指数函数教学设计
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指数函数教学设计
（一）情景设置，形成概念
1、引例1：折纸问题：让学生动手折纸
观察：①对折的次数ｘ与所得的层数ｙ之间的关系，得出结论ｙ=ｘ2
②对折的次数ｘ与折后面积ｙ之间的关系（记折前纸张面积为1），
得出结论ｙ=（1/2）ｘ
引例2：《庄子。天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。请写出取x次后，木棰的剩留量与y与x的函数关系式。
设计意图：
（1）让学生在问题的情景中发现问题，遇到挑战，激发斗志，又引导学生在简单的具体问题中抽象出共性，体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律。从而引入两种常见的指数函数①a>1②0（2）让学生感受我们生活中存在这样的指数函数模型，便于学生接受指数函数的形式。
2、形成概念：
形如ｙ=aｘ（a>0且a≠1）的函数称为指数函数，定义域为ｘ∈R。
提出问题:为什么要限制a>0且a≠1？
这一点让学生分析，互相补充。
分a﹤0，且a=0，0﹤a﹤1，a=1，a>1五部分讨论。
（二）发现问题、深化概念
问题1：判断下列函数是否为指数函数。
1）ｙ=-3ｘ 2）ｙ=31/x 3) ｙ=31+x 4) ｙ=(-3)x 5) ｙ=3-x=(1/3) x
设计意图：1、通过这些函数的判断，进一步深化学生对指数函数概念的理解，指数函数的概念与一次、二次函数的概念一样都是形式定义，也就是说必须在形式上一模一样方行，即在指数函数的表达式中ｙ=ax（a>0且a≠1）。
1）ax的前面系数为1， 2）自变量x在指数位置， 3）a>0且a≠1
2、问题1中（4）ｙ=(-3)x的判定，引出问题1：即指数函数的概念中为什么要规定a>0且a≠1
1）a<0时，ｙ=(-3)x对于x=1/2，1/4，……(-3)x无意义。
2）a=0时，x>0时，ax=0；x≤0时无意义。
3）a=1时，ax= 1x=1是常量，没有研究的必要。
设计意图：通过问题1对a的范围的具体分析，有利于学生对指数函数一般形式的掌握，同时也为后面研究函数的图像和性质埋下伏笔。
落实掌握：1）若函数ｙ=(a x -3a+3) a x是指数函数，求a值。
2）指数函数f(x)= a x（a>0且a≠1）的图像经过点（3，9），求f(x)、f(0)、f(1)的值。——待定系数法求指数函数解析式（只需一个方程）。
（三）深入研究图像，加深理解性质
指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数，所以在这部分的安排上，我更注意学生思维习惯的养成，即应从哪些方面，哪些角度去探索一个具体函数，我在这部分设置了两个环节。
第一环节：分三步
（1）让学生作图 （2）观察图像，发现指数函数的性质 （3）归纳整理
学生课前准备：利用描点法作函数y=2x，y=3x，以及y=(1/2）x、y=(1/3)x的图像。
设计意图：（1）观察总结a>1,0（2）观察ｙ=2x与ｙ=2-x，ｙ=3x与ｙ=3-x图像关于y轴对称。
（3）在第一象限指数函数的图像满足“底大图高。
（4）经过（0，1）点图像位置变化。
变式：去掉底数换成字母，根据图像比较底数的大小。
方法提炼：①用上面得到的规律；
②作直线x=1与指数函数图像相交的纵坐标，即为底数。
第二环节：
利用多媒体教学手段，通过几何画板演示底数a 取不同的值时，让学生观察函数图像的变化特征，归纳总结：ｙ=ax的图像与性质
以y=2x为例，让学生用单调性的定义加以证明；
设计意图：（1）让学生由初中的“看图说话”的水平，提升到高中的严格推理的层面上来。
（2）学习用做商法比较大小。
4、奇偶性： 不具备
5、对称性：ｙ=ax不具备，但底数互为倒数的两个指数函数图像关于y轴对称。从形式上可变为y=ax与y=a-x
总结:两个函数y=f(x),y=f(-x)关于y轴对称。
