B部分：热点专题
热点题型：
第一类：二次函数定义 第二类：二次函数的图像及性质
第三类：二次函数图象与系数的关系 第四类：二次函数图象上点的坐标特征
第五类：二次函数图象与几何变换 第六类：二次函数最值
第七类：二次函数与不等式（组） 第八类：二次函数的应用
第九类：待定系数求二次函数解析式 第十类：抛物线与x轴的交点
第十一类：函数的综合运用
第一类：二次函数定义
1.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A、3 B、5 C、-3和5 D、3和-5
考点：二次函数的定义．
分析：根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解方程即可．
解答：解：根据题意，得
x2+2x-7=8，
即x2+2x-15=0，
解得x=3或-5，
故选D．
点评：本题考查给出二次函数的值去求函数的自变量，转化为求一元二次方程的解．
2.下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A、在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B、当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C、等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D、圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
考点：二次函数的定义．
分析：根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．
解答：解：A、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；
B、t=，当s≠0时，是反比例函数，错误；
C、C=3a，是正比例函数，错误；
D、S=πR2，是二次函数，正确．
故选D．
点评：本题考查二次函数的定义。
第二类：二次函数的图像及性质
3.函数y=ax2+a与y=（a≠0），在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D
考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．
分析：应分a＞0和a＜0两种情况分别讨论，逐一排除．
解答：解：当a＞0时，二次函数y=ax2+a的图象开口向上，且对称轴为x=0，顶点坐标为（0，a），故A、C都可排除；
当a＜0时，二次函数y=ax2+a的图象开口向下，且对称轴为x=0，顶点坐标为（0，a），故排除A，C，函数y=的图象在二、四象限，排除B，
则D正确．
故选D．
点评：主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质，同学们应该熟记且灵活掌握．
4.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）
A、-1＜x＜3 B、x＜-1 C、x＞3 D、x＜-3或x＞3
考点：二次函数的图象．
专题：数形结合．
分析：先观察图象确定抛物线y=x2-2x-3的图象与x轴的交点，然后根据y＜0时，所对应的自变量x的变化范围．解答：解：由图象可以看出：
y＜0时，自变量x的取值范围是-1＜x＜3；
故选A．
点评：本题考查了二次函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
第三类：二次函数图象与系数的关系
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）
A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3
C、2a-b=0
D、当x＞0时，y随x的增大而减小
考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
专题：计算题．
分析：根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断．
解答：解：A、∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；
B、∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；
C、∵抛物线对称轴为x==1，∴2a+b=0，故本选项错误；
D、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系．关键是会利用对称轴的值求2a与b的关系，对称轴与开口方向确定增减性，以及二次函数与方程之间的转换。
6.已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
考点：二次函数图象与系数的关系．
专题：计算题．
分析：首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2-4ac的取值范围，根据图象和x=2的函数值即可确定4a+2b+c的取值范围，根据x=1的函数值可以确定b＜a+c是否成立．
解答：解：∵抛物线开口朝下，
∴a＜0，
∵对称轴x=1=，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故②错误；
根据图象知道当x=-1时，y=a-b+c=0，
故③错误；
根据图象知道当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，故④正确．
故选A．
点评：此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
第四类：二次函数图象上点的坐标特征
7、如图，坐标平面上二次函数y=x2+1的图形通过A、B两点，且坐标分别为（a，）、（b，），则AB的长度为何？（ ）
A、5 B、C、 D、
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
分析：将纵坐标的值代入函数式求横坐标a、b的值，根据AB=|a-b|求解．
解答：解：把y=代入y=x2+1中，得=x2+1，
即x2=，解得x=±，
∴a=，b=-，
∴AB=-（-）=5．
故选A．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称．
8、如图为坐标平面上二次函数y=ax2+bx+c的图形，且此图形通（-1，1）、（2，-1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确（ ）
A、y的最大值小于0 B、当x=0时，y的值大于1C、当x=1时，y的值大于1 D、当x=3时，y的值小于0
