2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册1.1集合的概念讲义（WORD 含答案）

1.1 集合的概念 知识整合
一、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
二、元素与集合的关系：属于()或不属于()．
三、集合的表示法：自然语言法，列举法、描述法．
四、正整数集和自然数集表示方法的区别：正整数集N*或N＋，为1,2,3，…；自然数集N，
为0,1,2,3，…，这是集合的高频考点，注意二者的区别。
五、集合元素的三个特征中，元素的互异性应用的尤为广泛，解题过程中，一定要时刻注意集合元素的这个特征，在解题前以及解题后都要充分考虑到集合元素的互异性，该检验的检验，该舍的舍掉。
六、新定义题型是集合命题中的一个热点，此类题目首先会给出一个概念，然后利用集合为解题的工具，通过探究的形式解决一个提出的问题，从而考查学生正确理解题意，解决创新问题的能力。
七、根据元素与集合之间的关系求参数的值或其取值范围，一般先把集合化简，然后利用数形结合的思想方法解决问题。
八、有些题目是用描述法给出的集合，要求用列举法表示该集合，若解方程的结果有字母参数，则需对参数进行分类讨论。
九、数集与点集的区分是高频考点，也是易错考点，注意数集用数字来表示元素，点集用有序数对来表示元素。
十、集合的解答题常与一元二次方程结合起来考查，解决这类型问题要注意分类讨论，若二次项系数含有参数，则首先讨论二次项系数，另外，在二次项系数不为0的情况下，还需根据题意对方程的判别式进行讨论。最后再归纳总结。
1.1 集合的概念
题型一、集合与元素的含义
1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人
C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
2．（多选）给出下列说法，其中正确的有（　　）
A．中国的所有直辖市可以构成一个集合；
B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；
C．正偶数的全体可以构成一个集合；
D．大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合．
3．下列关于集合的说法正确的有（ ）
①很小的整数可以构成集合；
②集合与集合是同一个集合；
③1，2，，0.5，这些数组成的集合有5个元素．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．下列说法中正确的是（ ）
A．与定点A，B等距离的点不能构成集合
B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5
C．一个集合中有三个元素a,b,c，其中a,b,c是的三边长，则不可能是等边三角形
D．高中学生中的游泳能手能构成集合
5．下面有四个语句:
① 集合N*中最小的数是0;
② -a N，则a∈N;
③ a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;
④ x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（多选）以下元素的全体能够构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流
C．方程的实数解 D．周长为10cm的三角形
题型二、集合中元素的三个特征
1．若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．菱形
2．已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
3．下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下面四个命题正确的个数是（ ）.
①集合中最小的数是1；
②若，则；
③若，则的最小值是2；
④的解集是.
A．0 B．1 C．2 D．3
题型三、元素与集合的关系
1．下列关系中正确的个数是（ ）
①， ②， ③， ④
A． B． C． D．
2．下列关系中，正确的是（ ）
A．-2N+ B．Z C．πQ D．5N
3．用符号“∈”或“ ”填空：
1____N， －3____N， ___Q， ___N，
1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R，
0___N*， π___R， ___Q， ___Z．
4．已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
5．给出下列关系：①；②；③；④；⑤．
其中正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（多选）已知x，y为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的
是（ ）
A． B． C． D．
题型四、常见数集的表示
1．下列常数集表示正确的是(　　)
A．实数集R B．整数集Q C．有理数集N D．自然数集Z
2．下列说法中，正确的个数是（ ）
① 集合N与集合N+是同一个集合；
② 集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③ 集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④ 集合Q中的元素都是集合R中的元素。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
题型五、集合的表示方法
1．方程的所有实数根组成的集合为（　　）
A． B． C． D．
2．集合用列举法表示是（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}
3．用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
（2）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
（4）由所有正整数构成的集合．
4．集合，用列举法可以表示为_________．
5．表示方程的根的集合，用列举法可以表示为______，用描述法可表示为______.
