三角形考点指南
考点要求：
掌握三角形、直角三角形、等腰三角形、等边三角形、多边形、全等形、全等三角形的概念及边、角、对角线、外角的概念。
掌握三角形和多边形内角和定理及推论。
掌握三角形三边之间的关系。
理解平面镶嵌的规则，并灵活运用。
理解三角形的角平分线、中线、高的概念、画法和性质。
利用全等三角形的性质定理、判定定理证明线段相等、角相等。
掌握角平分线的概念，会应用角平分线的性质进行推理和计算。
掌握直角三角形的特殊性质，并会运用这些性质灵活地解决推理和运算问题。
会运用勾股定理及其逆定理。
10、掌握中垂线的性质及判定。
11、运用等腰三角形的性质与判定证线段相等或角相等。
考点清单：
三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。
三角形的内角和等于180°，一个外角等于一个与它不相邻的两个内角和。
3、多边形的内角和等于（n-2）.180°,多边形的角和等于360°.
4、三角形三边关系定理：两边之和大于第三边，两边之差少于第三边。
5、全等三角形的性质：两个全等三角形的对应边、对应角相等。
6、全等三角形的判定定理有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
7、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
8、在直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
9、直角三角形两直角边a、b与斜边c的关系是a2+b2=c2
10、有两边相等的三角形叫等腰三角形；等腰三角形的两底角相等。
11、等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”。
12、有一角等于60°的等腰三角形是等边三角形；等边三角形的三个角都相等，并且都等于60°.
A部分：考试指南
历年真题
例1．已知三角形的三边长分别是；若的值为偶数，则的值有（ ）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
考点：三角形三边关系．
专题：应用题．
分析：已知三角形的两边长分别为3和8，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，或者任意两边之差＜第三边，即可求出第三边长的范围．
解答：解：已知第三边长为x．
由三角形三边关系定理得8-3＜x＜8+3，
解得5＜x＜11．
∵是偶数，∴可以取6，8，10这三个数。故选D。
点评：本题考查了三角形三边关系定理的应用．关键是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．
例2．直角三角形斜边长是，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是 ．
【答案】9π。
【考点】直角三角形斜边上中线的性质。
【分析】根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得此圆的半径，从而求出圆的面积：
圆的半径=6÷2=3，
则面积=πr2=9π。
例3．如图5，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．
（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．
考点：等腰梯形性质；三角形内角和定理．
分析：（1）要证明梯形ABCD是等腰梯形，只要证明∠ADC＝∠BCD即可。（2）在△BCD中，∠C＝60°, ∠BDC＝30°,30°所对的直角边等于斜边的一半，所以DC＝2BC。
（1）证明：∵AE∥BD, ∴∠E＝∠BDC
∵DB平分∠ADC ∴∠ADC＝2∠BDC
又∵∠C＝2∠E
∴∠ADC＝∠BCD
∴梯形ABCD是等腰梯形 …………………………3分
（2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5
∵ 在△BCD中，∠C＝60°, ∠BDC＝30°
∴∠DBC＝90°
∴DC＝2BC＝10 …………………………7分
例4．如图6，在Rt△ABC中，∠C=90 ，点D是BC上一点，
AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD=
考点：勾股定理。
分析：根据勾股定理，AC的平方加CD的平方
等于AD的平方。设CD=X,BC为X+5,BC的平方
等于AC的平方加AB平方。所以解得X=
即CD=
例5．如图1，△ABC中，BC＝AD＝BD，∠DBC＝80 ，则∠ABD的度是 B
A．40 B．35 C．25 D．20
考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理． A
分析：因为∠DBC＝80 , BC＝AD＝BD,所以∠ADB＝130°，∠A=∠A BD=25°
故选C．
点评：本题利用三角板度数的常识和三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
例6．如图3，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE的长度是
A．3 B．5 C． D．
考点：三角形的性质；矩形的性质;三角形的相似性．
专题：计算题．
tg∠DAE
分析：根据已知可知tg∠DAE等于tg∠EDC,即可求出DE的长度；也可根据△AED相似于△ADC,根据相似比求出DE的长度。故选D.
