浙江省2022年普通高中数学1月学业水平考试试卷
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
1．（2022·浙江学考）已知集合P={0，1，2}，Q={1，2，3}，则P∩Q=（ ）
A．{0} B．{0，3}
C．{1，2} D．{0，1，2，3}
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 P={0，1，2}，Q={1，2，3}，
P∩Q={1，2}。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则，进而得出集合P合集合Q的交集。
2．（2022·浙江学考）函数 的定义域是（ ）
A． B． C．R D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】 ，
，
即函数 的定义域为 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合分式函数求定义域的方法，进而得出函数 的定义域。
3．（2022·浙江学考）函数 的图象大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由 ，得函数 是以 为底数的指数函数，
且函数为减函数，D选项符合题意。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合指数函数的图象，进而找出函数 的大致图像。
4．（2022·浙江学考）已知α∈R，则cos（π-α）=（）
A．sinα B．-sinα C．cosα D．-cosα
【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式得出的值。
5．（2022·浙江学考）已知圆M的方程为 ，则圆心M的坐标是（ ）
A．（ ，2） B．（1，2）
C．（1， ） D．（ ， ）
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】 的圆心坐标为 ；
的圆心坐标为 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合圆的标准方程，进而求出圆的圆心坐标。
6．（2022·浙江学考）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（）
A．棱柱 B．圆柱 C．圆台 D．球
【答案】C
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，
从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，
则该几何体可以是圆台．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三视图还原立体几何图形的方法，进而找出正确的选项。
7．（2022·浙江学考）已知函数 （ ），则此函数是（）
A．偶函数且在（-∞，+∞）上单调递减
B．偶函数且在（-∞，+∞）上单调递增
C．奇函数且在（-∞，+∞）上单调递减
D．奇函数且在（-∞，+∞）上单调递增
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】令 ，则函数 的定义域为R，且 ，
所以函数 是奇函数，
又因为 ，所以函数 在（-∞，+∞）上单调递增。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和增函数的定义，进而判断出函数的奇偶性和单调性。
8．（2022·浙江学考）不等式 的解集是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】 ，解得 ，所以解集为 。
故答案为：A
【分析】利用 一元二次不等式求解集的方法，进而得出不等式 的解集。
9．（2022·浙江学考）设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PA|-|PB||=3，则P点的轨迹是（）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】因为 ，
所以P点的轨迹是双曲线。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合双曲线的定义，进而求出点P的轨迹。
10．（2022·浙江学考）不等式组 表示的平面区域是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】画出直线 ，经过一、二、三象限，对应图中的实线，代入 可得 成立，所以 表示的区域为直线 及直线右下方；画出直线 ，经过二、三、四象限，对应图中的虚线，代入 可得 不成立，所以 表示的区域为直线 及直线左下方，所以对应的平面区域为B.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，从而找出不等式组表示的平面区域。
11．（2022·浙江学考）已知空间中两条不重合的直线 ，则“ 与 没有公共点”是“ ”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】“直线 与 没有公共点”表示两条直线 或者 与 是异面直线，所以“ 与 没有公共点”是“ ”的必要不充分条件。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ 与 没有公共点”是“ ”的必要不充分条件。
12．（2022·浙江学考）为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数 中的 替换为 ，可得到函数 ，
因此对应的图象向右平移移 个单位长度， 可以将函数y=cosx的图象变为函数 的图象。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合余弦型函数的图象变换，进而找出正确的选项。
13．（2022·浙江学考）已知函数 在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
【答案】A
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】 对称轴为 ，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合二次函数的图象的对称轴和开口方向，从而判断出二次函数的单调性，再结合二次函数的单调性，进而得出实数a的取值范围。
14．（2022·浙江学考）已知向量 满足 ，则 （ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，
又∵
∴ ，∴ ，∴ 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式以及数量积的运算法则，进而求出的值。
15．（2022·浙江学考）如图，正方体 中，N是棱 的中点，则直线CN与平面 所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接 、 交于 ，由正方形的性质可得 ，
又 平面 ，
平面 ， ，
又 与 在平面 内相交，
所以 平面
是 与平面 所成的角，
设正方体的棱长为2，则 ， ，
。
故答案为：B.
