第一章 三角函数
§ 1.1.1 任意角
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题是真命题的是 ( )
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．{|=k·360°+90°,k∈Z }={β |β=k·180°+90°,k∈z }
2．设A＝{θ| θ为锐角}，B＝{θ |θ为小于90°的角}，C＝{θ| θ为第一象限的角}，D＝{θ| θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是 ( )
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
3．终边落在X轴上的角的集合是 ( )
Α．{|=k·360°,K∈Z } B．{ |=(2k+1)·180°,K∈Z }
C．{|=k·180°,K∈Z } D．{|=k·180°+90°,K∈Z }
4．与405°角终边相同的角是 ( )
A．k·360°－45°，k ∈Z B．k·180°－45°，k ∈Z
C．k·360°＋45°，k ∈Z D．k·180°＋45°，k ∈Z
5．若α＝45°＋k·180° (k ∈Z)，则α的终边在 ( )
A．第一或第三象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
6．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在 ( )
A．x轴的非负半轴 B．x轴的负半轴
C．y轴的非负半轴 D．y轴的负半轴
7．若α是第四象限角，则180°－α是 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
8．在－390°，－885°，1 351°，2 012°这四个角中，其中第四象限角的个数
为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．时针走过了1小时40分钟，则分针转过的角度为___ ___．
10．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角为_____ _____．
11．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝____ ____．
12．已知为第二象限的角，则在第 象限.
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)－720°～720°内的角．
14．（本小题满分12分）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．
15.（本小题满分12分）已知角，
（1）在区间内找出所有与角有相同终边的角；
（2）集合︱，,
︱那么两集合的关系是什么？
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
答案
1．D 2．D 3．C 4．C 5．A 6．A 7．C 8．C
9．－600° 10．－160°，200° 11．150°＋k·360°，k ∈Z 12．一或三
13．解：(1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，
∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.
(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，
∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.
(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，
∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同.
由－720°≤k·360°＋147°<720°，k ∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.
14．解：(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k ∈Z}.
(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k ∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k ∈Z}
＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}
＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}.
15．(1) -315° -675° (2) MN
16．解：(1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°
范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角
是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：
S1＝{β |β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β| β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β| β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β| β＝60°
＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β |β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β| β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β| β＝60°＋n·180°，n ∈Z}.
(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n ∈Z.
解得－
所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；
60°－1×180°＝－120°；
60°＋0×180°＝60°；
60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420°；
60°＋3×180°＝600°.
§ 1.1.2 弧度制
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．－300° 化为弧度是 ( )
A．－π B．－π C．－π D．－π
2．已知α= –3，则α是 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．集合A＝与集合B＝的关系是 ( )
A．A＝B B．A?B C．B?A D．以上都不对
4．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 ( )
A．2 B．sin 2 C． D．2sin 1
5．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k ∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于 ( )
A．? B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π} D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
6．扇形圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为 ( )
A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9
7．已知α为第二象限的角，则π－所在的象限是 ( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
8．集合M=，N=，则M∩N为 ( )
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
10．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝______.
11．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.
12．扇形OAB的面积是1cm2，它的周长为4cm，则它的中心角与弦AB的长分别是__________ _____________．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．
14．（本小题满分12分）用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
15．（本小题满分12分） 如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，依 逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
答案
1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C
9．5 10．或 11．－，－，， 12．2 rad.
13．解：
(1).
(2).
14．解：设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，
∴l＝30－2r，
从而S＝·l·r＝(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－2＋.
∴当半径r＝ cm时，l＝30－2×＝15 cm，扇形面积的最大值是 cm2，
这时α＝＝2 rad.
15．解：因为0<θ<π，且2kπ＋π<2θ<2kπ＋(k ∈Z)，
则必有k＝0，于是<θ<，
又14θ＝2nπ(n ∈Z)，所以θ＝，
从而<<，即所以n＝4或5，故θ＝或.
16．解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝α R＝ (cm).
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin ＝50 (cm2).
(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋α R，
∴α＝，
∴S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R＝－R2＋c R＝－2＋.
当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是.
§ 1.2.1 任意角的三角函数（第一课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin 1 860°等于 ( )
A． B．－ C． D．－
2．函数的值域是 ( )
A．{1} B．{1，3} C．{-1} D．{-1，3}
3．已知α的终边经过P（），则α可能是 ( )
A． B． C． D．
4．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为 ( )
A．3 B．－3 C．±3 D．5
5．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为 ( )
A． B． C． D．
6．设角α的终边经过点(－6t，－8t) (t≠0)，则sin α－cos α的值是 ( )
A． B．－ C．± D．不确定
7．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 ( )
A．sin B．cos C．tan D．cos 2θ
8．若θ是第三象限角，且，则是 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．已知sin θ·tan θ<0，则角θ位于第__ __象限．
10．已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a的取值范围
为_____ ___．
11．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
12．角α的终边上有一点P（m，5），且，则sinα+cosα=______．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）角α的终边上一点P的坐标为(4a，－3a)(a≠0)，求
2sin α＋cos α的值．
14．（本小题满分12分）化简下列各式：
(1)sin π＋cos π＋cos(－5π)＋tan ；
(2)a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°.