例7．（本题7分）如图8，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90 ，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD；（4分）
（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的长．（3分）
考点：等腰直角三角形的性质；三角形全等性质。
专题：计算题．
分析：（1）要证明△AOC≌△BOD，只要证明OC=OD,OA=OE
再找一夹角相等就行。
（2）根据三角形全等性质，勾股定理即可求出CD的长度。
解答：
（1）证明：如右图1，
，
又，
（2）由有：，，
，故
例8．如图2，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是
【答案】B。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】如B图△EFG和△ABC中，∠EFG=∠ABC=1350，
。实际上， A，C，D三图中三角形最大角都小于∠ABC，即可排它，选B即可。
例9．如图4，和均为等边三角形，为、的中点，则的值为
B． C． D．不确定
【答案】A。
【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】连接AO，DO。设等边△ABC的边长为，等边△ABC的边长为。
∵O为BC、EF的中点，∴AO、DO是BC、EF的中垂线。∴∠AOC=∠DOC=900，∴∠AOD=1800—∠COE。又∵∠BOE=1800—∠COE，∴∠AOD=∠BOE。
又由AO、DO是BC、EF的中垂线，得OB=，OE=，OA=，OD=。从而。∴AD：BE=:1。故选A。
例10．如图7，的内心在轴上，点的坐标为，点的坐标是，直线的解析式为，则的值是
【答案】。
【考点】三角形的内心，等腰直角三角形的性质，勾股定理，一次函数，锐角三角函数。
【分析】过A作AE⊥X轴于E，AC交Y轴于D，AB交X轴于F。
∵点C的坐标为（2,0），点B的坐标为（0,2），
∴∠OCB=∠OBC=45 ，BC=。
又∵△ABC的内心在y轴上，∴∠OBF=∠OBC=45 。
∴∠ABC=90 ，BF=BC=，CF=4，EF=EA。
又∵直线AC的解析式为，∴OD：OC=1：2。
∵A点在直线AC上，∴AE：EC=1：2，即AE：（EF+CF）=AE：（AE+4）=1：2。
解之，EF=AE=4，∴FA=。∴AB=BF+FA=。
∴在Rt △ABC中，tanA= 。
点评：本题考查了三角形内心的性质．三角形的内心是三角形三个角的角平分线的交点。
例11．如图6，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第个图形的周长是 。
【答案】。
【考点】分类归纳。
【分析】如图知，第1个图形的周长为2+1，第2个图形的周长为2+2，第3个图形的周长为2+3，第4个图形的周长为2+4，……，则第n个图形的周长为。
例12．如图11，一张矩形纸片，其中cm，cm；先沿对角线对折，点落在点的位置，交于点。
（1）求证：
（2）如图12，再折叠一次，使点与点重合，得折痕，交于点；求的长。
考点：图形的对称性；矩形的性质；勾股定理。
分析：只要证明△ABG≌△C’DG，第一个问题就解决了。通过勾股定理及三角形的相似性，易得EM的长度。
解答：
（1）证明：如图4，由对折和图形的对称性可知，
CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°
在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°
∴AB＝C’D，∠A＝∠C’
在△ABG和△C’DG中，
∵AB＝C’D，∠A＝∠C’，∠AGB＝∠C’GD
∴△ABG≌△C’DG（AAS）
∴AG＝C’G
（2）解：如图5，设EM＝x，AG＝y，则有：
C’G＝y，DG＝8－y， DM=AD=4cm
在Rt△C’DG中，∠DC’G＝90°，C’D＝CD＝6，
∴
即：
解得：
∴C’G＝cm，DG＝cm
又∵△DME∽△DC’G
∴， 即：
解得：, 即：EM＝（cm）
∴所求的EM长为cm。
图6
C
D
图1
图3
A
B
C
D
图8
O
图1
A
B
C\
D
A
B
C
图2
图4
F
E
D
C
B
A
O
图7
A
C
O
B
x
y
(1)）
(2)
(3)
(4)
……
图6
C
B
A
D
G
图11
B
A
C
D
N
E
M
G
图12B部分：热点专题
热点题型：
第一类：二次函数定义第一类：三角形及三角形的概念应用 第二类：三角形的角平分线，中位线，高，重心，垂直平分线。
第三类：三角形的面积 第四类：三角形三边的关系
第五类：三角形内角和定理三角形的外角性质 第六类：全等三角形
第七类：特殊三角形（直角、等腰、等边三角形） 第八类：勾股定理的应用
第九类：平面展开路径最短问题
第一类：三角形及三角形的概念应用
1、如图所示，图中三角形的个数共有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
考点：三角形．
分析：根据三角形的定义进行判断．只要数出BC上有几条线段即可．很明显BC上有3条线段，所以有三个三角形．
解答：解：BC上有3条线段，所以有三个三角形．故选C．
点评：三角形的定义中应注意“首尾顺次连接”这一含义．
2、已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（ ）
A、锐角三角形B、钝角三角形
C、直角三角形
D、锐角三角形或钝角三角形
考点：三角形．
分析：利用三角形外角与内角的关系计算．
解答：解：一个外角为50°，所以与它相邻的内角的度数为130°，所以三角形为钝角三角形．故选B．
点评：本题考查三角形内角、外角的关系及三角形的分类．
3.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）
A、0根 B、1根 C、2根 D、3根
考点：三角形的稳定性．
专题：存在型．
分析：根据三角形的稳定性进行解答即可．
解答：解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，
故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选B．
点评：本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单
第二类：三角形的角平分线，中位线，高，重心，垂直平分线。
4.小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．
分析：由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
解答：解：∵42+92=97＜122，
∴三角形为钝角三角形，
∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
故选C．
点评：本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部，当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部，当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形内部，一条高在内部．
5.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
考点：角平分线的性质；垂线段最短．
分析：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．
解答：解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA=PQ=2，
故选B．
点评：此题主要考查了角平分线的性质，本题的关键是要根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，找出满足题意的点Q的位置．
6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（ ）
A、5cm B、4cm C、3cm D、2cm
考点：角平分线的性质．
分析：过D作DE⊥AB于E，由已知条件，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
解答：解：过D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵CD=3cm，
∴DE=3cm．
故选C．
点评：本题主要考查角平分线的性质；作出辅助线是正确解答本题的关键．
7、如图，G为△ABC的重心，其中∠C=90°，D在AB上，GD⊥AB．若AB=29，AC=20，BC=21，则GD的长度为何？（ ）
A、7 B、14 C、D、
考点：三角形的重心．
专题：计算题．
分析：连接AG、BG，根据重心的性质可知，S△ABG=S△ABC，再根据三角形面积的表示方法，列方程求解．
解答：解：连接AG、BG，
∵G为重心，
∴S△ABG=S△ABC，
即×AB×GD=××BC×AC，
×29×GD=××21×20，
29×GD=7×20，
解得GD=
故选C．
点评：本题考查了三角形重心的性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点，根据中线平分面积，重心将中线分为1：2两部分求解。
第三类：三角形的面积
8、如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等的是（ ）
A、只有①和②相等 B、只有③和④相等C、只有①和④相等 D、①和②，③和④分别相等
考点：三角形的面积．
分析：根据三角形的面积公式来计算即可．
解答：解：小矩形的长为a，宽为b，
则①中的阴影部分为两个底边长为a，高为b的三角形，
∴S=×a b×2=ab；
②中的阴影部分为一个底边长为a，高为2b的三角形，
∴S=×a 2b=ab；
③中的阴影部分为一个底边长为a，高为b的三角形，
∴S=×a b=ab；
④中的阴影部分为一个底边长为a，高为b的三角形，
∴S=×a b=ab．
∴①和②，③和④分别相等．
故选D．
点评：此题主要考查三角形面积公式的综合应用，关键是如何确定三角形的底边和高的长度．
9、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A、5 B、4 C、3 D、2
考点：三角形的面积．
专题：网格型．
分析：首先分别在AB的两侧找到一个使其面积是2个平方单位的点，再分别过这两点作AB的平行线．找到所有的格点即可．即有5个．解答：解：满足条件的C点有5个，如图平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是．
故选A．
点评：此题主要是注意：根据两条平行线间的距离处处相等，只需在两侧各找一个符合条件的点，再作平行线，即可找到所有符合条件的点．
第四类：三角形三边的关系
10、若三角形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（ ）
A、2cm B、3cm C、7cm D、16cm
考点：三角形三边关系．
专题：应用题．
分析：已知三角形的两边长分别为6cm和9cm，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，或者任意两边之差＜第三边，即可求出第三边长的范围．
解答：解：设第三边长为xcm．
由三角形三边关系定理得9-6＜x＜9+6，
解得3＜x＜15．
故选C．
点评：本题考查了三角形三边关系定理的应用．关键是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．
11、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A、1，2，3 B、3，4，5 C、3，1，1 D、3，4，7
考点：三角形三边关系．
专题：应用题．
分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解答：解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2=3，不能组成三角形，故本选项错误；
B、3+4＞5，能够组成三角形；故本选项正确；
C、1+1＜3，不能组成三角形；故本选项错误；
D、3+4=7，不能组成三角形，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数，难度适中．
第五类：三角形内角和定理三角形的外角性质
12.将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）
A、45° B、60° C、75° D、85°
考点：三角形内角和定理．
专题：计算题．
分析：根据三角形三内角之和等于180°求解．
解答：解：如图．
∵∠2=60°，∠3=45°，
∴∠1=180°-∠2-∠3=75°．
故选C．点评：考查三角形内角之和等于180°．
13.将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（ ）
A、75° B、95° C、105° D、120°
考点：三角形的外角性质．
专题：计算题．
分析：求出∠ACO的度数，根据三角形的外角性质得到∠AOB=∠A+∠ACO，代入即可．
解答：解：∠ACO=45°-30°=15°，
∴∠AOB=∠A+∠ACO=90°+15°=105°．
故选C．
点评：本题主要考查对三角形的外角性质的理解和掌握，能熟练地运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键．
第六类：全等三角形
