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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中人教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题02 数据的波动程度综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．在“传唱红色经典，弘扬爱国精神 ( http: / / www.21cnjy.com )”比赛中，七位评委给某选手打出了7个原始分，余下5个有效分的平均值作为这位选手的最后得分，则7个原始分和5个有效分这两组数据相比较，一定不会发生改变的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．方差 B．极差 C．中位数 D．平均数
2．在某中学举行的“筑梦路上 ( http: / / www.21cnjy.com )”演讲比赛中，八年级5名参赛选手的成绩分别为：90，93，89，90，88.关于这5名选手的成绩，下列说法正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．平均数是89 B．众数是93
C．中位数是89 D．方差是2.8
3．班级准备推选一名同学参加学校演讲比赛，在五轮班级预选赛中，甲、乙、丙三名同学五轮预选赛成绩的平均数和方差如下表所示：21*cnjy*com
甲 乙 丙
平均数/分 96 95 97
方差 0.4 2 2
丁同学五轮预选赛的成绩依次为：97分、 ( http: / / www.21cnjy.com )96分、98分、97分、97分，根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名成绩好又发挥稳定的同学参赛应该选择（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【出处：21教育名师】
4．为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查 ( http: / / www.21cnjy.com )了10名学生一周阅读用时数，结果如下表，则关于这10名学生周阅读所用时间，下列说法中正确的是（ ）【版权所有：21教育】
周阅读用时数（小时） 4 5 8 12
学生人数（人） 3 4 2 1
A．中位数是6.5 B．众数是12 C．平均数是3.9 D．方差是6
5．若一组数据a1，a2，…，an ( http: / / www.21cnjy.com )的平均数为10，方差为4，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数和方差分别是（ ）21教育名师原创作品
A．13，4 B．23，8 C．23，16 D．23，19
6．小明收集了鄂尔多斯市某 ( http: / / www.21cnjy.com )酒店2021年3月1日～3月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．平均数是 B．众数是10 C．中位数是8.5 D．方差是
7．小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：
成绩（分） 94 95 97 98 100
周数（个） 1 2 2 4 1
这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（ ）A．97.5 2.8 B．97.5 3
C．97 2.8 D．97 3
8．某学习小组的5名同学在一次数学文化节竞赛活动中的成绩分别是：92分，96分，90分，92分，85分，则下列结论正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．平均数是92 B．中位数是90 C．众数是92 D．极差是7
9．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．样本的容量是4 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
10．为迎接中考体育加试，小刚和 ( http: / / www.21cnjy.com )小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是 （ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
二、填空题
11．用计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3…+x8＝_____．
12．一组数据、、…、的方差是0.8，则另一组数据、、…、的方差是________．
13．若一组数据的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为__________．
14．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是_____．
甲 乙 丙 丁
7 8 8 7
s2 1 1.2 0.9 1.8
15．如图是甲、乙两名射击运动员10 ( http: / / www.21cnjy.com )次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10次射击成绩的方差为s甲2，s乙2，那么s甲2___s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．已知一组数据的平均数是5，极差为3，方差为2，则另一组新数组的平均数是________，极差是________，方差是________．
17．已知一组数据x1，x2，x3，x4 ( http: / / www.21cnjy.com )，x5的平均数是2，方差是5，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差的和为_______．21·世纪*教育网
