21.2.2 公式法 同步学案
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21.2.2 公式法 学案
课题 21.2.2 公式法 单元 第21单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习目标 1.知道一元二次方程的根的判别式和求根公式的推导过程；2.会用根的判别式判断方程根的情况；3.能规范、熟练运用公式法解一元二次方程.
重点 会用根的判别式判断方程根的情况；熟练运用公式法解一元二次方程.
难点 知道一元二次方程的根的判别式和求根公式的推导过程.
教学过程
导入新课 【引入思考】 用配方法解方程：2x2-4x+1=0【探究一】:研读课本 p10页的探究内容，理解求根公式的推导过程尝试用配方法解方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)。解：方程两边都除以a，得 。移项，得： 。 配方，得： 。即：（x＋）2＝∵a≠0，所以4a2>0当b2－4ac≥0时，得x＋＝ 。 ∴x＝ 。即对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝ 。上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
新知讲解 提炼概念【探究二】请思考在【探究一】中，当b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根吗？并说出理由。●结论：一般地，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况有：（1）当b2－4ac≥0时，它的根是x＝________________（称为求根公式） 即 x1=______________ ，x2=_________________ 。(2)当b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)_________实数根。典例精讲 例2 用公式法解下列方程:x2-4x-7=0 (2) (3)5x2-3x=x+1 x2+17=8x 判别式“b2-4ac”定义：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式.通常用“△”表示，即_________________归纳：当△>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有_______________实数根；当△=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有 _______________ 实数根；当△<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）_______________实数根．反之，方程有实数根，也可以用“△”求解字母的范围，或者值。
课堂练习 巩固训练1．用公式法解方程3x-7=6x2时，a、b、c的值分别是( ) A．3、7、-6 B．3、-7、-6 C．3、-7、6 D．3、7、-6请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和“没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内。（1）x2-8=0 （2）x2+9=0（3） x2+x+1=0 （4）-2x2+x+3=03.用公式法解下列方程: (1) 5x2-3x-1=0 (2) (3)x2-8x=3x2+8 (1)关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 . 若关于x的一元二次方程（k-1）x2-2kx+k=2有实数根．求m的取值范围. 答案引入思考解：移项，得：2x2-4x= -1二次项系数化1，得配方得 环节一：推导公式用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)解：移项，得：ax2+bx= -c二次项系数化1，得配方得∵a≠0 ∴4a2≠0当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根． 即当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．(3) 当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．提炼概念 归纳：△=b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式．(1) 当 △>0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根．(2) 当 △=0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．(3) 当 △<0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．当△≥0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根 .当△≥0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的实数根是：（求根公式）解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.典例精讲 例2 解：(1)a=1,b=-4,c= -7△=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0 方程有两个不相等的实数根∴ 方程有两个相等的实数根(3)方程化为5x2-4x-1=0a=5,b=-4,c= -1△=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0 方程有两个不相等的实数根(4) x2-8x+17=0a=1,b=-8,c= 17△=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0 方程无实数根小结：1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当Δ＜0时，方程无实数根.(4)当Δ≥0时，方程有两个实数根巩固训练1.C答案：有两个实数根的方程的序号是（ （1）（4） ）没有实数根的方程的序号是（ （2）（3） ）3.4.（1）（2）化为一般式（k-1）x2-2kx+k-2=0．△＝4k2 4(k 1)(k 2)≥0，且k-1≠0解得，且k≠1.
课堂小结 小
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学习目标 1.知道一元二次方程的根的判别式和求根公式的推导过程；2.会用根的判别式判断方程根的情况；3.能规范、熟练运用公式法解一元二次方程.
重点 会用根的判别式判断方程根的情况；熟练运用公式法解一元二次方程.
难点 知道一元二次方程的根的判别式和求根公式的推导过程.
教学过程
导入新课 【引入思考】 用配方法解方程：2x2-4x+1=0【探究一】:研读课本 p10页的探究内容，理解求根公式的推导过程尝试用配方法解方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)。解：方程两边都除以a，得 。移项，得： 。 配方，得： 。即：（x＋）2＝∵a≠0，所以4a2>0当b2－4ac≥0时，得x＋＝ 。 ∴x＝ 。即对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝ 。上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
新知讲解 提炼概念【探究二】请思考在【探究一】中，当b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根吗？并说出理由。●结论：一般地，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况有：（1）当b2－4ac≥0时，它的根是x＝________________（称为求根公式） 即 x1=______________ ，x2=_________________ 。(2)当b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)_________实数根。典例精讲 例2 用公式法解下列方程:x2-4x-7=0 (2) (3)5x2-3x=x+1 x2+17=8x 判别式“b2-4ac”定义：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式.通常用“△”表示，即_________________归纳：当△>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有_______________实数根；当△=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有 _______________ 实数根；当△<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）_______________实数根．反之，方程有实数根，也可以用“△”求解字母的范围，或者值。
课堂练习 巩固训练1．用公式法解方程3x-7=6x2时，a、b、c的值分别是( ) A．3、7、-6 B．3、-7、-6 C．3、-7、6 D．3、7、-6请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和“没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内。（1）x2-8=0 （2）x2+9=0（3） x2+x+1=0 （4）-2x2+x+3=03.用公式法解下列方程: (1) 5x2-3x-1=0 (2) (3)x2-8x=3x2+8 (1)关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 . 若关于x的一元二次方程（k-1）x2-2kx+k=2有实数根．求m的取值范围. 答案引入思考解：移项，得：2x2-4x= -1二次项系数化1，得配方得 环节一：推导公式用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)解：移项，得：ax2+bx= -c二次项系数化1，得配方得∵a≠0 ∴4a2≠0当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根． 即当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．(3) 当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．提炼概念 归纳：△=b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式．(1) 当 △>0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根．(2) 当 △=0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．(3) 当 △<0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．当△≥0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根 .当△≥0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的实数根是：（求根公式）解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.典例精讲 例2 解：(1)a=1,b=-4,c= -7△=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0 方程有两个不相等的实数根∴ 方程有两个相等的实数根(3)方程化为5x2-4x-1=0a=5,b=-4,c= -1△=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0 方程有两个不相等的实数根(4) x2-8x+17=0a=1,b=-8,c= 17△=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0 方程无实数根小结：1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当Δ＜0时，方程无实数根.(4)当Δ≥0时，方程有两个实数根巩固训练1.C答案：有两个实数根的方程的序号是（ （1）（4） ）没有实数根的方程的序号是（ （2）（3） ）3.4.（1）（2）化为一般式（k-1）x2-2kx+k-2=0．△＝4k2 4(k 1)(k 2)≥0，且k-1≠0解得，且k≠1.
课堂小结 小
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