14.如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（ ）
A、5 B、4 C、3 D、2
考点：全等三角形的性质．
分析：根据全等三角形对应边相等，DE=AB，而AB=AE+BE，代入数据计算即可．
解答：解：∵△ABC≌△DEF
∴DE=AB
∵BE=4，AE=1
∴DE=AB=BE+AE=4+1=5
故选A．
点评：本题主要考查全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
15.在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE，DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（ ）
A、EF∥AB B、BF=CF C、∠A=∠DFE D、∠B=∠DEF
考点：全等三角形的判定；平行线的判定与性质；三角形中位线定理．分析：根据平行线的性质得到∠BDF=∠EFD，根据D E分别是AB AC的中点，推出DE∥BC，DE=BC，得到∠EDF=∠BFD，根据全等三角形的判定即可判断A；由DE=BC=BF，∠EDF=∠BFD，DF=DF即可得到△BFD≌△EDF；由∠A=∠DFE证不出△BFD≌△EDF；由∠B=∠DEF，∠EDF=∠BFD，DF=DF，得到△BFD≌△EDF．
解答：解：A、∵EF∥AB，
∴∠BDF=∠EFD，
∵D E分别是AB AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴∠EDF=∠BFD，
∵DF=DF，
∴△BFD≌△EDF，故本选项错误；
B、∵DE=BC=BF，∠EDF=∠BFD，DF=DF，∴△BFD≌△EDF，故本选项错误；
C、由∠A=∠DFE证不出△BFD≌△EDF，故本选项正确；
D、∵∠B=∠DEF，∠EDF=∠BFD，DF=DF，∴△BFD≌△EDF，故本选项错误．
故选C．
点评：本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质，三角形的中位线等知识点的理解和掌握，能求出证全等的3个条件是证此题的关键．
16.如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（ ）
A、2B、4 C、3D、4
考点：全等三角形的判定与性质．
分析：先证明AD=BD，再证明∠FBD=∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应边相等就可得到答案．
解答：解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠FDB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF=90°，
∴∠DAC+∠AFE=90°，
∵∠FDB=90°，
∴∠FBD+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE，
∴∠FBD=∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
{∠FBD=∠CAD
∠ADC=∠FDB
BD=AD，
∴△BDF≌△ADC，
∴DF=CD=4．
故选：B．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．
17.如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A、边角边 B、角边角 C、边边边 D、角角边
考点：全等三角形的应用．
分析：由于已知O是AA′、BB′的中点O，再加对顶角相等即可证明△OAB≌△OA′B′，所以全等理由就可以知道了．
解答：解：△OAB与△OA′B′中，
∵AO=A′O，∠AOB=∠A′OB′，BO=B′O，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．
故选A．
点评：此题主要考查全等三角形的判定方法，此题利用了SAS，做题时要认真读图，找出有用的条件是十分必要的．
第七类：特殊三角形（直角、等腰、等边三角形）
18.如图，AC、BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
考点：直角三角形全等的判定．
分析：根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为△ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个．
解答：解：①∵AB=DC，∠D=∠B，AC=DB，
∴△ABC≌△ADC；
②∵AB=DC，∠B=∠C，BC=BC，
∴△ABC≌△DBC；
③∵AB=DC，∠A=∠C，BC=AD，
∴△ABC≌△ABD；
④∵DE∥AC，
∴∠ACB=∠DEC，
∵AB=DC，∠ABC=∠DCE，
∴△ABC≌△DCE．
故选D．
点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
19.如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D，E两点，并连接BD，DE．若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为何（ ）
A、45 B、52.5 C、67.5 D、75
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
专题：计算题．
分析：根据AB=AC，利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求出∠BDE的度数．
解答：解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-30°）=75°，
∵以B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BD=BC，
∴∠BDC=∠ACB=75°，
∴∠CBD=180°-75°-75°=30°，
∴∠DBE=75°-30°=45°，
∴∠BED=∠BDE=（180°-45°）=67.5°．
故选C．
点评：本题考查了学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=45°，然后即可求得答案．
20.边长为4的正三角形的高为（ ）
A、2 B、4 C、 D、2
考点：等边三角形的性质．
分析：根据等边三角形三线合一的性质，即可得D为BC的中点，即可求BD的值，已知AB、BD根据勾股定理即可求AD的值．
解答：解：∵等边三角形三线合一，
∴D为BC的中点，
∴BD=BC=2，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=2，
则AD==2.
