江苏省南京市百家湖中学2021-2022学年八年级下学期第一次学情调研数学试卷
一、单选题
1．（2017·广东模拟）下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误；
C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项正确；
D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项错误．
故选：C．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
2．（2017八下·广州期中）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（ ）
A．36° B．108° C．72° D．60°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：2：3，
设每份比为x，则得到2x+3x+2x+3x=360°，
解得x=36°
则∠D=108°．
故选B．
【分析】利用平行四边形的内角和是360度，平行四边形对角相等，则平行四边形的四个角之比为，∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：2：3，则∠D的值可求出．
3．（2022八下·南京月考）已知样本数据个数为30，且被分成4组，各组数据个数之比为2：4：3：1，则第二小组和第三小组的频率分别为（ ）
A．0.4和0.3 B．0.4和9 C．12和0.3 D．12和9
【答案】A
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：∵样本数据个数为30，且被分成4组，各组数据个数之比为2：4：3：1，
∴第二小组和第三小组的频数为：30×=12，30×=9，
∴第二小组和第三小组的频率分别为：=0.4，=0.3．
故选：A．
【分析】根据比例关系由频数=总数×频率即可得出第二、三组的频数，进而得出各组的频率．
4．（2022八下·南京月考）下列事件：
（1）打开电视机，正在播放新闻（2）父亲的年龄比他儿子年龄大（3）下个星期天会下雨（4）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1（5）一个实数的平方是正数（6）若a、b异号，则a+b<0
属于确定事件的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：（1）打开电视机，正在播放新闻是随机事件；
（2）父亲的年龄比他儿子年龄大是必然事件；
（3）下个星期天会下雨是随机事件；
（4）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1是不可能事件；
（5）一个实数的平方是正数是随机事件；
（6）若a、b异号，则a+b＜0是随机事件.
故答案为：B.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然事件；
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
5．（2021八下·南京期中）下列关于四边形的说法，正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．两条对角线相等的菱形是矩形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
C、有两边相等的平行四边形不一定是菱形，说法错误，不符合题意；
D、两条对角线相等的菱形是正方形，也是矩形，说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】直接根据菱形和矩形的判定方法即可判断.矩形的判定：有一个角是直角 的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；菱形的判定：有一组邻边相等 的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形；
6．（2019九上·台安月考）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′＝∠CAB，根据旋转的性质可得AC＝AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
7．（2022八下·南京月考）如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（ ）
A．15 B．16 C．19 D．20
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形的宽都是4，
∴AE＝AF＝4，
∵S四边形ABCD＝AE BC＝AF CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形.
如图2，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，
设AB＝BC＝x，则BE＝8 x，
∵BC2＝BE2＋CE2，
∴x2＝（8 x）2＋42，
解得x＝5，
∴四边形ABCD面积的最大值是：5×4＝20.
故答案为：D.
【分析】作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，易得四边形ABCD是平行四边形，根据两个矩形的宽都是4可得AE＝AF＝4，根据四边形ABCD的面积公式可得BC＝CD，推出平行四边形ABCD是菱形，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，设AB＝BC＝x，则BE＝8-x，利用勾股定理求出x，进而可得四边形ABCD面积的最大值.
8．（2021八下·南京期末）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作 EFGH，且点G、H分别在CD、AD上.在动点F运动的过程中， EFGH的面积（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大，再减小
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△CGF，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH)
＝ab﹣2[ cx+ (a﹣c)(b﹣x)]
＝ab﹣(cx+ab﹣ax﹣bc+cx)
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝(a﹣2c)x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ ab，
故答案为：C.
【分析】设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，连接EG，利用平行四边形的性质可证得EF＝HG，EF∥HG，由平行线的性质可得∠FEG＝∠HGE；由矩形的性质去证明∠BEF＝∠HGD；利用AAS证明Rt△BEF≌Rt△DGH，同理可证Rt△AEH≌Rt△CGF；S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH)，利用矩形和三角形的面积公式，可得到S平行四边形EFGH＝(a﹣2c)x+bc；然后证明a-2c=0，由此可证得平行四边形EFGH的面积=矩形ABCD的面积的一半，可得答案.