18．甲、乙两射击运动员10次射击训练的平均成绩恰好都是8.5环，方差分别是，则在本次测试中，_______运动员的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）．21*cnjy*com
19．已知：①1，2，3，4，5的平均数是3，方差是2；
②2，3，4，5，6的平均数是4，方差是2；
③1，3，5，7，9的平均数是5，方差是8；
④2，4，6，8，10的平均数是6，方差是8；
请按要求填空：
（1），，，，的平均数是 ，方差是 ；
（2），，，，的平均数是 ，方差是 ；
（3），，，，的平均数是 ，方差是 ．
20．某次体育活动中，统计甲、乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况如下：
班级 参加人数 平均成绩（次） 中位数（次） 方差
甲班 55 135 149 190
乙班 55 135 151 110
请你从下面三个结论中，选出所有正确的命题
①甲班学生的平均成绩高于乙班学生的平均成绩；
②甲班学生的成绩波动比乙班学生的成绩波动大；
③甲班学生的成绩优秀人数不会多于乙班学生的成绩优秀人数（跳绳次数≥150次为优秀）
以上三个结论中正确的是_______（把所有正确的结论的序号填在横线上）
三、解答题
21．我校举行“庆祝建党一百周年” ( http: / / www.21cnjy.com )歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选于组成初中代表队和高中代表队参学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)根据图示填写下表：_______，________，________，_________．
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
初中部 a 85 c 70
高中部 85 b 100 d
(2)请选择某个标准，说明哪个参赛队获胜．
22．甲、乙两名队员参加射击训练，将10次成绩分别制成如图所示的两个统计图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据以上信息，整理分析数据如表：
平均成绩（环） 众数（环） 中位数 方差
甲 7 a 7 c
乙 7 8 b 4.2
填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲、乙两名队员哪位队员的射击成绩更好．21世纪教育网版权所有
23．疫情防控人人有责，为此我校在七、八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：【来源：21cnj*y.co*m】
（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D：95≤x≤100）
七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92
( http: / / www.21cnjy.com / )
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 b c d 52
八年级 92 93 100 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 年级成绩更平衡，更稳定；
（2）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；d＝
（3）我校八年级共1200人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的人数
24．（1）从下面两幅图中，分别“读”出甲、乙两队员射击成绩的平均数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）通过估计，比较甲、乙两队员射击成绩的方差的大小，说说你是怎么估计的；
（3）分别计算甲、乙两队员射击成绩的方差，看看刚才自己的估计是否正确；
（4）如果丙队员的射击成绩如下，那么三人射击成绩的方差谁的最大，谁的最小？你是怎样判断的？
( http: / / www.21cnjy.com / )
25．某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下：
甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9；
甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：
平均数 众数 中位数 方差
甲 8 b 8 0.4
乙 a 9 c 3.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格是a＝ ，b＝ ，c＝ ．（填数值）
（2）体育老师根据这5次的成绩，决定 ( http: / / www.21cnjy.com )选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是 ．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是 ；21·cn·jy·com
（3）如果乙同学再做一次引体向上， ( http: / / www.21cnjy.com )有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数 ，中位数 ，方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）www.21-cn-jy.com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中人教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·cn·jy·com
专题02 数据的波动程度综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．在“传唱红色经典，弘扬爱国精神”比赛中 ( http: / / www.21cnjy.com )，七位评委给某选手打出了7个原始分，余下5个有效分的平均值作为这位选手的最后得分，则7个原始分和5个有效分这两组数据相比较，一定不会发生改变的是（ ）2-1-c-n-j-y