15．（本小题满分12分）判断下列各式的符号：
(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan；
(3)(θ为第二象限角)．
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动π弧长到达点Q，求点Q的坐标 ．
答案
1．C 2．D 3．C 4．A 5．D 6．C 7．C 8．B
9．二或三 10．－213．解： 由题意有x＝4a，y＝－3a，
故r＝＝5|a|.
(1)当a＞0时，α是第四象限的角，所以
sin α＝＝＝－，cos α＝＝，故2sin α＋cos α＝－.
(2)当a<0时，α是第二象限的角，所以
sin α＝＝＝，cos α＝＝－，故2sin α＋cos α＝.
14．解： (1)原式＝sin π＋cos ＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan(3×360°＋45°)
＝a2＋b2＋2abtan 45°＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
15．解： (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin 340°<0，cos 265°<0
∴sin 340°cos 265°>0.
(2)∵π<4<，
∴4是第三象限角，
∵－π＝－6π＋，
∴－π是第一象限角.
∴sin 4<0，tan>0，
∴sin 4tan<0.
(3)∵θ为第二象限角，∴0∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0，
∴<0.
16.
§ 1.2.1 任意角的三角函数（第二课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有三个命题：
①和的正弦线相等；②和的正切线相等；③和的余弦线相等．
其中正确说法的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．0
2．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是 ( )
A．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B．sin 1>sin 1.5>sin 1.2
C．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D．sin 1.2>sin 1>sin 1.5
3．已知角的余弦线是单位长度的有向线段,那么角的终边 ( )
A．在轴上 B．在直线上
C．在轴上 D．在直线或上
4．函数y＝tan的定义域为 ( )
A． B．
C． D．
5．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有 ( )
A．aC．c6．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．∪
7．如果<α<，那么下列不等式成立的是 ( )
A．cos αC．sin α8．函数的定义域是 ( )
A．， B．，
C．， D．[2kπ，（2k+1）π]，
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．集合A＝[0,2π]，B＝{α|sin α10．不等式tan α＋>0的解集是________ ______．
11．求函数f(x)＝的定义域为________．
12．已知锐角α的终边上一点坐标为，则角α的弧度数是________．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：
(1)sin x>－且cos x>；(2)tan x≥－1.
14．（本小题满分12分）求函数f(x)＝的定义域．
15．（本小题满分12分）设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小．
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．当α∈时，求证：sin α<α答案
1．B 2．C 3．A 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B
9．∪ 10．
11．，k ∈Z 12．
13．解：
(1)由图(1)知：当sin x>－且cos x>时，角x满足的集合为：
.
(2)由图(2)知：当tan x≥－1时，角x满足的集合为：
∪
.
即.
14．解： 由－tan x≥0，∴tan x≤，
∴kπ－即定义域为
.
15．解：θ是第二象限角，
即2kπ＋<θ<2kπ＋π (k ∈Z)，
故kπ＋<作出所在范围如图所示.
当2kπ＋<<2kπ＋ (k ∈Z)时， cos 当2kπ＋<<2kπ＋π (k ∈Z)时， sin 16．证明：如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与
单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，
则MP＝sin α，AT＝tan α.
因为S△AOP＝OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝αOA2＝α，
S△AOT＝OA·AT＝tan α，
又S△AOP所以sin α<α<tan α，
即sin α<α§ 1.2.2 同角三角函数的基本关系（第一课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于 ( )
A．－ B. C．± D．±
2．，则的值等于 ( )
A． B． C． D．
3．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为 ( )
A．－ B．－ C． D．
4．若，则θ角在 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α等于 ( )
A．－ B．－ C．－ D．－
6．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于 ( )
A．－ B． C．－ D．
7．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值是 ( )
A． B．－ C． D．－
8．化简后可能取值的集合中元素的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．若cos α＝－，且α∈，则tan α＝________.
10．已知sin αcos α＝且<α<，则cos α－sin α＝____.
11．已知tan α＝－，则的值是________．
12．已知，则m=________________．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）已知sin α＝m(|m|<1且m≠0)，求tan α的值．
14．（本小题满分12分）已知＝，求下列各式的值．
(1)；
(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.
15．（本小题满分12分）已知sin α－cos α＝－，π<α<，求tan α的值．
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a ∈R)．
(1)求sin3θ＋cos3θ的值； (2)求tan θ＋的值．
答案
1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．D 7．D 8．B
9． 10．－ 11．－ 12．0或8
13．解：∵sin α＝m(m≠0，m≠±1)，
∴cos α＝±＝±(当α为一、四象限角时取正号，当α为二、三象限角时取负号).
∴当α为一、四象限角时，tan α＝；
当α为二、三象限角时，tan α＝－.
14．解：由已知＝，
∴＝.解得：tan θ＝2.
(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ＝＝＝.
15．解：由，消去sin α得5cos2α－cos α－2＝0.
∴cos α＝或cos α＝－.
∵π<α<，∴cos α<0.
∴cos α＝－，∴sin α＝－.
∴tan α＝＝＝2.