二、填空题
9．（2022八下·南京月考）“a是实数，”这一事件是 事件（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）.
【答案】必然
【知识点】绝对值的非负性；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，
因为a是实数，
所以|a|≥0.
故答案为：必然事件.
【分析】根据绝对值的非负性进行判断即可.
10．为了解淮安市八年级学生的身高情况，从中任意抽取2000名学生的身高进行统计，在这个问题中，样本容量是 ．
【答案】2000
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：从中任意抽取2000名学生的身高进行统计，在这个问题中，样本容量是2000，
故答案为：2000．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
11．（2022八下·南京月考）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，AD＝5，则菱形的面积等于 .
【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴菱形的面积.
故答案为：24.
【分析】设AC与BD的交点为O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO=4，BO=DO，根据勾股定理求出BO，进而得到BD，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算.
12．（2022八下·南京月考）如图，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则BC的长为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，，
∴，且，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AO=CO=AC，BO=DO=BD，AC=BD，则AO=BO=CO，推出△AOB是等边三角形，得到AB=AO=BO=CO=2，则AC=4，然后根据勾股定理进行计算.
13．（2020九上·英德期末）已知，如图，在 ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF= cm.
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，
∴AB=CD=4cm，AD=BC=7cm，∠ABF=∠BFC
又∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABF=∠CBF
∴∠BFC=∠CBF
∴CF=BC=7cm
∴DF=CF-CD=7-4=3cm，
故答案为3.
【分析】首先根据平行四边形的性质，得出AB=CD=4cm，AD=BC=7cm，∠ABF=∠BFC，又由BF是∠ABC的角平分线，可得∠ABF=∠CBF，∠BFC=∠CBF，进而得出CF=BC，即可得出DF.
14．（2022八下·南京月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交BC于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝ .
【答案】15°
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；等腰直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
.
故答案为：15°.
【分析】根据矩形的性质可得∠BAD=90°，OA=OB=OC=OD，根据角平分线的概念可得∠BAE=∠DAE=45°，推出△ABE是等腰直角三角形，得到AB=BE，由已知条件知BO=BE，则AB=BO=OA，推出△BAO是等边三角形，得到∠OAB=60°，然后根据∠CAE=∠OAB-∠BAE进行计算.
15．（2022八下·南京月考）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，若，，则的长为 .
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连结AE，CF，EF交AC于G，
∵的垂直平分线，
∴AE=CE，AF=CF，AG=CG，
∵四边形是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴∠FAG=∠ECG，
在△AFG和△CEG中，
，
∴△AFG≌△CEG（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=AE=CE，
∴四边形AFCE为菱形，
∴AE=
在Rt△ABE中，
AB=，
∵BC=BE+CE=BE+AF=，
在Rt△ABC中，
AC=，
∴的长为10.
故答案为：10.
【分析】连接AE，CF，EF交AC于G，根据垂直平分线的性质可得AE=CE，AF=CF，AG=CG，根据矩形以及平行线的性质可得∠FAG=∠ECG，证明△AFG≌△CEG，得到AF=CE，推出四边形AFCE为菱形，利用勾股定理求出AB，由BC=BE+CE=BE+AF可得BC，再利用勾股定理进行计算.
16．（2022八下·南京月考）在平面直角坐标系中，□ OABC的边OC落在x轴的正半轴上，点C(4，0)，B(6，2)，直线y=2x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过 秒该直线可将□OABC的面积平分.
【答案】3
【知识点】一次函数图象与几何变换；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x＋1经过D点时，该直线可将□OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD＝OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y＝kx＋b，
∵平行于y＝2x＋1，
∴k＝2，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y＝2x 5，
∴直线y＝2x＋1要向下平移6个单位，
∴时间为3秒.
故答案为：3.
【分析】连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将□OABC的面积平分，根据平行四边形的性质可得BD＝OD，易得D（3，1），求出直线DE的解析式，根据一次函数图象的几何变换可得平移的距离，进而可得时间.
