2 二次函数的图象与性质
第1课时
教材认知
函数 y=ax2(a>0) y=ax2(a<0)
图象(形状) 抛物线
顶点坐标 (0,0)
对称轴 y轴
开口方向 向上 向下
最值 a>0时,函数有最 小 值,是 0 ; a<0时,函数有最 大 值,是 0
微点拨
y=ax2(a≠0)中,a决定抛物线的开口方向、大小,函数值y的最大或最小.
基础必会
1.(银川一模)关于函数y=x2,下列说法不正确的是 (D)
A.当x<0时,y随x增大而减小 B.当x≠0时,函数值总是正的
C.当x>0时,y随x增大而增大 D.函数图象有最高点
2.(新疆伊犁模拟)下列抛物线的图象,开口最大的是 (A)
A.y=x2 B.y=4x2 C.y=-2x2 D.无法确定
3.(甘肃酒泉质检)若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点 (A)
A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2) D.(4,-2)
4.二次函数y=-x2与一次函数y=x+1在同一坐标系中的大致图象为 (D)
5.(内蒙古呼伦贝尔模拟)若|a|=1,对于二次函数y=ax2的图象有如下判断:①开口方向向上;②以y轴为对称轴;③当x<0时,y随x的增大而增大;④当x=0时,y有最大值0.其中判断正确的个数是 (A)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值范围为 k>-1 .
7.(甘肃酒泉模拟)函数y=ax2(a≠0)与直线y=x-3交于点(1,b).
(1)求a,b的值;
(2)x取何值时,二次函数中的y有最小值,还是有最大值 是多少
【解析】(1)把(1,b)代入y=x-3可得:b=1-3=-2,把(1,-2)代入y=ax2可得-2=a,即a=-2,∴a=-2,b=-2;
(2)由(1)可得y=-2x2,∴抛物线开口向下,且对称轴为y轴,∴y有最大值,当x=0时,y最大值=0.
能力提升
1.如图,A,B分别为y=x2上的两点,且线段AB⊥y轴,若AB=6,则△OAB的面积是
(A)
A.27 B.54 C.3 D.6
2.(呼和浩特期末)下列四个二次函数:①y=x2,②y=-2x2,③y=x2,④y=3x2,其中抛物线开口按从大到小的顺序排列是 ③①②④ .
3. (兰州模拟)如图,直线AB过x轴上一点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B,C两点,B点的坐标为(1,1).
(1)求直线AB的表达式及抛物线y=ax2的表达式.
(2)求点C的坐标.
(3)点P(m,y1)在直线AB上,点Q(m,y2)在抛物线y=ax2上.若y2
(4)若抛物线上有一点D(在第一象限内),使得S△AOD=S△COB,直接写出点D的坐标.
【解析】(1)把B(1,1)代入y=ax2得a=1,
∴抛物线表达式为y=x2,
设直线AB的表达式为y=kx+b,
把A(2,0),B(1,1)代入得,解得,
∴直线AB的表达式为y=-x+2.
(2)解方程组得或,
∴C点坐标为(-2,4).
(3)若y2(4)∵S△COB=S△AOC-S△AOB=×2×4-×2×1=3,
而S△AOD=S△COB,
∴S△AOD=3,
设D(t,t2),
∴×2×t2=3,解得t=±,
而点D在第一象限内,
∴t=,
∴D(,3).
PAGE2 二次函数的图象与性质
第3课时
教材认知
函数 y=a(x-h)2(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0)
开口方向 a>0时,开口向上;a<0时,开口向下
顶点坐标 (h,0) (h,k)
对称轴 x=h x=h
增减性 a>0时,在对称轴的左侧(即x 时)y随x的增大而 ,在对称轴的右侧(即x 时)y随x的增大而 . a<0时,在对称轴的左侧(即x 时)y随x的增大而 ,在对称轴的右侧(即x 时)y随x的增大而
最值 a>0时,函数有最 值,是 ; a<0时,函数有最 值,是 a>0时,函数有最 值,是 ; a<0时,函数有最 值,是
平移规律 函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到; 函数y=a(x-h)2+k的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位,向 平移 个单位得到
微点拨
利用运动的观点认识y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系,掌握函数图象的对应性质.