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
专题：数形结合．
分析：根据图象的对称轴的位置[在点（-1，1）的左边、开口方向、直接回答．解答：解：A、由图象知，点（-1，1）在图象的对称轴的右边，所以y的最大值大于0；故本选项错误；
B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y的交点在（-1，1）点的右边，故y＜1；故本选项错误；
C、对称轴在（-1，1）的左边，在对称轴的右边y随x的增大而减小，x＞-1，则对应的函数值一定小于1，故本选项错误．
D、当x=3时，函数图象上的点在点（2，-1）的右边，所以y的值小于0；故本选项正确；
故选D．
点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题时，须熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识点．
第五类：二次函数图象与几何变换
9.将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）
A、y=2x2+2 B、y=2（x+2）2 C、y=（x-2）2 D、y=2x2-2
考点：二次函数图象与几何变换．
分析：根据“左加右减”的原则进行解答即可．解答：解：由“左加右减”的原则可知，将函数y=2x2的图象向左平移1个长度单位所得到的图象对应的函数关系式是：
y=2（x+2）2．
故选：B．
点评：此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
10.抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（ ）
A、向上平移5个单位 B、向下平移5个单位C、向左平移5个单位 D、向右平移5个单位
考点：二次函数图象与几何变换．
分析：先得到两个抛物线的顶点坐标，然后根据顶点坐标判断平移的方向和单位长度．
解答：解：∵y=-6x2+5的顶点坐标为（0，5），
而抛物线y=-6x2的顶点坐标为（0，0），
∴把抛物线y=-6x2+5向下平移5个单位可得到抛物线y=-6x2．
故选B．
点评：本题考查了抛物线的几何变换：抛物线的平移问题可转化为其顶点的平移问题，抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）．
第六类：二次函数最值
11.二次函数y=x2+2x-5有（ ）
A、最大值-5 B、最小值-5 C、最大值-6 D、最小值-6
考点：二次函数的最值．
专题：探究型．
分析：先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由其顶点式求出其最值即可．
解答：解：∵二次函数y=x2+2x-5中a=1＞0，
∴此函数有最小值，
∴y最小= -=-6．
故选D．
点评：本题考查的是二次函数的最值问题，即二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，当a＞0时，函数有最小值最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=
12.下列判断正确的有（ ）
①顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形；
②中心投影的投影线彼此平行；
③在周长为定值π的扇形中，当半径为时扇形的面积最大；
④相等的角是对顶角的逆命题是真命题．
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
考点：二次函数的最值；对顶角、邻补角；正方形的判定；弧长的计算；扇形面积的计算；命题与定理；中心投影．
专题：综合题．
分析：根据对顶角的性质、扇形面积的计算、中心投影、二次函数的最值等知识点判断各命题的真假，即可得出答案．
解答：解：①顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形，此命题正确，故①正确；
②中心投影与原物体所对应点的连线都相交于一点，平行投影与原物体所对应点的连线都相互平行，故②错误；
③在周长为定值π的扇形中，当半径为π4时扇形的面积最大；
设a为扇形圆心角，
2r+2πra/2π=2r+ar=π a=（π-2r）/r，
s=aπr22π=(π-2r)2×r=12（-2r2+πr），
根据二次函数极值公式
当r=π4时扇形的面积最大，故③正确；
④相等的角是对顶角的逆命题是：若两个角是对顶角，则这两个角相等，为真命题．故④正确．
故选B．
点评：本题主要考查了二次函数的最值、对顶角的性质、扇形面积的计算、中心投影等知识点，考查了学生对综合知识的掌握程度，属于中档题．
第七类：待定系数求二次函数解析式
13.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A、y=x2-x-2 B、y=-12x2-12x+2C、y=-12x2-12x+1 D、y=-x2+x+2
考点：待定系数法求二次函数解析式．
分析：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
解答：解：A、抛物线开口向下，错误；
B、抛物线过点（-1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，
而y=-x2-12x+2的顶点横坐标是-=-，错误；
C、y=-x2-x+1的顶点横坐标是-12，错误；
D、y=-x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（-1，0），（2，0），正确．
故选D．
点评：本题考查抛物线与系数的关系与及顶点横坐标的计算公式，是开放性题目．一般式：y=（x-x1）（x2-x2）（a，b，c是常数，a≠0）．
14.若y=ax2+bx+c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（ ）
x -1 0 1
ax2 1
ax2+b+c 8 3
A、y=x2-4x+3 B、y=x2-3x+4 C、y=x2-3x+3 D、y=x2-4x+8
考点：待定系数法求二次函数解析式．
分析：由图表可以得到：当x=-1时，y=ax2+bx+c=8；当x=0时，y=ax2+bx+c=3；当x=1时，ax2=1．根据以上条件代入得到：a-b+c=8，c=3，a=1，就可以求出函数的解析式．解答：解：将x=1，ax2=1，代入y=ax2得a=1．
将（-1，8），（0，3）分别代入y=x2+bx+c中得：
，解得；
∴函数解析式是：y=x2-4x+3。
故选A．点评：本题是一个图表信息题，根据图表得到有关信息，进而考查二次函数关系式的求法即待定系数法．
第八类：二次函数与不等式（组）
15.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（ ）