三、解答题
17．（2015八下·沛县期中）学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）将图①补充完整；
（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近8000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？
【答案】（1）200
（2）解：C级人数为200﹣50﹣120=30（人），
条形统计图：
（3）解：C级所占圆心角度数：360°×（1﹣25%﹣60%）=360°×15%=54°
（4）解：达标人数约有8000×（25%+60%）=6800（人）
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）此次抽样调查中，共调查了50÷25%=200名学生，
故答案为：200；
【分析】（1）根据A级人数除以A级所占的百分比，可得抽测的总人数；（2）根据抽测总人数减去A级、B级人数，可得C级人数，根据C级人数，可得答案；（3）根据圆周角乘以C级所占的百分比，可得答案；（4）根据学校总人数乘以A级与B级所占百分比的和，可得答案．
18．（2022八下·南京月考）王老师将3个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），如表是活动进行中的一组部分统计数据.
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 31 60 127 203 251
摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.254 0.254 a
（1）根据上表数据计算a＝ ；估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 .（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数为 .
【答案】（1）0.251；0.25
（2）9
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）；
大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，
估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
故答案为：0.251；0.25；
（2）：设袋中白球为个，
，
，
经检验是方程的解，且符合题意.
答：估计袋中有9个白球.
【分析】（1）利用摸到黑球的次数除以摸球的总次数可得a的值，然后根据频率估计概率的知识进行解答；
（2）设袋中白球为x个，根据概率公式列出关于x的方程，求解即可.
19．（2022八下·南京月考）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图.
每天课外阅读时间t/h 频数 频率
0＜t≤0.5 24
0.5＜t≤1 36 0.3
1＜t≤1.5 0.4
1.5＜t≤2 12 b
合计 a 1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝_ ，b＝_ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数.
【答案】（1）120；0.1
（2）解：1＜t≤1.5的人数为：120×0.4＝48，
补全图形如下：
（3）解：估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为：1200×（0.4+0.1）＝600（人）.
【知识点】用样本估计总体；频数与频率；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1.
故答案为：120，0.1；
【分析】（1）利用0.5＜t≤1的频数除以频率可得a的值，利用1.5＜t≤2的频数除以a可得b的值；
（2）利用总人数乘以1＜t≤1.5的频率可得对应的人数，据此可补全频数分布直方图；
（3）首先求出每天课外阅读时间超过1小时的人数所占的比例，然后乘以1200即可.
20．（2022八下·南京月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个一顶点分别为.
⑴画，使它与关于点成中心对称；
⑵平移，使点的对应点坐标为(－2，－6)，画出平移后对应的；
⑶若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为____.
【答案】解：(1)如图所示，即为所求
(2)如图所示，即为所求；
(3)（0，-2）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）如图，连接，与y轴的交点即为旋转中心，旋转中心为.
【分析】（1）分别延长AC、BC，并延长，使AC=A1C，BC=B1C，然后顺次连接A1、B1、C即可；
（2）根据点A、A2的坐标可得平移步骤为：向下平移8个单位长度，根据点的平移规律找出点B2、C2的位置，然后顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）连接A1A2，与y轴的交点即为旋转中心，结合位置可得旋转中心的坐标.
21．（2020八下·鼓楼期末）已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）如图①，B、C分别在射线AM、AN上，求作 ABDC；
（2）如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点.
【答案】（1）解：如图①，四边形ABDC即为所求；
（2）解：如图②，线段PQ即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）分别以B、C点为圆心，以AC、AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形ABDC满足条件；
（2）连接AO，延长AO到G使OG＝AO，再作∠PGA＝∠OAN交AM于P，连接PO并延长交AN于Q，则PQ满足条件.
22．（2021八下·临海期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF.求证：BE//DF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD//BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
又∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE//DF.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AD//BC，由已知条件可知AE＝CF，根据线段的和差关系可得DE＝BF，推出四边形BEDF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得结论.
23．（2022八下·南京月考）如图，四边形ABCD中，，对角线AC平分∠BAD，且.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果四边形ABCD的面积为24，AC＝8，则四边形ABCD的周长为 .