故选D．
点评：本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形三线合一的性质，本题中根据勾股定理求AD的值是解题的关键，难度适中．
21.如图，l1∥l2，l3⊥l4，∠1=42°，那么∠2的度数为（ ）
A、48° B、42° C、38° D、21°
考点：直角三角形的性质；平行线的性质．
专题：计算题．
分析：先根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠2．
解答：解：如图，∵l1∥l2，∠1=42°，
∴∠3=∠1=42°，
∵l3⊥l4，
∴∠2=90°-∠3=48°．
故选A．
点评：本题利用平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质．
第八类：勾股定理的应用
22.如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A、2.5 B、2C、D、
考点：勾股定理；实数与数轴．
分析：本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．
解答：解：由勾股定理可知，
∵OB==，
∴这个点表示的实数是．
故选D．点评：本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法．
第九类：平面展开路径最短问题
23.如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A、()cm B、5cm C、3cm D、7cm
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=BC，求出PC′=×6=4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长．解答：解：侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC′=3cm，
∵PC′=BC′，
∴PC′=×6=4cm，
在Rt△ACP中，
AP2=AC′2+CP2，
∴AP==5．
故选B．
点评：此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．三角形名师押题C部分
1.下列两个三角形不一定相似的是【 度002】
A、两个等边三角形 B、两个全等三角形
C、两个直角三角形 D、两个顶角是120 的等腰三角形
【答案】C。
【考点】相似三角形的判定，等边三角形、直角三角形、等腰三角形和全等三角形的性质。
【分析】根据相似三角形的判定方法及各三角形的性质进行分析，从而得到答案：A相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的判定；B相似，因为全等三角形是特殊的相似三角形；C不相似，因为没有指明其另一锐角相等或其两直角边对应成比例；D相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的的判定。故选C。
2.已知三角形的两边a=3，b=7，第三边是c，且aA、4【答案】B。
【考点】三角形三边关系。
【分析】根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，＜两边之和10，根据a＜b＜c即可得c的取值范围：答：根据三角形三边关系可得4＜c＜10，
∵a＜b＜c，∴7＜c＜10。故选B。
3.如图，直线l1//l2，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，则AE：EC是【 度002】
A、5：2 B、4：1
C、2：1 D、3：2
【答案】 C。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】如图所示，∵AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，
∴设AF=2x，BF=3x，BC=2y，CD=y。
由l1//l2，得△AGF∽△BDF， ∴ ，即。∴AG=2y。
由l1//l2，得△AGE∽△CDE，∴。故选C。
4.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到Ｃ处时，测得影子CD的长为１米，继续往前走2米到达Ｅ处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于【 度002】
Ａ．4.5米 Ｂ．6米
Ｃ．7.2米 Ｄ．8米
【答案】B。
【考点】相似三角形的应用， 解二元一次方程组。
【分析】如图，设AB=x米，BC= y米，则BC=y＋1米，BF= y＋5米。
由△ABD∽△GCD和△ABF∽△HEF得
，即，解得。
∴路灯A的高度AB等于6米。故选B。
5.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若S△ADE=1，则S△ABC= ▲ 。
【答案】4。
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】根据三角形中位线定理和相似三角形的相似比求解：
∵E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是中位线。
∴DEBC。∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2。
∵S△ADE=1，∴S△ABC=4。
6.计算：3tan30 ＋cot45 －2tan45 ＋2cos60 = ▲ .
