-4)时,满足S△PAB=8.
8. (甘肃陇南期末)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-4经过A(-4,0),C(2,0)两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,B为抛物线与y轴交点,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
【解析】(1)把A(-4,0),C(2,0)代入y=ax2+bx-4得,,解得,
∴抛物线的解析式为y=x2+x-4;
(2)如图,过点M作MN⊥AC,垂足为N,
抛物线y=x2+x-4与y轴的交点B坐标为(0,-4),即OB=4,
又∵M,
∴ON=-m,MN=-m2-m+4,AN=4-(-m)=4+m,
∴S△ABM=S△ANM+S梯形MNOB-S△AOB,
=(4+m)+
(-m)-×4×4=-m2-4m=-(m+2)2+4,∴当m=-2时,S最大=4.
答:S与m的函数关系式为S=-m2-4m,S的最大值为4.
能力提升
1.(内蒙古巴彦淖尔模拟)已知点P(-1,5)在抛物线y=-x2+bx+c的对称轴上,且与该抛物线的顶点的距离是4,则该抛物线的表达式为 y=-x2-2x或y=-x2-2x+8 .
2. (青海中考)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与坐标轴交于A,B两点,点A在x轴上,点B在y轴上,C点的坐标为(1,0),抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)根据图象写出不等式ax2+(b-1)x+c>2的解集;
(3)点P是抛物线上的一动点,过点P作直线AB的垂线段,垂足为Q点.当PQ=时,求P点的坐标.
【解析】(1)当x=0时,y=0+2=2,
当y=0时,x+2=0,
解得x=-2,
∴A(-2,0),B(0,2),
把A(-2,0),C(1,0),B(0,2)代入抛物线解析式,
得,解得,
∴该抛物线的解析式为:y=-x2-x+2;
(2)ax2+(b-1)x+c>2,
即-x2-2x+2>2,
解得-2∴不等式ax2+(b-1)x+c>2的解集为:-2(3)作PE⊥x轴于点E,交AB于点D,作PQ⊥AB于点Q,
①如图1,当P在AB上方时,
在Rt△OAB中,
∵OA=OB=2,
∴∠OAB=45°,
∴∠PDQ=∠ADE=45°,
在Rt△PDQ中,∠DPQ=∠PDQ=45°,
∴PQ=DQ=,
∴PD==1,
设点P(x,-x2-x+2),则点D(x,x+2),
∴PD=-x2-x+2-(x+2)=-x2-2x,
即-x2-2x=1,
解得x=-1,
∴此时P点的坐标为(-1,2),
②如图2,当P点在A点左侧时,
同理可得PD=1,
设点P(x,-x2-x+2),则点D(x,x+2),
∴PD=(x+2)-(-x2-x+2)=x2+2x,
即x2+2x=1,
解得x=±-1,
由图象知此时P点在第三象限,
∴x=--1,
∴此时P点的坐标为(--1,-),
③如图3,当P点在B点右侧时,
同理可得PD=1,
设点P(x,-x2-x+2),则点D(x,x+2),
∴PD=(x+2)-(-x2-x+2)=x2+2x,
即x2+2x=1,
解得x=±-1,
由图象知此时P点在第一象限,∴x=-1,
∴此时P点的坐标为(-1,),
综上,P点的坐标为(-1,2)或(--1,-)或(-1,).
3.(乌鲁木齐期末)已知抛物线y=-x2+2x+m.抛物线过点A(3,0),与y轴交于点B.直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P.
(1)求抛物线的解析式及点B,C的坐标.
(2)求直线AB的解析式和点P的坐标.
(3)在第一象限内的该抛物线有一点D(x,y),且S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.
【解析】(1)∵抛物线y=-x2+2x+m过点A(3,0),
∴-9+6+m=0,解得m=3,
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3,
令x=0,则y=3,∴B(0,3),
∵对称轴为直线x=-=1,
∴点A(3,0)关于对称轴的对称点为(-1,0),
∴C(-1,0);
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,
把A(3,0),B(0,3)代入得,解得,
∴直线AB的解析式为y=-x+3,
把x=1代入y=-x+3得,y=2,
∴P的坐标为(1,2);
(3)∵抛物线有一点D(x.y),
∴D(x,-x2+2x+3),
过D点作DE⊥x轴,交直线AB于E,
∴E(x,-x+3),
∵A(3,0),B(0,3),C(-1,0),
∴S△ABC=×(3+1)×3=6,
∴S△ABD=S△ABC=,
∵S△ABD=S△ADE+S△BDE,
∴(-x2+2x+3+x-3)×3=,
解得x=,
当x=时,y=;
当x=时,y=;
∴D,.
PAGE3 确定二次函数的表达式
教材认知
一、二次函数关系式的三种表达式
一般式:y= . 顶点式:y=a(x-h)2+k. 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) .
二、确定二次函数关系式的方式选择
1.已知顶点坐标确定二次函数关系式
设二次函数关系式为 ,根据顶点坐标,利用待定系数法,计算a,h,k的值;
2.已知三个点确定二次函数关系式
设二次函数关系式为 ,然后利用待定系数法,计算a,b,c的值.
微点拨
1.求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出待定系数a, b, c的值,由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a, b, c的方程组,并求出a, b, c,就可以写出二次函数的表达式;
2.已知顶点的坐标,可设顶点式y=a(x-h)2+k,将h,k换为顶点坐标,再将另一点的坐标代入即可求出a的值.
基础必会
1.(西宁模拟)已知二次函数y=ax2+4x+c,当x等于-2时,函数值是-1;当x=1时,函数值是5.则此二次函数的表达式为 ( )
A.y=2x2+4x-1 B.y=x2+4x-2 C.y=-2x2+4x+1 D.y=2x2+4x+1
2.一抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的表达式为 ( )
A.y=-2(x-1)2+3 B.y=-2(x+1)2+3 C.y=-(2x+1)2+3 D.y=-(2x-1)2+3
3.(新疆和田模拟)如图,抛物线的函数表达式是 ( )
A.y=-x2+x+2
B.y=-x2-x+2
C.y=x2+x+2
D.y=x2-x+2
4.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的解析式是
.
5.(银川一模)用配方法将二次函数y=2x2+4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式是
.
6.(呼和浩特质检)已知一抛物线的形状与抛物线y=-x2相同,顶点为(1,-2),则抛物线的解析式为 .
7.(宁夏吴忠模拟)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标.
(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标.
8. (甘肃陇南期末)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-4经过A(-4,0),C(2,0)两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,B为抛物线与y轴交点,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
能力提升
1.(内蒙古巴彦淖尔模拟)已知点P(-1,5)在抛物线y=-x2+bx+c的对称轴上,且与该抛物线的顶点的距离是4,则该抛物线的表达式为 .
2. (青海中考)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与坐标轴交于A,B两点,点A在x轴上,点B在y轴上,C点的坐标为(1,0),抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)根据图象写出不等式ax2+(b-1)x+c>2的解集;
(3)点P是抛物线上的一动点,过点P作直线AB的垂线段,垂足为Q点.当PQ=时,求P点的坐标.
3.(乌鲁木齐期末)已知抛物线y=-x2+2x+m.抛物线过点A(3,0),与y轴交于点B.直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P.
(1)求抛物线的解析式及点B,C的坐标.
(2)求直线AB的解析式和点P的坐标.
(3)在第一象限内的该抛物线有一点D(x,y),且S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.
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