一次函数

《北师大版实验教科书八年级上册》
6.2 一次函数
一、教学目标
1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。
2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
二、能力目标
1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。
2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。
三、情感目标
1、通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。
2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。
四、教学重点
1、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。
五、教学过程
1、新课导入
有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看：
某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。
（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：
x/千克 0 1 2 3 4 5
y/厘米 3 3.5 4 4.5 5 5.5
（2）你能写出x与y之间的关系式吗？
分析：当不挂物体时，弹簧长度为3厘米，当挂1千克物体时，增加0.5厘米，总长度为3.5厘米，当增加1千克物体，即所挂物体为2千克时，弹簧又增加0.5厘米，总共增加1厘米，由此可见，所挂物体每增加1千克，弹簧就伸长0.5厘米，所挂物体为x千克，弹簧就伸长0.5x厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y=3+0.5x。
2、做一做
某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千克耗油9升。
（1）完成下表：
汽车行驶路程x/千米 0 50 100 150 200 300
油箱剩余油量y/升
你能写出x与y之间的关系吗？（y=100-0.18x或y=100-x）
3、一次函数，正比例函数的概念
上面的两个函数关系式为y=0.5x+3，y=100-0.18x，都是左边是因变量y，右边是含自变量x的代数式。并且自变量和因变量的指数都是一次。若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。
4、例题讲解
例1：下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
①y=x-6；②y=；③y=；④y=7-x
A、①②③ B、①③④ C、①②③④ D、②③④
例2：写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
①汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；
②圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
③一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）
[（1）y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数；（2）y=πx2，y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数；（3）y=50+2x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数]。
例3：我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入低于800元但低于1300元的部分征收5%的所得税……如某人某月收入1160元，他应缴个人工资薪金所得税为（1160-800）×5%=18（元）
①当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式。
②某人某月收入为960元，他应缴所得税多少元？
③如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是多少元？
分析：（1）当月收入大于800元而小于1300元时，
y=0.05×(x-800)；
（2）当x=960时，y=0.05×(960-800)=8(元)；
（3）当x=1300时，y=0.05×(1300-800)=25（元），25>19.2，因此本月工资少于1300元，设此人本月工资是x元，则0.05×(x-800)=19.2，x=1184。
5、课堂练习
随堂练习
（1）解：y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数。
（2）解：y=100+8x，y是x有一次函数。
补充练习
1、见下表：
x -2 -1 0 1 2 ……
y -5 -2 1 4 7 ……
根据上表写出y与x之间的关系式是：________________，y是否为x一的次函数？y是否为x有正比例函数？
2、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按0.6元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，超过部分按1元/米3收费。设每户每月用水量为x米3，应缴水费y元。（1）写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数。（2）已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费。[①y=0.6x，y=x-2.4，y是x的一次函数。②y=8-2.4=5.6（元）]
六、课后小节
1、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、能根据已知简单信息，写出一次函数的表达式。