6．（多选）下列正确表示方程组的解集的是（ ）
A． B． C． D．
7．用描述法表示下列集合．
（1）小于5的正有理数组成的集合：______；
（2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：______；
（3）偶数集：______；
（4）抛物线上的所有点组成的集合：______．
8．选择适当的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；
(2)所有正奇数组成的集合B；
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．
题型六、集合的新定义运算
1. 设集合则中的元素个数为（ ）
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
2．定义集合且.已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，，则集合中元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．1 B．4 C．3 D．2
5．对于数集M N，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为___________.
6．设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则，则下列结论不正确的个数是__________个.
（1）集合中至多有2个元素；
（2）集合中至少有4个元素；
（3）集合中有且仅有4个元素；
（4）集合中至多有4个元素.
题型七、利用集合相关知识求参数的值或取值范围
1．已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______
2．已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选）已知集合至多有一个元素，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
5．若集合不含有任何元素，则实数a的取值范围是________．
6．已知集合，A中至少有一个元素，则的取值范围是_____________.
7．若集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
8．设，，已知，，求的值．
9．已知集合．
(1)若集合A只有一个元素，求实数a的值；(2)用列举法表示集合A．
10．已知集合有三个元素：，，，集合也有三个元素：，，.
（1）若，求的值； （2）若，求实数的值；
11．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
（1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值；
（2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；
（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
1.1 集合的概念 答案
题型一、集合与元素的含义
1、【答案】D
【详解】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位，不是明确的定义，故不能构成集合；
对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；故选：D.
2、【答案】AC
【详解】中国的所有直辖市可以构成一个集合，A正确；
高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误；
正偶数的全体可以构成一个集合，C正确；
大于2 011且小于2 016的所有整数能构成集合，D错误.故选：AC.
3、【答案】A
【详解】很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素的确定性，故①错误．
集合表示y的取值范围，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故②错误．1，2，，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故③错误．故选：A．
4、【答案】C
【详解】对于A：与定点A，B等距离的点在线段的中垂线上，故可以组成集合，即A错误；
对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B错误；
对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等边三角形，即C正确；对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；故选：C
5、【答案】A
【详解】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;
取a=，则- N， N，所以②错误;
对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;
对于④，解集中只含有元素1，故④错误.故选：A
6、【答案】ACD
【详解】首先互异性是保证的，其次考虑确定性：中国古代四大发明是确定的，能构成集合，
地球上的小河流的标准不确定，即一条河流没有标准判断它是不是小河流，不能构成集合，
方程的实数解只有两个1和，能构成集合，
周长为10cm的三角形是确定，三角形的周长要么等于10cm，要么不等于10cm，是确定的，能构成集合．故答案为：ACD．
题型二、集合中元素的三个特征
1、【答案】C
【详解】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，
根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，
以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.
2、【答案】A
【详解】由，得，，
又，，所以，，
易知与的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为. 故选：A.
3、【答案】B
【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确；
对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确；
对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确；
对D，是数集，是点集，则D不正确．故选：B．
4、【答案】C
【详解】 “book”中的字母构成的集合为，有3 个元素，故选：C
5、【答案】C
【详解】是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当时，，但，故②错误；
若，则a的最小值为1.又，则b的最小值为1，当a和b都取最小值时，取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性知④错误.故选：C
题型三、元素与集合的关系
1、【答案】B
【详解】①错误②正确③错误④正确，故选：B
2、【答案】C
【详解】对于A，-2是负整数，则-2N+，A错误；对于B，是分数，则Z，B错误；
对于C，π是无理数，则πQ，C正确；对于D，5是正整数，则5N，D错误；故选：C
3、【答案】 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
【详解】表示自然数集；表示正整数集；
表示整数集；表示有理数集；表示实数集.
故答案为：；；；；；；；；；；；.
4、【答案】D
【详解】由集合，即集合是所有的偶数构成的集合.
所以，，，，故选：D
5、【答案】B
【详解】和是正确的；①②正确；因为，故③是错误的；因为故④是错误的；故⑤是错误的．故选：B.
6、【答案】AB
【详解】当x，y都大于零时，；
当x，y中一个大于零，另一个小于零时，；
当x，y都小于零时，．
根据元素与集合的关系，可知，，，．故选：AB．
题型四、常见数集的表示
1、【答案】A
【详解】因为表示整数集，表示有理数集，表示实数集，表示自然数数集，所以A正确，故选A.