A、-1＜x＜3 B、x＞3 C、x＜-1 D、x＞3或x＜-1
考点：二次函数与不等式（组）．分析：根据已知图象可以得到图象与x轴的交点是（-1，0），（3，0），又y＜0时，图象在x轴的下方，由此可以求出x的取值范围．解答：解：∵依题意得图象与x轴的交点是（-1，0），（3，0），
当y＜0时，图象在x轴的下方，
此时-1＜x＜3，
∴x的取值范围-1＜x＜3．故选A．点评：解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＜0时，自变量x的范围，锻炼了学生数形结合的思想方法．
16.现定义某种运算a b=a（a＞b），若（x+2） x2=x+2，那么x的取值范围是（ ）
A、-1＜x＜2 B、x＞2或x＜-1 C、x＞2 D、x＜-1
考点：二次函数与不等式（组）．
专题：新定义．
分析：由定义运算得：x+2＞x2，即解不等式x2-x-2＜0，设y=x2-x-2，函数图象开口向上，并且知道图象与x轴交点是（-1，0），（2，0），利用函数图象即可求出x的取值范围．
解答：解：由定义运算得：x+2＞x2，
即解不等式x2-x-2＜0，
设y=x2-x-2，函数图象开口向上，图象与x轴交点是（-1，0），（2，0），
由图象可知，当-1＜x＜2时，y＜0，
即x的取值范围-1＜x＜2．
故选A．
点评：解答此题的关键是把解不等式的问题转化为二次函数，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．
第九类：二次函数的应用
17.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）
A、y=-(x-)2+3 B、y=-3(x+)2+3C、y=-12(x-)2+3 D、y=-12(x+)2+3
考点：二次函数的应用．
分析：根据二次函数的图象，喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为 米，由此得到顶点坐标为（ ，3），所以设抛物线的解析式为y=a（x-）2+3，而抛物线还经过（0，0），由此即可确定抛物线的解析式．
解答：解：∵一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为 米，
∴顶点坐标为（ ，3），
设抛物线的解析式为y=a（x-）2+3，
而抛物线还经过（0，0），
∴0=a（ ）2+3，
∴a=-12，
∴抛物线的解析式为y=-12（x-）2+3．
故选：C．
点评：此题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题目隐含的条件得到待定系数所需要的点的坐标解决问题．
18. 2011年5月22日-29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（ ）
A、y=-x2+34x+1 B、y=-x2+34x-1C、y=-x2-34x+1 D、y=-x2-34x-1
考点：二次函数的应用．
分析：根据已知得出B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（4，0），代入解析式即可求出b，c的值，即可得出答案．
解答：解：∵出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，
∴B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（4，0），
将两点代入解析式得：
，
解得：，
∴这条抛物线的解析式是：y=-x2+x+1．
故选：A．
点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出B，A两点的坐标是解决问题的关键．
第十类：待定系数求二次函数解析式
19.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A、y=x2-x-2 B、y=-12x2-12x+2C、y=-12x2-12x+1 D、y=-x2+x+2
考点：待定系数法求二次函数解析式．
分析：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
解答：解：A、抛物线开口向下，错误；
B、抛物线过点（-1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，
而y=-x2-12x+2的顶点横坐标是-=-，错误；
C、y=-x2-x+1的顶点横坐标是-12，错误；
D、y=-x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（-1，0），（2，0），正确．
故选D．
点评：本题考查抛物线与系数的关系与及顶点横坐标的计算公式，是开放性题目．一般式：y=（x-x1）（x2-x2）（a，b，c是常数，a≠0）．
20.若y=ax2+bx+c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（ ）
x -1 0 1
ax2 1
ax2+b+c 8 3
A、y=x2-4x+3 B、y=x2-3x+4 C、y=x2-3x+3 D、y=x2-4x+8
考点：待定系数法求二次函数解析式．
分析：由图表可以得到：当x=-1时，y=ax2+bx+c=8；当x=0时，y=ax2+bx+c=3；当x=1时，ax2=1．根据以上条件代入得到：a-b+c=8，c=3，a=1，就可以求出函数的解析式．
解答：解：将x=1，ax2=1，代入y=ax2得a=1．
将（-1，8），（0，3）分别代入y=x2+bx+c中得：
，解得；
∴函数解析式是：y=x2-4x+3。
故选A．
点评：本题是一个图表信息题，根据图表得到有关信息，进而考查二次函数关系式的求法即待定系数法．
第十一类：抛物线与x轴的交点
21.如图，函数y=-x2+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A（1，0），B（0，3），对称轴是x=-1，在下列结论中，错误的是（ ）
顶点坐标为（-1，4）
B、函数的解析式为y=-x2-2x+3
C、当x＜0时，y随x的增大而增大
D、抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0）
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
专题：计算题．
分析：由于y=-x2+bx+c的图象与x轴、y轴的交点分别为A（1，0），B（0，3），将交点代入解析式求出函数表达式，即可作出正确判断．解答：解：将A（1，0），B（0，3）分别代入解析式得，
，
解得，，
则函数解析式为y=-x2-2x+3；
将x=-1代入解析式可得其顶点坐标为（-1，4）；
当y=0时可得，-x2-2x+3=0；
解得，x1=-3，x2=1．