A．方差 B．极差 C．中位数 D．平均数
【标准答案】C
【思路指引】
根据平均数、中位数、极差、方差的意义即可求解．
【详解详析】
解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的是中位数．21*cnjy*com
故选：C．
【名师指路】
点评：本题考查了平均数、中位数、众数、方差的 ( http: / / www.21cnjy.com )意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．平均数、极差、方差与每一个数据都有关系，都会受极端值的影响，而中位数仅与数据的排列位置有关，代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响．
2．在某中学举行的“筑梦路上”演讲比赛 ( http: / / www.21cnjy.com )中，八年级5名参赛选手的成绩分别为：90，93，89，90，88.关于这5名选手的成绩，下列说法正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．平均数是89 B．众数是93
C．中位数是89 D．方差是2.8
【标准答案】D
【思路指引】
根据平均数、众数、中位数的定义以及方差公式计算即可得出答案．
【详解详析】
∵八年级5名参赛选手的成绩分别为：90，93，89，90，88，
从小到大排列为88，89，90，90，93，
∴平均数为，众数为90，中位数为90，
故选项A、B、C错误；
方差为，
故选项D正确．
故选：D．
【名师指路】
本题考查平均数，众数和中位数，方差，掌握相关定义是解题的关键．
3．班级准备推选一名同学参加学校演讲比赛，在五轮班级预选赛中，甲、乙、丙三名同学五轮预选赛成绩的平均数和方差如下表所示：21教育网
甲 乙 丙
平均数/分 96 95 97
方差 0.4 2 2
丁同学五轮预选赛的成绩依次为：97 ( http: / / www.21cnjy.com )分、96分、98分、97分、97分，根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名成绩好又发挥稳定的同学参赛应该选择（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【标准答案】D
【思路指引】
首先求出丁同学的平均分和方差，然后比较平均数，平均数相同时选择方差较小的的同学参赛．
【详解详析】
解：根据题意，
丁同学的平均分为：，
方差为：；
∴丙同学和丁同学的平均分都是97分，但是丁同学的方差比较小，
∴应该选择丁同学去参赛；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了平均数和方差，方差是用来衡 ( http: / / www.21cnjy.com )量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【出处：21教育名师】
4．为了了解某校学生的课外阅读情况，随 ( http: / / www.21cnjy.com )机抽查了10名学生一周阅读用时数，结果如下表，则关于这10名学生周阅读所用时间，下列说法中正确的是（ ）【版权所有：21教育】
周阅读用时数（小时） 4 5 8 12
学生人数（人） 3 4 2 1
A．中位数是6.5 B．众数是12 C．平均数是3.9 D．方差是6
【标准答案】D
【思路指引】
根据平均数，中位数，众数和方差的意义分别对每一项进行分析即可得出答案．
【详解详析】
解：A、这10名学生周阅读所用时间从大到小排列，可得4、4、4、5、5、5、5、8、8、12，则这10名学生周阅读所用时间的中位数是：=5；21*cnjy*com
B、这10名学生周阅读所用时间出现次数最多的是5小时，所以众数是5；
C、这组数据的平均数是：（4×3+5×4+8×2+12）÷10=6；
D、这组数据的方差是：×[（4-6）2+（4-6）2+（4-6）2+（5-6）2+（5-6）2+（5-6）2+（5-6）2+（8-6）2+（8-6）2+（12-6）2]=6；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了平均数，中位数，众数 ( http: / / www.21cnjy.com )和方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
5．若一组数据a1，a2，…，an的平均 ( http: / / www.21cnjy.com )数为10，方差为4，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数和方差分别是（ ）
A．13，4 B．23，8 C．23，16 D．23，19
【标准答案】C
【思路指引】
根据平均数的概念、方差的性质解答．
【详解详析】
数据a1，a2，…，an的平均数为10，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数为
数据a1，a2，…，an的方差为4，么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的方差为，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了平均数和方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍．
6．小明收集了鄂尔多斯市某 ( http: / / www.21cnjy.com )酒店2021年3月1日～3月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．平均数是 B．众数是10 C．中位数是8.5 D．方差是
【标准答案】D
【思路指引】
由折线图得到相关六天的用水数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
【详解详析】
解：由折线图知：1日用水4吨，二日用水2吨，三日用水7吨，四日用水10吨，5日用水9吨，6日4吨，
平均数是：（4＋2＋7＋10＋9+4）÷6＝6，
数据2，4，4，7，9，10的中位数是（4+7）÷2=5.5，