七、课后作业
《北师大版实验教科书八年级上册》
6.2 一次函数
教学目标：
知识与技能目标。
⑴经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力。
⑵理解一次函数和正比例函数的概念，能正确作出判断。
⑶能根据所给条件写出简单的一次函数的表达式。
⑷经历现实生活的实际问题，发展学生数学应用能力。
过程性目标。
使学生经历观察、体验、合作、交流和探索的过程，并在过程中感受数学就在我们身边。
情感目标。
学生在体验、观察、思考、合作、探究的过程中体会到获得知识的愉快，从而激发学生学习数学的热情。
数学思考。
能够用函数关系式刻画具体问题，建立合适的数学模型
二、教材分析：
函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，它是初中阶段数学学习的一个重要内容。一次函数是刻画现实世界变量之间的关系最为简单的一个模型，其实际应用比比皆是，同时，一次函数也是今后学习其他函数及二元一次方程的基础。而函数的观点，函数的思想方法是学生运用运动的、变化的辨证唯物主义观点去认识客观世界的有效方法，在学习中通过观察、操作、交流、合作、归纳等教学活动，加深学生对数学知识的理解，发展学生的数学思维，培养学生有效的数学学习模式。经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。
教学重点：理解一次函数和正比例函数的概念，并能根据所给条件写出简单的一次函数的表达式。
教学难点：经历一般规律的探索过程，归纳概括一次函数的概念。
三、学校及学生状况分析
我校虽然是一所城市直属学校，由于特殊的地理位置及城市北边的经济发展萧条，下岗、失业人员较多，导致了我校生源构成比较特殊，600多名学生中有三分之二是山区寄宿学生，三分之一的城郊学生。山区学生基础较差，也缺乏良好的学习习惯，城郊的学生也是经过层层筛选，基础也是较差的，而且我校的生源问题越来越突出，但学生思维比较活跃，有好奇心和求知欲。因此，我们要在教法上创特色，改变学生的学习状况。我决定采取探究式、启发式教学法及情感教学，创设适合学生的问题情境，引导学生主动思考，用大量的实例，激励性的语言，饱满的热情，激发学生的学习兴趣。
四、教学过程
教学步 骤 教师活动 学生活动 设计意图 教学媒体（资源）和教学方式
一、课前准 备 请同学们迅速完成。函数的三种表示方式是 正方形的面积是y（厘米2）边长是x（厘米），y与x之间的关系式写为y= 小明家养了x只鸡，共y条腿，请你写出x与y之间的函数关系式，说出自变量和应变量各是什么？ 学生独立完成，不抄题，弄清题意，为学习新课做好充分的准备 学生基础比较薄弱，直接给出书上的问题有难度，通过这几道简单的问题，帮助学生巩固所学知识， 视频仪出示问题
教学步 骤 教师活动 学生活动 设计意图 教学媒体（资源）和教学方式
一、课前准备 4、小刚买练习本花了5元，又买了x本故事书，每本均3元，练习本和书共花了y元，x与y之间的关系式为y= 教师查看学生完成情况，参与学生评价 完成后，请四名学生把自己的结果展示出来，并说明自己的思考方法。 扫除新课学习中的障碍，了解学生状况，帮助学生树立学习的信心，为本节课的学习起铺路架桥的作用，充分体现低、小、多、快的教学原则。 完成后，学生在视频仪上展示成果、交流方法、师生共同评价
二、创设问题情境引入新课 同学们，我们已经学习了一些函数知识，用函数能够解决我们生活中的许多问题，这节课我们要学习一种最简单又很重要的函数，你猜猜它是什么函数？教师期待着学生的猜测，并板书课题。 学生猜测本节课的学习内容，有的已经预习，有的听其他同学回答，通过不同的方式获得本节课学习内容。 让学生猜测课题，目的是集中学生的注意力，激起学生对新知识的探究欲望和学习兴趣。 教师用简短的语言评价学生良好的学习习惯，如预习，学习兴趣，情感态度等。
三、师生互动、学习新知 一、探究规律：同学们都用过弹簧秤，你了解弹簧秤吗？让我们进一步研究弹簧秤。 请仔细观察老师手中的弹簧秤，挂物体和不挂物体各有什么变化？你能说说弹簧的自然长度，弹性限度，挂物体后弹簧的长度，它们各自的含义吗？教师演示，学生观察后，出示问题：某弹簧自然长度3厘米。在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1千克，弹簧长度增加0.5厘米。⑴计算所挂物体质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧长度，并填入下表。 学生仔细观察老师的操作活动，然后说自己的认识，帮助其他同学理解学生以小组为单位进行比赛、比时间、比速度、看质量、调动学生参与的积极性 通过教师的直观演示活动，帮助学生理解有关概念，为突破后面问题难度起铺垫作用。分步设计，减小坡度，降低学生思考过程中的难度，便于各层次学生的参与，减少学生思维的盲目性，提高讨论的目的性、方向性，帮助学生树立成功的信念。 用激励性的评价看谁观察的比较仔细。鼓励探索方式、解题方式的多样性，奖励智慧星。
教学步 骤 教师活动 学生活动 设计意图 教学媒体（资源）和教学方式
三、师生互动、学习新知 x∕千克012345y∕厘米⑵你能写出与之间的函数关系式吗 教师参与到学生的小组活动中,关注学生的参与程度,组织各小组交流成果,将结果展示出来。请继续合作完成下面的问题。某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车行驶50千米耗油9升。请你说出：①汽车每行驶1千米耗油多少升？②汽车每行驶200千米耗油多少升？此时油箱中剩余油量多少升？⑶完成下表汽车行驶程x∕千米050100150200300油箱剩余油量y∕升⑷你能写出x与y之间的关系式吗？教师参与各小组的活动，对于学困生给予帮助和指导。（二）归纳、概括一次函数和正比例函数的概念。师将前面写出的函数关系式：y=2x， y=3x+5，y=0.5x+3,y=100－0.18x,写在黑板上，请同学们观察因变量和自变量之间有什么共同的特征？在学生讨论、交流后，教师认真倾听学生的发言，对于学生归纳、概括、表述不完整的地方教师引导学生，通过和y=x2加以比较，归纳得出一次函数和正比例函数的概念。 小组讨论，合作交流，共同完成学生在小组活动的过程中，多给学困生机会，让他们展示自我，发表自己的见解，其他同学多帮助、鼓励、指导学生分组讨论，集思广益，归纳、概括各组的发现。 将问题的难度分解,给学困生创造探讨、交流的机会,树立参与意识通过讨论、交流,提高学生观察、比较、归纳概括、表述的能力，促进学生思维的发展。 小组通过视频仪展示成果，交流方法，师生共同评出优胜小组。让各层次的学生有展示自我的机会，学生合作、交流，养成倾听别人意见的习惯。教师倾听学生的意见，只要说的有理都给予肯定和鼓励。黑板上板出一次函数和正比例函数的概念，强调结构特征、条件、常数、自变量、因变量，帮助学生深入理解。