16．解：(1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a，sin θ·cos θ＝a.
∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
∴a2＝1＋2a.
解得：a＝1－，a＝1＋(舍)
∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)
＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)＝a(1－a)＝－2.
(2)tan θ＋＝＋＝
＝＝＝＝－1－.
§ 1.2.2 同角三角函数的基本关系（第二课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若sin α＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若，则下列结论中一定成立的是 ( )
A． B．
C． D．
3．若sin4θ＋cos4θ＝1，则sin θ＋cos θ的值为 ( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
4．若，则 ( )
A．1 B． - 1 C． D．
5．已知＝－，那么的值是 ( )
A． B．－ C．2 D．－2
6．已知＝2，那么(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为 ( )
A．6 B．4 C．2 D．0
7．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为 ( )
A．－4 B．4 C．－8 D．8
8．已知tan α＋sin α＝a (a≠0)，tan α－sin α＝b，则cos α等于 ( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．若，则的值为________________．
10．若sin θ＝，cos θ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值
为________．
11．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝________.
12．若0<α<，则＋的化简结果是________．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
10．（本小题满分10分）化简：＋3sin2x.
11．（本小题满分12分）已知sin αcos α＝，且α是第三象限角.
求－的值．
12．（本小题满分12分）求证：－＝.
四、探究与拓展（本题满分14分）
13．已知tan θ＝(0答案
1．B 2．D 3．D 4．A 5．A 6．B 7．C 8．D
9． 3 10． 11．1 12．2cos
13．解：原式＝＋3sin2x
＝＋3sin2x＝3cos2x＋3sin2x＝3(sin2x＋cos2x)＝3.
14．解：原式＝－
＝－
＝－
＝－
＝＝sin α＋cos α.
∵sin αcos α＝，且α是第三象限角，
∴sin α＋cos α＝－＝－＝－＝－.
15．证明：方法一
左边＝
＝
＝
＝
＝＝右边.∴原式成立.
方法二
∵＝＝，
＝＝，
∴－＝.
∴原式成立.
16．解：∵tan θ＝，
∴＝＝－1，∴a＝cos2θ，
∴＋＝＝
＝＝＝－2.
§ 1.3 三角函数的诱导公式（第一课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin 585°的值为 ( )
A．－ B． C．－ D．
2． 下列等式恒成立的是 ( )
A． B．
C． D．
3．若n为整数，则代数式的化简结果是 ( )
A．±tan α B．－tan α C．tan α D．tan α
4．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于 ( )
A． B．± C． D．－
5．tan(5π＋α)＝m，则的值为 ( )
A． B． C．－1 D．1
6．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于 ( )
A． B．－
C． D．－
7．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为 ( )
A． B．－
C．± D．以上都不对
8． 已知, 则的值为 ( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．已知cos＝，则cos＝________.
10．代数式的化简结果是______.
11．tan α=m，则 ．
12．设f(x)＝a sin(π x＋α)＋b cos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数.若
f(2 012)＝1，则f(2 013)＝__ __.
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）化简：sin(n π－π)·cos(n π＋π)，n ∈Z.
14．（本小题满分12分）若cos(α－π)＝－，求
的值.
15．（本小题满分12分）已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角.
答案
1．A 2．D 3．C 4．D 5．A 6．B 7．B 8．A
9．－ 10．－1 11． 12．3
13．解:当n为偶数，n＝2k，k ∈Z.
原式＝sin(2kπ－π)·cos(2kπ＋π)
＝sin·cos＝(－sin π)·cos
＝sin π·cos ＝sin ·cos ＝×＝.
当n为奇数时，n＝2k＋1，k ∈Z.
原式＝sin(2kπ＋π－π)·cos(2kπ＋π＋π)＝sin·cos
＝sin ·cos＝sin ×cos ＝×＝.
∴sin(n π－π)·cos(n π＋π)＝，n ∈Z.
14．解:
原式＝
＝＝＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角.
当α为第一象限角时，cos α＝，
sin α＝＝，
∴tan α＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos α＝，
sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
15．证明: ∵sin(α＋β)＝1，
∴α＋β＝2kπ＋ (k ∈Z)，
∴α＝2kπ＋－β (k ∈Z).
tan(2α＋β)＋tan β＝tan＋tan β＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β
＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0，
∴原式成立.
16．解: 由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cos B＝－<0，
∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去.
∴A＝，cos B＝，
∴B＝，∴C＝π.
§ 1.3 三角函数的诱导公式（第二课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为 ( )
A．－ B． C．－ D．
2．已知α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是 （ ）
A．sin α=sin β B．sin(α-) =sin β
C．cos α=cos β D．cos(-α) =-cos β
3．若sin(3π＋α)＝－，则cos 等于 ( )
A．－ B． C． D．－
4．已知sin＝，则cos的值等于 ( )
A．－ B． C．－ D．
5．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为 ( )
A．－ B． C．－ D．
6．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ等于 ( )
A．－ B． C．－ D．
7．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是 ( )
A． B． C．－ D．－
8．化简：得 ( )
A．sin2+cos2 B．cos2-sin2
C．sin2-cos2 D．± (cos2-sin2)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．若sin＝，则cos＝________.
