4 二次函数的应用
第2课时
教材认知
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多
【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么销售量可以表示为: 件;每件T恤衫的利润为: 元;
所获总利润可以表示为: 元;
即y=-200x2+3 700x-8 000
=-200(x-9.25)2+9112.5,
∴当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元.
微点拨
销售问题中的数量关系:利润=销售总额-总成本
利润=每件的利润×销售量
每件的利润=每件的售价-每件的进价
销售数量=原来的数量+变化的数量
基础必会
1.(新疆克拉玛依模拟)服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x>100)元出售,每天可销售(200-x)件,若想获得最大利润,则x应定为 ( )
A.150元 B.160元 C.170元 D.180元
2.(甘肃天水质检)已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-t2+20t+1.若此礼炮在升空到最高处时引爆,则引爆需要的时间为 ( )
A.3 s B.4 s C.5 s D.6 s
3. (内蒙古赤峰期末)某幢建筑物,从10米高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直,如图),如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面米,则水流落地点B离墙的距离OB是 .
4.某超市销售某种玩具,进货价为20元.根据市场调查:在一段时间内,销售单价是30元时,销售量是400件,而销售单价每上涨1元,就会少售出10件玩具,超市要完成不少于300件的销售任务,又要获得最大利润,则销售单价应定为 元.
5. (鄂尔多斯中考)鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住,每间房价不低于200元且不超过320元,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.已知每个房间定价x(元)和游客居住房间数y(间)符合一次函数关系,如图是y关于x的函数图象.
(1)求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当房价定为多少元时,宾馆利润最大 最大利润是多少元
6.(内蒙古通辽模拟)某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼,其进价为18元/kg.设第x天的销售价格为y(元/kg),销售量为m(kg).该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律:①y与x满足一次函数关系,且当x=32时,y=39;x=40时,y=35.②m与x的关系为m=5x+50.
(1)y与x的关系式为___________________.
(2)当34≤x≤50时,求第几天的销售利润W(元)最大 最大利润为多少
(3)若在当天销售价格的基础上涨a元/kg(0
能力提升
1.(甘肃天水模拟)某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,经过调查发现,销售单价每降低5元,每天可多售出10件,下列说法错误的是 ( )
A.销售单价降低15元时,每天获得利润最大
B.每天的最大利润为1 250元
C.若销售单价降低10元,每天的利润为1 200元
D.若每天的利润为1 050元,则销售单价一定降低了5元
2.(乌鲁木齐模拟)某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为 .
3.(扬州中考)甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:
甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3 000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.
乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3 500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1 850元.
说明:①汽车数量为整数;②月利润=月租车费-月维护费;③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是______元;当每个公司租出的汽车为______辆时,两公司的月利润相等;
(2)求两公司月利润差的最大值;
(3)甲公司热心公益事业,每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且当两公司租出的汽车均为17辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大,求a的取值范围.
PAGE4 二次函数的应用
第1课时
教材认知
利用二次函数的性质解决图形面积最值问题的步骤
第一步:找出图形面积中的变量,用字母表示;
第二步:根据图形面积中变量之间的关系,建立 ;
第三步:确定自变量的取值范围;
第四步:根据 求出最大值或最小值(在自变量的取值范围内).
基础必会
1.(宁夏中卫模拟)广场上喷水池中的喷头微露水面,喷出的水线呈一条抛物线,水线上水珠的高度y(米)关于水珠和喷头的水平距离x(米)的函数表达式是y=-x2+6x(0≤x≤4),那么水珠的高度达到最大时,水珠与喷头的水平距离是 ( )
A.1米 B.2米 C.5米 D.6米
2.(内蒙古鄂尔多斯期末)如图,在Rt△ABO中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系式为 ( )
A.S=t(0C.S=t2(03.(新疆伊犁期末)汽车刹车后行驶的距离s(单位:m)关于行驶的时间t(单位:s)的函数解析式是s=12t-6t2,汽车刹车后到停下来前进了 m.
4.一养鸡专业户计划用116 m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍,门MN宽2 m,门PQ和RS的宽都是1 m,围成的鸡舍面积最大为 .
5.王燕去参观一个蔬菜大棚,大棚横截面为抛物线,有关数据如图所示,已知王燕的身高为1.40米,在她不弯腰的情况下,横向活动范围有 米.
6. (甘肃酒泉质检)如图,已知抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得△DCA的面积最大,若存在,求出点D的坐标及△DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由.
