福建省泉州市四校2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题（Word版含答案）

泉州市四校2021-2022学年高二下学期期中联考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．记的前n项和为，若，且，则当取最小值时（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．某市近几年大力改善城市环境，全面实现创建生态园林城市计划，现省专家组评审该市是否达到“生态园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家至少一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有（ ）
A．70种 B．55种 C．40种 D．25种
3．已知函数与的值域相同，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
5．正方体六个面上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，用5种不同的颜色给此正方体的六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（ ）
A．420种 B．600种 C．720种 D．780种
6．已知函数为减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有（ ）
A．25种 B．30种 C．40种 D．50种
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9．函数在处取得极大值，则a的值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．3 D．4
10．在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（ ）
A．当时，的最小值为3
B．当时，的最小值为4
C．当时，的最大值为1
D．当轴时，为定值
11．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项 D．展开式中含的项的系数为35
12．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．当时，
C．在存在2022个极小值点
D．的所有极大值点从大到小排列构成数列，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为________．
14．已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于________．
15．已知点A，B，C，D在半径为5的球O的球面上，M在上，且，，则四面体的体积最大值为________．
16．记自然数n的所有因数中的最大奇数为，例如：9的因数有1，3，9，从而；10的因数有1，2，5，10，从而，则________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知，且．
（1）求n；
（2）求的展开式中x的系数．
18．（12分）
已知函数．
（1）判断的单调性，并画出其大致图象；
（2）若函数有三个零点，求m的取值范围．
19．（12分）
已知数列中，．
（1）证明：为等比数列，并求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
20．（12分）
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，M，N分别为，的中点，，，．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
21．（12分）
平面直角坐标系中，椭圆C与双曲线共焦点，点A，B是C上不关于长轴对称的两点，且的最大值为8．
（1）求C的方程；
（2）若A，B到点的距离相等，求m的取值范围．
22．（12分）
已知．
（1）当时，求的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
泉州市四校2021-2022学年高二下学期期中联考
数学科参考答案与评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题序 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D A D C D C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
题序 9 10 11 12
答案 AB BCD BC BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
解法一：（1）由题意，得，，
又，得，解得；····························································5分
（2）由（1），得，
其展开式中x的系数为．············································10分
解法二：（1）由题意，得，，
令得，，即
又，得，解得；····························································5分
（2）设，
令，则，
且，
令，得，且，
故展开式中x的系数为129．····························································10分
18．（12分）
解：（1），
令，得，
故当x变化时，，的变化情况如下：
x 0
－ 0 + 0 －
单调递减 1 单调递增 单调递减
其图象如图所示，
········································6分
（2）因为在单调递增，且，所以即，
令，得，
由图象，可得函数有三个零点，当且仅当，
故m的取值范围为．····························································12分
19．（12分）
解：（1）可化为·······①，
又，········②，
①-②，得，即，
又当时，，故；
从而，
所以是首项为1，公比为2的等比数列；····························································6分
（2）由（1），得，
所以．············································12分
20．（12分）
解：（1）底面是平行四边形，，，
又，，
由余弦定理可得，
，
，又，，
平面，又平面，
，又，
平面，
平面
．····························································6分
（2）连接，在中，，，，
由余弦定理可知，．即，
在中，，
取中点E，连接，则，，两两垂直，
以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
所以，，
又N为中点，所以，．
设平面的一个法向量，
则，即，令，则，
所以，
直线与平面所成角的正弦值为．
························································································································12分
21．（12分）
解法一：（1）由题意，可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为，则
由，解得，
故C的方程为．····························································4分
（2）设，，则，所以，
由，得，
整理，得，故（舍去）或，
所以，
又，所以，
故m的取值范围为．····························································12分
解法二：（1）同解法一；····························································4分
（2）设的方程为，，，的中点，则
由消去y，得，整理，得，
所以，，，
因为A，B到点的距离相等，
所以在直线的中垂线方程为上，
故，整理，得，
即，即，
又，故m的取值范围为．····························································12分
22．（12分）
解：（1）当时，，其定义域为，
，
令，则，
又，
故在单调递增，
所以当时，；当时，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为．······················································5分
（2）因为，其定义域为，
①若，则，故符合题意；
②若，则，所以，
令，得，
令，得，
当x变化时，，的变化情况如下表
x e
＋ 0 －
单调递增 单调递减
如图，作出其函数图象
由图可知，解得，
③若，则
令，则，
所以在单调递增，
故当时，；当时，，
所以即，
令，则，
令，得，
当x变化时，，变化情况如下表，
x
－ 0 ＋
单调递减 单调递增
又，且，
作出其函数图象，如图
由图可知的解为即，
综上可得或．····························································12分