青岛版七年级下册数学《一次方程组》复习教案

第十章 一次方程组
（一）知识框架
（二）重点难点突破
回顾与思考
1、什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？它们在生活中有哪些应用？
2、解二元一次方程组有哪些方法？
3、利用二元一次方程组解决生活实际问题的关键是什么？
重点点拨
（一）二元一次方程（组）及其解的概念
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
使一个二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解.
二元一次方程的解有无数组.
含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
我们把二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
（二）二元一次方程组的解法
1.将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法，称为代入消元法，简称代入法。
2.把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法叫做加减消元法简称加减法。
（三）利用二元一次方程组解决生活实际问题
利用二元一次方程组解决生活实际问题就是将生活中的实际问题转化为数学问题，即列出二元一次方程组解决实际问题.
难点突破
（一）解二元一次方程组的基本思想方法
了解解二元一次方程组的消元方法，经历从“二元”到“一元”的转化过程，从而体会消元的思想，以及把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的化归思想。
（二）利用二元一次方程组解决生活实际问题
能将生活中的实际问题转化为数学问题，即能列出二元一次方程组解决实际问题，其关键是
找出题目中蕴涵的相等关系，并建立方程组求解.
学习要求
（1）要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，在平时的学习中，应该不断积累用方程思想解题的方法。
（2）在交流和反思的过程中建立知识体系，体验学习数学的成就感。
（3）列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系，问题往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系，请平时注意搜集、观察与分析。
整合拓展创新
类型之一 二元一次方程（组）及其解的概念问题
1. 二元一次方程（组）的概念
例1若2x|m|+（m+1）y=3m-1是关于x、y的二元一次方程，则m的取值范围是（ C ）
A、m≠－1 B、m=±1 C、m=1 D、m=0
解析:根据二元一次方程的概念可得|m|=1,且m+1≠0，所以m=1,选C.
变式题（学生完成 ） 方程▓是二元一次方程，▓是被污染的的系数，请你推断被污染的的系数的值可能是（ ）
A、不可能是 B、不可能是 C、不可能是1 D、不可能是2.
例2下列方程组中，属于二元一次方程组的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
解析:本题考察对二元一次方程组的概念的理解.答案选D
变式题 写出一个以为解的二元一次方程组.
解析:答案有无数种，如等.学生答案是：
2. 二元一次方程（组）的解的含义
例3适合方程x+y=5且x、y绝对值都小于5的整数解有（ C ）
A、2 B、 3 C、 4 D、5
解析: 二元一次方程的解有无数组，本题用简单列举法:绝对值小于5的整数有9个,分别取x=－4,－3,－2, －1,0,1,2,3,4;再计算出对应的y的值,其中符合条件的解有4组.选C.
变式题1若x+y=0,且|x|=2则y的值为（ ）
A、0 B、2 C、－2 D、±2
例4已知二元一次方程组的解是（ B ）
A、 B、 C、 D、
解析:本题有两种解法：一种是将被选答案代入方程组，逐个验证；另一种是解方程组，求出其解.答案选B
变式题1 以为解的方程组是（ ）
A、 B、 C、 D、
类型之二 二元一次方程组的解法
1. 代入法
例5解方程组：
解析:因为方程组中相同未知数表示同一个量，方程①中的y=2x,所以方程②中的2x可用y代替，这样，方程②转化成了关于y的一元一次方程. 或将方程②中的y用 2x代替，这样，方程②转化成了关于x的一元一次方程.
解：将①代入②，得．
解这个方程，得．
将代入①，得．
所以，原方程的解为
点评：本题用代入消元法求解，充分体现了将“二元”转化为“一元”的消元思想.
变式题 解方程组
点评：本题运用代入消元法求解，需运用等式的基本性质将方程②变形为用含y的代数式表示x的形式.
2.加减法
例6 用加减法解下列方程组
（1）解方程组
（2）解方程组：
解析:（1）方程组①式与②式中未知数y的系数互为相反数，将①式与②式相加，可消去其中一个未知数y,达到消元的目的.（2）观察方程组中两个未知数系数，发现y的系数成整倍数关系，则只需将①式两边同乘以2，则两个方程中y的系数互为相反数，将两式相加可消去“一元”， 达到了消元的目的.