可见，抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0）；
由图可知，当x＜-1时，y随x的增大而增大．
可见，C答案错误．
故选C．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键，同时要注意数形结合．
22.如图，将二次函数y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上，判断方程31x2-999x+892=0的两根，下列叙述何者正确（ ）
A、两根相异，且均为正根
B、两根相异，且只有一个正根
C、两根相同，且为正根
D、两根相同，且为负根
考点：抛物线与x轴的交点．
分析：由二次函数y=31x2-999x+892的图象得，方程31x2-999x+892=0有两个实根，两根都是正数，从而得出答案．解答：解：∵二次函数y=31x2-999x+892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，
∴方程31x2-999x+892=0有两个正实根．
故选A．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不等的实根；抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等的实根；抛物线与x轴无交点时，方程无实根．
根据实际问题列二次函数关系式
第十二类：函数的综合运用
23.如图，半圆D的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是（ ）
A、y=-x2+x B、y=-x2+x C、y=-x2-x D、y=x2-x
考点：根据实际问题列二次函数关系式．
分析：连接01M，OO1，可得到直角三角形OO1M，在直角三角形中，利用勾股定理即可解得．
解答：解：连接01M，OO1，可得到直角三角形OO1M，
依题意可知⊙O的半径为2，
则OO1=2-y，OM=2-x，O1M=y．
在Rt△OO1M中，由勾股定理得（2-y）2-（2-x）2=y2，
解得y=-x2+x．
故选A．
点评：作连心线，连接圆心和切点得到直角三角形是常用的辅助线作法是本题的考查对象．
24.如图，二次函数y=-x2-2x的图象与x轴交于点A、O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，则点P的坐标是（ ）
A、（-3，-3） B、（1，-3）C、（-3，-3）或（-3，1） D、（-3，-3）或（1，-3）
考点：二次函数综合题．
分析：根据抛物线的解析式，即可确定点A的坐标，由于OA是定长，根据△AOP的面积即可确定P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标．
解答：解：抛物线的解析式中，令y=0，得：-x2-2x=0，解得x=0，x=-2；
∴A（-2，0），OA=2；
∵S△AOP=OA |yP|=3，∴|yP|=3；
当P点纵坐标为3时，-x2-2x=3，x2+2x+3=0，△=4-12＜0，方程无解，此种情况不成立；
当P点纵坐标为-3时，-x2-2x=-3，x2+2x-3=0，
解得x=1，x=-3；
∴P（1，-3）或（-3，-3）；
故选D．
点评：能够根据三角形面积来确定P点的坐标，是解答此题的关键．二次函数
A部分
课标要求：
二次函数的概念
用待定系数法求二次函数的表达式
二次函数的图像与性质
与抛物线有关的平移变换
探究二次函数与一元二次方程的关系
探究生活情景中的函数关系
探究几何图形中的函数关系
考点清单：
二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2. 的性质：
上加下减。
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3. 的性质：
左加右减。
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4. 的性质：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
四、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
抛物线与轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
图像参考：
十、函数的应用
二次函数应用
A部分：考试指南
历年真题
1、（2007深圳卷） 2、（2007深圳卷） 3、（2008深圳卷） 4、（2008深圳卷）
5、（2009深圳卷） 6、（2009深圳卷） 7、（2010深圳卷） 8、（2011深圳卷）
9、（2011深圳卷） 10、（2010济南卷） 11、（2010南充卷） 12、（2002河北卷）
1.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
例题1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点在轴的正半轴上，且，交于点．
（1）求的度数．
（2）求点的坐标．
（3）求过三点的抛物线的解析式．（计算结果要求分母有理化．参考资料：把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如：①；
②；③等运算都是分母有理化）
考点：二次函数综合题，三角形的角度，分母有理化。
解答：(1）∴
∴
（2）点E的坐标是，）
（3）设过B、O、D三点的抛物线的解析式为
∵B（-1，1），O（0，0），D（，0）
∴
解得，
所以所求的抛物线的解析式为
例题2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于两点．
（1）求线段的长．
（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？
（3）如图，线段的垂直平分线分别交轴、轴于两点，垂足为点，分别求出的长，并验证等式是否成立．
（4）如图3，在中，，，垂足为，设，，．，试说明：．
考点：抛物线与坐标足的交点，勾股定理，
等式性质。
解答：（1） ∴A（-4，-2），B（6，3）
分别过A、B两点作轴，轴，垂足分别为E、F
∴AB=OA+OB
（2）设扇形的半径为，则弧长为，扇形的面积为
则
∵
∴当时，函数有最大值
（3）过点A作AE⊥轴，垂足为点E
∵CD垂直平分AB，点M为垂足
∴
∵
∴△AEO∽△CMO
∴ ∴ ∴
同理可得
∴
∴
∴
（4）等式成立．理由如下：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
例题3．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表
达式是