10．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
11．已知tan(3π＋α)＝2，则
＝________.
12．计算:
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）化简：sin＋cos (k ∈Z).
14．（本小题满分12分）已知sin ·cos＝，且<α<，求
sin α与cos α的值.
15．（本小题满分12分）已知cos＝2sin，求的值.
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式
同时成立.若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由.
答案
1. A 2. C 3. A 4. A 5. C 6. C 7. D 8. C
9.－ 10. 11. 2 12.
13.解 原式＝sin＋cos.
当k为奇数时，设k＝2n＋1 (n ∈Z)，则
原式＝sin＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋
＝sin－cos
＝sin－sin＝0；
当k为偶数时，设k＝2n (n ∈Z)，则
原式＝sin＋cos
＝－sin＋cos＝－sin＋cos
＝－sin＋sin＝0.
综上所述，原式＝0.
14.解:sin＝－cos α，
cos＝cos＝－sin α.
∴sin α·cos α＝，
即2sin α·cos α＝. ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝.
又∵α∈，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝， ③
sin α－cos α＝， ④
③＋④得sin α＝，
③－④得cos α＝.
15. 解: ∵cos＝2sin，
∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2.
∴＝＝
＝＝
＝＝＝＝－.
16. 解:由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2， ③
又因为sin2α＋cos2α＝1， ④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知符合.
当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知不符合.
综上所述，存在α＝，β＝满足条件.
§ 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.在同一坐标系中函数与的图像 ( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．形状不同，位置相同 D．形状不同，位置不同
2.函数y＝sin x (x ∈R)图像的一条对称轴是 ( )
A.x轴 B.y轴
C.直线y＝x D.直线x＝
3.函数y＝cos x(x ∈R)的图像向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图像，则g(x)的解析式为 ( )
A.－sin x B.sin x C.－cos x D.cos x
4.函数y＝－sin x，x∈的简图是 ( )
5.在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是 ( )
A. B.∪
C. D.
6.函数图像的一条对称轴是 ( )
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
7.方程sin x＝的根的个数是 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是 ( )
A.4 B.8 C.2π D.4π
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9.函数y＝sin x，x ∈R的图像向右平移个单位后所得图像对应的函数解析式
是__________.
10.函数y＝的定义域是________________.
11.设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为____ ____.
12.如果直线与函数有且只有一个交点，则 ；
如果直线与函数有且只有两个交点，则 ．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13.（本小题满分10分）利用“五点法”画出函数y＝2－sin x，x∈[0,2π]的简图.
14. （本小题满分12分）已知0≤x≤2π，试探索sin x与cos x的大小关系.
15. （本小题满分12分）分别作出下列函数的图像.
(1)y＝|sin x|，x ∈R；(2)y＝sin |x|，x ∈R.
四、探究与拓展（本题满分14分）
16.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围.
答案
1.B 2.D 3.B 4.D 5.A 6.D 7.A 8.D
9.y＝－cos x 10.，k ∈Z 11. 12. （-1,1）
10.解：(1)取值列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
y＝2－sin x
2
1
2
3
2
(2)描点连线，图像如图所示：
11.解：用“五点法”作出y＝sin x，y＝cos x(0≤x≤2π)的简图.
由图像可知①当x＝或x＝时，sin x＝cos x；
②当cos x；
③当0≤x<或12.解：(1)y＝|sin x|＝ (k ∈Z).
其图像如图所示，
(2)y＝sin |x|＝，
其图像如图所示，
13.解：f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
图像如图，
若使f(x)的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k的取值范围是(1,3).
§ 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第一课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)＝sin，x ∈R的最小正周期为 ( )
A. B.π C.2π D.4π
2.函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω>0，则ω等于 ( )
A.5 B.10 C.15 D.20
3.设函数f(x)＝sin，x ∈R，则f(x)是 ( )
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
4.下列函数中，不是周期函数的是 ( )
A. y＝|cos x| B. y＝cos |x|
C. y＝|sin x| D. y＝sin |x|
5.为了使函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0,1]上出现50次最大值，则ω的最小值为 ( )
A．98π B． C． D．100π
6.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 的值为 ( )
A. － B. C. － D.
7.函数y＝cos(sin x)的最小正周期是 ( )
A. B.π C.2π D.4π
8．函数y＝的奇偶性是 ( )
A．奇函数 B．偶函数
C．亦奇亦偶函数 D．非奇非偶函数
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9.函数f(x)＝sin的最小正周期是________.
10.函数y＝sin的最小正周期是，则ω＝______.
11．已知f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数，则tanθ＝ .
12.关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数.
其中的假命题的序号是________.
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13.（本小题满分10分）若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，求f(x)的解析式.
14. （本小题满分12分）判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝coscos(π＋x)；
(2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝.
15. （本小题满分12分）已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，
f(x)＝1－sin x，求当x∈时f(x)的解析式.
四、探究与拓展（本题满分14分）
16.判断函数f(x)＝l n(sin x＋)的奇偶性.
