潮州市湘桥区2021-2022学年高二下学期期中考试
数学科问卷
本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，且，那么等于（ ）
A. B. C. D. 5
3.已知数列是等差数列，，则（ ）
A. 36 B. 30 C. 24 D. 18
4.已知圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
5．目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．济南市为实现“节能减排，绿色出行”，自2018年起大力推广新能源出租车、网约车．截止目前，全市出租车已有38%换装为新能源汽车，网约车中更是有51%的车辆为新能源汽车．某人从泉城广场通过手机软件打车功能，同时呼叫出租车与网约车，该软件平台向附近42辆出租车和21辆网约车推送接单信息（假设平台呼叫范围内新能源车比例与全市区域相同，每位司机接单机会相同），该乘客被新能源汽车接单的概率约为（ ）
A．42.3% B．44.5% C．46.7% D．50%
7．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
8．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明
了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数．
素数对（p，p+2）称为孪生素数对．从8个数对（3，5），（5，7），（7，9），（9，11），
（11，13），（13，15），（15，17），（17，19）中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为X，则E（X）＝（ ）
A． B． C． D．3
二、选择题：本题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是20 B．第4项的二项式系数最大
C．第3项是15x2 D．所有项的系数的和为0
10．目前有望战胜新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接种预防．装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X1服从正态分布N（4.4，0.09），乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X2服从正态分布N（4.7，0.01），则下列选项正确的是（ ）
附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827．
A．甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在（4.1，4.7）的概率约为0.6827
B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃膨胀系数不能超过5．则乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大
D．乙生产线所产的砌硅玻璃膨胀系数小于4.5的概率与大于4.8的概率相等
11．已知函数，则（ ）
A．在单调递增 B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为 D．是偶函数
12．已知函数，设数列的通项公式为，则此数列（ ）
A．图象是二次函数的图象 B．是递减数列
C．从第3项起各项均为负数 D．有两项为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知直线与直线平行，则实数
14. 数列的前项和，则_____.
15．已知随机变量X的分布如表，则D（X）＝ ．
X 0 1
P a 2a
16．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校举行文艺汇演．该校音乐组9名教师中3人只会器乐表演，5人只会声乐表演，1人既会器乐表演又会声乐表演，现从这9人中选出3人参加器乐表演，4人参加声乐表演，每人只能参加一种表演，共有 种不同的选法．（用数字作答）
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列为等差数列，公差，且，，依次成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若，求的值.
18.（10分）为了研究某种疾病的治愈率，某医院对100名患者中的一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如下：
（1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2×2列联表：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
外科疗法
化学疗法 18
合计 100
（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关．
附：Χ2＝（如需计算Χ2，结果精确到0.001）
Χ2独立性检验中常用小概率值和相应的临界值
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（12分）某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖．抽奖盒中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球，若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖．小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖．
（1）求每一位抽奖者中奖的概率；
（2）现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X表示中奖的人数，求X的分布列及均值．
20、(12分)随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年沙漠治理经费投入(亿元)和沙漠治理面积(万亩)的相关数据如下表所示：
年份 2017 2018 2019 2020
x 2 3 4 5
26 39 49 54
(1)建立关于的线性回归方程；
(2)若保持以往的经费增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积突破100万亩．
参考公式： ，.
21、（14分）如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值．
22、（12分）已知曲线上的点到的距离比它到直线的距离少3．
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率为的直线交曲线于，二点，交圆于，二点， ，在轴上方，过点，分别作曲线的切线，，，求与的面积的积的取值范围．潮州市湘桥区2021-2022学年高二下学期期中考试
数学科答案
1-8 DBBADAAC 9.（BD） 10．（AC） 11．（AC） 12．（BC） 13. 1或-1 14. 15． 16．30
17．解：（1）由，，依次成等比数列，可得， （1分）
即，解得， （3分） 则. （5分）
（2）由（1）可得， （7分）
即有前项和为 （9分）
解得. （10分）
18.（10分）解：（1）由题意可得，2×2列联表如下：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
外科疗法 20 20 40
化学疗法 42 18 60
合计 62 38 100
（3分）
（2）零假设为H0：是否治愈与治疗方法无关联． （4分）
由列联表中的数据可得，Χ2＝，（8分）
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们能推断H0不成立，
即认为是否治愈与治疗方法有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． （10分）
19．解：（1）设事件A为“抽奖者获奖”，则P（A）＝＝；（3分）
（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3， （4分）
则P（X＝0）＝＝0.343，P（X＝1）＝＝0.441，
P（X＝2）＝＝0.189，P（X＝3）＝＝0.027，（8分）（每个1分）
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
（10分）
所以E（X）＝0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027＝．（12分）
20、(12分)解：(1)由已知数据和参考数据得
， （2分）
， （3分）
， （4分）
， （6分） ， （7分）
所以线性回归方程为. （8分）
(2)由，得，而，于是， （10分）
所以到2025年沙漠治理面积可突破100万亩． （12分）
21、（14分）证明：（1）依题意，平面平面，，平面，
平面平面，（1分）【注】此步骤缺少任意一个条件，本得分点不给分
平面， （2分） 又平面， （3分）
（2）在中，取中点，连接， （4分）
平面 （6分）
以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，
所在的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系． （7分）
，．
，
（10分）（每个向量1分）
设平面的法向量为，则， （11分）
取，得 （12分）
设直线与平面所成角为，则 （13分）
因为，
所以直线与平面所成角的余弦值为． （14分）
22、（12分）已知曲线上的点到的距离比它到直线的距离少3．
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率为的直线交曲线于，二点，交圆于，二点， ，在轴上方，过点，分别作曲线的切线，，，求与的面积的积的取值范围．
解：(1)因为曲线上的点到的距离比它到直线的距离少3
所以曲线上的点到的距离和它到直线的距离相等…………2分
故曲线是为焦点，为准线的抛物线
故………………………4分
(2)由题设知： 则. 设，
∵，在轴上方∴，，，
与方程联立消得 （5分）
则，是“*”的二根,则且“*”的……………6分
由 得时，则；时，则
，. 故 ；
，联立消得，同时带入，方程相加得………………………8分
∴;到的距离………………………9分
;………………………10分
………11分
∴与的面积的积的取值范围是．………………………12分