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
考点：函数图像的平移。
分析：记住上加下减，左加右减。
答案：A
例题4．如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，
与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），
OB＝OC ，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
考点：正余切值，函数表达式，二次函数与坐标交点
分析：（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …………………………1分
将A、B、C三点的坐标代入得 …………………………2分
解得： …………………………3分
所以这个二次函数的表达式为： …………………………3分
方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …………………………1分
设该表达式为： …………………………2分
将C点的坐标代入得： …………………………3分
所以这个二次函数的表达式为： …………………………3分
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）
（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） …………………………4分
理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0） …………………………4分
由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，－3） …………………………5分
方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0） …………………………4分
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）
代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合
∴存在点F，坐标为（2，－3） …………………………5分
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得 …………6分
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），
则N（r+1，－r），
代入抛物线的表达式，解得 ………7分
∴圆的半径为或． ……………7分
（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为．……………8分
设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．
…………………………9分
当时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为，． …………………………10分
例题5．二次函数的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是
A． B． C． D．不能确定
考点：二次函数性质
分析：对称轴X=-3，在它的右边Y随X的增大而减小。
所以答案C.
例题6．已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分）
（2）如图12，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。（3分）
②又连接CD、CP（如图13），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分）
考点：求抛物线的解析式及与XY轴的交点坐标，三角形的性质。
分析：解：设OA的长为x, 则OB=5-x；
∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90 ，∠OAC=∠OCB；
∴△AOC∽△COB，∴OC2=OA·OB
∴22=x(5-x) …………………………1分
解得：x1=1，x2=4，
∵OA∴点A、B、C的坐标分别是：A（-1, 0），B（4, 0），C（0，2）；
（注：直接用射影定理的，不扣分）
方法一：设经过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=ax2+bx+2，
将A、B、C三点的坐标代入得 …………………………3分
解得：a=, b=，c=2
所以这个二次函数的表达式为： …………………………4分
方法二：设过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=a(x+1)(x-4) ……………3分
将C点的坐标代入得：a=
所以这个二次函数的表达式为： …………………………4分
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）
(2)①解:当△BDE是等腰三角形时，点E的坐标分别是：，，。
…………………………1+1+1分
（注：符合条件的E点共有三个，其坐标，写对一个给1分）
②解:如图13，连接OP，
S△CDP=S四边形CODP-S△COD=S△COP+S△ODP-S△COD …………………………8分
==m+n-2
== …………………………9分
∴当时，△CDP的面积最大。此时P点的坐标为()，
S△CDP的最大值是。 …………………………10分
另解：如图14-1、14-2，过点P作PE⊥x轴于点F，则
S△CDP=S梯形COFP-S△COD±S△DFP …………………………8分
== m+n-2
== …………………………9分
∴当时，△CDP的面积最大。此时P点的坐标为()，
S△CDP的最大值是。 …………………………10分
（注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点P的坐标，或最大面积计算错误的，扣1分；其他解法只要合理，酌情给分。）
例题7．（2010深圳卷9分）如图9，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．
（1）求抛物线的解析式；（3分）
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）
考点：求抛物线的解析式及与XY轴的交点坐标，三角形的面积。
分析：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程
∴ 解之得：；故为所求
（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点
设BD的解析式为，则有，，