基础必会
1.(绍兴中考)关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是
( )
A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最大值6 D.有最小值6
2.(青海果洛模拟)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是 ( )
3.(内蒙古呼伦贝尔期末)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是 ( )
A.开口向下 B.当x=-1时,y有最大值是2
C.对称轴是直线x=-1 D.顶点坐标是(1,2)
4.(宁夏中卫期末)若将抛物线y=x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位,则所得新的抛物线解析式是 ( )
A.y=(x+3)2+2 B.y=(x-3)2+2 C.y=(x-2)2+3 D.y=(x+3)2-2
5.(内蒙古赤峰期末)已知A(,y1),B(2,y2),C(-,y3)是二次函数y=3(x-1)2+k图象上三点,则y1,y2,y3的大小关系为 ( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y2>y1 D.y2>y3>y1
6.(新疆伊犁模拟)二次函数y=-(x-1)2+的图象与y轴的交点坐标是
.
7.(宁夏固原质检)抛物线的顶点坐标为P(2,3),且开口向下,若函数值y随自变量x的增大而减小,那么x的取值范围为 .
8.(广东中考)把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为 .
9.(兰州中考)点A(-4,3),B(0,k)在二次函数y=-(x+2)2+h的图象上,则k= .
能力提升
1.(内蒙古巴彦淖尔质检)在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是 ( )
A.y的最小值为1
B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2
C.当x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小
D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到
2.(兰州模拟)在同一坐标平面内,下列4个函数①y=2(x+1)2-1,②y=2x2+3,③y=-2x2-1,④y=x2-1的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是 (填序号).
3.如图,抛物线的顶点M在x轴上,抛物线与y轴交于点N,且OM=ON=4,矩形ABCD的顶点A,B在抛物线上,C,D在x轴上.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设点A的横坐标为t(t>4),矩形ABCD的周长为l,求l与t之间的函数表达式.
4. (内蒙古呼伦贝尔模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=-(x-m)2+4图象的顶点为A,与y轴交于点B,异于顶点A的点C(1,n)在该函数图象上.
(1)当m=5时,求n的值;
(2)当n=2时,若点A在第一象限内,结合图象,求当y≥2时,自变量x的取值范围;
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方,且在线段OD上时,求m的取值范围.
PAGE2 二次函数的图象与性质
第4课时
教材认知
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
1.对称轴是直线x= - ,顶点坐标为(-, ).
2.当a>0时,x= - 时,函数y有最 小 值,其值为 ;当a<0时,x= - 时,函数y有最 大 值,其值为 ;
微点拨
二次函数y=ax2+bx+c转化成y=a(x-h)2+k的形式后,再判断抛物线平移的方向和距离.
基础必会
1.(甘肃平凉期末)已知点A(-1,m),B(-2,n)都在二次函数y=x2-2x+3的图象上,则m,n的大小关系是 (A)
A.mn D.不能确定
2.(西宁模拟)老师设计了接力游戏,用合作的方式完成“求抛物线y=2x2+4x-4的顶点坐标”,规则如下:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成解答.过程如图所示:
接力中,自己负责的一步出现错误的是 (D)
A.只有丁 B.乙和丁 C.乙和丙 D.甲和丁
3.(甘肃酒泉期末)抛物线y=-x2+3x-4与y轴的交点坐标是 (C)
A.(4,0) B.(-4,0) C.(0,-4) D.(0,4)
4.(泰安中考)将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过 (B)
A.(-2,2) B.(-1,1) C.(0,6) D.(1,-3)
5.(乌鲁木齐模拟)直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx在同一平面直角坐标系中的图象大致为 (C)
6.(包头中考)已知二次函数y=ax2-bx+c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1,-b),则一次函数y=bx-ac的图象不经过 (C)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7. (甘肃白银模拟)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现给出以下结论:①abc>0;②b+2a=0;③9a-3b+c=0;④a-b+c≤am2+bm+c(m为实数).其中结论正确的有 (B)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
8.(宁夏吴忠质检)抛物线y=-x2+mx-3m的对称轴是直线x=1,那么m= 2 .
9.如果二次函数y=(a-1)x2+2x的图象在它的对称轴右侧部分是上升的,那么a的取值范围是 a>1 .
10.(甘肃酒泉模拟)抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点(-2,0)和点(0,-6),且顶点在第四象限,则a的取值范围是 011.(甘肃定西期末)已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).
(1)求a的值和图象的顶点坐标.
(2)点Q(m,n)在该二次函数的图象上,当m=2时,求n的值.
【解析】(1)把点P(-2,3)代入y=x2+ax+3中,
得a=2,
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∴图象的顶点坐标为(-1,2).
(2)∵Q(m,n)在该二次函数图象上,
当m=2时,n=22+2×2+3=11.