【答案】（1）证明：∵ ，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）20
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）连接BD交AC于O，如图所示：
由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴，，，，
∵菱形ABCD的面积＝，
∴，
∴，
∴，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20.
故答案为：20.
【分析】（1）易得四边形ABCD是平行四边形，根据角平分线的概念可得∠BAC＝∠DAC，由平行线的性质可得∠BAC=∠ACD，则∠DAC=∠ACD，推出AD=CD，然后结合菱形的判定定理进行证明；
（2）连接BD交AC于O，根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，根据菱形的面积公式可得BD，进而可得OB、利用勾股定理求出AB，据此不难得到菱形ABCD的周长.
24．（2022八下·南京月考）我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.
【发现与证明】在ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D.
（1）填空：B′E DE（填“<，＝，>”）；
（2）求证：B′D∥AC；
（3）【应用与探究】
在ABCD中，已知：BC=4，∠B=60°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D.若以A、C、D、B′为顶点的四边形是矩形，求AC的长.
【答案】（1）=
（2）证明：∵DE=B'E
∴∠C B'D=∠B’DA=(180-∠B'ED)
∵∠AEC=∠B'ED
∴∠AC B'=∠C B'D
∴B'D∥AC
（3）解：情况一：如图1
∵四边形ACDB’是矩形，
∴∠CAB’=90°，
∴∠BAC=90°
∵∠B=60°
∴AC=BC=2
情况二：如图2
∵四边形ACB’D是矩形，
∴∠ACB’=90°
∴∠ACB=90°
∵BC=4，∠B=60°
∴AC=4，
综上所述：ACAC的长为2或4.
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵△ABC≌△AB'C，
∴∠ACB=∠ACB'，BC=B'C，
∴∠EAC=∠ACB'，
∴AE=CE，
∴DE=B′E；
故答案为：=.
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD//BC，由平行线的性质可得∠EAC=∠ACB，根据折叠的性质可得△ABC≌△AB'C，则∠ACB=∠ACB'，BC=B'C，推出AE=CE，据此解答；
（2）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CB'D=∠B'DA=(180-∠B'ED)，由对顶角的性质可得∠AEC=∠B'ED，则∠ACB'=∠CB'D，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（3）根据矩形的性质可得∠CAB'=90°，则∠B=60°，然后根据三角函数的概念进行计算.
25．（2018·南山模拟）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合）．在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF= AE；
（3）如图3，
将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2 ，CE=2，求线段AE的长．
【答案】（1）证明：如图1．
∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF．∵AB=AC，∴AC=DF．∵DE=EC，∴AE=EF．∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形
（2）解：如图2，
连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED．∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE．∵∠DKC=∠C，∴DK=DC．∵DF=AB=AC，∴KF=AD．在△EKF和△EDA中， ，∴△EKF≌△EDA（SAS），∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF= AE
（3）解：如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，∴EH=DH=CH= ，Rt△ACH中，AH= =3 ，∴AE=AH+EH=4
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边相等得出AB=DF，又AB=AC，故AC=DF，根据等腰直角三角形的性质得出DE=EC，∠DEC=∠AEF=90°，根据等式的性质得出AE=EF，从而得出结论；
（2）连接EF，DF交BC于K，根据平行四边形的对边平行得出AB∥DF，根据二直线平行同位角相等得出∠DKE=∠ABC=45°，进而得出EK=ED，根据邻补角的定义得出∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，故∠EKF=∠ADE．根据等式的性质得出KF=AD，根据SAS判断出△EKF≌△EDA，根据全等三角形对应边相等，对应角相等得出EF=EA，∠KEF=∠AED，根据等式的性质进而得出∠FEA=∠BED=90°，从而判断出△AEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边之间的关系即可得出结论；
（3），当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EH=DH=CH= ，Rt△ACH中，根据勾股定理得出AH的长，由AE=AH+EH得出答案。
1 / 1江苏省南京市百家湖中学2021-2022学年八年级下学期第一次学情调研数学试卷
一、单选题
1．（2017·广东模拟）下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017八下·广州期中）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（ ）
A．36° B．108° C．72° D．60°
3．（2022八下·南京月考）已知样本数据个数为30，且被分成4组，各组数据个数之比为2：4：3：1，则第二小组和第三小组的频率分别为（ ）
A．0.4和0.3 B．0.4和9 C．12和0.3 D．12和9
4．（2022八下·南京月考）下列事件：
（1）打开电视机，正在播放新闻（2）父亲的年龄比他儿子年龄大（3）下个星期天会下雨（4）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1（5）一个实数的平方是正数（6）若a、b异号，则a+b<0
属于确定事件的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021八下·南京期中）下列关于四边形的说法，正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．两条对角线相等的菱形是矩形
6．（2019九上·台安月考）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
7．（2022八下·南京月考）如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（ ）
A．15 B．16 C．19 D．20
8．（2021八下·南京期末）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作 EFGH，且点G、H分别在CD、AD上.在动点F运动的过程中， EFGH的面积（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大，再减小
二、填空题
9．（2022八下·南京月考）“a是实数，”这一事件是 事件（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）.