6、交点：（1）与y轴交于一点（0，1） （2）与x轴无交点（x轴为其渐近线）
7、 当x>0时,y>1；当x<0时,00时, 01
8、ｙ=ax（a>0且a≠1）在第一象限图像“底大图高”（直线x=1辅助）
难点突破：通过数形结合，利用几个底数特殊的指数函数的图像将本节课难点突破。
为帮助学生记忆，教师用一句精彩的口诀结束性质的探究：
左右无限上冲天，永与横轴不沾边。
大1增，小1减，图像恒过（0，1）点。
（四）强化训练落实掌握
例1：学习了指数函数的概念，探究出它的性质以后，再回应本节课开头的问题，解决引例问题。
例2：比较下列各题中两值的大小
（1） （4/3）-0.23 与（4/3）-0.25； （2） （0.8）2.5与（0.8）3 。
方法指导：同底指数不同，构造指数函数，利用函数单调性
（3） 与；（4） 与
方法指导：不同底但可化同底，也化归为第一类型利用单调性解决。
（5）(3/4)2/3与(5/6)2/3；（6）（-2.1）3/7与（-2.2）3/7
方法指导：底不同但指数相同，结合函数图像进行比较，利用底大圈高。（6）“-”是学生的易错易混点。
（7）（0.3）-3与(2.3)2/3；（8）1.70.3与0.93.1。
方法指导：底不同，指数也不同，可采用①估算（与常见数值比较如（8））②中间量如（7）（10/3）3〔（10/3）2/3或（2.3）3〕(2.3)2/3。
变式：已知下列不等式, 比较的大小 :
(l)
(2)
(3) （且）
(4)
设计意图：（1）、（2）对指数函数单调性的应用（逆用单调性），（3）建立学生分类讨论的思想。（4）培养学生灵活运用图像的能力。
（五）归纳总结，拓展深化
请学生从知识和方法上谈谈对这一节课的认识与收获。
1、知识上：学习了指数函数的定义、图像和性质以及应用。关键要抓住底数a>1 和1>a>0时函数图像的不同特征和性质是学好本节的关键。
2、方法上：经历从特殊→一般→特殊的认知过程，从观察中获得知识，同时了解指数函数的实际背景和和研究函数的基本方法；体会分类讨论思想、数形结合思想。
（六）布置作业，延伸课堂
A类：（巩固型）面向全体同学
1、完成课本P93/习题3-1 A
B类：（提高型）面向优秀学生
2、完成学案P1/题型1。
（一）情景设置，形成概念
1、引例1：折纸问题：让学生动手折纸
观察：①对折的次数ｘ与所得的层数ｙ之间的关系，得出结论ｙ=ｘ2
②对折的次数ｘ与折后面积ｙ之间的关系（记折前纸张面积为1），
得出结论ｙ=（1/2）ｘ
引例2：《庄子。天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。请写出取x次后，木棰的剩留量与y与x的函数关系式。
设计意图：
（1）让学生在问题的情景中发现问题，遇到挑战，激发斗志，又引导学生在简单的具体问题中抽象出共性，体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律。从而引入两种常见的指数函数①a>1②0
2、形成概念：
形如ｙ=aｘ（a>0且a≠1）的函数称为指数函数，定义域为ｘ∈R。
提出问题:为什么要限制a>0且a≠1？
这一点让学生分析，互相补充。
分a﹤0，且a=0，0﹤a﹤1，a=1，a>1五部分讨论。
（二）发现问题、深化概念
问题1：判断下列函数是否为指数函数。
1）ｙ=-3ｘ 2）ｙ=31/x 3) ｙ=31+x 4) ｙ=(-3)x 5) ｙ=3-x=(1/3) x
设计意图：1、通过这些函数的判断，进一步深化学生对指数函数概念的理解，指数函数的概念与一次、二次函数的概念一样都是形式定义，也就是说必须在形式上一模一样方行，即在指数函数的表达式中ｙ=ax（a>0且a≠1）。
1）ax的前面系数为1， 2）自变量x在指数位置， 3）a>0且a≠1
2、问题1中（4）ｙ=(-3)x的判定，引出问题1：即指数函数的概念中为什么要规定a>0且a≠1
1）a<0时，ｙ=(-3)x对于x=1/2，1/4，……(-3)x无意义。
2）a=0时，x>0时，ax=0；x≤0时无意义。
3）a=1时，ax= 1x=1是常量，没有研究的必要。