答案
1.D 2.B 3.B 4.D 5.B 6.D 7.B 8.D
9. 1 10. ±3 11. － 12.①④
13.解：当x<0时，－x>0，
f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，
∵f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝－sin x ∴f(x)＝sin |x|，x ∈R.
14.解：(1)x ∈R，f(x)＝cos· cos(π＋x)＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x.
∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin 2xcos x＝－f(x).
∴y＝f(x)是奇函数.
(2)对任意x ∈R，－1≤sin x≤1，
∴1＋sin x≥0,1－sin x≥0.
∴f(x)＝＋的定义域为R.
∵f(－x)＝＋＝＋＝f(x)，
∴y＝f(x)是偶函数.
(3)∵esin x－e－sin x≠0，∴sin x≠0，
∴x ∈R且x≠ k π，k ∈Z.
∴定义域关于原点对称.
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴该函数是奇函数.
15.解 x∈时，3π－x∈，
∵x∈时，f(x)＝1－sin x，
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.
16.解：∵sin x＋≥sin x＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，
∴对x ∈R都有sin x＋>0.
∵f(－x)＝l n(－sin x＋)
＝l n (－sin x)
＝l n(＋sin x)－1
＝－l n(sin x＋)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.
§ 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么 ( )
A. sin α>sin β B. sin β>sin α
C. sin α ≥sin β D. sin α与sin β的大小不定
3.函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为 ( )
A. B.
C. D.
4．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图像关于原点中心对称的充要条件是(k ∈Z) ( )
A．φ＝ B．φ＝k π＋
C．φ＝k π D．φ＝2kπ－
5.函数y＝|sin x|的一个单调增区间是 ( )
A. B.
C. D.
6.下列关系式中正确的是 ( )
A.sin 11°C.sin 11°7.下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是 ( )
A.y＝sin(2x＋) B.y＝cos(2x＋)
C.y＝sin(x＋) D.y＝cos(x＋)
8.函数的单调递减区间是 ( )
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9.函数y＝sin(π＋x)，x∈的单调增区间是____________.
10.函数y＝2sin(2x＋)(－≤x≤)的值域是______________.
11.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________.
12.关于函数有下列命题：
①的表达式可以改写为；②的最小正周期为；
③的图像关于点对称； ④的图像关于直线对称；⑤的单调递增区间为
其中正确命题的序号是 .
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13.（本小题满分10分）求下列函数的单调增区间.
(1)y＝1－sin ； (2)y＝log cos.
14.（本小题满分12分）设|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值.
15.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，最
大值为1，最小值为－5，求a和b的值.
四、探究与拓展（本题满分14分）
16.设函数y＝－2cos，x∈，若该函数是单调函数，求实数a的最大值.
答案
1.C 2.D 3.C 4.B 5.C 6.C 7.A 8.D
9. 10. [0,2] 11.sin 313.解：(1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z，得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.
∴y＝1－sin 的增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π] (k∈Z).
(2)y＝logcos＝logcos.
要求原函数的增区间，即求函数y＝cos的减区间，且cos>0.
∴2kπ≤－<2kπ＋(k∈Z).
整理得4kπ＋π≤x<4kπ＋π(k∈Z).
所以函数y＝log cos的单调递增区间是[4kπ＋π，4kπ＋π)(k ∈Z).
14.解：f(x)＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－2＋.
∵|x|≤，∴－≤sin x≤.
∴当sin x＝－时，f(x)min＝.
15.解：∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，易知a≠0.
当a>0时，f(x)max＝2a＋b＝1，
f(x)min＝－a＋b＝－5.
由，解得.
当a<0时，f(x)max＝－a＋b＝1，
f(x)min＝2a＋b＝－5.
由，解得.
16.解：由2kπ≤x＋≤2kπ＋π得
4kπ－π≤x≤4kπ＋π(k ∈Z).
∴函数的单调递增区间是(k ∈Z)，
同理函数的递减区间是(k ∈Z).
令π∈，即≤k≤，又k ∈Z，∴k不存在.
令π∈，得k＝1.
∴π∈，
这表明y＝－2cos在上是减函数，∴a的最大值是π.
§ 1.4.3 正切函数的图像与性质
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数y＝tan，x ∈R且x ≠π＋k π，k ∈Z的一个对称中心是 ( )
A. (0，0) B. C. D. (π，0)
2.若，则 （ ）
A．α<β B．α>β C．α+β>3π D．α+β<2π
3.函数y＝tan在一个周期内的图像是 ( )
4.下列函数中，在上单调递增，且以π为周期的偶函数是 ( )
A.y＝tan|x| B.y＝|tan x|
C.y＝|sin 2x| D.y＝cos 2x
5.下列各式中正确的是 ( )
A.tan 735°>tan 800° B.tan 1>－tan 2
C.tan6.函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f 的值是 ( )
A.0 B.1 C.－1 D.