能力提升
1.(呼和浩特中考)已知二次项系数等于1的一个二次函数,其图象与x轴交于两点(m,0),(n,0),且过A(0,b),B(3,a)两点(b,a是实数),若0(C)
A.02.(新疆中考)已知抛物线y=ax2-2ax+3(a≠0).
(1)求抛物线的对称轴.
(2)把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位,若抛物线的顶点落在x轴上,求a的值.
(3)设点P(a,y1),Q(2,y2)在抛物线上,若y1>y2,求a的取值范围.
【解析】(1)由题意可得,抛物线的对称轴为:直线x=-=1.
(2)抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位,可得y′=ax2-2ax+3-3|a|,
∵抛物线的顶点落在x轴上,
∴Δ=(-2a)2-4a(3-3|a|)=0,解得a=或a=-.
(3)当x=2时,y2=3,
若y1>y2,则a3-2a2+3>3,解得a>2.
3.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D,连接AD.
(1)求点A,B,C的坐标.
(2)若点P是直线AD上方抛物线上一点,求△PAD面积的最大值.
【解析】(1)∵抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,∴当y=0时,得-x2+2x+3=0,解得:x1=-1,x2=3,∵点A在点B的左侧,
∴A(-1,0),B(3,0).
又∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,
∴当x=0时,y=3,∴C(0,3).
(2)由(1)可知:A(-1,0),B(3,0),∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵C(0,3),且CD∥x轴,∴点D的坐标为(2,3).
设直线AD的表达式为y=kx+b,则解得∴直线AD的表达式为y=x+1.
过点P作PQ∥y轴交AD于点Q,设P(a,-a2+2a+3)(-1∴PQ=-a2+2a+3-(a+1)=-a2+a+2,
∴S△PAD=S△PAQ+S△PDQ
=×3×PQ=(-a2+a+2)=-+,
∴S△PAD的最大值为.
PAGE2 二次函数的图象与性质
第1课时
教材认知
函数 y=ax2(a>0) y=ax2(a<0)
图象(形状) 抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向 向上 向下
最值 a>0时,函数有最 值,是 ; a<0时,函数有最 值,是
微点拨
y=ax2(a≠0)中,a决定抛物线的开口方向、大小,函数值y的最大或最小.
基础必会
1.(银川一模)关于函数y=x2,下列说法不正确的是 ( )
A.当x<0时,y随x增大而减小 B.当x≠0时,函数值总是正的
C.当x>0时,y随x增大而增大 D.函数图象有最高点
2.(新疆伊犁模拟)下列抛物线的图象,开口最大的是 ( )
A.y=x2 B.y=4x2 C.y=-2x2 D.无法确定
3.(甘肃酒泉质检)若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点 ( )
A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2) D.(4,-2)
4.二次函数y=-x2与一次函数y=x+1在同一坐标系中的大致图象为 ( )
5.(内蒙古呼伦贝尔模拟)若|a|=1,对于二次函数y=ax2的图象有如下判断:①开口方向向上;②以y轴为对称轴;③当x<0时,y随x的增大而增大;④当x=0时,y有最大值0.其中判断正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值范围为 .
7.(甘肃酒泉模拟)函数y=ax2(a≠0)与直线y=x-3交于点(1,b).
(1)求a,b的值;
(2)x取何值时,二次函数中的y有最小值,还是有最大值 是多少
能力提升
1.如图,A,B分别为y=x2上的两点,且线段AB⊥y轴,若AB=6,则△OAB的面积是
( )
A.27 B.54 C.3 D.6
2.(呼和浩特期末)下列四个二次函数:①y=x2,②y=-2x2,③y=x2,④y=3x2,其中抛物线开口按从大到小的顺序排列是 .
3. (兰州模拟)如图,直线AB过x轴上一点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B,C两点,B点的坐标为(1,1).
(1)求直线AB的表达式及抛物线y=ax2的表达式.
(2)求点C的坐标.
(3)点P(m,y1)在直线AB上,点Q(m,y2)在抛物线y=ax2上.若y2(4)若抛物线上有一点D(在第一象限内),使得S△AOD=S△COB,直接写出点D的坐标.
PAGE2 二次函数的图象与性质
第2课时
教材认知
函数 y=ax2+c(a≠0)
对称轴
开口方向 a>0时,开口向上;a<0时,开口向下
顶点坐标
增减性 a>0时,在对称轴的左侧(即x 0时)y随x的增大而 , 在对称轴的右侧(即x 0时)y随x的增大而 . a<0时,在对称轴的左侧(即x 0时)y随x的增大而 , 在对称轴的右侧(即x 0时)y随x的增大而 .