解：（1）①+②得4x=8,解得x=2,
将x=2代入②得,6+2y=8,解得y=1，所以原方程组的解是
（2）①得：　③
②③得：11x=33,解得x=3
把x=3代入①得：9-y=5,解得y=4.
所以原方程组的解是
点评：第（2）题也可用代入消元法求解.
变式题1解方程组
点评：求出方程组的解后，应将答案代入原方程组进行检验，并形成习惯.
3. 灵活消元
例7 用适当方法解下列方程组
解方程组
解析：（1）将原方程组化简后再选择适当的方法求解；（2）观察方程组的特征，可将原方程组的两个方程分别去分母、去括号，转化为二元一次方程组的一般形式，再选用适当的方法求解；也可用整体代入法或加减法解题，也可用“换元法”求解.
解：（1） 原方程组可变形为
②-①得：2x=-6 解得 x=-3,将x=-3代入②得：-6-3y=1,解得
变式题1 用适当方法解下列方程组
（1）
点评：灵活选择适当的方法可简化运算，同时可发展同学们的思维能力，提高解题速度.
变式题2 已知，则x- y = .
点评：代入法和加减法这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”，把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化为“已知”的重要数学思想。
类型之三 二元一次方程组的综合应用
1 .构造二元一次方程组解决问题
例8 已知|3x + y – 2 |+ (2x + 3y + 1)= 0 ,求x、y 的值。
解析：绝对值有非负性质（即不是负数），完全平方也有非负性质，如果两个非负数相加为0，那么每一个数必须是0，于是可得到：3x + y – 2 = 0；2x + 3y + 1 = 0.把它们组成方程组，再解方程组即可得到x、y 的值。
解：由绝对值及完全平方的非负性质得即
由①得y = -3x + 2.③ 把③代入②，2x + 3 (-3x + 2 )= -1,解得x = 1,
把x = 1 代入③，得y = -1.所以x = 1，y = -1。
点评：本题是根据两个非负数和为0，那么这两个数都为0，把原来的一个等式转化为两个方程，再组合成一个方程组，从而解决问题.这种转化的方法要注意体会.
变式题（学生完成） 已知5 + |x + y -3| + (x – 2y )= 5 ,则 （ ）
A、 B、 C、 D、
例9 已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（ A ）
A、，b=-4 B、，b=4 C、，b=4 D、，b=-4
解析：根据题意可得方程组 解得，b=-4; 因此选A
变式题1 （学生完成）已知与是同类项.则s+t= .
点评：将已知条件转化成解二元一次方程组问题，可解决求值问题.
变式题2 若二元一次方程组的解满足方程.则 k= .
点评：把已知条件转化为能够直接应用的关系，是解题的关键.一般来说，一个相等关系通常只能求出一个未知数的值.要求出两个未知数的值，需要两个相等关系，这一点在今后的学习中逐步能体会到.
类型之四 用方程组解决生活实际问题
1. 用方程组解决简单实际问题
例10根据题意列方程组:开学报到时小刚带了新版人民币50 元和10 元共12张240元准备交代办费,求小刚携带50元和10元的人民币各几张
【思路分析】 问题中包含的两个相等关系为：新版人民币50 元张数+ 10 元张数=12张；
新版人民币50 元总价值+10 元总价值=240元
解:设小刚带50元的人民币x张,带10的人民币y张, 根据题意列方程组得
点评 列二元一次方程组的关键是找出问题中蕴涵的相等关系.
变式题1小芳买了35张贺卡,共花了50元钱,其中大贺卡每张2元,小贺卡每张1元,小芳买大、小贺卡各多少张
【思路分析】设买大贺卡x张,小贺卡y张,则大贺卡总价值2x元,小贺卡总价值y元，相等关系为：大贺卡张数+小贺卡张数=35张, 大贺卡总价+小贺卡总价=50元.
解:设买大贺卡x张,小贺卡y张,根据题意列方程组得,
解这个方程组得 .
答:买大贺卡15卡,小贺卡20张.
点评 理解题意找出相等关系是解决问题的关键.