【分析】连接 、 交于 ，由正方形的性质可得 ，再利用 平面 结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用 与 在平面 内相交，所以 平面 ，所以 是 与平面 所成的角，设正方体的棱长为2，则 ， ，再结合正弦函数的定义，进而得出直线CN与平面 所成角的正弦值。
16．（2022·浙江学考）若 对任意 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 ，可得 ，所以 ，因为函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，令 ，则 在 上恒成立，令 ，则 ，当且仅当 ，即 时，取等号，所以 。
故答案为：A
【分析】由 ，可得 ，再利用函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，令 ，则 在 上恒成立，令 ，再利用均值不等式求最值的方法得出的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数的取值范围。
17．（2022·浙江学考）已知单位向量 不共线，且向量 满足 若 对任意实数λ都成立，则向量 夹角的最大值是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】设向量 夹角为 ，设向量 与 的夹角为 ，
，
由 ，得
，
所以 ，
所以 ，
所以
所以 ，
所以 对任意实数λ都成立，
即 恒成立，
当 ，即 ，得 ，上式恒成立，
当 时，即 ， ，
，
所以得 ，
因为 ，所以
综上所述， ，
所以向量 夹角的最大值是 ，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和向量共线定理，再结合数量积求向量的模的公式，再结合不等式恒成立问题求解方法，再利用函数求最值的方法和向量的夹角的取值范围，进而得出向量的夹角的取值范围，从而得出向量夹角的最大值。
18．（2022·浙江学考）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为 ，则 的值是（）
A．6 B．12 C．18 D．108
【答案】A
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】设数列经过第 次拓展后的项数为 ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第 次拓展后增加的项数为 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
是以 ，所以 ，
则经过11次拓展后在 与6之间增加的数为 ，
所以经过11次拓展后6所在的位置为第 ，
所以 。
故答案为：A.
【分析】设数列经过第 次拓展后的项数为 ，再利用数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第 次拓展后增加的项数为 ，再利用已知条件得出，再利用递推公式变形结合等比数列的定义，从而判断出数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，进而得出经过11次拓展后在 与6之间增加的数 ，从而得出经过11次拓展后6所在的位置，进而得出 的值 。
二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)
19．（2022·浙江学考）若数列 通项公式为 ，记前n项和为 ，则 ； .
【答案】4；20
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
又因为 ， ，所以数列 是以2为首项2为公差的等差数列，
则 。
故答案为：4；20。
【分析】利用已知的数列的通项公式结合代入法得出数列的第二项的值；再利用等差数列的定义判断出数列 是以2为首项2为公差的等差数列，再利用等差数列前n项和公式，进而得出等差数列前4项的值。
20．（2022·浙江学考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b= .
【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为a=2，A=45°，B=60°， ，
所以 .
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合正弦定理，进而得出b的值。
21．（2022·浙江学考）设椭圆 的左 右焦点分别为 .已知点 ，线段 交椭圆于点P，O为坐标原点.若 ，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据椭圆定义知 ，又 ， ，
由三角形 为直角三角形可得点P是 的中点，
，把点P代入椭圆方程中得 。
故答案为： 。
【分析】根据椭圆定义知 ，再利用 ，得出 ，由三角形 为直角三角形可得点P是 的中点，再利用椭圆标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点的位置，进而得出焦点坐标，从而结合中点坐标公式得出点P的坐标，将点P代入椭圆方程中得出a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率。
22．（2022·浙江学考）如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足 则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量的共线定理；共面向量定理
【解析】【解答】因为 ，
所以 共面，
作 交 于点 ，连接 ，则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，
则 ， ，
故 ，
所以当 时， 取得最小值为 。
故答案为： 。
【分析】利用 结合向量共面的判断方法，所以 共面，作 交 于点 ，连接 ，则 ，再利用三角形法则得出 ，所以 ，再利用 结合两直线平行对应边成比例 ，所以 ，再利用 结合两直线平行对应边成比例，所以 ，再利用 ，所以 ，则 ， ，再利用代入法结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出 的最小值 。
三、解答题(本大题共3小题，共31分)
23．（2022·浙江学考）已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求 的最小正周期.