最值 a>0时,函数有最 值,是 ;a<0时,函数有最 值,是 ;
平移规律 函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到.
微点拨
1.二次函数y=ax2+c的顶点坐标在y轴上,当c>0时,抛物线交于y轴的上方;当c<0时,抛物线交于y轴的下方;当c=0时,抛物线经过原点.
2.a的值决定了抛物线的开口方向和大小,|a|越大,开口越小.
基础必会
1.(甘肃定西期末)抛物线y=x2-9的顶点坐标是 ( )
A.(0,-9) B.(-3,0) C.(-9,0) D.(3,0)
2.(西宁模拟)抛物线y=x2+1的对称轴是 ( )
A.直线x=1 B.直线x=-1 C.y轴 D.直线x=-2
3.抛物线y=2x2-4的顶点在 ( )
A.x轴上 B.y轴上 C.第三象限 D.第四象限
4.(宁夏固原质检)点P1(-2,y1),P2 (2,y2 ),P3 (5,y3 )均在函数y=ax2+1(a<0)的图象上,则y1,y2,y3 的大小关系是 ( )
A.y3>y2>y1 B.y3>y1>y2 C.y3>y1=y2 D.y1=y2>y3
5.(娄底中考)用数形结合等思想方法确定二次函数y=x2+2的图象与反比例函数y=的图象的交点的横坐标x0所在的范围是 ( )
A.06.如果抛物线y=ax2-1的顶点是它的最低点,那么a的取值范围为 .
7.抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x2向 平移 个单位得到的.
8.(新疆喀什模拟)已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图象是y=3x2-1,求m,n的值.
9.(内蒙古兴安盟质检)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点.
(1)求k,a,c的值.
(2)过点A(0,m)(0能力提升
1.(乌鲁木齐质检)在同一坐标系中,一次函数y=mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是 ( )
2.(甘肃金昌期中)对于二次函数y=-2x2+5,当-2.
3. (兰州模拟)如图,已知二次函数y=ax2+1(a≠0,a为实数)的图象过点A(-2,2),一次函数y=kx+b(k≠0,k,b为实数)的图象l经过点B(0,2).
(1)求a值并写出二次函数表达式.
(2)求b值.
(3)设直线l与二次函数图象交于M,N两点,过M作MC垂直x轴于点C,试证明:MB=MC.
PAGE2 二次函数的图象与性质
第2课时
教材认知
函数 y=ax2+c(a≠0)
对称轴 y轴
开口方向 a>0时,开口向上;a<0时,开口向下
顶点坐标 (0,c)
增减性 a>0时,在对称轴的左侧(即x < 0时)y随x的增大而 减小 , 在对称轴的右侧(即x > 0时)y随x的增大而 增大 . a<0时,在对称轴的左侧(即x < 0时)y随x的增大而 增大 , 在对称轴的右侧(即x > 0时)y随x的增大而 减小 .
最值 a>0时,函数有最 小 值,是 c ;a<0时,函数有最 大 值,是 c ;
平移规律 函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 上或向下 平移 |c| 个单位得到.
微点拨
1.二次函数y=ax2+c的顶点坐标在y轴上,当c>0时,抛物线交于y轴的上方;当c<0时,抛物线交于y轴的下方;当c=0时,抛物线经过原点.
2.a的值决定了抛物线的开口方向和大小,|a|越大,开口越小.
基础必会
1.(甘肃定西期末)抛物线y=x2-9的顶点坐标是 (A)
A.(0,-9) B.(-3,0) C.(-9,0) D.(3,0)
2.(西宁模拟)抛物线y=x2+1的对称轴是 (C)
A.直线x=1 B.直线x=-1 C.y轴 D.直线x=-2
3.抛物线y=2x2-4的顶点在 (B)
A.x轴上 B.y轴上 C.第三象限 D.第四象限
4.(宁夏固原质检)点P1(-2,y1),P2 (2,y2 ),P3 (5,y3 )均在函数y=ax2+1(a<0)的图象上,则y1,y2,y3 的大小关系是 (D)
A.y3>y2>y1 B.y3>y1>y2 C.y3>y1=y2 D.y1=y2>y3
5.(娄底中考)用数形结合等思想方法确定二次函数y=x2+2的图象与反比例函数y=的图象的交点的横坐标x0所在的范围是 (D)
A.06.如果抛物线y=ax2-1的顶点是它的最低点,那么a的取值范围为 a>0 .
