*7 切线长定理
教材认知
1.切线长
过圆外一点画圆的切线,这点和 切点 之间的线段长,叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理
过圆外一点画圆的两条切线,它们的切线长 相等 .
微点拨
切线和切线长区别.
切线是到圆心距离等于圆的半径的直线,而切线长是线段,指过圆外一点作圆的切线,该点到切点的距离.
基础必会
1.(甘肃金昌期末)如图,PA切☉O于点A,PB切☉O于点B,若PA=3,则PB= (D)
A.6 B.5 C.4 D.3
2.(甘肃平凉期末)如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,∠P=70°,则∠C为 (A)
A.55° B.70° C.110° D.140°
3.(呼和浩特期末)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,∠BAC=25.5°,则∠P的度数为 (B)
A.52° B.51° C.61° D.64.5°
4.(新疆喀什模拟)已知P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,∠P=70°,C为☉O上一个动点,且不与A,B重合,则∠BCA= (C)
A.35°,145° B.110°,70° C.55°,125° D.110°,55°
5.矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以AB为直径在矩形内作半圆.DE切圆于点E(如图),则tan∠CDF的值为 (B)
A. B. C. D.
6.(内蒙古包头模拟)如图,☉O的半径为3 cm,点P到圆心的距离为6 cm,经过点P引☉O的两条切线,这两条切线的夹角为 60 度.
7.(银川模拟)如图,☉O是四边形ABCD的内切圆,切点分别为E,F,G,H,已知AB=5,CD=7,那么AD+BC= 12 .
8.(甘肃定西期末)如图,AD,AE,CB均为☉O的切线,D,E,F分别是切点,AD=5,则△ABC的周长为 10 .
9.(新疆巴音郭楞模拟)PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为点A,B,若直径AC=12,∠P=60°,求弦AB的长.
【解析】连接BC.
∵PA,PB切☉O于A,B,∴PA=PB.
∵∠P=60°,∴△ABP是正三角形.
∵∠PAB=60°,∴PA是☉O切线.∴CA⊥AP.
∴∠CAP=90°.∴∠CAB=30°,
∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∴cos 30°=,∴AB=6.
10. (内蒙古通辽一模)如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB=60°.
求:(1)PA的长;
(2)∠COD的度数.
【解析】(1)∵CA,CE都是☉O的切线,∴CA=CE,同理DE=DB,PA=PB,
∴三角形PCD的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12,即PA的长为6.
(2)∵∠P=60°,∴∠PCE+∠PDE=120°,∴∠ACD+∠CDB=360°-120°=240°,
∵CA,CE是圆O的切线,∴∠OCE=∠OCA=∠ACD;
同理:∠ODE=∠CDB,∴∠OCE+∠ODE=(∠ACD+∠CDB)=120°,∴∠COD=180-120°=
60°.
能力提升
1.(内蒙古巴彦淖尔期末)如图,PA,PB是圆O的切线,切点为A,B,∠P=50°,点C是圆O上异于A,B的点,则∠ACB等于 65°或115° .
2.(西宁质检)如图,☉O是四边形ABCD的内切圆,连接OA,OB,OC,OD.若∠AOB=108°,则∠COD的度数是 72° .
3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,AC,PB的延长线相交于点D.
(1)若∠1=20°,求∠APB的度数;
(2)当∠1为多少度时,OP=OD,并说明理由.
【解析】(1)∵AC是圆的直径,PA,PB是圆的切线,
∴PA=PB,OA⊥PA,即∠PAO=90°,
∴∠PAB=∠PBA,
∵∠1=20°,
∴∠PAB=70°,
∴∠PBA=∠PAB=70°,
∴∠APB=180°-∠PBA-∠PAB=40°.
(2)结论:当∠1=30°时,OP=OD.
理由:∵OP=OD,
∴∠OPD=∠ODP,
∵PA,PB是☉O的切线,
∴PA=PB,OB⊥PD,DA⊥PA,
∴PD=2AP,∠PAD=90°,
∴∠D=30°,∠APB=60°,
∴△APB是等边三角形,
∴∠PAB=60°
∴∠1=90°-60°=30°.
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1.切线长
过圆外一点画圆的切线,这点和 之间的线段长,叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理
过圆外一点画圆的两条切线,它们的切线长 .
微点拨
切线和切线长区别.
切线是到圆心距离等于圆的半径的直线,而切线长是线段,指过圆外一点作圆的切线,该点到切点的距离.
基础必会
1.(甘肃金昌期末)如图,PA切☉O于点A,PB切☉O于点B,若PA=3,则PB= ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.(甘肃平凉期末)如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,∠P=70°,则∠C为 ( )
A.55° B.70° C.110° D.140°
3.(呼和浩特期末)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,∠BAC=25.5°,则∠P的度数为 ( )
A.52° B.51° C.61° D.64.5°
4.(新疆喀什模拟)已知P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,∠P=70°,C为☉O上一个动点,且不与A,B重合,则∠BCA= ( )
A.35°,145° B.110°,70° C.55°,125° D.110°,55°
5.矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以AB为直径在矩形内作半圆.DE切圆于点E(如图),则tan∠CDF的值为 ( )
A. B. C. D.
6.(内蒙古包头模拟)如图,☉O的半径为3 cm,点P到圆心的距离为6 cm,经过点P引☉O的两条切线,这两条切线的夹角为 度.
7.(银川模拟)如图,☉O是四边形ABCD的内切圆,切点分别为E,F,G,H,已知AB=5,CD=7,那么AD+BC= .
8.(甘肃定西期末)如图,AD,AE,CB均为☉O的切线,D,E,F分别是切点,AD=5,则△ABC的周长为 .
9.(新疆巴音郭楞模拟)PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为点A,B,若直径AC=12,∠P=60°,求弦AB的长.
10. (内蒙古通辽一模)如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB=60°.
求:(1)PA的长;
(2)∠COD的度数.
能力提升
1.(内蒙古巴彦淖尔期末)如图,PA,PB是圆O的切线,切点为A,B,∠P=50°,点C是圆O上异于A,B的点,则∠ACB等于 .
2.(西宁质检)如图,☉O是四边形ABCD的内切圆,连接OA,OB,OC,OD.若∠AOB=108°,则∠COD的度数是 .
3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,AC,PB的延长线相交于点D.
(1)若∠1=20°,求∠APB的度数;
(2)当∠1为多少度时,OP=OD,并说明理由.
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