必修五第一章正弦定理教学设计
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必修五第一章正弦定理教学设计
一、教学目标
1、知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。
2、过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。
3、情感态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。
二、教学重点与难点
重点：正弦定理的发现和推导
难点：正弦定理的推导
教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。
三、教学过程设计
（一）设置情境
教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？
学生：思考提出测量角A，C。
教师：若已知测得，
，如何计算A、B两地距离？
师生共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。
教师引导：是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？
学生：（思考交流）得出过作于（如图2），把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。
解：过作于
在中，
，
在中，
教师继续引导：在上述问题中，若，，能否用、、表示呢？
学生：发现，
教师：引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？
学生：发现即然有，那么也有，。
教师：引导 ，，，我们习惯写成对称形式，，，因此我们可以发现，是否任意三角形都有这种边角关系呢？
（二）证明猜想，得出定理
师生活动：
教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）
学生：思考得出
(1)在中，成立，如前面检验。
(2)在锐角三角形中，如图5设，，
作：，垂足为
在中，
在中，
同理，在中，
(3)在钝角三角形中，如图6设为钝角，，，，作交的延长线于
在中，
在中，
同锐角三角形证明可知
教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
教师：还有其它证明方法吗？
（三）运用定理，解决例题
师生活动：
教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。
学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：
（1）如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；
（2）如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。
师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。
例1：在中，已知，，，解三角形。
分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。
例2：在中，已知，，，解三角形。
例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流。
学生：反馈练习（教科书第5页的练习）
用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。
设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。
（四）尝试小结：
教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。
学生：思考交流，归纳总结。
师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：
（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。
（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。
（3）分类讨论的数学思想。
设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。
（五）作业设计
作业：第10页[习题1.1]A组第1、2题。
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一、教学目标
1、知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。
2、过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。
3、情感态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。
二、教学重点与难点
重点：正弦定理的发现和推导
难点：正弦定理的推导
教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。
三、教学过程设计
（一）设置情境
教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？
学生：思考提出测量角A，C。
教师：若已知测得，
，如何计算A、B两地距离？
师生共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。
教师引导：是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？
学生：（思考交流）得出过作于（如图2），把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。
解：过作于
在中，
，
在中，
教师继续引导：在上述问题中，若，，能否用、、表示呢？
学生：发现，
教师：引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？
学生：发现即然有，那么也有，。
教师：引导 ，，，我们习惯写成对称形式，，，因此我们可以发现，是否任意三角形都有这种边角关系呢？
（二）证明猜想，得出定理
师生活动：
教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）
学生：思考得出
(1)在中，成立，如前面检验。
(2)在锐角三角形中，如图5设，，
作：，垂足为
在中，
在中，
同理，在中，
(3)在钝角三角形中，如图6设为钝角，，，，作交的延长线于
在中，
在中，
同锐角三角形证明可知
教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
教师：还有其它证明方法吗？
（三）运用定理，解决例题
师生活动：
教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。
学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：
（1）如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；
（2）如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。
师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。
例1：在中，已知，，，解三角形。
分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。
例2：在中，已知，，，解三角形。
例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流。
学生：反馈练习（教科书第5页的练习）
用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。
设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。
（四）尝试小结：
教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。
学生：思考交流，归纳总结。
师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：
（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。
（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。
（3）分类讨论的数学思想。
设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。
（五）作业设计
作业：第10页[习题1.1]A组第1、2题。
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