7.抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x2向 下 平移 3 个单位得到的.
8.(新疆喀什模拟)已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图象是y=3x2-1,求m,n的值.
【解析】∵抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图象是y=3x2-1,
∴m=3,n-2=-1,解得m=3,n=1.
9.(内蒙古兴安盟质检)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点.
(1)求k,a,c的值.
(2)过点A(0,m)(0【解析】(1)由题意得,k+4=2,解得k=-2,
∴一次函数为y=-2x+4,
又∵二次函数图象的顶点为(0,c),且该顶点是另一个交点,代入y=-2x+4得:c=4,
把(1,2)代入二次函数解析式得a+c=2,解得a=-2.
(2)由(1)得二次函数解析式为y=-2x2+4,令y=m,得2x2+m-4=0
∴x=±,设B,C两点的坐标分别为(x1,m)(x2,m),则BC=|x1-x2|=2,
∴W=OA2+BC2=m2+4×=m2-2m+8=(m-1)2+7,
∴当m=1时,W取得最小值7.
能力提升
1.(乌鲁木齐质检)在同一坐标系中,一次函数y=mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是 (C)
2.(甘肃金昌期中)对于二次函数y=-2x2+5,当-2 -33. (兰州模拟)如图,已知二次函数y=ax2+1(a≠0,a为实数)的图象过点A(-2,2),一次函数y=kx+b(k≠0,k,b为实数)的图象l经过点B(0,2).
(1)求a值并写出二次函数表达式.
(2)求b值.
(3)设直线l与二次函数图象交于M,N两点,过M作MC垂直x轴于点C,试证明:MB=MC.
【解析】(1)由题意得,2=a×(-2)2+1,a=,∴y=x2+1.
(2)由题意得,2=k×0+b,b=2.
(3)过点M作ME⊥y轴于点E,设M,则MC=x2+1,
∴ME=|x|,EB==.
∵MB==
=
==x2+1,
∴MB=MC.
PAGE2 二次函数的图象与性质
第3课时
教材认知
函数 y=a(x-h)2(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0)
开口方向 a>0时,开口向上;a<0时,开口向下
顶点坐标 (h,0) (h,k)
对称轴 x=h x=h
增减性 a>0时,在对称轴的左侧(即x h 时)y随x的增大而 增大 . a<0时,在对称轴的左侧(即x h 时)y随x的增大而 减小
最值 a>0时,函数有最 小 值,是 0 ; a<0时,函数有最 大 值,是 0 a>0时,函数有最 小 值,是 k ; a<0时,函数有最 大 值,是 k
平移规律 函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向 右 平移 h 个单位得到; 函数y=a(x-h)2+k的图象可由y=ax2的图象向 右 平移 h 个单位,向 上 平移 k 个单位得到
微点拨
利用运动的观点认识y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系,掌握函数图象的对应性质.
基础必会
1.(绍兴中考)关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是
(D)
A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最大值6 D.有最小值6
2.(青海果洛模拟)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是 (D)
3.(内蒙古呼伦贝尔期末)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是 (D)
A.开口向下 B.当x=-1时,y有最大值是2
C.对称轴是直线x=-1 D.顶点坐标是(1,2)
4.(宁夏中卫期末)若将抛物线y=x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位,则所得新的抛物线解析式是 (D)
A.y=(x+3)2+2 B.y=(x-3)2+2 C.y=(x-2)2+3 D.y=(x+3)2-2
5.(内蒙古赤峰期末)已知A(,y1),B(2,y2),C(-,y3)是二次函数y=3(x-1)2+k图象上三点,则y1,y2,y3的大小关系为 (C)
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y2>y1 D.y2>y3>y1
6.(新疆伊犁模拟)二次函数y=-(x-1)2+的图象与y轴的交点坐标是
(0,-) .
7.(宁夏固原质检)抛物线的顶点坐标为P(2,3),且开口向下,若函数值y随自变量x的增大而减小,那么x的取值范围为 x>2 .
8.(广东中考)把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为 y=2x2+4x .
9.(兰州中考)点A(-4,3),B(0,k)在二次函数y=-(x+2)2+h的图象上,则k= 3 .