10．为了解淮安市八年级学生的身高情况，从中任意抽取2000名学生的身高进行统计，在这个问题中，样本容量是 ．
11．（2022八下·南京月考）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，AD＝5，则菱形的面积等于 .
12．（2022八下·南京月考）如图，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则BC的长为 .
13．（2020九上·英德期末）已知，如图，在 ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF= cm.
14．（2022八下·南京月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交BC于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝ .
15．（2022八下·南京月考）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，若，，则的长为 .
16．（2022八下·南京月考）在平面直角坐标系中，□ OABC的边OC落在x轴的正半轴上，点C(4，0)，B(6，2)，直线y=2x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过 秒该直线可将□OABC的面积平分.
三、解答题
17．（2015八下·沛县期中）学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）将图①补充完整；
（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近8000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？
18．（2022八下·南京月考）王老师将3个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），如表是活动进行中的一组部分统计数据.
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 31 60 127 203 251
摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.254 0.254 a
（1）根据上表数据计算a＝ ；估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 .（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数为 .
19．（2022八下·南京月考）扬州市“五个一百工程“在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布表和频数分布直方图.
每天课外阅读时间t/h 频数 频率
0＜t≤0.5 24
0.5＜t≤1 36 0.3
1＜t≤1.5 0.4
1.5＜t≤2 12 b
合计 a 1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝_ ，b＝_ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数.
20．（2022八下·南京月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个一顶点分别为.
⑴画，使它与关于点成中心对称；
⑵平移，使点的对应点坐标为(－2，－6)，画出平移后对应的；
⑶若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为____.
21．（2020八下·鼓楼期末）已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）如图①，B、C分别在射线AM、AN上，求作 ABDC；
（2）如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点.
22．（2021八下·临海期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF.求证：BE//DF.
23．（2022八下·南京月考）如图，四边形ABCD中，，对角线AC平分∠BAD，且.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果四边形ABCD的面积为24，AC＝8，则四边形ABCD的周长为 .
24．（2022八下·南京月考）我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.
【发现与证明】在ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D.
（1）填空：B′E DE（填“<，＝，>”）；
（2）求证：B′D∥AC；
（3）【应用与探究】
在ABCD中，已知：BC=4，∠B=60°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D.若以A、C、D、B′为顶点的四边形是矩形，求AC的长.
