人教新课标A版 选修2-3 1.3二项式定理
一、单选题
1．（2020·深圳模拟） 的展开式中 的系数是（ ）.
A．-210 B．-120 C．120 D．210
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项式定理求出 的展开式的通项公式为 所以对应的项的r=7,所以系数 的系数是 ，所以 的系数是-120。
故答案为：B
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，从而求出 的展开式中 的系数。
2．（2020高二下·通州期末） 展开式中的第2项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 展开式中的第2项是 .
故答案为：C.
【分析】直接利用二项展开式的通项公式计算后，即可做出判定.
3．（2020·北京）在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A．-5 B．5 C．-10 D．10
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故答案为：C.
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可.
4．（2020高二下·宾县期末）设 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．-1
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由 ，
令 得： ，①
令 得： ，②
联立①②得：
，
，
即 ，
故答案为：B.
【分析】由赋值法求二项式展开式系数可得 ， ，代入运算即可得解.
5．（2020·新课标Ⅰ·理） 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为10，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故答案为：C
【分析】求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对r分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
6．（2020高二下·大庆期末）二项式 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】通项为
令 ，则 ，
故答案为：A
【分析】根据二项式展开的通项，求解即可.
7．（2020高二下·天津期末）已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意知： ，解得 ，
故答案为：D.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 x2的系数，再利用 (1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，从而求出a的值。
8．（2020高二下·天津期末）二项式 的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ）
A．-160 B．-80 C．80 D．160
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，
即
解得： ，
二项式 的展开式中，通项 ，
当r=3时，取得常数项， .
故答案为：A
【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n，结合通项即可得到常数项.
9．（2020高二下·天津期末）若 的展开式中常数项为第9项，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式为：
，
展开式中的常数项是第9项，
即当 时 ，
故答案为：D
【分析】先求出 展开式的通项公式，结合题意可得当 时，x的幂指数等于零，由此求得n的值.
10．（2020高二下·海林期末）设 ，那么 的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为 ，
令 得 ，
令 得 ，
所以
故答案为：C
【分析】令 和 得到 ， ，再整体代入可得；
11．（2020高二下·广州期末）在 展开式中，二项式系数的最大值为m，含 的系数为n，则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为 ，所以二项展开式中共有7项，所以第四项的二项式系数最大，
所以 ，
根据二项展开式的通项公式可得 ，
所以 .
故答案为：A.
【分析】根据二项式系数的性质可求得m，根据通项公式可求得n.
12．（2020·德州模拟） 的展开式的各项系数和为-32，则该展开式中含 项的系数是（ ）
A．-15 B．-5 C．5 D．15
【答案】B
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】 的展开式的各项系数和为-32
令 ，可得
故：
解得：
故：
设 展开通项公式为：
设 展开通项公式为：
则 展开通项公式为展开式中含
即 中 的幂是
故 ，可得
又 且
可得 或
当 ，由
当 ，由
该展开式中含 项的系数为
故答案为：B.
【分析】因为 的展开式的各项系数和为 ，令 ，可得 ，解得 ，结合二项式展开通项公式，即可求得答案.
二、多选题
13．（2020高二下·东台期中）关于 的说法，正确的是（ ）
A．展开式中的二项式系数之和为2048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】对于A：由二项式系数的性质知， 的二项式系数之和为 ，A符合题意；
因为 的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，C符合题意，B不符合题意；
因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】根据二项式系数的性质即可判断A；
由 为奇数可知，展开式中二项式系数最大项为中间两项，据此即可判断BC；
由展开式中第6项的系数为负数，且其绝对值最大即可判断D.
14．（2020·泰安模拟）若 （ ），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ， ，
，
当 时， ，
所以 .
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法解决，
对于A：通过给x赋值 即可作出判断；
对于B和C：通过给 赋值 和 ，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；
对于D： ，通过给 赋值 得到结果即可作出判断.
三、填空题
15．（2020·天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ．
所以 的系数为 ．
故答案为：10．
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为2，即可求出．
16．（2020高二下·宾县期末） 的展开式中 的系数为 ．
【答案】－40
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】二项式展开式的通项公式为： ,
令 ，可得： 的系数为： ，
故答案为-40。
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的展开式中 的系数。
17．（2020·浙江）设 （1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ ；a1+a2+a3＝ ．
【答案】80；130
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ ＝80．
a1+a2+a3＝ ＝130．
故答案为：80；130．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．
18．（2020·绍兴模拟）已知 ，则 ， .