能力提升
1.(内蒙古巴彦淖尔质检)在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是 (C)
A.y的最小值为1
B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2
C.当x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小
D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到
2.(兰州模拟)在同一坐标平面内,下列4个函数①y=2(x+1)2-1,②y=2x2+3,③y=-2x2-1,④y=x2-1的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是 ④ (填序号).
3.如图,抛物线的顶点M在x轴上,抛物线与y轴交于点N,且OM=ON=4,矩形ABCD的顶点A,B在抛物线上,C,D在x轴上.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设点A的横坐标为t(t>4),矩形ABCD的周长为l,求l与t之间的函数表达式.【解析】(1)∵OM=ON=4,
∴M点坐标为(4,0),N点坐标为(0,4),
设抛物线表达式为y=a(x-4)2,
把N(0,4)代入得16a=4,解得a=,
所以抛物线的表达式为y=(x-4)2.
(2)∵点A的横坐标为t,∴DM=t-4,∴CD=2DM=2(t-4)=2t-8,把x=t代入y=(x-4)2得y=t2-2t+4,∴AD=t2-2t+4,∴l=2(AD+CD)
=2=t2-8(t>4).
4. (内蒙古呼伦贝尔模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=-(x-m)2+4图象的顶点为A,与y轴交于点B,异于顶点A的点C(1,n)在该函数图象上.
(1)当m=5时,求n的值;
(2)当n=2时,若点A在第一象限内,结合图象,求当y≥2时,自变量x的取值范围;
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方,且在线段OD上时,求m的取值范围.
【解析】当x=0时,y=-(x-1)2+=-×(0-1)2+=-.
∴二次函数y=-(x-1)2+的图象与y轴的交点坐标是(0,-).
答案:(0,-)
PAGE2 二次函数的图象与性质
第4课时
教材认知
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
1.对称轴是直线x= ,顶点坐标为(-, ).
2.当a>0时,x= 时,函数y有最 值,其值为 ;当a<0时,x= 时,函数y有最 值,其值为 ;
微点拨
二次函数y=ax2+bx+c转化成y=a(x-h)2+k的形式后,再判断抛物线平移的方向和距离.
基础必会
1.(甘肃平凉期末)已知点A(-1,m),B(-2,n)都在二次函数y=x2-2x+3的图象上,则m,n的大小关系是 ( )
A.mn D.不能确定
2.(西宁模拟)老师设计了接力游戏,用合作的方式完成“求抛物线y=2x2+4x-4的顶点坐标”,规则如下:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成解答.过程如图所示:
接力中,自己负责的一步出现错误的是 ( )
A.只有丁 B.乙和丁 C.乙和丙 D.甲和丁
3.(甘肃酒泉期末)抛物线y=-x2+3x-4与y轴的交点坐标是 ( )
A.(4,0) B.(-4,0) C.(0,-4) D.(0,4)
4.(泰安中考)将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过 ( )
A.(-2,2) B.(-1,1) C.(0,6) D.(1,-3)
5.(乌鲁木齐模拟)直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx在同一平面直角坐标系中的图象大致为 ( )
6.(包头中考)已知二次函数y=ax2-bx+c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1,-b),则一次函数y=bx-ac的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7. (甘肃白银模拟)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现给出以下结论:①abc>0;②b+2a=0;③9a-3b+c=0;④a-b+c≤am2+bm+c(m为实数).其中结论正确的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
8.(宁夏吴忠质检)抛物线y=-x2+mx-3m的对称轴是直线x=1,那么m= .
9.如果二次函数y=(a-1)x2+2x的图象在它的对称轴右侧部分是上升的,那么a的取值范围是 .
10.(甘肃酒泉模拟)抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点(-2,0)和点(0,-6),且顶点在第四象限,则a的取值范围是 .
11.(甘肃定西期末)已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).
(1)求a的值和图象的顶点坐标.
(2)点Q(m,n)在该二次函数的图象上,当m=2时,求n的值.
能力提升
1.(呼和浩特中考)已知二次项系数等于1的一个二次函数,其图象与x轴交于两点(m,0),(n,0),且过A(0,b),B(3,a)两点(b,a是实数),若0( )
A.02.(新疆中考)已知抛物线y=ax2-2ax+3(a≠0).
(1)求抛物线的对称轴.
(2)把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位,若抛物线的顶点落在x轴上,求a的值.
(3)设点P(a,y1),Q(2,y2)在抛物线上,若y1>y2,求a的取值范围.
3.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D,连接AD.
(1)求点A,B,C的坐标.
(2)若点P是直线AD上方抛物线上一点,求△PAD面积的最大值.
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