7.已知函数y＝tan ω x在(－，)内是减函数，则 ( )
A. 0<ω≤1 B. －1≤ω<0
C. ω≥1 D. ω≤－1
8.观察正切曲线，满足条件的的取值范围是(其中k∈Z) ( )
A．(2kπ-,2kπ+) B．(kπ,kπ+)
C．(kπ,kπ+) D．(kπ+,kπ+)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9.函数y＝的定义域是_______ _____．
10.函数y＝3tan(ω x＋)的最小正周期是，则ω＝______．
11.函数的单调区间是 ．
12.若直线与函数图像不相交，则 ．
三、解答题(本大题共3个小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13.（本小题满分10分）比较大小：
（1）与； （2）与。
14.（本小题满分10分）求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域.
15.（本小题满分10分）求函数y＝tan的定义域、周期、单调区间和对称中心.
四、探究与拓展（本题满分18分）
16.（本小题满分6分）函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像是 ( )
17. （本小题满分12分）判断函数f(x)＝l g 的奇偶性，并证明.
答案
1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.A 7.B 8.C
9. [kπ＋，kπ＋)，k∈Z 10. ±2 11.
12. 或
13.解：（1）∵ ，且在上为增函数，
∴ 。
（2），
∵ ，且在上为增函数，
∴ 。
14.解：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.令tan x＝t，则t∈[－1,1].
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4].
15.解：①由－≠k π＋，k ∈Z，得x≠2kπ＋π，k ∈Z.
∴函数的定义域为.
②T＝＝2π，∴函数的周期为2π.
③由k π－<－∴函数的单调增区间为，k ∈Z.
④由－＝，k ∈Z，得x＝k π＋π，k ∈Z.
∴函数的对称中心是，k ∈Z.
16. D
17. f(x)是奇函数
证明：由>0，得tan x>1或tan x<－1.
∴函数定义域为∪(k ∈Z)关于原点对称.
f(－x)＋f(x)＝l g ＋l g ＝l g＝l g 1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.
§ 1.5 函数的图像(第一课时)
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．要得到y＝sin的图像，只要将y＝sin x的图像 ( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．为了得到函数y＝sin的图像，可以将函数y＝cos 2x的图像 ( )
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
3．先将函数y＝sin2x的图像向右平移个单位，再将所得图像作关于y轴的对称变换，所得图像的解析式是 ( )
A．y＝sin(－2x＋) B．y＝sin(－2x―)
C．y＝sin(－2x＋) D．y＝sin(－2x―)
4．为得到函数y＝cos(x＋)的图像，只需将函数y＝sin x的图像 ( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
5．把函数y＝sin的图像向右平移个单位，所得图像对应的函数是 ( )
A．非奇非偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数 D．偶函数
6．将函数y＝sin 2x的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 ( )
A．y＝cos 2x B．y＝1＋cos 2x
C．y＝1＋sin(2x＋) D．y＝cos 2x－1
7．为了得到函数y＝sin的图像，只需把函数y＝sin的图像 ( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8．函数y＝Asin(ω x＋φ)在一个周期上的图像为下图所示．则函数的解析式
是 ( )
A．y＝2sin(－) B．y＝2sin(＋)
C．y＝2sin(＋) D．y＝2sin(－)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．函数y＝sin(－2x)的单调递增区间是 ．
10．函数y＝sin 2x图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像的函数解析式为f(x)＝_______ _____．
11．为得到函数y＝cos x的图像，可以把y＝sin x的图像向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．
12．某同学给出了以下论断：
①将y＝cos x的图像向右平移个单位，得到y＝sin x的图像；
②将y＝sin x的图像向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图像；
③将y＝sin(－x)的图像向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图像；
④函数y＝sin的图像是由y＝sin 2x的图像向左平移个单位而得到的.
其中正确的结论是____ __(将所有正确结论的序号都填上) ．
三、解答题(本大题共3个小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）怎样由函数y＝sin x的图像变换得到y＝sin的图像，试叙述这一过程.
14．（本小题满分10分）使函数y＝f(x)图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，然后再将其图像沿x轴向左平移个单位得到的曲线与y＝sin 2x的图像相同，求f(x)的表达式.
15．（本小题满分10分）已知函数f(x)＝sin (x ∈R).
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)经过怎样的图像变换使f(x)的图像关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可).
四、探究与拓展（本题满分18分）
16．（本小题满分6分）要得到函数y＝cos x的图像，只需将函数
y＝sin图像上的所有点的 ( )
A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
17．（本小题满分12分）已知y＝Asin(ωx＋φ)，(A＞0, ω＞0)的图像过点P(，0)图像上与点P最近的一个顶点是Q(,5)．
(1)求函数的解析式； (2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
答案
1．B 2．B 3．D 4．C 5．D 6．B 7．B 8．C
9．[kπ＋,kπ＋]．k∈Z 10．sin x 11．π 12．①③
13.解：由y＝sin x的图像通过变换得到函数y＝sin的图像有两种变化途径：
①y＝sin x y＝sin
y＝sin
②y＝sin x y＝sin 2xy＝sin.
14.解：方法一 正向变换
y＝f(x)y＝f (2x)y＝f ，
即y＝f ，
所以f ＝sin 2x.
令2x＋＝t，则2x＝t－， ∴f(t)＝sin，
即f(x)＝sin.
方法二 逆向变换
据题意，y＝sin 2xy＝sin2＝sin
y＝sin.