4出现的次数最多，故众数为4，
方差是S2＝×[（2 6）2＋（4 6）2＋（4 6）2＋（7 6）2＋（9 6）2+（10-6）2]=．
综上只有选项D正确．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了折线图、平均数、中位数、众数及方差等知识，读折线图得到用水量数据是解决本题的关键．
7．小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：
成绩（分） 94 95 97 98 100
周数（个） 1 2 2 4 1
这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（ ）
A．97.5 2.8 B．97.5 3
C．97 2.8 D．97 3
【标准答案】B
【思路指引】
根据中位数和方差的定义计算可得．
【详解详析】
这10个周的综合素质评价成绩的中位数是(分)，
平均成绩为(分)，
∴这组数据的方差为，
故选B．
【名师指路】
本题主要考查中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义以及求解方法．
8．某学习小组的5名同学在一次数学文化节竞赛活动中的成绩分别是：92分，96分，90分，92分，85分，则下列结论正确的是（ ）
A．平均数是92 B．中位数是90 C．众数是92 D．极差是7
【标准答案】C
【思路指引】
根据平均数、中位数、众数以及极差的定义、计算公式对各选项进行判断．
【详解详析】
解：A．这组数据的平均分×（85+90+92+92+96）＝91分，所以A选项错误；
B、这组数据按从小到大排列为：85、90、92、92、96，所以这组数据的中位数为92（分），所以B选项错误；
C、这组数据的众数为92（分），所以C选项正确；
D．这组数据极差是96﹣85＝11，所以D选项错误；
故选C．
【名师指路】
本题查平均数，中位数，众数以及极差，解题关键是正确熟练运用公式．
9．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．样本的容量是4 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
【标准答案】D
【思路指引】
先根据方差的计算公式得出样本数据，从而可得样本的容量，再根据中位数与众数的定义、平均数的计算公式逐项判断即可得．
【详解详析】
由方差的计算公式得：这组样本数据为
则样本的容量是4，选项A正确
样本的中位数是，选项B正确
样本的众数是3，选项C正确
样本的平均数是，选项D错误
故选：D．
【名师指路】
本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等知识点，依据方差的计算公式正确得出样本数据是解题关键．
10．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统 ( http: / / www.21cnjy.com )计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是 （ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【标准答案】D
【思路指引】
根据方差反映数据的波动情况即可解答.
【详解详析】
由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差．
故选D．
【名师指路】
本题主要考查了统计的有关知 ( http: / / www.21cnjy.com )识，主要包括平均数、中位数、众数、方差．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
二、填空题
11．用计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3…+x8＝_____．
【标准答案】16
【思路指引】
先根据方差的计算公式可得这组数据的平均数，再利用平均数的计算公式即可得．
【详解详析】
解：由计算一组数据的方差，
∴这组数据的平均数为2，
则，
解得，
故答案为：16．
【名师指路】
本题考查了方差与平均数的计算公式，熟记公式，掌握公式中每个量的意义是解题关键．
12．一组数据、、…、的方差是0.8，则另一组数据、、…、的方差是________．
【标准答案】0.8
【思路指引】
设数据x1、x2、…、xn的平均数设为a，则 ( http: / / www.21cnjy.com )根据平均数公式可得数据x1+1、x2+1、…、xn+1的平均数为a+1，再根据方差公式进行计算即可得到答案．
【详解详析】
设数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，
∴数据x1+1、x2+1、…、xn+1的平均数为==a+1，
∴数据x1+1、x2+1、…、xn+1的方差为{[（x1+1）﹣（a+1）]2+[（x2+1）﹣（a+1）]2+…+（xn+1）﹣（a+1）]}2=[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…（xn﹣a）2]，
∵数据、、…、的方差为[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…+（xn﹣a）2]=0.8，
∴数据x1+1、x2+1、…、xn+1的方差为0.8．
故答案为：0.8
【名师指路】
本题考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．
13．若一组数据的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为__________．
【标准答案】
【思路指引】
根据平均数的计算公式，可得，再根据众数是5，所以可得x,y中必须有一个5，则另一个就是6，通过方差的计算公式计算即可.
【详解详析】
解：∵一组数据的平均数为6，众数为5，
∴中至少有一个是5，
∵一组数据的平均数为6，
∴，
∴，
∴中一个是5，另一个是6，
∴这组数据的方差为；
故答案为．
【名师指路】
本题是一道数据统计中的综合性题目，涉及知识点较多，应当熟练掌握，特别是记忆方差的计算公式.