四、应用学习，巩固提高 1、请你任意写一个一次函数的关系式，指出k、b的值。2、（口答）下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数。⑴y=－5x，⑵y=x∕2，⑶y=2∕x，⑷y=x+1，⑸y=2x2 学生独立完成，1题请四名学生口答完成。2题两名同学口答完成，其他同学评判。 帮助学生理解一次函数和正比例函数的关系式，循序渐进，由易到难，符合其认知规律。 通过学生的解答，评价学生的理解能力，解除学生认识上的障碍。
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四、应用学习，巩固提高 3、请你写出下列各题中x与y之间的函数关系式，并判断是否为的一次函数？是否为正比例函数？⑴汽车以60千米∕时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系。⑵圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系。⑶一棵树现在高度为50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）。⑷根据下表写出x、y之间的一个关系式。x－10123y20－2－4－6教师查看学生完成情况，关注学困生，适时引导，多鼓励，多帮助，给他们展示自我的机会。 学生独立完成四名学生（中等生），交流自己的解题思路，不完整的相互补充，师生评判。 通过实际问题让学生进一步理解一次函数和正比例函数的概念，发展学生的思维能力和数学应用能力，给学困生创设交流的平台，成功的机会。 给学困生创设参与学习，表露自己，展示自我的机会，师生多看到他们的闪光点，用激励性的语言，帮助他们树立学习的信心。
五、深化思维、延伸拓展 同学们，请你当一名优秀的税务员，相信你能出色的完成老师交给你的任务。请你阅读理解下面这段话：我国银行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于800元的不收税，月收入超过800元但低于1300元的部分征收5﹪的所得税。老师的个人工资、薪金是1200元，请你算一算应缴所得税多少元？请继续完成下面的问题：⑴当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与x（元）之间的关系式。⑵李老师月收入为960元，他应缴所得税多少元？⑶如果赵老师本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是多少元？ 学生看视频仪完成老师布置的任务，一名学生交流算法，说出算理，然后独立完成后面的三个问题。 将问题变为学生身边的问题，能调动学生学习的积极性、主动性。 视频仪出示阅读材料，理解后，逐步出示问题。个别回答，视频仪上交流，师生评判，评价注重解决问题的过程、思路和方法，从发展的眼光评价学生。
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六、自我检测 学习了本节课，请同学们自我检测某种大米的单价是2.4元∕千克，当购买x千克大米时，花费y元，y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？请你结合你的生活实际，各举一个正比例函数和一次函数的实例。 学生完成自我检测，同桌互评。 加强学生自我检测的意识，促进学生相互评价，促进学生反思交流，共同进步。 运用自我检测，学生互评，自我反思，评价学生，促进学生相互学习
七、归纳小结 学习本节课你有哪些收获？你还有疑惑的问题吗？ 学生相互交流自己的学习体会，相互帮助解决问题。 组织学生畅谈学习收获与体会，有利于形成属于自己的知识经验，激发学生成功学习的自信，归纳、反思、升华、交流、巩固所学知识，促进学生将课内学习引向课外。 运用反思、交流的方式，促进学生学习的进一步深化。
八、布置作业 161页1题、题必做，3题选做 兼顾各层次学生，体现不同学生学习不同的数学。
五、教学反思：
本设计力求通过富有吸引力，生动有趣的教学过程，充分体现教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则，以达到新课程标准的要求。
一是通过探究性教学方法激发学生的学习兴趣和好奇心，引导学生积极主动地去领悟知识，整节课充满着“自主、合作、探究、交流”的教学理念，使学生在思考探究的过程中自然地获得了新的知识。
二是充分体现数学教学是数学活动的教学，是师生、生生互动，共同发展的过程。在教学过程中充分体现了教师与学生是人格平等的主体，教学过程是师生间平等对话的过程，这种以对话的内容包括知识信息，也包括情感态度，行为规范和价值观等方面，通过对话与交流实现课堂中师生间的互动，使学生参与各种教学活动，掌握数学知识和技能，初步学会从数学的角度观察事物，思考问题，产生学习的愿望和兴趣，全身心的投入到学习活动之中。
三是创造性地使用教材，积极开发，利用各种资源，为学生提供丰富多彩的学习素材，并要关注学生的个别差异，有效实施有差异的教学，使每个学生都得到充分发展。
案例点评：
教师从学生的认知水平设计问题，设计的问题贴近学生，与学生生活相联系，并将数学问题生活化，以利于学生进行类比、归纳、概括，得出新的结论，有利于学生对新知识的构建，促进学生自主学习。
教师在处理问题上也有明显的特色，运用低起点、小步伐、多活动、快反馈的教学原则，给学生充分的思考、探究、合作、交流的时间和空间，在活动中兼顾各个层次的学生，能关注个性、尊重个性、及时肯定并给予激励性的评价，这对学生的健康成长至关重要，也是新课程改革所倡导的。
教师的设计始终本着数学教学是数学活动的教学，在活动中创造一个人人要做事、人人有事做、人人有成功、师生、生生互动的学习环境，充分落实了教师是引导者、组织者、合作者、服务者的教学理念。
点评人 赵永宁