【答案】0；665
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为 ，
令 可得： .
所以： ；
；
；
；
……
；
；
故 .
故答案为：0，665.
【分析】根据其特点可知 为 的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令 即可求解．
四、解答题
19．（2020高二下·徐汇期末）已知 的二项展开式中二项式系数之和为256.
（1）求n的值；
（2）求该展开式中 项的系数.
【答案】（1）解： ，解得 ；
（2）解： ，令
可得 时， ，
即 项的系数为 ．
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，由二项式定理可得 ，解可得 ，（2）先求得展开式的通项，可得 ，将r的值代入通项计算可得答案.
20．（2020高二下·重庆期末）设
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解： 的展开式的通项为
所以
（2）解：当 时， ，
当 时， ，得 ，
所以
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）写出 的展开式的通项即可得到答案；（2）令 ，求出 的值，然后再令 ，求出 的值，从而可求出 的值.
21．（2020高二下·湖州期末）二项式 的展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大.
（1）求所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的有理项.
【答案】（1）解：由题意，二项展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大，可得 ，
因此所有二项式系数的和 .
（2）解：二项展开式的通项为：
由有理项的定义，可得 ，所以 或 ，
因此所求有理项为 ， .
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由二项展开式的性质求得 的值，结合二项式系数的性质，即可求得二项式系数的和；（2）取得二项展开式的通项为： ，根据有理项的定义，求得 或 ，代入即可求解.
22．（2020高二下·上海期末）已知 的展开式的系数和比 的展开式的二项式系数和大992，求 的展开式中：
（1）二项式中的常数项；
（2）系数小于1025的项．
【答案】（1）解： 的展开式的系数和为 ， 的展开式的二项式系数和为 ，
由题意可得 ，可得 或 （舍），所以， .
展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，因此，展开式中的常数项为 ；
（2）解： 展开式的各项分别为： ， ， ， ， ， ， ， ， 。 ， .
因此，系数小于1025的项为 ， ， ， ， .
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得出关于n的等式，即可解出正整数 的值，进而写出 的展开式的通项，令x的指数为零，求出参数的值，代入通项公式即可得出展开式中的常数项；（2）利用二项展开式通项写出展开式中的每一项，进而可得出结果.
23．（2020高二下·武汉月考）已知二项式 ．
（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；
（2）若 ，求二项式的值被7除的余数．
【答案】（1）解： 二项式 的二项式系数之和为512， ， ．
由 ，解得： ，
展开式中系数最大的项为第8项，为 ．
（2）解：若 ， ，
问题转化为 被7除的余数，
，即余数为2．
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质求得 的值，再根据通项公式可得展开式中第 项的系数，从而求得展开式中系数最大的项．（2）二项式即 ，按照二项式定理展开，问题化为 被7除的余数．再根据 ，按照二项式定理展开，可得它被7除的余数．
24．（2020高二下·上海期末）对任意 ，定义 ，其中 ， 为正整数.
（1）求 ， 的值；
（2）求证： ；
（3）设 是否存在实数 ，使得 对任意 恒成立？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： ，
所以 ，所以 ，
，
所以 ， ；
（2）解： ，
所以 ，
，
所以
，
所以 ；
（3）解：由（2）知， ，设 ，
则 ，
可以发现 会随着n的增大而增大，
所以 会随着n的增大而减小，并且会越来越接近与1，
所以 会无限趋近与 ，且比 要大；
当 时，
则 ，
同理可以确定 会随着会随着n的增大而增大，会无限趋近与 ，
从而可以得出满足 的 的值为 .
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）分别令 和 ，将 和 展开，求得 的值，进而求得结果；（2）分别列出 和 的值，列出关系，得到 ，从而证得结果；（3）假设存在实数 ，满足条件，根据题意找关系，确定出 的极限，求得结果.
1 / 1人教新课标A版 选修2-3 1.3二项式定理
一、单选题
1．（2020·深圳模拟） 的展开式中 的系数是（ ）.
