沪科版数学八年级下册 19.1 多边形内角和教案

19．1 多边形内角和
教材分析
多边形的内角和是在三角形内角和知识基础上的拓广和发展，是从特殊到一般的深化，是后面学习多边形镶嵌的基础，也是今后学习空间几何的基础，学好多边形内角和的内容，为学生认识探索客观世界中不同形状物体存在的一般规律打下基础，对发展学生的空间观念和几何直觉有很大的帮助。
教学目标
（一）知识与能力
1、了解多边形，凸多边形，多边形的边，顶点，内角，外角，正多边形等定义。
2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算。
（二）过程与方法
经历探索多边形内角和公式、外角和公式的过程，掌握类比归纳转化的学习方法，培养学生思考，提高解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
鼓励学生运用不同的方法解决问题，锻炼发散思维和创新意识，让学生体验成功的喜悦，养成主动探究合作交流的学习习惯。
教学重点
多边形的内角和定理
教学难点
多边形的内角和的定理的探索过程，以及其中蕴涵的转化与化归的思想方法。
教学方法
探究式，启发、讨论式、小组合作。
课前准备
多媒体。
教学过程
一：情景引入，感知多边形 。(请看大屏幕:生活中的平面图形)在现实生活中，蕴含着丰富的几何图形。观察图片，找学过的几何图形，并抽象出多边形图形。
二：类比推理，得出概念。
（1）类比三角形、四边形、五边形的概念，推理多边形概念。
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做四边形。由不在同一条直线上的五条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做五边形。在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
（2）类比三角形相关的概念，推理多边形相关的概念。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；三角形中相邻两条边组成的角叫做三角形的内角，简称为角；在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。
多边形的边、内角、顶点、外角的含义与三角形相同，即：
边：组成多边形的的线段叫做多边形的边。
顶点：相邻两条边的公共的端点叫做多边形的顶点。
内角：多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角。简称多边形的角。
外角：在顶点处，一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角。
（3）根据图形认识多边形的概念：
问：一个n边形有______个顶点，______条边，______个内角，______个外角，从一个顶点出发，能引 ______条对角线。
（4）多边形的命名与写法。
多边形一般按边数命名，并用它各个顶点的字母顺序排列来表示。
记作：四边形ABCD，五边形ABCDE，六边形ABCDEF，八边形ABCDEFGH。
(5)正多边形
三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这样的三角形就叫做正三角形.
如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形.如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等
判断：菱形、长方形是不是正多边形？
由上面的结论判定下列说法正确吗？
（1）各条边都相等的多边形是正多边形；
（2）各个角都相等的多边形是正多边形.
强调：
缺一不可：
1.各个边都相等；
2.各个角都相等；
（6）凸多边形的概念。
一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就是凸多边形。
上方右图就不是凸多边形。我们书中探讨的一般都是凸多边形。
三: 动手操作，探索新知。
活动1：
⑴我们知道三角形内角和是多少？与形状有关吗？
(2)提出问题：你知道四边形的内角和吗？
1）先看几个特殊的四边形：长方形、正方形的内角和是多少？
正方形 矩形
2）那么你能猜想一下任意凸四边形内角和吗？
3）你能检验一下这个猜想吗？（学生讨论、画图、归纳）
在求四边形的内角和时，先把四边形转化为三角形，进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法，除了这种添加辅助线的方法之外，还有没有其他的方法呢？
引导学生寻找其他的添加方法。
一个顶点画对角线1条，得到2个三角形，内角和为 2×180°=360°
这个点还可以取在边上（若此点与顶点重合，转化为第一种情况——连接对角线）内角和为:3×180°- 180°= 360°
在四边形内部任取一点，也可以得到相应的结论:4×180°- 360°=360°
选出你认为最简单的一种分割求多边形的内角和吗？
选第一种：
五边形ABCDE中，从顶点A最多可引2条对角线，可以把这个五边形分成3个三角形．六边形呢？不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形中，与一个顶点不相邻的顶点有(n－3)个，因而对角线有(n－3)条．这(n－3)条对角线可以把这个n边形分成(n－2)个三角形．
四：归纳总结
多边形边数 从一个顶点引出对角线数 图形 分割成的三角形个数 多边形的内角和
4 1 2 2×180°
5 2 3 3×180°
6 3 4 4×180°
…… …… …… …… ……
n n-3 n-2 (n-2)×180°
问：多边形的边数每多一条，它的内角和就增加 （ ）
思考：n边形的内角和公式中，字母n取值有没有要求？
归纳：多边形内角和定理：n边形的内角和等于（n-2） 180° (n为不小于3的整数)。
说明：多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关.
练一练
1、12边形的内角和等于_______
2、如果一个多边形的内角和等于1440°，那么这是___边形
3、若n边形的内角和是144n°，那么n=
4 、已知一个多边形的每一个内角都是156°，则它的边数为＿＿
提升练习
在四边形ABCD中，∠A=120°，∠B：∠C：∠D = 3：4：5.求∠B，∠C，∠D的度数。
方法小结：
求多边形的边数、角度的常用方法:利用公式列方程.
思考题
有一张长方形的桌面，现在锯掉它的一个角，有几种情况？剩下的残余桌面的内角和为多少？
解析：如图所示：沿对角线剪去时，可得到三角形；沿一个顶点和另一边上的一点剪时，可得到四边形；当沿相邻两边上的任意两点(不包含两端点)剪时，可得到五边形．
方法总结：掌握多边形的概念是解决此类问题的关键，但注意分类讨论不要遗漏．
活动2：探究多边形的外角和
类比三角形的外角和、四边形、五边形、六边形的外角和，探究多边形的外角和
三角形的外角和是多少度？你是怎样探究出来的？
1.先把三角形的三个外角和三个内角这六个角的和求出来，刚好是三个平角.
2.再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下的就是三角形的外角和了。
四边形的外角和呢？五边形的外角和呢？六边形的外角和呢？n边形的外角和呢
因为n边形的每个外角与它相邻的内角互补
所以n个外角与n个内角的和是: n×180°，
而n边形的内角和是: （n-2）×180°
所以n边形外角和是: n×180°-(n-2) ×180°=360°
n边形的外角和等于360°
例题：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°,外角和等于360°，
所以：(n－2)·180=3×360
解得： n = 8
答:这个多边形是八边形.
练一练
1、如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多边形的边数是_____
2、五边形的每一个外角等于____，每一个内角等于_____
课堂小结：
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.
n边形的内角和等于(n－2)·180（n为不小于3的整数）
n边形的外角和等于360°
说明：多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关.
方法：类比，转化，归纳
课堂作业： p74 (1,2,3,4)
教学反思
本节课主要探索多边形的内角和公式．内角和是化归为三角形将问题解决，而外角和则关注内角与外角的关系，将外角和化归为内角和，化归思想是数学中的重要思想方法，应对学生进行训练和强化．通过例题和练习，拓展学生的思路，思考题让学生感受数学来源于实践，可以激发学生学习数学的兴趣。