故BD的解析式为；令则，故
(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，
易知BN=MN=1， 易求
；设，
依题意有：，即：
解之得：，，故 符合条件的P点有三个：
例题8．对抛物线而言，下列结论正确的是
A．与轴有两个交点 B．开口向上 C．与轴交的点坐标是 D．顶点坐标是
考点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
专题：计算题．
分析：根据△的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．解答：解：A、∵△=22-4×（-1）×（-3）=-8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；
B、∵二次项系数-1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；
C、当x=0时，y=-3，抛物线与y轴交点坐标为（0，-3），本选项错误；
D、∵y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2，∴抛物线顶点坐标为（1，-2），本选项正确．
故选D．点评：本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系．
例题9．如图13，抛物线的顶点为，交轴于、两点，交轴于点，其中点的坐标为
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图14，过点的直线与抛物线交于点，交轴于点。其中点的横坐标为2。若直线 为抛物线的对称轴，点为直线上一动点，则轴上是否存在一点，使、、、四点所围成的四边形周长最小。若存在求出这个最小值及点、的坐标；若不存在，说明理由。
（3）如图15，在抛物线上是否存在一点，过作轴的垂线，垂足为点，过点作，交线段与点，连接，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
考点：二次函数综合应用题。
分析：解：（1）设所求抛物线的解析式为：，依题意，将点B（3，0）代入，得：
解得：a＝－1
∴所求抛物线的解析式为：
（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线，得
∴点E坐标为（2，3）
又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
∴当y＝0时，，∴x＝－1或x＝3
当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）
又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②
分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：
解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1
∴当x＝0时，y＝1
∴点F坐标为（0，1）
∴=2………………………………………③
又∵点F与点I关于x轴对称，
∴点I坐标为（0，－1）
∴………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG＋GH＋HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：，
分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入，得：
解得：
过I、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1
∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；
∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI
由③和④，可知：
DF＋EI＝
∴四边形DFHG的周长最小为。
（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，
要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，
即：………………………………⑤
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得
△AMN∽△ABD，
∴
再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4
∴
∵， ∴⑤式可写成：
解得： 或（不合题意，舍去） ∴点M的坐标为（，0）
又∵点T在抛物线图像上， ∴当x＝时，y＝
∴点T的坐标为（，）.
例题10.竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A、第3秒 B、第3.5秒 C、第4.2秒 D、第6.5秒
考点：二次函数的应用．
专题：数形结合．
分析：根据题中已知条件求出函数h=at2+bt的对称轴t=4，四个选项中的时间越接近4小球就越高．
解答：解：由题意可知：h（2）=h（6），
即4a+2b=36a+6b，
解得b=-8a，
函数h=at2+bt的对称轴t=-=4，
故在t=4s时，小球的高度最高，
题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒，
故在第4.2秒时小球最高
故选C．点评：本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题．
例题11..如图，小球从点A运动到点B，速度v（米/秒）和时间t（秒）的函数关系式是v=2t．如果小球运动到点B时的速度为6米/秒，小球从点A到点B的时间是（ ）
A、1秒 B、2秒 C、3秒 D、4秒
考点：二次函数的应用．
专题：动点型．
分析：直接将速度的值代入函数关系式即可．解答：解：把v=6代入v=2t中，
得t=3．
故选C．
点评：本题考查的是一次函数在实际生活中的应用，比较简单．
例题12.（2002 河北）如图，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C，则△ABC的面积为（ ）
A、6 B、4 C、3 D、1
考点：二次函数综合题．
分析：根据解析式求出A、B、C三点的坐标，即△ABC的底和高求出，然后根据公式求面积．
解答：解：在y=x2-4x+3中，当y=0时，x=1、3；当x=0时，y=3；
即A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）
故△ABC的面积为：×2×3=3；
故选C．
点评：本题考查根据解析式确定点的坐标．
图1
图2
图3
图11
x
y
C
B
_
D
