黑龙江省大庆市名校2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

大庆市名校2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试题
考试时间：120分钟；满分：150分
一、单选题
1．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．若命题，则命题p的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
6．已知随机变量，若，则（ ）
A．0.16 B．0.23 C．0.32 D．0.18
7．在一组样本数据（不相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A． B． C． D．1
8．从分别标有数字1、2、3、…7的7张卡片中一次性抽取2张，则抽到的2张卡片上数字之和为8的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 m 65 70
由表中提供的全部数据，用最小二乘法得y关于x的线性回归方程为，表中m的值为（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
10．随机变量，已知其概率分布密度函数在在处取得最大值为，则（ ）
附：．
A．0.6827 B．0.84135 C．0.97725 D．0.9545
11．已知集合，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．设，且，则（ ）
A． B． C． D．
14．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y（单位：）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），则（ ）
A．当时， B．当时，
C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下
D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下
三、填空题
15．不等式的解集为__________．
16．已知，则的值为__________．
17．某产品有5件正品和3件次品混在了一起（产品外观上看不出有任何区别），现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为__________．
18．设，若对于任意，总存在，使得成立，则a的取值范围是__________．
四、解答题
19．游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱，已有不少高校将游泳列为必修内容．某中学为了解2022届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 不喜欢游泳 总计
男生 10
女生 20
总计
己知从这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为．
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．已知四棱锥中，底面为正方形，平面，E、F分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
21．数字经济的发展需要5G、云计算、大数据及物联网等新型基础设施的支撑，5G作为新基建之首，对我国数字经济的发展有着重要的意义．，5G技术在我国已经进入高速发展阶段，5G宽带业务办理量也逐渐上升．某营业厅统计了2021年7月至2022年1月5G宽带业务办理量（单位：单），如表所示：
时间 2021年7月 2021年8月 2021年9月 2021年10月 2021年11月 2021年12月 2022年1月
月份编号x 1 2 3 4 5 6
5G宽带业务办理量y/单 290 330 360 440 480 520 590
（1）由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x之间的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.01）；
（2）求出y关于x的线性回归方程，并估计该营业厅2022年5月的5G宽带业务办理量．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
22．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率是，乙获鞋概率是．
（1）求甲恰好在第四局获胜的概率是多少？
（2）记X表示比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列与期望．
23．已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若函数的极大值不小于，求实数a的取值范围．
参考答案：
1-5 CDBDC 6-10 BACAB 11-12 AC 13．AC 14．BCD
15． 16．16 17． 18．
19．（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，
所以喜欢游泳的学生人数为．
其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：
喜欢游泳 不喜欢游泳 总计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
总计 60 40 100
（2）零假设为：喜欢游泳与性别无关联
根据列联表中的数据得：
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以，能认为喜欢游泳与性别有关联．
20．（1）∵面面，∴
又面，
∴平面
即平面，∴
又平面,
∴以D为坐标原点，以、、方向分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系，
则
∴，∴，∴；
，，，
令平面的法向量，
由得，令，则，
令平面的法向量，
由，得，令，，
，
又因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
21．（1）解：由题意知，
，
∴相关系．
∵y与x的相关系数近似为0.99，∴．y与x之间的线性相关程度相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y与x之间的关系．
（2）解：，
∴，
∴y关于x的线性回归方程为，
2022年5月对应的编号为11，将代入线性回归方程，得，
∴估计该营业厅在2022年5月的5G宽带业务办理量为780单．
22．（1）由题意可知，比赛四局，甲获胜，则第一局甲胜，第二局甲负，第三局甲胜，第四局甲胜，故甲恰好在第四局获胜的概率是．
（2）由题可知，X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
；
所以X的分布列为：
X 2 3 4 5
P
数学期望．
23．（1）当时，，则，
所以
所以在处的切线方程为：，即．
（2）因为函数的定义域为R，又．
①当时，对任意的，
即函数在R上单调递增，此时函数无极值，不合题意，舍去．
②当时，令，得．
当时，，当时，，
∴函数在单调递增，在单调递减．
函数的极大值，
整理得：．
令，其中，
因为，所以函数在上单调递增，且．
由可得，
∴．
故实数a的取值范围是．