【答案】（1）∵ ，
∴
（2）∵ ，∴ ，
∴ 的最小正周期
【知识点】函数的值；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法得出函数的值。
（2）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而得出函数f(x)的最小正周期。
24．（2022·浙江学考）如图，已知抛物线C： 的焦点F到其准线的距离为2.
（1）求p的值；
（2）设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，记△AOB的面积为S，当 时，求直线l的方程.
【答案】（1）抛物线C： 焦点为 ，准线为 ，∴焦点到准线间的距离为 ，由已知得抛物线C： 的焦点F到其准线的距离为2，
∴ ；
（2）由（1）可得抛物线的方程为 ，焦点 ，
显然直线 的斜率不可能为零，故可设直线 的方程为 ，
代入抛物线方程整理得 ，
设 ，则
，
，
由 ，得 ，解得 ，
∴直线l的方程为 或 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合抛物线的定义和点到直线的距离公式，进而得出实数p的值。
（2） 由（1）得出p的值可得抛物线的标准方程，再利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点F的坐标 ，显然直线 的斜率不可能为零，故可设直线 的方程为 ，设 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 再利用三角形的面积公式得出 ，再结合抛物线的定义和两点距离公式，进而得出 ，由 ，得出m的值，进而得出直线l的方程。
25．（2022·浙江学考）已知函数 .
（1）若f（1）=2，求a的值；
（2）若存在两个不相等的正实数 ，满足 ，证明：
① ；
② .
【答案】（1）由 ，化简得： ，两边平方，解得： .
（2）不妨令 ，
①当 时， 在 上单调递增，故不能使得存在两个不相等的正实数 ，满足 ，舍去；
当 时， 为定值，不合题意；
当 时， ，由对勾函数知识可知：当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递增，两个分段函数在 处函数值相同，故函数 在 上单调递增，不能使得存在两个不相等的正实数 ，满足 ，舍去；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，即分段函数在 处函数值相等，要想存在两个不相等的正实数 ，满足 ，则 有三种类型，第一种： ，显然 ，令 ，则 ，当 时， ，即 在 单调递增，所以 ，即 ，由于 ，所以 ，又因为 ，所以 ，因为 ，而 在 上单调递减，所以 ，即 ，综上： ；第二种情况： ，显然满足 ，
接下来证明 ，令 ，则 ，当 时， ，即 在 单调递增，所以 ，又 ，所以 ，又 ，所以 ，因为 ， ， 在 上单调递增，所以 ，即 ，综上： ；第三种情况： ，由第一种情况可知满足 ，由第二种情况可知： ，则 ，
综上： ，证毕.
②由①可知：当 时，由 得： ，整理得： ，即 ；
当 时， ，整理得： ，整理得： ，因为 ，所以 ，综上： ，证毕.