15.解：(1)由已知函数化为y＝－sin.
欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋ (k ∈Z)，
解得k π－≤x≤ k π＋π (k ∈Z)，
∴原函数的单调减区间为 (k ∈Z).
(2)f(x)＝sin＝cos ＝cos＝cos 2.
∵y＝cos 2x是偶函数，图像关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图像向右平移个单位即可.
16.C
17.解：(1)由过(,5)知A＝5．＝－＝，
∴T＝π, ω＝2．将Q(,5)代入y＝5sin(2x＋φ)得φ＝－．
∴函数解析式为y＝5sin(2x－)．
(2)由2kπ―≤2x―≤2kπ＋．得增区间为[kπ－,kπ＋].k∈Z．
(3)5sin(2x－)≤02kπ＋π≤2x－≤2kπ＋2π．
即 x∈[kπ＋,kπ＋π].k∈Z．
§ 1.5 函数的图像(第二课时)
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知简谐运动f(x)＝2sin(|φ|<)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为 ( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
2．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图像关于原点中心对称的充要条件是(k∈Z) ( )
A．φ＝ B．φ＝k π＋
C．φ＝k π D．φ＝2kπ－
3．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图像不可能是 ( )
4．y＝f(x)是以2π为周期的周期函数，其图像的一部分如图所示，则y＝f(x)的解析式为 ( )
A．y＝3sin(x＋1)
B．y＝－3sin(x＋1)
C．y＝3sin(x－1)
D．y＝－3sin(x－1)
5．下列函数中，图像的一部分如下图所示的是 ( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
6．如果函数y＝sin 2x＋a cos 2x的图像关于直线x＝－对称，那么a等于 ( )
A． B．－
C．1 D．－1
7．右图是函数y＝Asin(ω x＋φ)(x ∈R)在区间[－，]上的
图像.为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x ∈R)
的图像上所有的点 ( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短
到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
8．设函数f(x)＝Asin(ω x＋φ)，（A≠0，ω＞0,－＜φ＜）的图像关于直线x＝对称，它的周期是π，则 ( )
A．f(x)的图像过点(0, ) B．f(x)的图像在[，]上递减
C．f(x)的最大值为A D．f(x)的一个对称中心是点(，0)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．函数y＝sin与y轴最近的对称轴方程是__________．
10．已知函数y＝sin(ω x＋φ) (ω>0，－π≤ φ<π)的图像如下图所示，则φ＝_______．
11．若函数的最大值为5最小值为1,则函数的最大值M=______ ， 周期T=_____．
12．关于f(x)＝4sin (x ∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图像关于对称； ④y＝f(x)图像关于x＝－对称.
其中正确命题的序号为_____ ___．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）函数y＝Asin(ω x＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的最小值为－2，其图像相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图像过点(0,1)，求函数的解析式.
14．（本小题满分12分）已知曲线y＝Asin(ω x＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像.
15．（本小题满分12分）如图为函数y1＝Asin(ω x＋φ) (|φ|<)的一个周期的图像.
(1)写出y1的解析式；
(2)若y2与y1的图像关于直线x＝2对称，写出y2的解析式；
(3)指出y2的周期、频率、振幅、初相.
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．已知函数f(x)＝sin(ω x＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值.
答案
1．A 2．B 3．D 4．D 5．D 6．A 7．D 8．D
9． x＝－ 10． 11．9 12． ②③
13．解：由于最小值为－2，所以A＝2.
又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.故T＝2×3π＝6π，从而
ω＝＝＝，y＝2sin.
又图像过点(0,1)，所以sin φ＝.
因为|φ|<，所以φ＝.
故所求解析式为y＝2sin.
14．解：(1)由题意知A＝，T＝4×＝π，
ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ).
又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k ∈Z，∴φ＝2kπ＋， k ∈Z，
又∵φ∈，∴φ＝.
∴y＝sin.
(2)列出x、y的对应值表：
x
－
π
π
π
2x＋
0
π
π
2π
y
0
0
－
0
描点，连线，如图所示：
15．解：(1)由图知，A＝2，T＝7－(－1)＝8，
ω＝＝＝.∴y1＝2sin.
将点(－1,0)代入得0＝2sin.
∴φ＝.∴y1＝2sin.
(2)作出与y1的图像关于直线x＝2对称的图像，可以看出y2的图像相当于将y1的图像向右平移2个单位得到的.
∴y2＝2sin＝2sin.
(3)由(2)知，y2的周期T＝＝8，
频率f＝＝，
振幅A＝2，初相φ0＝－.
16．解：∵f(x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值.
即sin φ＝±1，得φ＝k π＋，k ∈Z，
又0≤φ≤π，∴φ＝.
由图像关于M对称可知，
sin＝0，解得ω＝k－，k ∈Z.
又f(x)在上单调函数，所以T ≥π，即≥π，∴ω≤2，又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.