25．（2018·南山模拟）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合）．在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF= AE；
（3）如图3，
将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2 ，CE=2，求线段AE的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误；
C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项正确；
D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项错误．
故选：C．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：2：3，
设每份比为x，则得到2x+3x+2x+3x=360°，
解得x=36°
则∠D=108°．
故选B．
【分析】利用平行四边形的内角和是360度，平行四边形对角相等，则平行四边形的四个角之比为，∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：2：3，则∠D的值可求出．
3．【答案】A
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：∵样本数据个数为30，且被分成4组，各组数据个数之比为2：4：3：1，
∴第二小组和第三小组的频数为：30×=12，30×=9，
∴第二小组和第三小组的频率分别为：=0.4，=0.3．
故选：A．
【分析】根据比例关系由频数=总数×频率即可得出第二、三组的频数，进而得出各组的频率．
4．【答案】B
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：（1）打开电视机，正在播放新闻是随机事件；
（2）父亲的年龄比他儿子年龄大是必然事件；
（3）下个星期天会下雨是随机事件；
（4）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1是不可能事件；
（5）一个实数的平方是正数是随机事件；
（6）若a、b异号，则a+b＜0是随机事件.
故答案为：B.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然事件；
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
5．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
C、有两边相等的平行四边形不一定是菱形，说法错误，不符合题意；
D、两条对角线相等的菱形是正方形，也是矩形，说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】直接根据菱形和矩形的判定方法即可判断.矩形的判定：有一个角是直角 的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；菱形的判定：有一组邻边相等 的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形；
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′＝∠CAB，根据旋转的性质可得AC＝AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形的宽都是4，
∴AE＝AF＝4，
∵S四边形ABCD＝AE BC＝AF CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形.
如图2，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，
设AB＝BC＝x，则BE＝8 x，
∵BC2＝BE2＋CE2，
∴x2＝（8 x）2＋42，
解得x＝5，
∴四边形ABCD面积的最大值是：5×4＝20.
故答案为：D.
【分析】作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，易得四边形ABCD是平行四边形，根据两个矩形的宽都是4可得AE＝AF＝4，根据四边形ABCD的面积公式可得BC＝CD，推出平行四边形ABCD是菱形，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，设AB＝BC＝x，则BE＝8-x，利用勾股定理求出x，进而可得四边形ABCD面积的最大值.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△CGF，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH)
＝ab﹣2[ cx+ (a﹣c)(b﹣x)]
＝ab﹣(cx+ab﹣ax﹣bc+cx)
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝(a﹣2c)x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ ab，
故答案为：C.
【分析】设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，连接EG，利用平行四边形的性质可证得EF＝HG，EF∥HG，由平行线的性质可得∠FEG＝∠HGE；由矩形的性质去证明∠BEF＝∠HGD；利用AAS证明Rt△BEF≌Rt△DGH，同理可证Rt△AEH≌Rt△CGF；S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH)，利用矩形和三角形的面积公式，可得到S平行四边形EFGH＝(a﹣2c)x+bc；然后证明a-2c=0，由此可证得平行四边形EFGH的面积=矩形ABCD的面积的一半，可得答案.
9．【答案】必然
【知识点】绝对值的非负性；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，
因为a是实数，
所以|a|≥0.
故答案为：必然事件.
【分析】根据绝对值的非负性进行判断即可.
10．【答案】2000
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：从中任意抽取2000名学生的身高进行统计，在这个问题中，样本容量是2000，
故答案为：2000．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
11．【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴菱形的面积.
故答案为：24.
【分析】设AC与BD的交点为O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO=4，BO=DO，根据勾股定理求出BO，进而得到BD，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算.
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，，
∴，且，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AO=CO=AC，BO=DO=BD，AC=BD，则AO=BO=CO，推出△AOB是等边三角形，得到AB=AO=BO=CO=2，则AC=4，然后根据勾股定理进行计算.
13．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，
∴AB=CD=4cm，AD=BC=7cm，∠ABF=∠BFC
又∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABF=∠CBF
∴∠BFC=∠CBF
∴CF=BC=7cm
∴DF=CF-CD=7-4=3cm，
故答案为3.
【分析】首先根据平行四边形的性质，得出AB=CD=4cm，AD=BC=7cm，∠ABF=∠BFC，又由BF是∠ABC的角平分线，可得∠ABF=∠CBF，∠BFC=∠CBF，进而得出CF=BC，即可得出DF.
14．【答案】15°
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；等腰直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
.
故答案为：15°.