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；综合法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的解析式和代入法，进而得出实数a的值。
（2） 不妨令 ，①利用已知条件结合单调函数的定义和求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数的单调性，再结合代入法和函数的解析式，进而证出不等式成立。
②由①结合分类讨论的方法和 以及代入法，再结合放缩法和构造法证出不等式 成立。
1 / 1浙江省2022年普通高中数学1月学业水平考试试卷
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
1．（2022·浙江学考）已知集合P={0，1，2}，Q={1，2，3}，则P∩Q=（ ）
A．{0} B．{0，3}
C．{1，2} D．{0，1，2，3}
2．（2022·浙江学考）函数 的定义域是（ ）
A． B． C．R D．
3．（2022·浙江学考）函数 的图象大致是（）
A． B．
C． D．
4．（2022·浙江学考）已知α∈R，则cos（π-α）=（）
A．sinα B．-sinα C．cosα D．-cosα
5．（2022·浙江学考）已知圆M的方程为 ，则圆心M的坐标是（ ）
A．（ ，2） B．（1，2）
C．（1， ） D．（ ， ）
6．（2022·浙江学考）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（）
A．棱柱 B．圆柱 C．圆台 D．球
7．（2022·浙江学考）已知函数 （ ），则此函数是（）
A．偶函数且在（-∞，+∞）上单调递减
B．偶函数且在（-∞，+∞）上单调递增
C．奇函数且在（-∞，+∞）上单调递减
D．奇函数且在（-∞，+∞）上单调递增
8．（2022·浙江学考）不等式 的解集是（）
A． B．
C． D．
9．（2022·浙江学考）设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PA|-|PB||=3，则P点的轨迹是（）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
10．（2022·浙江学考）不等式组 表示的平面区域是（）
A． B．
C． D．
11．（2022·浙江学考）已知空间中两条不重合的直线 ，则“ 与 没有公共点”是“ ”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2022·浙江学考）为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
13．（2022·浙江学考）已知函数 在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
14．（2022·浙江学考）已知向量 满足 ，则 （ ）
A．2 B． C．8 D．
15．（2022·浙江学考）如图，正方体 中，N是棱 的中点，则直线CN与平面 所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·浙江学考）若 对任意 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
17．（2022·浙江学考）已知单位向量 不共线，且向量 满足 若 对任意实数λ都成立，则向量 夹角的最大值是（）
A． B． C． D．
18．（2022·浙江学考）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为 ，则 的值是（）
A．6 B．12 C．18 D．108
二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)
19．（2022·浙江学考）若数列 通项公式为 ，记前n项和为 ，则 ； .
20．（2022·浙江学考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b= .
21．（2022·浙江学考）设椭圆 的左 右焦点分别为 .已知点 ，线段 交椭圆于点P，O为坐标原点.若 ，则该椭圆的离心率为 .
22．（2022·浙江学考）如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足 则 的最小值为 .
三、解答题(本大题共3小题，共31分)
23．（2022·浙江学考）已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求 的最小正周期.
24．（2022·浙江学考）如图，已知抛物线C： 的焦点F到其准线的距离为2.
（1）求p的值；
（2）设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，记△AOB的面积为S，当 时，求直线l的方程.
25．（2022·浙江学考）已知函数 .
（1）若f（1）=2，求a的值；
（2）若存在两个不相等的正实数 ，满足 ，证明：
① ；
② .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 P={0，1，2}，Q={1，2，3}，
P∩Q={1，2}。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则，进而得出集合P合集合Q的交集。
2．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】 ，
，
即函数 的定义域为 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合分式函数求定义域的方法，进而得出函数 的定义域。
3．【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由 ，得函数 是以 为底数的指数函数，
且函数为减函数，D选项符合题意。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合指数函数的图象，进而找出函数 的大致图像。
4．【答案】D
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式得出的值。
5．【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】 的圆心坐标为 ；
的圆心坐标为 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合圆的标准方程，进而求出圆的圆心坐标。
6．【答案】C
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，
从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，
则该几何体可以是圆台．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三视图还原立体几何图形的方法，进而找出正确的选项。