_
A
O
图9
图3
F
图4
y
x
O
C
A
B
D
图13
y
x
O
C
A
B
D
Q
P
E
图14
y
x
O
C
A
B
D
图15二次函数C部分
名师押题
1.下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（ ）
A、在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B、我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系
C、竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D、圆的周长与圆的半径之间的关系
考点：二次函数的定义．分析：根据实际问题中的数量关系及二次函数的模型，逐一判断．解答：解：A、距离一定，汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数，即距离，速度与时间成反比例关系；
B、设原来的人口是a，x年后的人口数是y，则y=a（1+1%）x，不是二次函数关系；
C、竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）是二次函数．
D、设半径是r，则周长c=2πr，是一次函数关系．
故选C．点评：本题考查二次函数的定义．
2.下列函数中，二次函数是（ ）
A、y=8x2 B、y=8x+1 C、y=-8x D、y=-
考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的一般形式进行判断．解答：解：A、是二次函数，故正确；
B、是一次函数，故错误；
C、是一次函数，故错误；
D、是反比例函数，故错误．
故选A．点评：此题考查了二次函数的定义．
3.若下列有一图形为二次函数y=2x2-8x+6的图形，则此图为（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：二次函数的图象．分析：根据二次函数的解析式y=2x2-8x+6求得函数图象与y轴的交点及对称轴，并作出选择．解答：解：①当x=0时，y=6，及二次函数的图象经过点（0，6）；
②二次函数的图象的对称轴是：x=-=2，即x=2；
综合①②，符合条件的图象是A；
故选A．点评：本题考查了二次函数的图象．解题时，主要从函数的解析式入手，求得函数图象与y轴的交点及对称轴，然后结合图象作出选择．
4.已知正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的图象如图，判断二次函数y=ax2+k在坐系中的大致图象是（ ）
A、 B、C、 D、
考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象．专题：数形结合．分析：根据正比例函数y=ax与反比例函数y=kx的函数图象可知：a＜0，k＞0，然后根据二次函数图象的性质即可得出答案．解答：解：正比例函数y=ax与反比例函数y=kx的函数图象可知：a＜0，k＞0，
∴二次函数y=ax2+k的图象开口向下，且与y轴的交点在y轴的正半轴，
所以大致图象为B图象．
故选B．点评：本题考查了二次函数及正比例函数与反比例函数的图象，属于基础题，关键是注意数形结合的思想解题．
5.下列函数：①y=-x；②y=2x；③y=-。；④y=x2（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．分析：本题综合运用了一次函数，反比例函数，二次函数的增减性，需要根据这些函数的性质及自变量的取值范围，逐一判断．解答：解：根据函数的性质可知当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有：①y=-x；④y=x2．
故选B．点评：主要考查了函数的在一定取值范围内的增减性．
6.抛物线y=x2-2x+1的顶点坐标是（ ）
A、（1，0） B、（-1，0） C、（-2，1） D、（2，-1）
考点：二次函数的性质．专题：函数思想．分析：将原抛物线方程y=x2-2x+1转化为顶点式方程，然后根据顶点式方程找顶点坐标．解答：解：由原方程，得
y=（x-1）2，
∴该抛物线的顶点坐标是：（1，0）．
故选A．点评：本题考查了二次函数的性质．解题时，将原方程的一般形式利用完全平方差公式转化为顶点式方程后，再来求其顶点坐标．
7.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A、b2-4ac＜0 B、abc＜0 C、＜-1 D、a-b+c＜0
考点：二次函数图象与系数的关系．专题：应用题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
对称轴为y轴，即＜-1，
A、应为b2-4ac＞0，故本选项错误，
B、abc＞0，故本选项正确，
C、即＜-1，故本选项正确，
D、x=-1时函数图象上的点在第二象限，所以a-b+c＞0，故本选项错误，
故选C．点评：本题主要考查了二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定交点，难度适中．
8.已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（ ）
A、①⑤ B、①②⑤ C、②⑤ D、①③④
考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x=-b2a＞0，
∴a、b异号，即b＜0，
又∵c＜0，∴abc＞0，
故本选项正确；
②∵对称轴为x=-b2a＞0，a＞0，
-b2a＜1，
∴-b＜2a，
∴2a+b＞0；
故本选项错误；
③当x=1时，y1=a+b+c；
当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；
故本选项错误；
④当x=1时，a+b+c=0；
当x=-1时，a-b+c＞0；
∴（a+b+c）（a-b+c）=0，即（a+c）2-b2=0，
∴（a+c）2=b2
故本选项错误；
⑤当x=-1时，a-b+c=2；
当x=1时，a+b+c=0，
∴a+c=1，
∴a=1+（-c）＞1，即a＞1；
故本选项正确；
综上所述，正确的是①⑤．
故选A．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-b2a判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0，没有交点，b2-4ac＜0．
9.抛物线y=ax2+bx-3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（ ）
A、-2 B、2 C、15 D、-15
考点：二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值．分析：根据图象上点的性质，将（2，4）代入得出4a+2b=7，即可得出答案．解答：解：∵y=ax2+bx-3过点（2，4），
