第17章 一元二次方程 复习（2）根的判别式和根与系数的关系 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
沪科版 八年级下册
第17章 一元二次方程 复习(2)
根的判别式和根与系数的关系
1.一元二次方程的根的判别式：
Δ=b2－4ac
(2)当b2－4ac =0时，
(1)当b2－4ac＞0时，
方程有两个不相等的实数根.
－b
x1=
2a
＋
4ac ，
b2
－
x2=
2a
－b
－
4ac .
b2
－
方程有两个相等的实数根.
x1 = x2 .
b
2a
=－
(3)当b2－4ac＜0时，
方程没有实数根.
当　　　时， 方程没有实数根；
当　　　时， 方程有两个相等的实数根；
当　　　时， 方程有两个不相等的实数根；
Δ＞0
式子b2－4ac
Δ= 0
Δ＜0
叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0
根的判别式，
用希腊字母Δ表示.
即Δ=
b2－4ac.
当　　　时， 方程有两个实数根.
Δ≥0
一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 (a≠0)的两个根
x1，
x2
和系数 a，b，c 有如下关系：
x1
＋
x2
－
b
a
= ，
x2
x1
= .
c
a
2.一元二次方程的根与系数：
一元二次方程的根与系数的关系应用
1.用根与系数的关系可以由已知一元二次
方程的一个根求出另一个根及未知系数；
2. 与一元二次方程的根相关的计算；
3.不解方程，判断两根的性质；
4.解决有关综合问题等.
例1.若关于x的方程 4x2＋mx＋1＝0有两个相等的实数根，求m的值.
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ
=0.
∵Δ=
=m2－16
m2
∴m =
－4×4×1
∴m2－16=0，
±
4
(一)一元二次方程根的判别式典型例析：
例2.若关于x的方程x2－3x－m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
解：∵方程x2－3x－m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ
＞0.
∵Δ=
－4×1×( )
=9＋4m
(－3)2
∴m＞
－m
∴9＋4m＞0，
－
9
4
例3.试判断关于x的方程x2－mx－3=0的根的情况.
解： ∵ a=1，b=－m ，c=－3；
∴Δ=b2－4ac
－4×1×( )
=m2
=(－m)2
∴m2＋12＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
－3
＋12
∵对于任何实数m都有m2≥0，
∴Δ＞0，
解：整理，得
∵Δ=(－2a)2－4(b＋c)(c－b)
∴4(a2－c2＋b2) =0,
∴a2＋b2=c2.
∴ △ABC是直角三角形.
例4.已知a，b，c是 ABC的三条边长，若关于x方程b(x2－1)－2ax＋c(x2＋1)=0有两个相等的实数根.试判断三角形的形状，并说明理由.
(b＋c)x2－2ax＋(c－b)=0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
=4a2－4(c2－b2)
=4(a2－c2＋b2)
∴a2－c2＋b2=0.
1.一元二次方程2x2－5x－4=0根的情况是(　 )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断该方程根的情况
A
(二)一元二次方程根的判别式的练习：
2.下列一元二次方程有两个相等实数根的是(　 )
A．x2－4=0 B．x2＋2x=0
C．x2－2x＋1=0 D．(x＋3)(x－1)=0
C
3. 关于x的一元二次方程(a＋1) x2－4x－1=0
有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A. a＞－5 B. a＞－5且a≠－1
C. a＜－5 D. a≥－5且a≠－1
B
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0
∵Δ=
=20＋4a
(－4)2
∴a＞
∴20＋4a＞0，
－4×(a＋1)×(－1)
－5
∵a＋1≠0，
∴ a≠－1
(三)一元二次方程根与系数关系典型例析：
例．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1=0有两个不等实根a，b.
.
(1)求实数k的取值范围．
(2)若方程两实根a，b满足｜a｜+｜b｜
=ab，求k的值．
(三)一元二次方程根与系数关系典型例析：
例．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1=0
有两个不等实根a，b.
.
(1)求实数k的取值范围．
解:(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0.
∵Δ=
(2k＋1)2
∴k＞
∴4k － 3＞0，
－4×1× (k2＋1)
=4k2＋4k＋1
－4k2－4
=4k－3
3
4
例．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1=0有两个不等实根a，b.
.
(2)若方程两实根a，b满足｜a｜＋｜b｜
=ab，求k的值．
∵ k＞
3
4
(2)
∴ a＋b=－(2k＋1)＜0
∵ab= k2＋1＞0，
∴ a＜0，b＜0.
∴｜a｜＋｜b｜
=－a－b
=－(a＋b)
=2k＋1
∵ ｜a｜＋｜b｜ =ab，
∴2k＋1=k2＋1.
∴k=2，k=0(不合题意，舍去)，
∴k=2.
1．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．8
C
2＋a
=6
(四)一元二次方程根与系数关系的练习：
解：设方程的另一根为a，
根据根与系数关系，得
∴ a=4
2．已知一元二次方程x2－6x－5=0的两根分别为a，b，则 ＋ 的值是 .
1
a
1
b
－
6
5
ab=－5
∴ a＋b=6，
解：
∵ a，b是x2－6x－5=0的两个不相等的实数根，
∴ ＋
1
a
1
b
=
b
ab
＋
a
=
6
－5
=
－
6
5
3．设a，b是x2＋x－206=0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b= .
205
∴ a2＋2a＋b
=a2＋a
＋a＋b
∴ a2＋a－206=0
∴ a2＋a=206
∴ a＋b=－1
∵a是x2＋x－206=0的实数根，
∵ a，b是x2＋x－206=0的两个不相等的实数根，
= 206－1=205
解：
4.若a，b是方程x2－2x－2022=0的两个实数根，
求式子(a＋1)(b＋1)的值：
解： ∵ a，b是方程两个实数根,
ab =－2022，
∴a＋b =2，
∴(a＋1)(b＋1)
=
ab
＋
a
＋
b
＋
1
=
－2022
＋
2
＋1
=
－2019
今天作业
课本P48页第5、6题
谢谢
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