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】令 ，则函数 的定义域为R，且 ，
所以函数 是奇函数，
又因为 ，所以函数 在（-∞，+∞）上单调递增。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和增函数的定义，进而判断出函数的奇偶性和单调性。
8．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】 ，解得 ，所以解集为 。
故答案为：A
【分析】利用 一元二次不等式求解集的方法，进而得出不等式 的解集。
9．【答案】C
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】因为 ，
所以P点的轨迹是双曲线。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合双曲线的定义，进而求出点P的轨迹。
10．【答案】B
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】画出直线 ，经过一、二、三象限，对应图中的实线，代入 可得 成立，所以 表示的区域为直线 及直线右下方；画出直线 ，经过二、三、四象限，对应图中的虚线，代入 可得 不成立，所以 表示的区域为直线 及直线左下方，所以对应的平面区域为B.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，从而找出不等式组表示的平面区域。
11．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】“直线 与 没有公共点”表示两条直线 或者 与 是异面直线，所以“ 与 没有公共点”是“ ”的必要不充分条件。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ 与 没有公共点”是“ ”的必要不充分条件。
12．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数 中的 替换为 ，可得到函数 ，
因此对应的图象向右平移移 个单位长度， 可以将函数y=cosx的图象变为函数 的图象。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合余弦型函数的图象变换，进而找出正确的选项。
13．【答案】A
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】 对称轴为 ，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合二次函数的图象的对称轴和开口方向，从而判断出二次函数的单调性，再结合二次函数的单调性，进而得出实数a的取值范围。
14．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，
又∵
∴ ，∴ ，∴ 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式以及数量积的运算法则，进而求出的值。
15．【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接 、 交于 ，由正方形的性质可得 ，
又 平面 ，
平面 ， ，
又 与 在平面 内相交，
所以 平面
是 与平面 所成的角，
设正方体的棱长为2，则 ， ，
。
故答案为：B.
【分析】连接 、 交于 ，由正方形的性质可得 ，再利用 平面 结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用 与 在平面 内相交，所以 平面 ，所以 是 与平面 所成的角，设正方体的棱长为2，则 ， ，再结合正弦函数的定义，进而得出直线CN与平面 所成角的正弦值。
16．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 ，可得 ，所以 ，因为函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，令 ，则 在 上恒成立，令 ，则 ，当且仅当 ，即 时，取等号，所以 。
故答案为：A
【分析】由 ，可得 ，再利用函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，令 ，则 在 上恒成立，令 ，再利用均值不等式求最值的方法得出的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数的取值范围。
17．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】设向量 夹角为 ，设向量 与 的夹角为 ，
，
由 ，得
，
所以 ，
所以 ，
所以
所以 ，
所以 对任意实数λ都成立，
即 恒成立，
当 ，即 ，得 ，上式恒成立，
当 时，即 ， ，
，
所以得 ，
因为 ，所以
综上所述， ，
所以向量 夹角的最大值是 ，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和向量共线定理，再结合数量积求向量的模的公式，再结合不等式恒成立问题求解方法，再利用函数求最值的方法和向量的夹角的取值范围，进而得出向量的夹角的取值范围，从而得出向量夹角的最大值。
18．【答案】A
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】设数列经过第 次拓展后的项数为 ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第 次拓展后增加的项数为 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
是以 ，所以 ，
则经过11次拓展后在 与6之间增加的数为 ，
所以经过11次拓展后6所在的位置为第 ，
所以 。
故答案为：A.
【分析】设数列经过第 次拓展后的项数为 ，再利用数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第 次拓展后增加的项数为 ，再利用已知条件得出，再利用递推公式变形结合等比数列的定义，从而判断出数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，进而得出经过11次拓展后在 与6之间增加的数 ，从而得出经过11次拓展后6所在的位置，进而得出 的值 。
19．【答案】4；20
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
又因为 ， ，所以数列 是以2为首项2为公差的等差数列，
则 。
故答案为：4；20。
【分析】利用已知的数列的通项公式结合代入法得出数列的第二项的值；再利用等差数列的定义判断出数列 是以2为首项2为公差的等差数列，再利用等差数列前n项和公式，进而得出等差数列前4项的值。
20．【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为a=2，A=45°，B=60°， ，
所以 .