【答案】。
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】运用特殊角的三角函数值求解：
3tan30°＋cot45°－2tan45°＋2cos60°=。
7.如图，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使
△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是 ▲ 。
【答案】AB=DC或∠ACB=∠DBC。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】要使△ABC≌△DCB，已知有两对边对应相等，AC=BD，BC=BC，则可根据全等三角形的判定方法添加合适的条件即可：
可添加AB=DC利用SSS判定△ABC≌△DCB；可添加∠ACB=∠DBC利用SAS判定△ABC≌△DCB。
8.在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为 ▲ ．
【答案】7。
【考点】三角形的中线定义，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理。
【分析】根据条件先确定△ABC为直角三角形，再求得△ABC的面积：
如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，
∵CD=3，AB=6，∴AD=DB=3，∴CD=AD=DB。∴∠1=∠2，∠3=∠4。
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°。∴△ABC是直角三角形。
∴AC2＋BC2=AB2=36。
又∵AC＋BC=8，∴AC2＋2AC BC＋BC2=64。∴2AC BC=64－（AC2＋BC2）=64－36=28。
∴AC BC=14。S△ABC=AC BC= ×14=7。
9.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测
到灯塔M在北偏东60 方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东
30 方向上，那么该船继续航行 ▲ 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置
【答案】15。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），垂直线段的性质，平行的性质，三角形外角定理，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。
【分析】过点M作MC⊥AB于点C，由垂直线段的性质，知渔船到达离灯塔距离最近的位置即为点C。由两直线平行，内错角相等的性质，得∠ADB=60 ，从而由∠DBM=30 和三角形外角定理，得∠DMB=∠DBM=30 。因此根据等腰三角形等角对等边的判定，得AB=MB。
设渔船航行的速度为v单位/分钟，则由已知MB= AB=30v单位。
在Rt△BCM中，∠MCB=90 ，∠MBC=30 ，则BC= MB=15v单位。则渔船从B处航行到C处所用时间为=15分钟。即该船继续航行15分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。
10.如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东300 方向上的B 处，则海轮行驶的路程AB为 ▲ 海里（结果保留根号）．
【答案】40+。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），平行的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】由平行的性质和等腰直角三角形的判定，知△APC为等腰直角三角形，由AP=，根据勾股定理，得AC=PC=40；
由平行的性质，得∠B=300，由锐角三角函数定义，得CB=。
因此，AB=AC+CB=40+（海里）。
11.如图，已知△ABC，∠ACB=90 ，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45 ，
（1）求证：△ACF∽△BEC （8分）
（2）设△ABC的面积为S，求证：AF·BE=2S （4分）
（3）试判断以线段AE、EF、FB为边的三角形的形状并给出证明．
【答案】解：（1）证明：∵AC=BC，∠ECF=45°∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，∠AFC=45°+∠BCF，∠ECB=45°+∠BCF。
∴∠AFC=∠ECB。∴△ACF∽△BEC。
（2）∵△ACF∽△BEC，∴ ，即AF BE=AC BC。
又∵ S△ABC=AC BC，∴AF BE=2S。
（3）直角三角形。证明如下：
由（2）可知AF BE=AC BC= AC2=AB2。
设AE=a，BF=b，EF=c．
则 (a+c)(b+c)= (a+b+c)2，化简即得a2+b2=c2。
所以以线段AE、EF、FB为边的三角形是以线段EF为斜边的直角三角形。
【考点】相似三角形的判定和性质，三角形三边关系，勾股定理的逆定理。
【分析】（1）对应角相等，两三角形相似。
（2）根据相似三角形的性质证明AF BE=AC BC=2S；
（3）由（2）的结论，求出AE、EF、FB的数量关系，应用勾股定理的逆定理即可证明。本题还有以下证明方法：
方法1：将△ACE绕O顺时针旋转90°到△CBG，边角边证明三角形全等，得出FG=EF，再证明△FBG为直角三角形，得出三边构成三角形的形状。
方法2：将△ACE和△BCF分别以CE、CF所在直线为轴折叠，则AC、BC的对应边正好重合与一条线段CG，连接GE、GF，则△FEG是直角三角形。
12.大楼AD的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得踏顶B处的仰角为60 ，爬
