冀教版数学七年级下册 第九章 三角形 复习课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
第九章 三角形 复习课件
本章学习的主要知识是三角形，其中三角形中主
要学习了与三角形有关的线段和三角形内角、外角的
知识，一般考查的题型包括三角形的计数，三角形的
三边关系，三角形的角平分线、中线、高，三角形内
角和及外角性质等，其核心考点可概括为：一个概念、
两个关系、三种线段、两种计算、两个技巧、四种思
想。
知识要点
1.三角形的概念：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三条线段叫做三角形的边，公共的端点叫做三角形的顶点，两边所形成的夹角叫做三角形的内角。三角形用符号“△”及顶点字母表示。
2.与三角形有关的线段：
三角形的高线、中线、角平分线：
（1）三线都经过顶点。
（2）都是线段。
（3）除直角三角形的两条高线在三角形的两条直角边上，钝角三角形的两条高线在三角形外部，其他各线均在三角形内。
（4）锐角三角形的高交于三角形内部一点，直角三角形的高交于三角形的直角顶点，钝角三角形的高所在的直线交于三角形外部一点。
1
考点
一个概念——与三角形有关的概念
1.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD边上一点。
（1）以AC为边的三角形共有________个，它们是____________________________；
（2）∠1是△________和△________的内角；
（3）在△ACE中，∠CAE的
对边是________。
3
△ACE，△ACD，△ACB
BCE
CDE
CE
2
考点
两个关系
2.现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
关系1
三角形的三边关系
B
3.已知：如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交于点O。试说明：AC＋BD＞ （AB＋BC＋CD＋DA）。
解：在△OAB中有OA＋OB＞AB，
在△OAD中有______________，
在△ODC中有______________，
在△________中有______________，
同类变式
OA＋OD＞AD
OD＋OC＞CD
OBC
OB＋OC＞BC
∴OA＋OB＋OA＋OD＋OD＋OC＋OB＋OC＞AB＋AD＋CD＋BC，
即________________________________。
∴AC＋BD＞ （AB＋BC＋CD＋DA）。
2（AC＋BD）＞AB＋BC＋CD＋DA
4.已知a，b，c是三角形的三边长，试化简：|b＋c－a|＋|b－c－a|＋|c－a－b|－|a－b＋c|。
同类变式
∵a，b，c是三角形的三边长，
∴b＋c－a＞0，b－c－a＜0，
c－a－b＜0，a－b＋c＞0，
∴|b＋c－a|＋|b－c－a|＋|c－a－b|－|a－b＋c|
＝b＋c－a－b＋c＋a－c＋a＋b－a＋b－c
＝2b。
解：
5.如图，在△ABC中，AB＞AC，∠AEF＝∠AFE，EF与BC的延长线交于点G，
试说明：∠G＝ （∠ACB－∠B）。
关系2
三角形内角、外角的关系
因为∠AEF＝∠AFE，∠AFE＝∠GFC，
所以∠AEF＝∠GFC。
因为∠AEF＝∠B＋∠G，
所以∠GFC＝∠B＋∠G。
又因为∠ACB＝∠GFC＋∠G，
所以∠ACB＝∠B＋2∠G。
所以∠G＝ （∠ACB－∠B）。
解：
6.已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线。
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）∠DAE与∠C－∠B有何关系？
同类变式
（1）∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°－30°－50°＝100°。
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝50°。
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°＋50°＝80°。
∵AD是△ABC的高，∴∠ADE＝90°。
∴∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－80°＝10°。
解：
（2）由（1）知，
∠DAE＝90°－∠AEC＝90° 。
又∵∠BAC＝180°－∠B－∠C。
∴∠DAE＝90°－∠B－ （180°－∠B－∠C）＝ （∠C－∠B）。
3
考点
三种线段
7.现如图所示，D是△ABC的角平分线BD和CD的交点，若∠A＝50°，则∠D＝（　　）
A．120°　　 　B．130°　　　
C．115°　　　 D．110°
线段1
三角形的角平分线
C
8.如图，在△ABC中，E是边BC上一点，EC＝2BE，点D是AC的中点。连接AE，BD交于点F。已知S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
线段2
三角形的中线
B
连接CF。设S△BEF＝x，因为EC＝2BE，点D是AC的中点，所以S△ADF＝S△CDF，S△ABD＝S△BCD＝
S△ABC＝6，S△CEF＝2S△BEF＝2x，所以S△ABF＝S△BCF＝3x。S△ADF＝S△CDF＝6－3x。由图形，得S△AEC＝2S△ABE，即2x＋（6－3x）＋（6－3x）＝2（x＋3x），解得x＝1，所以6－3x＝6－3×1＝3，所以S△ADF－S△BEF＝2。故选B。
9.如图，D为△ABC中AC边上一点，AD＝1，DC＝2，AB＝4，E是AB上一点，且△DEC的面积等于△ABC面积的一半，求EB的长。
线段3
三角形的高
如图，过点E作EF⊥AC于点F，
则 。
过点C作CG⊥AB于点G，
则 。
∴ ，即 。
解：
又∵ ，∴ ，∴AE＝3，
∴BE＝AB－AE＝1，即BE的长为1。
同（等）高的两个三角形的面积比等于底边长的比。
4
考点
两种计算