7.(白银中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A(0,-2),B(4,0)两点,直线BC:y=-2x+8交y轴于点C.点D为直线AB下方抛物线上一动点,过点D作x轴的垂线,垂足为G,DG分别交直线BC,AB于点E,F.
(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式.
(2)当GF=时,连接BD,求△BDF的面积.
(3)①H是y轴上一点,当四边形BEHF是矩形时,求点H的坐标;
②在①的条件下,第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,求△PHB周长的最小值.
能力提升
1.(包头中考)已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C,点D(4,y)在抛物线上,E是该抛物线对称轴上一动点,当BE+DE的值最小时,△ACE的面积为 .
2. (赤峰中考)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,对称轴l与x轴交于点F,直线m∥AC,点E是直线AC上方抛物线上一动点,过点E作EH⊥m,垂足为H,交AC于点G,连接AE,EC,CH,AH.
(1)抛物线的解析式为_______________________;
(2)当四边形AHCE面积最大时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接EF,点P是x轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q,使得以F,E,P,Q为顶点,以EF为一边的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
PAGE4 二次函数的应用
第1课时
教材认知
利用二次函数的性质解决图形面积最值问题的步骤
第一步:找出图形面积中的变量,用字母表示;
第二步:根据图形面积中变量之间的关系,建立 函数关系式 ;
第三步:确定自变量的取值范围;
第四步:根据 函数关系式 求出最大值或最小值(在自变量的取值范围内).
基础必会
1.(宁夏中卫模拟)广场上喷水池中的喷头微露水面,喷出的水线呈一条抛物线,水线上水珠的高度y(米)关于水珠和喷头的水平距离x(米)的函数表达式是y=-x2+6x(0≤x≤4),那么水珠的高度达到最大时,水珠与喷头的水平距离是 (B)
A.1米 B.2米 C.5米 D.6米
2.(内蒙古鄂尔多斯期末)如图,在Rt△ABO中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系式为 (B)
A.S=t(0C.S=t2(03.(新疆伊犁期末)汽车刹车后行驶的距离s(单位:m)关于行驶的时间t(单位:s)的函数解析式是s=12t-6t2,汽车刹车后到停下来前进了 6 m.
4.一养鸡专业户计划用116 m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍,门MN宽2 m,门PQ和RS的宽都是1 m,围成的鸡舍面积最大为 450 m2 .
5.王燕去参观一个蔬菜大棚,大棚横截面为抛物线,有关数据如图所示,已知王燕的身高为1.40米,在她不弯腰的情况下,横向活动范围有 6 米.
6. (甘肃酒泉质检)如图,已知抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得△DCA的面积最大,若存在,求出点D的坐标及△DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设该抛物线解析式为y=a(x-4)(x-1),
将点C(0,-2)代入解析式得:-2=a(0-4)(0-1),解得a=-,
∴y=-(x-4)(x-1)=-x2+x-2,
故该抛物线的解析式为:y=-x2+x-2.
(2)如图,
设存在点D在抛物线上,连接AD,CD,过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E,
设直线AC解析式为:y=kx+b(k≠0),
将A(4,0),C(0,-2)代入其解析式得:
,解得,
∴直线AC:y=x-2,
设点D坐标为,
则点E坐标为,
S△DCA=S△DCE+S△DAE=×DE×xE+×DE×(xA-xE)=×DE×xA=×DE×4=2DE,
∵DE=-=-x2+2x,
∴S△DCA=2DE=2×=-x2+4x=-(x-2)2+4,
∴当x=2时,y=-x2+x-2=-2+5-2=1,即点D坐标为(2,1),
此时△DCA的面积最大,最大值为4.
7.(白银中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A(0,-2),B(4,0)两点,直线BC:y=-2x+8交y轴于点C.点D为直线AB下方抛物线上一动点,过点D作x轴的垂线,垂足为G,DG分别交直线BC,AB于点E,F.
(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式.
(2)当GF=时,连接BD,求△BDF的面积.
(3)①H是y轴上一点,当四边形BEHF是矩形时,求点H的坐标;
②在①的条件下,第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,求△PHB周长的最小值.
【解析】(1)∵抛物线y=x2+bx+c过A(0,-2),B(4,0)两点,
∴,
解得,
∴y=x2-x-2.
