5 二次函数与一元二次方程
教材认知
二次函数与一元二次方程
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况: 2个交点 , 1个交点 , 无交点 .
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有0个交点
一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根(Δ<0) . 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有1个交点 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根(Δ=0).
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有2个交点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根(Δ>0)
3.交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的 解 .
基础必会
1.(青海海东期末)抛物线y=x2-5x+6与x轴的交点情况是 (A)
A.有两个交点 B.只有一个交点 C.没有交点 D.无法判断
2.(西宁期末)若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为
(D)
A.-1 B.2 C.-1或2 D.-1或2或1
3.若二次函数y=x2+2x+kb+1的图象与x轴有两个交点,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是(A)
4.(新疆伊犁二模)已知二次函数y=ax2-4ax+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,若S△ABC=3,则a= (D)
A.- B. C.-1 D.1
5.(乌鲁木齐期末)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为(-1,0),(3,0),则一元二次方程x2+bx+c=0的根为 -1或3 .
6. (内蒙古包头质检)已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图,若y<0,则x的取值范围是 -10,则x的取值范围是 x>3或x<-1 .
7.已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点,在x轴上方的抛物线上有一点C,且△ABC的面积等于10,则点C的坐标为 (4,5)或(-2,5) .
8.(西宁期末)已知二次函数y=-(x-h)2+k的部分图象如图所示,A为抛物线顶点.
(1)写出二次函数的解析式.
(2)若抛物线上两点B(x1,y1),C(x2,y2)的横坐标满足-1”“<”或“=”填空).
(3)观察图象,直接写出当y>0时,x的取值范围.
【解析】(1)根据题干图象知,抛物线顶点坐标是(-1,2),则该抛物线的解析式是y=-(x+1)2+2.
(2)根据题干图象知,当x>-1时,y的值随x的值增大而减小,所以抛物线上两点B(x1,y1),C(x2,y2)的横坐标满足-1y2.
答案:>
(3)由抛物线y=-(x+1)2+2的对称轴是直线x=-1知,抛物线与x轴的另一交点坐标是(1,0),所以当y>0时,x的取值范围是-3能力提升
1. (新疆吐鲁番模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,3),与x轴的一个交点在(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:
①b2-4ac>0;②c-a=3;③a+b+c<0;④方程ax2+bx+c=m(m≥2)一定有实数根,其中正确的结论为 (C)
A.②③ B.①③
C.①②③ D.①②④
2.(西宁期末)二次函数y=ax2+bx+c的大致图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c=2的解是 x1=-2,x2=0 .
3.(新疆喀什期末)一班数学兴趣小组对函数y=x2-2|x|-3的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整:
x … -3 - -2 -1 0 1 2 3 …
y … 0 - m -4 -3 -4 -3 - 0 …
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值见表:其中,m= .
(2)根据表中数据,在所示的平面坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数y=x2-2|x|-3的图象,回答下列问题:
①函数图象的对称性是:_____________________.
②当x>0时,写出y随x的变化规律: ____________________.
进一步探究图象发现:方程x2-2|x|-3=-3的根为____________________.
【解析】(1)当x=-2时,y=x2-2|x|-3=-3,即m=-3.
答案:-3
(2)如图,
(3)①函数y=x2-2|x|-3图象关于y轴对称.
②当0当x>1时,y随x的增大而增大;
进一步探究函数图象发现:当x=-2或0或2时,y=-3,
所以方程x2-2|x|-3=-3的根为x1=-2,x2=0,x3=2.
答案:关于y轴对称 当01时,y随x的增大而增大
x1=-2,x2=0,x3=2
PAGE5 二次函数与一元二次方程
教材认知
二次函数与一元二次方程
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况: , , .
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有0个交点
. 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根(Δ=0).
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有2个交点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根(Δ>0)
3.交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的 .
基础必会
1.(青海海东期末)抛物线y=x2-5x+6与x轴的交点情况是 ( )
A.有两个交点 B.只有一个交点 C.没有交点 D.无法判断
2.(西宁期末)若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为
( )
A.-1 B.2 C.-1或2 D.-1或2或1
3.若二次函数y=x2+2x+kb+1的图象与x轴有两个交点,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( )
4.(新疆伊犁二模)已知二次函数y=ax2-4ax+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,若S△ABC=3,则a= ( )
A.- B. C.-1 D.1
5.(乌鲁木齐期末)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为(-1,0),(3,0),则一元二次方程x2+bx+c=0的根为 .
6. (内蒙古包头质检)已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图,若y<0,则x的取值范围是 ,若y>0,则x的取值范围是 .
7.已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点,在x轴上方的抛物线上有一点C,且△ABC的面积等于10,则点C的坐标为 .
8.(西宁期末)已知二次函数y=-(x-h)2+k的部分图象如图所示,A为抛物线顶点.
(1)写出二次函数的解析式.
(2)若抛物线上两点B(x1,y1),C(x2,y2)的横坐标满足-1”“<”或“=”填空).
(3)观察图象,直接写出当y>0时,x的取值范围.
能力提升
1. (新疆吐鲁番模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,3),与x轴的一个交点在(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:
①b2-4ac>0;②c-a=3;③a+b+c<0;④方程ax2+bx+c=m(m≥2)一定有实数根,其中正确的结论为 ( )
A.②③ B.①③
C.①②③ D.①②④
2.(西宁期末)二次函数y=ax2+bx+c的大致图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c=2的解是 .
3.(新疆喀什期末)一班数学兴趣小组对函数y=x2-2|x|-3的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整:
x … -3 - -2 -1 0 1 2 3 …
y … 0 - m -4 -3 -4 -3 - 0 …
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值见表:其中,m= .
(2)根据表中数据,在所示的平面坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数y=x2-2|x|-3的图象,回答下列问题:
①函数图象的对称性是:_____________________.
②当x>0时,写出y随x的变化规律: ____________________.
进一步探究图象发现:方程x2-2|x|-3=-3的根为____________________.
PAGE