A．-210 B．-120 C．120 D．210
2．（2020高二下·通州期末） 展开式中的第2项是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·北京）在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A．-5 B．5 C．-10 D．10
4．（2020高二下·宾县期末）设 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．-1
5．（2020·新课标Ⅰ·理） 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．（2020高二下·大庆期末）二项式 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高二下·天津期末）已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
8．（2020高二下·天津期末）二项式 的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ）
A．-160 B．-80 C．80 D．160
9．（2020高二下·天津期末）若 的展开式中常数项为第9项，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2020高二下·海林期末）设 ，那么 的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．
11．（2020高二下·广州期末）在 展开式中，二项式系数的最大值为m，含 的系数为n，则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
12．（2020·德州模拟） 的展开式的各项系数和为-32，则该展开式中含 项的系数是（ ）
A．-15 B．-5 C．5 D．15
二、多选题
13．（2020高二下·东台期中）关于 的说法，正确的是（ ）
A．展开式中的二项式系数之和为2048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
14．（2020·泰安模拟）若 （ ），则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
15．（2020·天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
16．（2020高二下·宾县期末） 的展开式中 的系数为 ．
17．（2020·浙江）设 （1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ ；a1+a2+a3＝ ．
18．（2020·绍兴模拟）已知 ，则 ， .
四、解答题
19．（2020高二下·徐汇期末）已知 的二项展开式中二项式系数之和为256.
（1）求n的值；
（2）求该展开式中 项的系数.
20．（2020高二下·重庆期末）设
（1）求 的值；
（2）求 的值.
21．（2020高二下·湖州期末）二项式 的展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大.
（1）求所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的有理项.
22．（2020高二下·上海期末）已知 的展开式的系数和比 的展开式的二项式系数和大992，求 的展开式中：
（1）二项式中的常数项；
（2）系数小于1025的项．
23．（2020高二下·武汉月考）已知二项式 ．
（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；
（2）若 ，求二项式的值被7除的余数．
24．（2020高二下·上海期末）对任意 ，定义 ，其中 ， 为正整数.
（1）求 ， 的值；
（2）求证： ；
（3）设 是否存在实数 ，使得 对任意 恒成立？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项式定理求出 的展开式的通项公式为 所以对应的项的r=7,所以系数 的系数是 ，所以 的系数是-120。
故答案为：B
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，从而求出 的展开式中 的系数。
2．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 展开式中的第2项是 .
故答案为：C.
【分析】直接利用二项展开式的通项公式计算后，即可做出判定.
3．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故答案为：C.
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可.
4．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由 ，
令 得： ，①
令 得： ，②
联立①②得：
，
，
即 ，
故答案为：B.
【分析】由赋值法求二项式展开式系数可得 ， ，代入运算即可得解.
5．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为10，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故答案为：C
【分析】求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对r分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
6．【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】通项为
令 ，则 ，
故答案为：A
【分析】根据二项式展开的通项，求解即可.
7．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意知： ，解得 ，
故答案为：D.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 x2的系数，再利用 (1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，从而求出a的值。
8．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，
即
解得： ，
二项式 的展开式中，通项 ，
当r=3时，取得常数项， .
故答案为：A
【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n，结合通项即可得到常数项.
9．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式为：
，
展开式中的常数项是第9项，
即当 时 ，
故答案为：D
【分析】先求出 展开式的通项公式，结合题意可得当 时，x的幂指数等于零，由此求得n的值.
10．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为 ，
令 得 ，
令 得 ，
所以
故答案为：C
【分析】令 和 得到 ， ，再整体代入可得；
11．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为 ，所以二项展开式中共有7项，所以第四项的二项式系数最大，
所以 ，
根据二项展开式的通项公式可得 ，
所以 .
故答案为：A.
【分析】根据二项式系数的性质可求得m，根据通项公式可求得n.
12．【答案】B
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】 的展开式的各项系数和为-32
令 ，可得
故：
解得：
故：
设 展开通项公式为：
设 展开通项公式为：
则 展开通项公式为展开式中含
即 中 的幂是
故 ，可得
又 且
可得 或
当 ，由
当 ，由
该展开式中含 项的系数为
故答案为：B.