到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为30 ，求塔BC的高度。
【答案】解：作BE⊥AD的延长线于点E，
设ED= x，
在Rt△BDE中，BE=DE=，
在Rt△ABE中，AE=BE=3x，
由AE－ED=AD 得：3x－x=10 ， 解之得：x=5。
所以BC=5+10=15。
答：塔BC的高度为15米。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。
【分析】过点B作BE⊥AD交AD延长线于点E，构造两个直角三角形。设DE=x，分别求解可得AD与DE的值，再利用BC=AD+DE，即可求出答案。
13.如图，某货船以海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东的方向上．该货船航行分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在C岛周围海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
【答案】解：如图，在Rt△ABP中，
AB=24×0.5=12，∠BAP=900－600=300，
AP=，BP= 。
易求，∠PCB=∠PBC=300，∴PC= BP= ，AC=。
过点C作CQ⊥AM于点Q，则CQ=。
∵，∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，等腰三角形的判定。
【分析】应用锐角三角函数求出点C到直线AM的距离，与海里比较即可。
14.如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡
顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆
BC的高度．
【答案】解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．
在Rt△AEC中，AC＝10， 由坡比为1︰可知：∠CAE＝30°，
∴ CE＝AC·sin30°＝10×＝5，
AE＝AC·cos30°＝10×＝ 。
在Rt△ABE中，BE＝＝＝11。
∵ BE＝BC＋CE，∴ BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）。
答：旗杆的高度为6米。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】延长BC交AD于E点，则CE⊥AD，要求旗杆BC的高度，只要求出BE和CE的高度即可。解Rt△AEC和Rt△AB即可得出结果。
15.阅读下列材料：
正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．数学老师给小明出了一道题目：在图一1 正方形网格（每个小正方形边长为1 ）中画出格点△ABC ，使AB＝AC＝，BC＝；
小明同学的做法是：由勾股定理，得AB＝AC＝，BC，于是画出线段AB 、AC、BC，从而画出格点△ABC．
（1）请你参考小明同学的做法，在图一2 正方形网格（每个小正方形边长为1 ）中画出格点△A'B'C'（A'点位置如图所示）， 使A'B'＝A'C'＝5，B'C'＝（直接画出图形，不写过程）；
（2）观察△ABC与△A'B'C' 的形状，猜想∠BAC与∠B' A' C'有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】解：（1）格点△A'B'C'如图（一个即可）：
（2）猜想：∠BAC=∠B' A' C'。证明如下：
∵ ，。∴。
∴△ABC∽△A'B'C'。∴∠BAC=∠B' A' C'。
【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由勾股定理可作图形。
（2）由三边对应成比例的判定可得△ABC∽△A'B'C'，从而根据相似三角形对应角相等的性质即可得到∠BAC=∠B' A' C'。
16.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连结
DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是_____.
【答案】。
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】根据题意易证△OBE∽△DBC和△EPF∽△ED，利用相
似三角形的相似比求解：
∵OB=BD，OE⊥BC，CD⊥BC，∴△OBE∽△DBC。∴。
∵OE∥CD，∴△OEP∽△CDP。∴。
∵PF∥DC，∴△EPF∽△EDC。∴。
∵CE=BC，∴。
17.13．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 ▲ ．
【答案】。
【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】作GH⊥AE于点H，则有AE=EF=HG=4， AH=2，
由勾股定理，得AG=。
∵∠BAE+∠AEB=90°=∠FEC+∠AEB，∴∠BAE=∠FEC。
又∵∠B=∠C=90°，AE=EF，∴△ABE≌△ECF（AAS）。∴AB=CE。
设AB=CE=，BE=，
∵∠BAE+∠AEB=90°=∠BAE +∠GAH，∴∠AEB=∠GAH。
又∵∠B=∠AHG=90°，∴△ABE∽△GHA。∴，即。
解得，，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（＋＋）=。
G
A
l1
l2
F
E
B
C
D
A
B
M
北M
北M
30 M
60 M
东
A
B
M
北M
北M
30 M
60 M
东
C
D
A
E
F
B
C
D
A
C
B
D
A
C
B
E
北
60°
30°
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
E
F
C
D
O
P