§ 1.6 三角函数模型的简单应用
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的
距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，
那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ( )
A. s B. s C.50 s D.100 s
2.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈
f(x)＝Asin(ω x＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x ∈N*)
B.f(x)＝9sin(1≤x≤12，x ∈N*)
C.f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x ∈N*)
D.f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x ∈N*)
3.若函数f(x)＝3sin(ω x＋φ)对任意x都有f ＝f ，则f 等于 ( )
A.3或0 B.－3或0
C.0 D.－3或3
4.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位
置为P0(， －)，角速度为1，那么点P到x轴
距离d关于时间t的函数图像大致为 ( )
二、填空题（把正确答案填在题中横线上)
5.函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________.
6.设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________.
7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60].
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
8.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数
y＝Asin(ω x＋φ)＋b.
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式.
9.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，
已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮
现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
四、探究与拓展
10.已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
Y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线，可近似地看成是函数y＝A cos ω t＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝A cos ω t＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
答案
1.A 2.A 3.D 4.C
5. 26, 27, 28 6. 80 7. 10sin
8.解 (1)最大用电量为50万k W· h，最小用电量为30万k W ·h.
(2)观察图像可知从8～14时的图像是y＝Asin(ω x＋φ)＋b的半个周期的图像，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝.
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14].
9.解：(1)如图所示建立直角坐标系，
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角.
OP每秒钟内所转过的角为＝.
则OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动，得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，
令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s.
10.解：(1)由表中数据知周期T＝12，
∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1.
(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放
∴cos t＋1>1，
∴cos t>0，∴2kπ－<t<2kπ＋，即12k－3∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，
得0≤t<3或9∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.
第一章 三角函数单元测试题
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果，,则x的值为 ( )
A． B． C． D．
2．若sin x·cos x<0，则角x的终边位于 ( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
3．函数y＝tan 是 ( )
A.周期为2π的奇函数 B.周期为的奇函数
C.周期为π的偶函数 D.周期为2π的偶函数
4．已知函数y＝2sin(ω x＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图像如图，那么ω为 ( )
A.1
B.2
C.
D.
5．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图像关于原点成中心对称，则φ等于 ( )
A.－ B.2kπ－(k ∈Z)
C. k π(k ∈Z) D. k π＋(k ∈Z)
6．若＝2，则sin θ cos θ的值是 ( )
A.－ B. C.± D.
7．函数y=cos2x –3cosx+2的最小值是 ( )
A．2 B．0 C． D．6
8．将函数y＝sin x的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是 ( )
A. y＝sin B. y＝sin
C. y＝sin D. y＝sin
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(x∈[0,2π])的图像和直线y＝的交点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
10．已知集合M＝，N＝{x| x＝＋，k ∈Z}.则 ( )
A.M＝N B.MN
C.NM D.M∩N＝?
11．设a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则 ( )
A. aC. b12．已知函数在同一周期内，当时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为 ( )
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长
为___ __ cm．
14．函数的单调递减区间是___________________．
15．方程sin π x＝x的解的个数是________．
16．已知函数f(x)＝2sin(ω x＋φ)的图像如图所示，则f()＝________．
17．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．
18．已知，x是第二、三象限角，则a的取值范围是_______________．
三、解答题(本大题共5个小题，每小题12分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
19．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值.
20．求函数y＝3－4sin x－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值.
21．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像.
22．在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域.
23．如右图所示，函数y＝2cos(ω x＋θ)(x ∈R，ω>0,0≤θ≤)
的图像与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A(，0)，点P是该函数图像上一点，点Q(x0，y0)是PA 的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值.
答案
1．C 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．B 8 ．C 9．C 10．B 11．D 12．C
13．6π＋40 14． 15．7
16．0 17．8 18．
19．解：(1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin αcos α＝可知
(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α＝1－2×＝.
又∵<α<，∴cos α(3)∵α＝－＝－6×2π＋，
∴f＝cos·sin＝cos·sin
＝cos ·sin ＝cos(2π－)·sin(2π－)
＝cos ·＝·＝－.
20．解：y＝3－4sin x－4cos2x＝4sin2x－4sin x－1＝42－2，
令t＝sin x，则－1≤t≤1，
∴y＝42－2 (－1≤t≤1).
∴当t＝，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－2；
当t＝－1，即x＝＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝7.
21．解：(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图像的对称轴，∴sin＝±1.
∴＋φ＝k π＋，k ∈Z.
∵－π<φ<0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k ∈Z.
∴函数y＝sin的单调增区间为，k ∈Z.
(3)由y＝sin，知
x
0
π
y
－
－1
0
1
0
－
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像是
22．解：(1)由最低点为M得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为，得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
由点M在图像上得
2sin＝－2，
即sin＝－1， 故＋φ＝2kπ－(k ∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k ∈Z).
又φ∈，∴φ＝， 故f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，
∴2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，
故f(x)的值域为[－1,2].
23．解：(1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ω x＋θ)中，得cos θ＝，
因为0≤θ≤，所以θ＝.
由已知T＝π，且ω>0，得ω＝＝＝2.
(2)因为点A(，0)，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，所以点P的坐标为(2x0－，).
又因为点P在y＝2cos(2x＋)的图像上，且≤x0≤π，
所以cos(4x0－)＝，且≤4x0－≤，
从而得4x0－＝，或4x0－＝，即x0＝，或x0＝.