(2)∵B(4,0),A(0,-2),∴OB=4,OA=2,
∵GF⊥x轴,OA⊥x轴,
在Rt△BOA和Rt△BGF中,tan∠ABO==,即=,
∴GB=1,
∴OG=OB-GB=4-1=3,
当x=3时,yD=×9-×3-2=-2,
∴D(3,-2),即GD=2,
∴FD=GD-GF=2-=,
∴S△BDF=·DF·BG=××1=.
(3)①如图1,过点H作HM⊥EF于M,
∵四边形BEHF是矩形,
∴EH∥BF,EH=BF,
∴∠HEF=∠BFE,
∵∠EMH=∠FGB=90°,
∴△EMH≌△FGB(AAS),
∴MH=GB,EM=FG,
∵HM=OG,
∴OG=GB=OB=2,
∵A(0,-2),B(4,0),
∴直线AB的解析式为y=x-2,
设E(a,-2a+8),F,
由MH=BG得到,a-0=4-a,
∴a=2,
∴E(2,4),F(2,-1),
∴FG=1,
∵EM=FG,
∴4-yH=1,
∴yH=3,
∴H(0,3).
②如图2,C(0,8),即OC=8,
BH===5,
∵PH=PC+2,
∴△PHB的周长=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7,
要使得△PHB的周长最小,只要PC+PB的值最小,
∵PC+PB≥BC,
∴当点P在BC上时,PC+PB=BC的值最小,
∵BC===4,
∴△PHB的周长的最小值为4+7.
能力提升
1.(包头中考)已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C,点D(4,y)在抛物线上,E是该抛物线对称轴上一动点,当BE+DE的值最小时,△ACE的面积为 4 .
2. (赤峰中考)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,对称轴l与x轴交于点F,直线m∥AC,点E是直线AC上方抛物线上一动点,过点E作EH⊥m,垂足为H,交AC于点G,连接AE,EC,CH,AH.
(1)抛物线的解析式为_______________________;
(2)当四边形AHCE面积最大时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接EF,点P是x轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q,使得以F,E,P,Q为顶点,以EF为一边的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)∵y=-x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B(1,0),
∴,解得,∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
答案:y=-x2-2x+3
(2)如图1中,连接OE.设E(m,-m2-2m+3).∵A(-3,0),C(0,3),∴OA=OC=3,
AC=3,∵AC∥直线m,∴△ACH的面积是定值,∵S四边形AECH=S△AEC+S△ACH,
∴当△AEC的面积最大时,四边形AECH的面积最大,
∵S△AEC=S△AEO+S△ECO-S△AOC=×3×(-m2-2m+3)+×3×(-m)-×3×3=-+,∵-<0,∴m=-时,△AEC的面积最大,∴E.
(3)如图2中,因为点Q在抛物线上,EF是平行四边形的边,观察图象可知,满足条件的点Q的纵坐标为±,对于抛物线y=-x2-2x+3,当y=时,-x2-2x+3=,解得x=-或-.∴Q1.当y=-时,-x2-2x+3=-,
解得x=,∴Q2,Q3.
综上所述,满足条件的点Q坐标为或或.
PAGE4 二次函数的应用
第2课时
教材认知
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多
【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么销售量可以表示为: [500+200(13.5-x)] 件;每件T恤衫的利润为: (x-2.5) 元;
所获总利润可以表示为: [500+200(13.5-x)](x-2.5) 元;
即y=-200x2+3 700x-8 000
=-200(x-9.25)2+9112.5,
∴当销售单价为 9.25 元时,可以获得最大利润,最大利润是 9 112.5 元.
微点拨
销售问题中的数量关系:利润=销售总额-总成本
利润=每件的利润×销售量
每件的利润=每件的售价-每件的进价
销售数量=原来的数量+变化的数量
基础必会
1.(新疆克拉玛依模拟)服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x>100)元出售,每天可销售(200-x)件,若想获得最大利润,则x应定为 (A)
A.150元 B.160元 C.170元 D.180元
2.(甘肃天水质检)已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-t2+20t+1.若此礼炮在升空到最高处时引爆,则引爆需要的时间为 (B)
A.3 s B.4 s C.5 s D.6 s
3. (内蒙古赤峰期末)某幢建筑物,从10米高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直,如图),如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面米,则水流落地点B离墙的距离OB是 3 .