【分析】因为 的展开式的各项系数和为 ，令 ，可得 ，解得 ，结合二项式展开通项公式，即可求得答案.
13．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】对于A：由二项式系数的性质知， 的二项式系数之和为 ，A符合题意；
因为 的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，C符合题意，B不符合题意；
因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】根据二项式系数的性质即可判断A；
由 为奇数可知，展开式中二项式系数最大项为中间两项，据此即可判断BC；
由展开式中第6项的系数为负数，且其绝对值最大即可判断D.
14．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ， ，
，
当 时， ，
所以 .
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法解决，
对于A：通过给x赋值 即可作出判断；
对于B和C：通过给 赋值 和 ，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；
对于D： ，通过给 赋值 得到结果即可作出判断.
15．【答案】10
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ．
所以 的系数为 ．
故答案为：10．
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为2，即可求出．
16．【答案】－40
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】二项式展开式的通项公式为： ,
令 ，可得： 的系数为： ，
故答案为-40。
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的展开式中 的系数。
17．【答案】80；130
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ ＝80．
a1+a2+a3＝ ＝130．
故答案为：80；130．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．
18．【答案】0；665
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为 ，
令 可得： .
所以： ；
；
；
；
……
；
；
故 .
故答案为：0，665.
【分析】根据其特点可知 为 的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令 即可求解．
19．【答案】（1）解： ，解得 ；
（2）解： ，令
可得 时， ，
即 项的系数为 ．
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，由二项式定理可得 ，解可得 ，（2）先求得展开式的通项，可得 ，将r的值代入通项计算可得答案.
20．【答案】（1）解： 的展开式的通项为
所以
（2）解：当 时， ，
当 时， ，得 ，
所以
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）写出 的展开式的通项即可得到答案；（2）令 ，求出 的值，然后再令 ，求出 的值，从而可求出 的值.
21．【答案】（1）解：由题意，二项展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大，可得 ，
因此所有二项式系数的和 .
（2）解：二项展开式的通项为：
由有理项的定义，可得 ，所以 或 ，
因此所求有理项为 ， .
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由二项展开式的性质求得 的值，结合二项式系数的性质，即可求得二项式系数的和；（2）取得二项展开式的通项为： ，根据有理项的定义，求得 或 ，代入即可求解.
22．【答案】（1）解： 的展开式的系数和为 ， 的展开式的二项式系数和为 ，
由题意可得 ，可得 或 （舍），所以， .
展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，因此，展开式中的常数项为 ；
（2）解： 展开式的各项分别为： ， ， ， ， ， ， ， ， 。 ， .
因此，系数小于1025的项为 ， ， ， ， .
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得出关于n的等式，即可解出正整数 的值，进而写出 的展开式的通项，令x的指数为零，求出参数的值，代入通项公式即可得出展开式中的常数项；（2）利用二项展开式通项写出展开式中的每一项，进而可得出结果.
23．【答案】（1）解： 二项式 的二项式系数之和为512， ， ．
由 ，解得： ，
展开式中系数最大的项为第8项，为 ．
（2）解：若 ， ，
问题转化为 被7除的余数，
，即余数为2．
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质求得 的值，再根据通项公式可得展开式中第 项的系数，从而求得展开式中系数最大的项．（2）二项式即 ，按照二项式定理展开，问题化为 被7除的余数．再根据 ，按照二项式定理展开，可得它被7除的余数．
24．【答案】（1）解： ，
所以 ，所以 ，
，
所以 ， ；
（2）解： ，
所以 ，
，
所以
，
所以 ；
（3）解：由（2）知， ，设 ，
则 ，
可以发现 会随着n的增大而增大，
所以 会随着n的增大而减小，并且会越来越接近与1，
所以 会无限趋近与 ，且比 要大；
当 时，
则 ，
同理可以确定 会随着会随着n的增大而增大，会无限趋近与 ，
从而可以得出满足 的 的值为 .
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）分别令 和 ，将 和 展开，求得 的值，进而求得结果；（2）分别列出 和 的值，列出关系，得到 ，从而证得结果；（3）假设存在实数 ，满足条件，根据题意找关系，确定出 的极限，求得结果.
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