∴4=4a+2b-3，
∴4a+2b=7，
∴8a+4b+1=2×7+1=15，
10.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）
A、y=-（x+2）2 B、y=-x2+2 C、y=-（x-2）2 D、y=-x2-2
考点：二次函数图象与几何变换．专题：动点型．分析：易得原抛物线的顶点和平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数用顶点式可得所求抛物线．解答：解：∵原抛物线的顶点为（0，0），
∴新抛物线的顶点为（-2，0），
设新抛物线的解析式为y=-（x-h）2+k，
∴新抛物线解析式为y=-（x+2）2，
故选A．点评：考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；左右平移只改变顶点的横坐标，左加右减．
11.把二次函数y=x2的图象沿着x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为（ ）
A、y=（x+2）2+3 B、y=（x-2）2+3 C、y=（x+2）2-3 D、y=（x-2）2-3
考点：二次函数图象与几何变换．专题：动点型．分析：易得新抛物线的顶点，根据二次函数的平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新抛物线的解析式．解答：解：∵原抛物线的顶点为（0，0），
∴新抛物线的顶点为（2，3），
∴新抛物线的解析式为y=（x-2）2+3，
故选B．点评：考查二次函数的平移；得到新抛物线的顶点是解决本题的突破点；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数．
12.二次函数y=（x-1）2+2的最小值是（ ）
A、-2 B、2 C、-1 D、1
考点：二次函数的最值．分析：考查对二次函数顶点式的理解．抛物线y=（x-1）2+2开口向上，有最小值，顶点坐标为（1，2），顶点的纵坐标2即为函数的最小值．解答：解：根据二次函数的性质，当x=1时，二次函数y=（x-1）2+2的最小值是2．故
选B．点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
13.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0，则（ ）
A、a＞0，b2-4ac=0 B、a＜0，b2-4ac＞0C、a＞0，b2-4ac＜0 D、a＜0，b2-4ac=0
考点：二次函数的最值．分析：本题考查二次函数最大（小）值的求法．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为0，
∴a＜0，4ac-b24a=0即b2-4ac=0．
故选D．点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
14.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式bx+a＞0的解集是（ ）
A、x＜- B、x＜ C、x＞- D、x＞
考点：二次函数与不等式（组）．分析：由已知图象开口方向向下可以知道a＜0，对称轴x=-＜0，进一步得到b＜0，从而可以确定不等式bx+a＞0的解集．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向向下，
∴a＜0，
而对称轴x=-＜0，
∴b＜0，
故不等式bx+a＞0的解集是x＜-．
故选A．点评：解答此题的关键是求出对称轴，判断开口方向，然后结合图象判断字母的符号，求不等式的解集，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
15. 若函数y=mx2+mx+m-2的值恒为负数，则m取值范围是（ ）
A、m＜0或m＞ B、m＜0 C、m≤0 D、m＞
考点：二次函数与不等式（组）．分析：根据题意，若为二次函数，m＜0，且顶点坐标的纵坐标＜0；若m=0，则为常函数，y=-2＜0，从而解得m的取值范围．解答：解：分两种情况：
①y=mx2+mx+m-2为二次函数，则m＜0，＜0，解得m＜，故m＜0；
②当m=0，变为y=-2，一个常函数，且值恒为负数；
∴m取值范围是m≤0，故选C．点评：本题考查了函数的取值问题，是重点又是难点，要掌握．
16.已知二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A、（1，0） B、（2，0） C、（-2，0） D、（-1，0）
考点：抛物线与x轴的交点．分析：把交点坐标（1，0），代入二次函数y=x2+bx-2求出b的值，进而知道抛物线的对称轴，再利用公式x=x1+x22，可求出它与x轴的另一个交点坐标．解答：解：把x=1，y=0代入y=x2+bx-2得：
0=1+b-2，
∴b=1，
∴对称轴为x=-=-，
∴x==-，
∴x2=-2，
它与x轴的另一个交点坐标是（-2，0）．
故选C．点评：本题考查了二次函数和x轴交点的问题，要求交点坐标即可解一元二次方程也可用公式x=．
17.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（ ）
A、第8秒 B、第10秒 C、第12秒 D、第15秒
考点：二次函数的应用；二次函数的最值．专题：应用题．分析：根据题意，x=7时和x=14时y值相等，因此得关于a，b的关系式，代入到x=-中求x的值．解答：解：当x=7时，y=49a+7b；
当x=14时，y=196a+14b．
根据题意得49a+7b=196a+14b，
∴b=-21a
根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，
当x=-=10.5时，y最大即高度最高．
因为10最接近10.5，故选B．点评：先求出高度最大的时刻，再根据对称性看备选项中哪个与之最近得出结论．
18.某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y=x2（x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（ ）
A、40m/s B、20m/s C、10m/s D、5m/s
考点：二次函数的应用．分析：本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可．另外实际问题中，负值舍去．解答：解：当刹车距离为5m时，
即y=5，代入二次函数解析式：
5=x2．
解得x=±10，（x=-10舍），
故开始刹车时的速度为10m/s．
故选C．点评：考查自变量的值与函数值的一一对应关系，明确x、y代表的实际意义，刹车距离为5m，即是y=5，求刹车时的速度x．
