*3 垂 径 定 理
教材认知
1.垂径定理:垂直于弦的直径 这条弦,并且 弦所对的两条弧.
2.垂径定理推论:平分弦(不是直径)的直径 于弦,并且平分弦所对的弧.
微点拨
垂径定理的条件:垂直于弦和一条直线过圆心.
结论:平分弦、平分劣弧、平分优弧.
基础必会
1.下列说法中正确的是 ( )
A.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
B.圆是轴对称图形,每一条直径都是它的对称轴
C.弦的垂直平分线过圆心
D.相等的圆心角所对的弧也相等
2.(内蒙古通辽模拟)如图,已知AB,AC都是☉O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,若MN=,那么BC等于 ( )
A.5 B. C.2 D.
3.(宁夏吴忠期末)如图,弦CD垂直于☉O的直径AB,垂足为H,且OB=13,CD=24,则OH的长是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(呼和浩特期末)如图,☉O的直径CD=10 cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OD∶OM=5∶3,则AB的长为 ( )
A.6 cm B. cm C.8 cm D.4 cm
5.☉O的直径为10,弦AB=6,P是弦AB上一动点,则OP的取值范围是 .
6.(青海中考)如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面,“图上”太阳与海平线交于A,B两点,他测得“图上”圆的半径为10厘米,AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟,则“图上”太阳升起的速度为 ( )
A.1.0厘米/分 B.0.8厘米/分 C.1.2厘米/分 D.1.4厘米/分
7.(宁夏吴忠一模)如图表示一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水的最大深度CD为2 m,水面宽AB为8 m,则输水管的半径为 m.
8.(新疆哈密模拟)工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径,假设钢珠的直径是12 mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为9 mm,如图所示,则这个小孔的直径AB是多少毫米
9.(甘肃武威模拟)在☉O中,直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1 cm,EB=5 cm,且∠DEB=60°,求CD的长.
1.(鄂州中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理,如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,如图2.已知圆心O在水面上方,且☉O被水面截得的弦AB长为6米,☉O半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是 ( )
A.1米 B.(4-)米 C.2米 D.(4+)米
2.(宁夏中考)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何 ”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小.用锯去锯这木材,锯口深ED=1寸,锯道长AB=1尺(1尺=10寸).问这根圆柱形木材的直径是 寸.
3.(青海中考)已知☉O的直径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=
8 cm,CD=6 cm,则AB与CD之间的距离为 cm.
4.(甘肃金昌模拟)有两条公路OM、ON相交成30°,沿公路OM方向,距O点80米处有一所小学A,当拖拉机沿ON方向行驶时,路两旁50米内会受到噪音的影响,已知拖拉机的速度为每小时18千米,那么拖拉机沿ON方向行驶将给小学带来噪音影响的时间为 秒.
5.(素养提升)如图,已知☉O的半径为R,C、D是直径AB同侧圆周上的两点,的度数为96°,的度数为36°,动点P在AB上.求PC+PD的最小值.
PAGE*3 垂 径 定 理
教材认知
1.垂径定理:垂直于弦的直径 平分 这条弦,并且 平分 弦所对的两条弧.
2.垂径定理推论:平分弦(不是直径)的直径 垂直 于弦,并且平分弦所对的弧.
微点拨
垂径定理的条件:垂直于弦和一条直线过圆心.
结论:平分弦、平分劣弧、平分优弧.
基础必会
1.下列说法中正确的是 (C)
A.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
B.圆是轴对称图形,每一条直径都是它的对称轴
C.弦的垂直平分线过圆心
D.相等的圆心角所对的弧也相等
2.(内蒙古通辽模拟)如图,已知AB,AC都是☉O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,若MN=,那么BC等于 (C)
A.5 B. C.2 D.
3.(宁夏吴忠期末)如图,弦CD垂直于☉O的直径AB,垂足为H,且OB=13,CD=24,则OH的长是 (C)
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(呼和浩特期末)如图,☉O的直径CD=10 cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OD∶OM=5∶3,则AB的长为 (C)
A.6 cm B. cm C.8 cm D.4 cm
5.☉O的直径为10,弦AB=6,P是弦AB上一动点,则OP的取值范围是 4≤OP≤5 .
6.(青海中考)如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面,“图上”太阳与海平线交于A,B两点,他测得“图上”圆的半径为10厘米,AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟,则“图上”太阳升起的速度为 (A)
A.1.0厘米/分 B.0.8厘米/分 C.1.2厘米/分 D.1.4厘米/分
7.(宁夏吴忠一模)如图表示一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水的最大深度CD为2 m,水面宽AB为8 m,则输水管的半径为 5 m.
8.(新疆哈密模拟)工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径,假设钢珠的直径是12 mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为9 mm,如图所示,则这个小孔的直径AB是多少毫米
【解析】如图,设钢珠的圆心为O,过O作OC⊥AB于C,交优弧于D,
则OA=12÷2=6(mm),CD=9 mm,OC=9 mm-6 mm=3 mm,
∵OC⊥AB,∴CA=CB,在Rt△AOC中,AC===3,
∴AB=6 mm.
所以这个小孔的直径AB是6 mm.
9.(甘肃武威模拟)在☉O中,直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1 cm,EB=5 cm,且∠DEB=60°,求CD的长.
【解析】作OP⊥CD于P,连接OD,∴CP=PD.
∵AE=1,EB=5,∴AB=6,∴OE=2.
在Rt△OPE中,OP=OE·sin∠DEB=,
∴PD==,∴CD=2PD=2(cm).
能力提升
1.(鄂州中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理,如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,如图2.已知圆心O在水面上方,且☉O被水面截得的弦AB长为6米,☉O半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是 (B)
A.1米 B.(4-)米 C.2米 D.(4+)米
2.(宁夏中考)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何 ”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小.用锯去锯这木材,锯口深ED=1寸,锯道长AB=1尺(1尺=10寸).问这根圆柱形木材的直径是 26 寸.
3.(青海中考)已知☉O的直径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=
8 cm,CD=6 cm,则AB与CD之间的距离为 1或7 cm.
4.(甘肃金昌模拟)有两条公路OM、ON相交成30°,沿公路OM方向,距O点80米处有一所小学A,当拖拉机沿ON方向行驶时,路两旁50米内会受到噪音的影响,已知拖拉机的速度为每小时18千米,那么拖拉机沿ON方向行驶将给小学带来噪音影响的时间为 12 秒.
5.(素养提升)如图,已知☉O的半径为R,C、D是直径AB同侧圆周上的两点,的度数为96°,的度数为36°,动点P在AB上.求PC+PD的最小值.
【解析】如图:点E是点C关于AB的对称点,
根据对称性可知:PC=PE.由两点之间线段最短,此时DE的长就是PC+PD的最小值.
∵=96°, =36°,
∴=96°,=84°,=84°+36°=120°.
∴∠DOE=120°,∠E=30°,过O作ON⊥DE于N,则DE=2DN,
∵cos 30°=,∴DN=R,∴DE=R,所以PC+PD的最小值为R.
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