4.某超市销售某种玩具,进货价为20元.根据市场调查:在一段时间内,销售单价是30元时,销售量是400件,而销售单价每上涨1元,就会少售出10件玩具,超市要完成不少于300件的销售任务,又要获得最大利润,则销售单价应定为 40 元.
5. (鄂尔多斯中考)鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住,每间房价不低于200元且不超过320元,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.已知每个房间定价x(元)和游客居住房间数y(间)符合一次函数关系,如图是y关于x的函数图象.
(1)求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当房价定为多少元时,宾馆利润最大 最大利润是多少元
【解析】(1)由题意,设y关于x的函数解析式为y=kx+b,
把(280,40),(290,39)代入得:
,
解得:,
∴y与x之间的函数解析式为y=-x+68(200≤x≤320);
(2)设宾馆的利润为w元,
则w=(x-20)y=(x-20)=-x2+70x-1 360=-(x-350)2+10 890,
∵-<0,
∴当x<350时,w随x的增大而增大,
∵200≤x≤320,∴当x=320时,w取得最大值,最大值为10 800元.
答:当每间房价定价为320元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是10 800元.
6.(内蒙古通辽模拟)某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼,其进价为18元/kg.设第x天的销售价格为y(元/kg),销售量为m(kg).该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律:①y与x满足一次函数关系,且当x=32时,y=39;x=40时,y=35.②m与x的关系为m=5x+50.
(1)y与x的关系式为___________________.
(2)当34≤x≤50时,求第几天的销售利润W(元)最大 最大利润为多少
(3)若在当天销售价格的基础上涨a元/kg(0【解析】(1)依题意,当x=32时,y=39;x=40时,y=35,
设y=kx+b,则有,解得,∴y与x的关系式为:y=-x+55.
答案:y=-x+55
(2)根据题意得,W=(y-18)m=-x2+160x+1 850=-(x-32)2+4 410,
∵a<0,抛物线开口向下,∴当34≤x≤50时,W随x的增大而减小,故当x=34时,Wmax=4 400元.
(3)根据题意得,W=(y+a-18)m=-x2+(160+5a)x+50a+1 850,
∵a<0,抛物线开口向下,对称轴x=32+a,∵0∵31≤x≤42,∴当x=32+a时,Wmax=(5a+210)=(a+42)2=6 250,
解得:a=8,a=-92(舍),∴a=8.
能力提升
1.(甘肃天水模拟)某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,经过调查发现,销售单价每降低5元,每天可多售出10件,下列说法错误的是 (D)
A.销售单价降低15元时,每天获得利润最大
B.每天的最大利润为1 250元
C.若销售单价降低10元,每天的利润为1 200元
D.若每天的利润为1 050元,则销售单价一定降低了5元
2.(乌鲁木齐模拟)某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为 03.(扬州中考)甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:
甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3 000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.
乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3 500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1 850元.
说明:①汽车数量为整数;②月利润=月租车费-月维护费;③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是______元;当每个公司租出的汽车为______辆时,两公司的月利润相等;
(2)求两公司月利润差的最大值;
(3)甲公司热心公益事业,每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且当两公司租出的汽车均为17辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大,求a的取值范围.
【解析】(1)[(50-10)×50+3 000]×10-200×10=48 000元,
当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是48 000元;
设每个公司租出的汽车为x辆,
由题意可得:[(50-x)×50+3 000]x-200x=3 500x-1 850,
解得:x=37或x=-1(舍),
∴当每个公司租出的汽车为37辆时,两公司的月利润相等;
答案:4 800 037
(2)设两公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y,
则y甲=[(50-x)×50+3 000]x-200x,
y乙=3 500x-1 850,
当甲公司的利润大于乙公司时,0y=y甲-y乙=[(50-x)×50+3 000]x-200x-(3 500x-1 850)
=-50x2+1 800x+1 850,
当x=-=18时,利润差最大,且为18 050元;
当乙公司的利润大于甲公司时,37y=y乙-y甲=3 500x-1 850-[(50-x)×50+3 000]x+200x=50x2-1 800x-1 850,
∵对称轴为直线x=-=18,
当x=50时,利润差最大,且为33 150元;
综上:两公司月利润差的最大值为33 150元;
(3)∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,则利润差为y=-50x2+1 800x+1 850-ax
=-50x2+(1 800-a)x+1 850,
对称轴为直线x=,
∵x只能取整数,且当两公司租出的汽车均为17辆时,月利润之差最大,
∴16.5<<17.5,
解得:50PAGE