10.【中考·资阳】等腰三角形的两边长a，b满足|a－4|＋（b－9）2＝0，求这个等腰三角形的周长。
计算1
三角形中边的计算
∵|a－4|＋（b－9）2＝0，
∴|a－4|＝0，（b－9）2＝0。∴a＝4，b＝9。
若腰长为4，则4＋4＜9，不能构成三角形。
若腰长为9，则9＋4＞9，能构成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为9＋9＋4＝22。
解：
11.如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数。
计算2
三角形中角的计算
在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－20°－60°＝100°。
又因为AE是∠BAC的平分线，
所以∠BAE＝ ∠BAC＝ ×100°＝50°。
在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°。
又因为AD是高，所以∠BDA＝90°，
所以∠BAD＝180°－∠B－∠BDA＝180°－20°－90°＝70°。
所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°。
解：
灵活运用三角形内角和为180°，结合三角形的高及角平分线是求有关角的度数的常用方法。
5
考点
两个技巧
12.如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，且AB＝3，BC＝6，则CE与AD有怎样的数量关系？
技巧1
巧用面积法解决问题
根据△ABC的面积＝ AB·CE＝ BC·AD，
得 ×3·CE＝ ×6·AD，
所以CE＝2AD。
解：
13.如图，∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD，试说明∠A与∠D之间的数量关系。
技巧2
巧用整体法解决问题
因为∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD。
所以∠ABC＝ ∠DBC，∠ACB＝ ∠DCB。
所以∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）
＝180°－（ ∠DBC＋ ∠DCB）
＝180°－ （∠DBC＋∠DCB）
＝180°－ （180°－∠D）
＝180°－270°＋ ∠D
＝ ∠D－90°。
即∠A＝ ∠D－90°。
解：
6
考点
四种思想
14.如阅读两名同学对下题的解答过程。一个等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为8cm，则这个三角形另外两边的长分别是多少？
李明说应这样解：设腰长为xcm，则2x＋8＝28，解得x＝10，所以这个三角形的另外两边的长均为10cm。张钢说应这样解：设底边长为xcm，则2×8＋x＝28，解得x＝12，所以这个三角形的另外两边的长分别为8cm，12cm。
试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程。
思想1
分类讨论思想
李明、张钢两人的解法均不全面。正确的解答过程如下：
当该等腰三角形的底边长为8cm时，腰长为（28－8）× ＝10（cm）。
当该等腰三角形的腰长为8cm时，底边长为28－2×8＝12（cm）。
根据三角形三边关系可验证这两种情况均成立。
所以这个三角形的另外两边的长是10cm，10cm或8cm，12cm。
解：
本题中没有明确8cm是等腰三角形的底边长还是腰长，需对其进行分情况讨论，并用三角形的三边关系进行验证。
15.在△ABC中，∠B＝20°＋∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数。
思想2
方程思想
∠C＝∠B－10°＝20°＋∠A－10°＝10°＋∠A，
所以∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋20°＋∠A＋10°＋∠A＝3∠A＋30°＝180°，所以∠A＝50°。
解：
16.如图，A点在B点的北偏东40°方向，C点在B点的北偏东75°方向，A点在C点的北偏西50°方向。
（1）试说明△ABC为直角三角形；
（2）求∠ACB的度数。
思想3
建模思想
（1）过点A作AF∥BD，交BC于点F，则AF∥EC。
∵∠ABD＝40°，∴∠BAF＝∠ABD＝40°。
∵∠ACE＝50°，∴∠CAF＝∠ACE＝50°。
∴∠BAC＝∠BAF＋∠CAF＝40°＋50°＝90°。
∴△ABC为直角三角形。
（2）∵∠DBC＝75°，∠DBA＝40°，
∴∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝75°－40°＝35°。
∴在△ABC中，∠ACB＝180°－90°－∠ABC＝90°－35°＝55°。
解：
本题主要考查了数学建模思想，即把方位角建模成几何图形中的角，同时应用了平行线的性质，三角形的内角和定理及直角三角形的定义等。
17.如图所示，在△ABC中，分别延长△ABC的边AB，AC到D，E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：
①若∠A＝50°，则∠P＝65°＝90°－ ；
②若∠A＝90°，则∠P＝45°＝90°－ ；
③若∠A＝100°，则∠P＝40°
＝90°－ 。
思想4
从特殊到一般的思想
（1）根据上述规律，若∠A＝150°，则∠P＝________；
（2）请你用数学表达式写出∠P与∠A的关系；
（3）请说明（2）中结论的正确性。
15°
（2）∠P＝90°－ ∠A。
（3）因为∠DBC是△ABC的一个外角，
所以∠DBC＝∠A＋∠ACB。
因为BP是∠DBC的平分线，
所以∠PBC＝ ∠A＋ ∠ACB。
同理可得∠PCB＝ ∠A＋ ∠ABC。
解：
因为∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°，
所以∠P＝180°－（∠PBC＋∠PCB）
＝180°－
＝180°－
＝90°－ ∠A。
谢 谢