21.1《一元二次方程》 同步学案
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21.1《一元二次方程》学案
课题 21.1《一元二次方程》 单元 第21单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习目标 1.一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．根的作用的理解． 2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念
重点 一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．
难点 根的作用的理解．
教学过程
导入新课 【引入思考】情景：要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？[来源: ( http: / / www.21cnjy.com )解：设雕像下部高 x m，则上部为（2-x）m由题意得整理得 x2+2x-4=0 ①方程①属于我们学过的某一类方程吗？问题1： 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__________，宽为__________.得方程_____________________________整理得_____________________________ 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场.列方程____________________________化简整理得________________________ 请口答下面问题：（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
新知讲解 提炼概念 归纳：方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程叫一元二次方程.二元一次方程表达式一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0（a≠0）．其中ax2是____________，_____是二次项系数；bx是__________, _____是一次项系数；_____是常数项注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号二次项系数是一个重要条件，不能漏掉思考：为什么规定a≠0，b、c可以为0吗？判断：下面哪些方程是一元二次方程？(1) 2x2+x-3 (2) (x-7)2+2=x2 (3) (4) t2+4t-1=0 典例精讲 例 1 将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.思考：一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．猜测问题2中排球赛的出的方程的解是什么？试一试：当x=1时，x2－x=0；当x=2时，x2－x=2……我们可以填出下表：总结：使一元二次方程等号两边_______的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作一元二次方程的_____）．是否只有x=８是方程x2－x=56的根呢？试一试将x=－7代入方程：
课堂练习 巩固训练1.下列关于x的方程是一元二次方程的是( )A. x2+2x=3y B. 4x(x-1)=4x2C. D. (2x+7)(x-2)=02.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程，则m的值为( )A. 任何实数 B. m≠0 C. m≠1 D. m≠0 且m≠1 3.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？设有x人参加聚会，则根据题意，可列方程为 .4.关于x的方程(k2－4)x2 ＋ 3(k－2)x＋5k＋ 3＝0， 当k 时，是一元二次方程．当k 时，是一元一次方程．5.若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0,有一个根为0，求m的值.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）5x2-1=4x （2）4x2=81 （3）4x（x+2）=257.已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根，求 2a2+4a+2018的值. 答案引入思考 问题1解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm，由题意得 (100-2x)(50-2x)=3600整理得 x2-75x+350=0 ② 问题2解：设应邀请 x 个队参赛则每个队要与其他 (x－1) 个队各赛一场全部比赛场数为 4×7=28由题意得 整理得 x2-x-56=0 ③提炼概念总结：（１）这些方程的两边都是整式。（２）方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2。那么同学们能根据以上特点给一元二次方程下个定义吗？一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程．判断：下面哪些方程是一元二次方程？(1) 2x2+x-3 × (2) (x-7)2+2=x2 ×(3) × (4) t2+4t-1=0 √典例精讲 例1解：去括号，得3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.二元一次方程的根试一试将x=－7代入方程：x2－x=56，左边＝(－7)×(－7)－(－7)＝56＝右边，∴x＝－7也是方程x2－x=56的根. 虽然方程x2－x=56有两根（8和－7），但是排球邀请队数是一个正整数，即应邀请8个队参赛．这就说，由实际问题列出方程并得出方程的解后，还要考虑这些解是否确实是实际问题的解．巩固训练DC3.x2-x-20=0.4. ≠±2，＝－25.6.答案：（1）一般式：5x2-4x-1=0，二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.（2）一般式：4x2-81=0，二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.（3）一般式：4x2+8x-25=0，二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.7.
课堂小结 本节课你学会了什么？你知道一下知识吗？1.一元二次方程的概念2.一元二次方程的一般形式3.理解方程的解的概念；会用方程的解求待定系数——解的运用（代入）
x
x
100cm
50cm
3600cm2
100-2 x
50-2 x
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课题 21.1《一元二次方程》 单元 第21单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习目标 1.一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．根的作用的理解． 2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念
重点 一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．
难点 根的作用的理解．
教学过程
导入新课 【引入思考】情景：要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？[来源: ( http: / / www.21cnjy.com )解：设雕像下部高 x m，则上部为（2-x）m由题意得整理得 x2+2x-4=0 ①方程①属于我们学过的某一类方程吗？问题1： 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__________，宽为__________.得方程_____________________________整理得_____________________________ 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场.列方程____________________________化简整理得________________________ 请口答下面问题：（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
新知讲解 提炼概念 归纳：方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程叫一元二次方程.二元一次方程表达式一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0（a≠0）．其中ax2是____________，_____是二次项系数；bx是__________, _____是一次项系数；_____是常数项注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号二次项系数是一个重要条件，不能漏掉思考：为什么规定a≠0，b、c可以为0吗？判断：下面哪些方程是一元二次方程？(1) 2x2+x-3 (2) (x-7)2+2=x2 (3) (4) t2+4t-1=0 典例精讲 例 1 将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.思考：一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．猜测问题2中排球赛的出的方程的解是什么？试一试：当x=1时，x2－x=0；当x=2时，x2－x=2……我们可以填出下表：总结：使一元二次方程等号两边_______的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作一元二次方程的_____）．是否只有x=８是方程x2－x=56的根呢？试一试将x=－7代入方程：
课堂练习 巩固训练1.下列关于x的方程是一元二次方程的是( )A. x2+2x=3y B. 4x(x-1)=4x2C. D. (2x+7)(x-2)=02.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程，则m的值为( )A. 任何实数 B. m≠0 C. m≠1 D. m≠0 且m≠1 3.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？设有x人参加聚会，则根据题意，可列方程为 .4.关于x的方程(k2－4)x2 ＋ 3(k－2)x＋5k＋ 3＝0， 当k 时，是一元二次方程．当k 时，是一元一次方程．5.若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0,有一个根为0，求m的值.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）5x2-1=4x （2）4x2=81 （3）4x（x+2）=257.已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根，求 2a2+4a+2018的值. 答案引入思考 问题1解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm，由题意得 (100-2x)(50-2x)=3600整理得 x2-75x+350=0 ② 问题2解：设应邀请 x 个队参赛则每个队要与其他 (x－1) 个队各赛一场全部比赛场数为 4×7=28由题意得 整理得 x2-x-56=0 ③提炼概念总结：（１）这些方程的两边都是整式。（２）方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2。那么同学们能根据以上特点给一元二次方程下个定义吗？一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程．判断：下面哪些方程是一元二次方程？(1) 2x2+x-3 × (2) (x-7)2+2=x2 ×(3) × (4) t2+4t-1=0 √典例精讲 例1解：去括号，得3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.二元一次方程的根试一试将x=－7代入方程：x2－x=56，左边＝(－7)×(－7)－(－7)＝56＝右边，∴x＝－7也是方程x2－x=56的根. 虽然方程x2－x=56有两根（8和－7），但是排球邀请队数是一个正整数，即应邀请8个队参赛．这就说，由实际问题列出方程并得出方程的解后，还要考虑这些解是否确实是实际问题的解．巩固训练DC3.x2-x-20=0.4. ≠±2，＝－25.6.答案：（1）一般式：5x2-4x-1=0，二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.（2）一般式：4x2-81=0，二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.（3）一般式：4x2+8x-25=0，二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.7.
课堂小结 本节课你学会了什么？你知道一下知识吗？1.一元二次方程的概念2.一元二次方程的一般形式3.理解方程的解的概念；会用方程的解求待定系数——解的运用（代入）
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