变式题2七年级(2)班的一个综合实践活动小组去A、B两个超市调查去年和今年“五一”节期间的销售情况。下图是调查后小敏与其他两位进行交流的情景，请你根据他们的对话，分别求出A、B两个超市今年“五一”节期间的销售额.
【思路分析】分析三个同学的对话，从中发现问题中的已知量、未知量及相等关系.
点评：本题图文并茂，需认真审题，设间接未知数可使问题简化.
2.运用列表法分析问题、解决问题
例11为响应承办“绿色奥运”的号召，某中学初三（2）班计划组织部分同学义务植树180棵，由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了2棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？
【思路分析】本题可通过列表来表示植树活动的有关数量.
每人植树棵数 人数 植树总棵数
原计划 x y 180
实际 x-2 1.5y 180
根据每人植树棵数×人数=植树总棵数,可列出两个方程.
解：设原计划每人植树x棵，原计划参加人数为y人，则实际参加人数为1.5y人.
根据题意列方程组得
将xy当成一个整体，把①代入②得y=30,则1.5y=45.
答：实际有45人参加了这次植树活动.
点评：运用整体代入法是解此特殊方程组的关键.
变式题1甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下得水恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求这两个水桶的容量.
【思路分析】本题可以通过列表来表示前后两桶水的变化。
点评：有些题目中，数量之间的关系不够明显，有时还有变化，为了弄清题意，理顺数量之间的关系，需要通过设计一些表格来帮助我们解题。如本例中，分析时用了较大的篇幅，花了一定的时间，但到实际解题时却显得很简便。
列表可以帮助我们尽快地理解题意，我们在解题时，不要怕麻烦，分析问题的能力会逐渐提高。
3.运用画示意图法分析问题、解决问题
例12一列匀速行驶的火车通过一座160米长的铁路桥用了30秒，若它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了32秒，求这列火车的速度和长度.
【思路分析】本题可通过画线段图来表示有关量的数量关系，火车在通过铁路桥时，从车头上桥到车尾出桥历时30秒，火车所行驶的路程是桥长与火车长的和；同理，它穿过一段200米长的隧道用了32秒，其所行驶的路程是隧道长与火车长的和.若设火车速度是xm/s,火车长为ym,其
示意图如下所示：
解：设火车速度是xm/s,火车长为ym, 根据题意列方程组得
解方程组得
答：火车速度是20m/s,火车长为440m.
点评：有关速度、时间及路程的问题，一般情况下可通过画直线型示意图帮助理解题意，这充分运用了数形结合的思想方法.
变式题1 汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每分钟行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间.
中考名题欣赏(师生共同完成)
例1请写出一个以为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：
①由两个二元一次方程组成， ②方程组的解为
这样的方程组可以是 ．
解析：本题结论开放，答案不唯一，如：
例2二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
例3解方程组
例4已知二元一次方程：（1）；（2）；（3）．请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解．
例5已知方程组的解为，则的值为
（ B ）
A． B． C． D．
例6若方程，和有公共解，则的取值为　　　．
例7小刘同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设1元的贺卡为张，2元的贺卡为张，那么所适合的一个方程组是（ ）
A． B． C． D．
例8国家为九年义务教育期间的学生实行“两免一补”政策，下表是我市某中学国家免费提供教科书补助的部分情况．
七 八 九 合计
每人免费补助金额（元） 110 90 50
人数（人） 80 300
免费补助总金额（元） 4000 26200
如果要知道空白处的数据，可设七年级的人数为，八年级的人数为，根据题意列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
例9下图是一个正方体的展开图，标注了字母“”的面是正方体的正面．如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求的值．
例10某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？
答：一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为元和元．
例11市政府根据社会需要，对自来水价格举行了听证会，决定从今年4月份起对自来水价格进行调整． 调整后生活用水价格的部分信息如下表：
用水量（m3） 单价（元/m3）
5m3以内（包括5m3）的部分 2
5m3以上的部分 x
已知5月份小晶家和小磊家分别交水费19元、31元，且小磊家的用水量是小晶家的用水量的1.5倍．请你通过上述信息，求出表中的x.
例12某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．
年
级
项
目
共计145元
共计280元
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