2、B
题型五、集合的表示方法
1、【答案】C
【详解】由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；故选：C
2、【答案】D
【详解】由题知，故选：D
3、【答案】（1）{0，2，4，6，8，10}；（2）{0，2}；（3）{(0，1)}；（4）{1，2，3，…}．
【详解】（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0，2，4，6，8，10}．
（2）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．
（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．
（4）正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．
4、【答案】##
【详解】因为，所以，可得，因为，所以，集合．故答案为：
5、【答案】 ## （答案不唯一）
【详解】由，得，解得，或，
所以方程根的集合用列举法可以表示为，
用描述法可表示为（答案不唯一）
故答案为：，（答案不唯一）
6、【答案】BD
【详解】由，解得，所以该方程组的解集为或.故选BD．
7、【答案】
【详解】（1）由描述可得：集合为.
（2）第一、三象限角平分线上的所有点都在上，故集合为.
（3）由偶数可表示为，故集合为.
（4）由描述知：集合为.
故答案为：，，，.
8、【答案】(1) (2)
(3) (4)
【解析】 (1)不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：；
(2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：；
(3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：．
题型六、集合的新定义运算
1、B
2、【答案】C
【详解】因为，，所以，故选：C
3、【答案】C
【详解】因为，，所以或或或，
故，即集合中含有个元素；故选：C
4、【答案】B
【详解】因为，，所以，即集合B中的元素有，，，共4个，故选：B．
5、【答案】##11.5
【详解】,，,,,3,，,3,4,1,，
元素之和为，故答案为：.
6、【答案】3
【详解】因为若，则，所以，，
则；
当时，4个元素中，任意两个元素都不相等，
所以集合M中至少有4个元素．
故可判断出（1）错误，（2）正确，（3）错误，（4）错误，故答案为：3.
题型七、利用集合相关知识求参数的值或取值范围
1、【答案】
【详解】当时，只有一个解，
则集合有且只有一个元素，符合题意；
当时，若集合A中只有一个元素，则一元二次方程有二重根，
即，即综上，或，故实数a的取值的集合为故答案为：
2、【答案】C
【详解】由题意可得，解得，故选：C
3、【答案】D
【详解】由题意可知，可得. 故选：D
4、【答案】BCD
【详解】集合至多有一个元素，即方程至多一个解，
时，解为，符合；时，由得：，结合选项可知BCD符合，
故选：BCD
5、【答案】
【详解】因为集合不含有任何元素，
所以方程无实根，
当时，方程为，可得符合题意；
当时，方程无实根，则，解得，
综上所述，. 故答案为：.
6、【答案】
【详解】（1）当时，符合题意，
（2）当时，A中至少有一个元素，则至少有一个根，
所以，解得且，综上，的取值范围是
故答案为：
7、【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）若，则的两个根分别为，
由韦达定理可得，故.
（2）若，则或，故.
综上若，则或
8、【答案】且且且
【详解】由知，，即，解得且
又集合元素具有互异性，知，即，解得且
综上所述，a的取值为且且且
9、解 (1)由题设，或或，可得或或，
∴若集合A只有一个元素，则，故.
(2)当时，；
当时，；
当时，；
当且且时，.
10、【答案】（1）或；（2）.
【详解】（1）由且， 所以
当时，可得，此时符合题意，
当时，可得，此时符合题意，所以或，
（2）若，则或或，解得：或或，
由元素互异性可得：且，所以
11、【答案】（1）a＝0或a＝；（2）；（3）{a|a≥或a＝0}.
【详解】（1）当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，得x＝，符合题意．
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意得，＝9－8a＝0，得a＝.
所以当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素．所以a的值是a＝0或a＝；
（2）由题意得，当即a<且a≠0时方程有两个实根，
又由（1）知，当a＝0或a＝时方程有一个实根．所以a的取值范围是.
（3）由（1）知，当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素．
当集合A中没有元素，即A＝时，由题意得解得a>.
综上得，当a≥或a＝0时，集合A中至多有一个元素. 所以a的取值范围是{a|a≥或a＝0}.