辽宁省朝阳市建平县实高2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含解析）

建平县实高2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关系数，则线性相关程度最高的是（ ）
甲 乙 丙 丁
0.87 －0.91 0.58 0.83
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．随机变量的分布列如表：则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
3．在等差数列中，，，则（ ）
A．45 B．48 C．50 D．54
4．设为随机变量，且，若随机变量的数学期望，，则（ ）
A． B． C． D．
5．现有6名男医生、5名女医生，从中选出3名男医生、2名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．200种 D．462种
6．设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C．5 D．7
7．已知，则除以10所得的余数是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
8．已知数列满足若，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
11．若，，，，五个人在某风景点前站成一排拍合照，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，站在一起时，有12种不同的站法
B．若，不相邻时，有72种不同的站法
C．若在左边时，有60种不同的站法
D．若不站在最左边，不站最右边时，有78种不同的站法
12．已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在数列中，，，则______．
14．奶茶店老板对本店在2021年12月份出售热饮的杯数与当天的平均气温进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如下表），并由最小二乘法求得回归方程为．
气温 10 6 2 －2
售出热饮的杯数 24 34 48
表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为______．
15. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件表示选出的三种药方中至少有一药，事件表示选出的三种药方中至少有一方，则______．
16. 的展开式中各项系数之和为______；展开式中含项的系数为______．（用数字作答）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，，求的周长．
18.（本小题满分12分）
已知数列是公比为2的等比数列，是和的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
19.（本小题满分12分）
某中学在全校进行了一次爱国主义知识竞赛，共1000名学生参加，答对题数（共60题）分布如下表所示：
答对题数
频数 10 185 265 400 115 25
答对题数近似服从正态分布，为这1000人答对题数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）．
（1）估计答对题数在内的人数（精确到整数位）；
（2）将频率视为概率，现从该中学随机抽取4名学生，记答对题数位于的人数为，求的分布列和数学期望．
附：若，则，，．
20．（本小题满分12分）
已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21．（本小题满分12分）
司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．
（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
（2）采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为开车时不使用手机的男性司机人数，求的分布列和数学期望．
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆内任意一点（不含椭圆边界及轴），的周长的范围是．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于另一点，试判断是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．
建平县实高2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷
参考答案
1．B 越接近于1，两个变量的线性相关程度越高．故选B．
2．D 根据随机变量分布列的性质得，．故选D．
3．A ，，所以，，则．故选A．
4．B 由，，则，，解得，，．故选B．
5．C 由已知可得不同的选法共有．故选C．
6．C 在等比数列中，设公比为，当时，不符合题意．当时，由，，得解得或（舍），所以．故选C．
7．D ，所以除以10的余数为8．故选D．
8．A 因为恒成立，所以数列是递减数列，所以解得．故选A．
9．AD 因为，令，得，故A正确；令，得，所以，故B错误；展开式的通项为，令，得，所以，故C错误；令，得，所以，所以，所以，故D正确．故选AD．
10．ACD 因为，所以，故A正确；又，，故C正确；因为，所以，，故D正确．故选ACD．
11．BCD 先将，，排列，再看成一个元素，和剩余的2人，一共3个元素进行全排列，由分步原理可知共有种，所以A不正确；先将，之外的3人全排列，产生4个空，再将，两元素插空，所以共有种，所以B正确；5人全排列，而其中在的左边和在的右边是等可能的，所以在的左边的排法有种，所以C正确；对分两种情况：一是若站在最右边，则剩下的4人全排列有种，另一个是不在最左边也不在最右边，则从中间的3个位置中任选1个，然后从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有种，所以D正确．故选BCD．
12．ABD 因为，所以，又，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，即，所以为递减数列，的前项和．故选ABD．
13．64 在数列中，，，即，则数列是以2为首项，公比为2的等比数列，则．
14．42 设看不清的这个数据为，则，，由于回归直线必过平均值点，所以，解得．
15． ，，所以．
16．32（2分） －200（3分） 令，则，∵，所以含项的系数为．
17．解：（1）由正弦定理得，
即，则．
因为，所以，所以，得．
（2）由（1）知，，又，，
所以由余弦定理可得，
即，解得（舍）或．
所以三角形的周长为．
18．解：（1）由题意可得，即，解得，
∴数列的通项公式为．
（2）∵，
∴
．
19．解：（1）根据题意，可得
，
则．又，，
所以，所以人．
故答对题数在内的人数约为954人．
（2）由条件可知，的可能取值为0，1，2，3，4．
，；
；；
．
的分布列为
0 1 2 3 4
则．
20．解：（1）设等比数列的公比为，
当时，，所以，，无解．
当时，，所以
解得，或，（舍）．所以．
（2）．
所以，①
则，②
①－②得，
．
所以．
21．解：（1）由已知数据可得列联表如下：
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数 40 15 55
女性司机人数 20 25 45
合计 60 40 100
∵，
∴有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关．
（2）开车时不使用手机的男性司机人数为：人；开车时不使用手机的女性司机人数为：人．
由题意可知：的所有可能取值为0，1，2，3，
∴；；；．
则的分布列为：
0 1 2 3
则．
22．解：（1）因为点是椭圆内任意一点，所以．
由三角形的三边关系可得，，
即，所以．
由的周长的范围是可得
解得，，．所以椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率为0时，．
当直线的斜率不为0时，不妨设直线的方程为，直线的方程为，，，．
联立得，
所以，所以．
联立得，
所以，所以．
因为点在直线和直线上，
所以，，所以，．
因为点在椭圆上，所以．
所以．
综上所述，为定值．