【分析】根据矩形的性质可得∠BAD=90°，OA=OB=OC=OD，根据角平分线的概念可得∠BAE=∠DAE=45°，推出△ABE是等腰直角三角形，得到AB=BE，由已知条件知BO=BE，则AB=BO=OA，推出△BAO是等边三角形，得到∠OAB=60°，然后根据∠CAE=∠OAB-∠BAE进行计算.
15．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连结AE，CF，EF交AC于G，
∵的垂直平分线，
∴AE=CE，AF=CF，AG=CG，
∵四边形是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴∠FAG=∠ECG，
在△AFG和△CEG中，
，
∴△AFG≌△CEG（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=AE=CE，
∴四边形AFCE为菱形，
∴AE=
在Rt△ABE中，
AB=，
∵BC=BE+CE=BE+AF=，
在Rt△ABC中，
AC=，
∴的长为10.
故答案为：10.
【分析】连接AE，CF，EF交AC于G，根据垂直平分线的性质可得AE=CE，AF=CF，AG=CG，根据矩形以及平行线的性质可得∠FAG=∠ECG，证明△AFG≌△CEG，得到AF=CE，推出四边形AFCE为菱形，利用勾股定理求出AB，由BC=BE+CE=BE+AF可得BC，再利用勾股定理进行计算.
16．【答案】3
【知识点】一次函数图象与几何变换；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x＋1经过D点时，该直线可将□OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD＝OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y＝kx＋b，
∵平行于y＝2x＋1，
∴k＝2，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y＝2x 5，
∴直线y＝2x＋1要向下平移6个单位，
∴时间为3秒.
故答案为：3.
【分析】连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将□OABC的面积平分，根据平行四边形的性质可得BD＝OD，易得D（3，1），求出直线DE的解析式，根据一次函数图象的几何变换可得平移的距离，进而可得时间.
17．【答案】（1）200
（2）解：C级人数为200﹣50﹣120=30（人），
条形统计图：
（3）解：C级所占圆心角度数：360°×（1﹣25%﹣60%）=360°×15%=54°
（4）解：达标人数约有8000×（25%+60%）=6800（人）
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）此次抽样调查中，共调查了50÷25%=200名学生，
故答案为：200；
【分析】（1）根据A级人数除以A级所占的百分比，可得抽测的总人数；（2）根据抽测总人数减去A级、B级人数，可得C级人数，根据C级人数，可得答案；（3）根据圆周角乘以C级所占的百分比，可得答案；（4）根据学校总人数乘以A级与B级所占百分比的和，可得答案．
18．【答案】（1）0.251；0.25
（2）9
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）；
大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，
估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
故答案为：0.251；0.25；
（2）：设袋中白球为个，
，
，
经检验是方程的解，且符合题意.
答：估计袋中有9个白球.
【分析】（1）利用摸到黑球的次数除以摸球的总次数可得a的值，然后根据频率估计概率的知识进行解答；
（2）设袋中白球为x个，根据概率公式列出关于x的方程，求解即可.
19．【答案】（1）120；0.1
（2）解：1＜t≤1.5的人数为：120×0.4＝48，
补全图形如下：
（3）解：估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为：1200×（0.4+0.1）＝600（人）.
【知识点】用样本估计总体；频数与频率；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1.
故答案为：120，0.1；
【分析】（1）利用0.5＜t≤1的频数除以频率可得a的值，利用1.5＜t≤2的频数除以a可得b的值；
（2）利用总人数乘以1＜t≤1.5的频率可得对应的人数，据此可补全频数分布直方图；
（3）首先求出每天课外阅读时间超过1小时的人数所占的比例，然后乘以1200即可.
20．【答案】解：(1)如图所示，即为所求
(2)如图所示，即为所求；
(3)（0，-2）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）如图，连接，与y轴的交点即为旋转中心，旋转中心为.
【分析】（1）分别延长AC、BC，并延长，使AC=A1C，BC=B1C，然后顺次连接A1、B1、C即可；
（2）根据点A、A2的坐标可得平移步骤为：向下平移8个单位长度，根据点的平移规律找出点B2、C2的位置，然后顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）连接A1A2，与y轴的交点即为旋转中心，结合位置可得旋转中心的坐标.