14．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是_____．
甲 乙 丙 丁
7 8 8 7
s2 1 1.2 0.9 1.8
【标准答案】丙
【思路指引】
先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
【详解详析】
因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故答案为丙．
【名师指路】
本题考查了方差：一组数据中各数 ( http: / / www.21cnjy.com )据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．
15．如图是甲、乙两名射击运动员10次 ( http: / / www.21cnjy.com )射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10次射击成绩的方差为s甲2，s乙2，那么s甲2___s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】＞
【思路指引】
从统计图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算．
【详解详析】
解：由图中知，甲的成绩为7，10，7，9，10，9，8，10，8，7，
乙的成绩为9，8，10，9，9，8，9，7，7，9，
，
，
甲的方差，
乙的方差，
，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查方差的定义与意义，解题的关键是熟记方差的计算公式，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16．已知一组数据的平均数是5，极差为3，方差为2，则另一组新数组的平均数是________，极差是________，方差是________．
【标准答案】 11 6 8
【思路指引】
根据方差和平均数的变化规律可得 ( http: / / www.21cnjy.com )：数据2x1+1、2x2+1、2x3+1、2x4+1、2x5+1的平均数是2×5+1，极差为2×3，方差是方差为2×22，再进行计算即可．
【详解详析】
解：∵数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数是5，极差为3，方差为2，
∴新数据2x1+1、2x2+1、2x3+1、2x4+1、2x5+1的平均数是2×5+1=11，
极差为2×3=6，
方差为2×22=8，
故答案为：11、6、8．
【名师指路】
此题考查了方差的特点，若在原来数据前乘以 ( http: / / www.21cnjy.com )同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．
17．已知一组数据x1，x2 ( http: / / www.21cnjy.com )，x3，x4，x5的平均数是2，方差是5，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差的和为_______．
【标准答案】49
【思路指引】
根据平均数及方差知识，直接计算即可.
【详解详析】
∵数据，，，，的平均数是2，
，即，
，，，，的平均数为：
，
∵数据，，，，的方差是5，
，
即，，
，，，，的方差为：
，
，
，
，
，
平均数和方差的和为，
故答案为：49.
【名师指路】
本题是对平均数及方差知识的考查，熟练掌握平均数及方差计算是解决本题的关键.
18．甲、乙两射击运动员10次射击训练的平均成绩恰好都是8.5环，方差分别是，则在本次测试中，_______运动员的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）．
【标准答案】甲
【思路指引】
先根据甲的方差比乙的方差小，再根据方差越大，波动就越大，数据越不稳定，方差越小，波动越小，数据越稳定即可得出答案．
【详解详析】
解：∵，
∴，
∴甲运动员比乙运动员的成绩稳定；
故答案为：甲．
【名师指路】
本题考查了方差的意义，解题的关键是掌握方差 ( http: / / www.21cnjy.com )是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
19．已知：①1，2，3，4，5的平均数是3，方差是2；
②2，3，4，5，6的平均数是4，方差是2；
③1，3，5，7，9的平均数是5，方差是8；
④2，4，6，8，10的平均数是6，方差是8；
请按要求填空：
（1），，，，的平均数是 ，方差是 ；
（2），，，，的平均数是 ，方差是 ；
（3），，，，的平均数是 ，方差是 ．
【标准答案】（1），2 ；（2），8；（3），
【思路指引】
（1）数据n，n＋1，n＋2 ( http: / / www.21cnjy.com )，n＋3，n＋4是在数据1，2，3，4，5的基础上每个数据均加上（n 1）所得，只需将数据的平均数加上（n 1）即可，而数据波动幅度不变；www.21-cn-jy.com
