第七章 7.1.1数系的扩充和复数的概念 学案

7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
学习目标　1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.
知识点一　复数的有关概念
1.复数
(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
2.复数集
(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.
(2)表示：通常用大写字母C表示.
知识点二　复数的分类
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
知识点三　复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d，a＋bi＝0 a＝b＝0.
1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.(　×　)
2.复数i的实部不存在，虚部为0.(　×　)
3.bi是纯虚数.(　×　)
4.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.(　√　)
一、复数的概念
例1　下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是(　　)
A.① B.② C.③ D.④
答案　D
解析　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数.对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.
反思感悟　复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.
跟踪训练1　(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法不正确的是(　　)
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C.若b＝0，则a＋bi为实数
D.i的平方等于1
答案　ABD
解析　对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；
对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；
对于D，i的平方为－1.所以ABD均错误.
二、复数的分类
例2　当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.
(1)是虚数；
(2)是纯虚数.
解　(1)当
即m≠5且m≠－3时，z是虚数.
(2)当
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.
延伸探究
1.本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？
解　当即m＝5时，z是实数.
2.已知z＝log2(1＋m)＋i(3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围.
解　∵z是虚数，
∴(3－m)≠0，且1＋m>0，
即∴－1∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3).
反思感悟　解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
①z为实数 b＝0.
②z为虚数 b≠0.
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
跟踪训练2　若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A.1 B.2 C.1或2 D.－1
答案　B
解析　根据复数的分类知，需满足
解得
即a＝2.
三、复数相等的充要条件
例3　若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值.
解　由复数相等的充要条件，得
解得
延伸探究
若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.
解　设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
所以解得a＝11或a＝－.
反思感悟　复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.
跟踪训练3　复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.
答案　5
解析　因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
由复数相等的充要条件得
解得m＝5.
1.在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　i，(1－)i是纯虚数，2＋，0.618是实数，8＋5i是虚数.
2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)
A.，1 B.，5
C.±，5 D.±，1
答案　C
解析　令得a＝±，b＝5.
3.(多选)若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值可以为(　　)
A.－1 B.2
C.1 D.－2
答案　AB
解析　因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
4.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________________.
答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析　由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，
解得a>3或a<－1，
因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
5.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x＝________，y＝________.
答案　1　1
解析　∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴
解得或
1.知识清单：
(1)数系的扩充.
(2)复数的概念.
(3)复数的分类.
(4)复数相等的充要条件.
2.方法归纳：方程思想.
3.常见误区：未化成z＝a＋bi的形式.
1.设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋bi是纯虚数”不一定成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R.
而当“复数a＋bi是纯虚数”时，“a＝0”一定成立.
所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件.
2.给出下列三个命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1的虚部是2i；
③2i的实部是0.
其中正确命题的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　B
解析　①错误，例如z＝i，则z2＝－1；
②错误，因为2i－1虚部是2；
③正确，因为2i＝0＋2i.
3.在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是纯虚数，则(　　)
A.a＝0或a＝2 B.a＝0
C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2
答案　B
解析　因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，
所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.
4.若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 019i＝2－bi，则a2＋bi等于(　　)
A.2 019＋2i B.2 019＋4i
C.2＋2 019i D.4－2 019i
答案　D
解析　因为a＋2 019i＝2－bi，
所以a＝2，－b＝2 019，即a＝2，b＝－2 019，
所以a2＋bi＝4－2 019i.
5.(多选)下列命题中错误的有(　　)
A.若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1
B.纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集
C.若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3
D.若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应
答案　ABCD
解析　取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错；BC错；对于D，a＝0时，ai＝0，D错.
6.设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
答案　－2
解析　由得m＝－2.
7.如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________.
答案　　1
解析　由复数相等可知
所以
8.如果(m2－1)＋(m2－2m)i>1则实数m的值为________.
答案　2
解析　由题意得解得m＝2.
9.实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
解　由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，
由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.
(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，
∴m＝5或－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，
∴m≠5且m≠－3.
(3)当时，复数z是纯虚数，
∴m＝－2.
(4)当时，复数z是0，
∴m＝－3.
10.分别求满足下列条件的实数x，y的值.
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)＋(x2－2x－3)i＝0.
解　(1)∵x，y∈R，
∴由复数相等的定义，得
解得
(2)∵x∈R，
∴由复数相等的定义，得
即
∴x＝3.
11.若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)
A.2kπ－(k∈Z) B.2kπ＋(k∈Z)
C.2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)
答案　B
解析　由题意，得
解得k∈Z，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
12.已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)
A.3＋i B.3－i
C.－3－i D.－3＋i
答案　B
解析　由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，
即解得∴z＝3－i.
13.已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i.则m＝1是z1＝z2的______________条件.
答案　充分不必要
解析　当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3且m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件.
14.使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________.
答案　{3}
解析　由已知，得解得m＝3，
所以所求的实数m的取值集合是{3}.
15.若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为(　　)
A.7 B.－
C.－7 D.－7或－
答案　C
解析　∵复数z＝＋i是纯虚数，
∴cos θ－＝0，sin θ－≠0，
∴sin θ＝－，∴tan θ＝－，
则tan＝＝＝－7.
16.已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R).
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
解　(1)∵z1为纯虚数，
则解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3
＝(sin θ－1)2＋2.
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2,6].