21．【答案】（1）解：如图①，四边形ABDC即为所求；
（2）解：如图②，线段PQ即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）分别以B、C点为圆心，以AC、AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形ABDC满足条件；
（2）连接AO，延长AO到G使OG＝AO，再作∠PGA＝∠OAN交AM于P，连接PO并延长交AN于Q，则PQ满足条件.
22．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD//BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
又∵DE//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE//DF.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AD//BC，由已知条件可知AE＝CF，根据线段的和差关系可得DE＝BF，推出四边形BEDF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得结论.
23．【答案】（1）证明：∵ ，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）20
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）连接BD交AC于O，如图所示：
由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴，，，，
∵菱形ABCD的面积＝，
∴，
∴，
∴，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20.
故答案为：20.
【分析】（1）易得四边形ABCD是平行四边形，根据角平分线的概念可得∠BAC＝∠DAC，由平行线的性质可得∠BAC=∠ACD，则∠DAC=∠ACD，推出AD=CD，然后结合菱形的判定定理进行证明；
（2）连接BD交AC于O，根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，根据菱形的面积公式可得BD，进而可得OB、利用勾股定理求出AB，据此不难得到菱形ABCD的周长.
24．【答案】（1）=
（2）证明：∵DE=B'E
∴∠C B'D=∠B’DA=(180-∠B'ED)
∵∠AEC=∠B'ED
∴∠AC B'=∠C B'D
∴B'D∥AC
（3）解：情况一：如图1
∵四边形ACDB’是矩形，
∴∠CAB’=90°，
∴∠BAC=90°
∵∠B=60°
∴AC=BC=2
情况二：如图2
∵四边形ACB’D是矩形，
∴∠ACB’=90°
∴∠ACB=90°
∵BC=4，∠B=60°
∴AC=4，
综上所述：ACAC的长为2或4.
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵△ABC≌△AB'C，
∴∠ACB=∠ACB'，BC=B'C，
∴∠EAC=∠ACB'，
∴AE=CE，
∴DE=B′E；
故答案为：=.
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD//BC，由平行线的性质可得∠EAC=∠ACB，根据折叠的性质可得△ABC≌△AB'C，则∠ACB=∠ACB'，BC=B'C，推出AE=CE，据此解答；
（2）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CB'D=∠B'DA=(180-∠B'ED)，由对顶角的性质可得∠AEC=∠B'ED，则∠ACB'=∠CB'D，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（3）根据矩形的性质可得∠CAB'=90°，则∠B=60°，然后根据三角函数的概念进行计算.
25．【答案】（1）证明：如图1．
∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF．∵AB=AC，∴AC=DF．∵DE=EC，∴AE=EF．∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形
（2）解：如图2，
连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED．∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE．∵∠DKC=∠C，∴DK=DC．∵DF=AB=AC，∴KF=AD．在△EKF和△EDA中， ，∴△EKF≌△EDA（SAS），∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF= AE
（3）解：如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，∴EH=DH=CH= ，Rt△ACH中，AH= =3 ，∴AE=AH+EH=4
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边相等得出AB=DF，又AB=AC，故AC=DF，根据等腰直角三角形的性质得出DE=EC，∠DEC=∠AEF=90°，根据等式的性质得出AE=EF，从而得出结论；
（2）连接EF，DF交BC于K，根据平行四边形的对边平行得出AB∥DF，根据二直线平行同位角相等得出∠DKE=∠ABC=45°，进而得出EK=ED，根据邻补角的定义得出∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，故∠EKF=∠ADE．根据等式的性质得出KF=AD，根据SAS判断出△EKF≌△EDA，根据全等三角形对应边相等，对应角相等得出EF=EA，∠KEF=∠AED，根据等式的性质进而得出∠FEA=∠BED=90°，从而判断出△AEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边之间的关系即可得出结论；
（3），当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EH=DH=CH= ，Rt△ACH中，根据勾股定理得出AH的长，由AE=AH+EH得出答案。
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