设计意图：通过问题1对a的范围的具体分析，有利于学生对指数函数一般形式的掌握，同时也为后面研究函数的图像和性质埋下伏笔。
落实掌握：1）若函数ｙ=(a x -3a+3) a x是指数函数，求a值。
2）指数函数f(x)= a x（a>0且a≠1）的图像经过点（3，9），求f(x)、f(0)、f(1)的值。——待定系数法求指数函数解析式（只需一个方程）。
（三）深入研究图像，加深理解性质
指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数，所以在这部分的安排上，我更注意学生思维习惯的养成，即应从哪些方面，哪些角度去探索一个具体函数，我在这部分设置了两个环节。
第一环节：分三步
（1）让学生作图 （2）观察图像，发现指数函数的性质 （3）归纳整理
学生课前准备：利用描点法作函数y=2x，y=3x，以及y=(1/2）x、y=(1/3)x的图像。
设计意图：（1）观察总结a>1,0
（3）在第一象限指数函数的图像满足“底大图高。
（4）经过（0，1）点图像位置变化。
变式：去掉底数换成字母，根据图像比较底数的大小。
方法提炼：①用上面得到的规律；
②作直线x=1与指数函数图像相交的纵坐标，即为底数。
第二环节：
利用多媒体教学手段，通过几何画板演示底数a 取不同的值时，让学生观察函数图像的变化特征，归纳总结：ｙ=ax的图像与性质
以y=2x为例，让学生用单调性的定义加以证明；
设计意图：（1）让学生由初中的“看图说话”的水平，提升到高中的严格推理的层面上来。
（2）学习用做商法比较大小。
4、奇偶性： 不具备
5、对称性：ｙ=ax不具备，但底数互为倒数的两个指数函数图像关于y轴对称。从形式上可变为y=ax与y=a-x
总结:两个函数y=f(x),y=f(-x)关于y轴对称。
6、交点：（1）与y轴交于一点（0，1） （2）与x轴无交点（x轴为其渐近线）
7、 当x>0时,y>1；当x<0时,0
8、ｙ=ax（a>0且a≠1）在第一象限图像“底大图高”（直线x=1辅助）
难点突破：通过数形结合，利用几个底数特殊的指数函数的图像将本节课难点突破。
为帮助学生记忆，教师用一句精彩的口诀结束性质的探究：
左右无限上冲天，永与横轴不沾边。
大1增，小1减，图像恒过（0，1）点。
（四）强化训练落实掌握
例1：学习了指数函数的概念，探究出它的性质以后，再回应本节课开头的问题，解决引例问题。
例2：比较下列各题中两值的大小
（1） （4/3）-0.23 与（4/3）-0.25； （2） （0.8）2.5与（0.8）3 。
方法指导：同底指数不同，构造指数函数，利用函数单调性
（3） 与；（4） 与
方法指导：不同底但可化同底，也化归为第一类型利用单调性解决。
（5）(3/4)2/3与(5/6)2/3；（6）（-2.1）3/7与（-2.2）3/7
方法指导：底不同但指数相同，结合函数图像进行比较，利用底大圈高。（6）“-”是学生的易错易混点。
（7）（0.3）-3与(2.3)2/3；（8）1.70.3与0.93.1。
方法指导：底不同，指数也不同，可采用①估算（与常见数值比较如（8））②中间量如（7）（10/3）3〔（10/3）2/3或（2.3）3〕(2.3)2/3。
变式：已知下列不等式, 比较的大小 :
(l)
(2)
(3) （且）
(4)
设计意图：（1）、（2）对指数函数单调性的应用（逆用单调性），（3）建立学生分类讨论的思想。（4）培养学生灵活运用图像的能力。
（五）归纳总结，拓展深化
请学生从知识和方法上谈谈对这一节课的认识与收获。
1、知识上：学习了指数函数的定义、图像和性质以及应用。关键要抓住底数a>1 和1>a>0时函数图像的不同特征和性质是学好本节的关键。
2、方法上：经历从特殊→一般→特殊的认知过程，从观察中获得知识，同时了解指数函数的实际背景和和研究函数的基本方法；体会分类讨论思想、数形结合思想。
（六）布置作业，延伸课堂
A类：（巩固型）面向全体同学
1、完成课本P93/习题3-1 A
B类：（提高型）面向优秀学生
2、完成学案P1/题型1。