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合正弦定理，进而得出b的值。
21．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据椭圆定义知 ，又 ， ，
由三角形 为直角三角形可得点P是 的中点，
，把点P代入椭圆方程中得 。
故答案为： 。
【分析】根据椭圆定义知 ，再利用 ，得出 ，由三角形 为直角三角形可得点P是 的中点，再利用椭圆标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点的位置，进而得出焦点坐标，从而结合中点坐标公式得出点P的坐标，将点P代入椭圆方程中得出a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率。
22．【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量的共线定理；共面向量定理
【解析】【解答】因为 ，
所以 共面，
作 交 于点 ，连接 ，则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，
则 ， ，
故 ，
所以当 时， 取得最小值为 。
故答案为： 。
【分析】利用 结合向量共面的判断方法，所以 共面，作 交 于点 ，连接 ，则 ，再利用三角形法则得出 ，所以 ，再利用 结合两直线平行对应边成比例 ，所以 ，再利用 结合两直线平行对应边成比例，所以 ，再利用 ，所以 ，则 ， ，再利用代入法结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出 的最小值 。
23．【答案】（1）∵ ，
∴
（2）∵ ，∴ ，
∴ 的最小正周期
【知识点】函数的值；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法得出函数的值。
（2）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而得出函数f(x)的最小正周期。
24．【答案】（1）抛物线C： 焦点为 ，准线为 ，∴焦点到准线间的距离为 ，由已知得抛物线C： 的焦点F到其准线的距离为2，
∴ ；
（2）由（1）可得抛物线的方程为 ，焦点 ，
显然直线 的斜率不可能为零，故可设直线 的方程为 ，
代入抛物线方程整理得 ，
设 ，则
，
，
由 ，得 ，解得 ，
∴直线l的方程为 或 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合抛物线的定义和点到直线的距离公式，进而得出实数p的值。
（2） 由（1）得出p的值可得抛物线的标准方程，再利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点F的坐标 ，显然直线 的斜率不可能为零，故可设直线 的方程为 ，设 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 再利用三角形的面积公式得出 ，再结合抛物线的定义和两点距离公式，进而得出 ，由 ，得出m的值，进而得出直线l的方程。
25．【答案】（1）由 ，化简得： ，两边平方，解得： .
（2）不妨令 ，
①当 时， 在 上单调递增，故不能使得存在两个不相等的正实数 ，满足 ，舍去；
当 时， 为定值，不合题意；
当 时， ，由对勾函数知识可知：当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递增，两个分段函数在 处函数值相同，故函数 在 上单调递增，不能使得存在两个不相等的正实数 ，满足 ，舍去；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，即分段函数在 处函数值相等，要想存在两个不相等的正实数 ，满足 ，则 有三种类型，第一种： ，显然 ，令 ，则 ，当 时， ，即 在 单调递增，所以 ，即 ，由于 ，所以 ，又因为 ，所以 ，因为 ，而 在 上单调递减，所以 ，即 ，综上： ；第二种情况： ，显然满足 ，
接下来证明 ，令 ，则 ，当 时， ，即 在 单调递增，所以 ，又 ，所以 ，又 ，所以 ，因为 ， ， 在 上单调递增，所以 ，即 ，综上： ；第三种情况： ，由第一种情况可知满足 ，由第二种情况可知： ，则 ，
综上： ，证毕.
②由①可知：当 时，由 得： ，整理得： ，即 ；
当 时， ，整理得： ，整理得： ，因为 ，所以 ，综上： ，证毕.
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；综合法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的解析式和代入法，进而得出实数a的值。
（2） 不妨令 ，①利用已知条件结合单调函数的定义和求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数的单调性，再结合代入法和函数的解析式，进而证出不等式成立。
②由①结合分类讨论的方法和 以及代入法，再结合放缩法和构造法证出不等式 成立。
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