（2）数据n，n＋2，n＋4，n＋ ( http: / / www.21cnjy.com )6，n＋8是在数据2，4，6，8，10的基础上每个数据均加上（n 2）所得，只需将原数据的平均数加上（n 2）即可，而数据波动幅度不变；；www-2-1-cnjy-com
（3）由数据n，2n，3n，4n，5n是将1，2，3，4，5分别乘以n所得，将原数据的平均数乘以n，方差乘以n2即可得出答案．
【详解详析】
解：（1）∵数据n，n＋1，n＋2，n＋3，n＋4是在数据1，2，3，4，5的基础上每个数据均加上（n 1）所得，
∴数据n，n＋1，n＋2，n＋3，n＋4的平均数3＋n 1＝n＋2，方差依然是2，
故答案为：n＋2，2；
（2）∵数据n，n＋2，n＋4，n＋6，n＋8是在数据2，4，6，8，10的基础上每个数据均加上（n 2）所得，
∴n，n＋2，n＋4，n＋6，n＋8的平均数是6＋n 2＝n＋4，方差依然是8，
故答案为：n＋4，8；
（3）数据n，2n，3n，4n，5n是将1，2，3，4，5分别乘以n所得，
∴数据n，2n，3n，4n，5n的平均数为3n，方差为2n2，
故答案为：3n，2n2．
【名师指路】
本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握平均数和方差的性质．
20．某次体育活动中，统计甲、乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况如下：
班级 参加人数 平均成绩（次） 中位数（次） 方差
甲班 55 135 149 190
乙班 55 135 151 110
请你从下面三个结论中，选出所有正确的命题
①甲班学生的平均成绩高于乙班学生的平均成绩；
②甲班学生的成绩波动比乙班学生的成绩波动大；
③甲班学生的成绩优秀人数不会多于乙班学生的成绩优秀人数（跳绳次数≥150次为优秀）
以上三个结论中正确的是_______（把所有正确的结论的序号填在横线上）
【标准答案】②③
【思路指引】
根据平均数、中位数、方差的意义分析三个说法．对于③，乙班的中位数为151，说明乙班至少有一半的为优秀．2·1·c·n·j·y
【详解详析】
解：两个班的平均成绩均为135次，故①错误；
方差表示数据的波动大小，甲班的方差大于乙的，说明甲班的成绩波动大，故②正确；
中位数是数据按从小到大排列后，中间的数或 ( http: / / www.21cnjy.com )中间两数的平均数，甲班的中位数小于乙班的，说明甲班学生成绩优秀人数不会多于乙班学生的成绩优秀的人数，故③正确．
故答案为：②③．
【名师指路】
本题考查了平均数、中位数、方差的意义． ( http: / / www.21cnjy.com )平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
三、解答题
21．我校举行“庆祝建党一百周年”歌手大赛， ( http: / / www.21cnjy.com )高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选于组成初中代表队和高中代表队参学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)根据图示填写下表：_______，________，________，_________．
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
初中部 a 85 c 70
高中部 85 b 100 d
(2)请选择某个标准，说明哪个参赛队获胜．
【标准答案】(1)85，80，85，160
(2)见解析
【思路指引】
（1）根据平均数、众数、中位数、方差的定义分别计算即可；
（2）根据平均数、众数、中位数、方差的意义选择一个标准进行判断．
(1)
解：初中代表队的平均成绩是：（75+80+85+85+100）÷5=85（分），即a=85，
把高中代表队的成绩从小到大排列为：70，75，80，100，100，最中间的数是80，则中位数是80分，即b=80，21世纪教育网版权所有
在初中代表队中85出现了2次，出现的次数最多，则众数是85分，即c=85，
高中部成绩的方差为：=160，即d=160，
故答案为：85，80，85，160；
(2)
因为两个队的平均数都相同，而高中部的众数较高，说明高中部获胜．
【名师指路】
本题考查了方差，方差是反映一组 ( http: / / www.21cnjy.com )数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好也考查了平均数、中位数和众数．
22．甲、乙两名队员参加射击训练，将10次成绩分别制成如图所示的两个统计图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据以上信息，整理分析数据如表：
平均成绩（环） 众数（环） 中位数 方差
甲 7 a 7 c
乙 7 8 b 4.2
填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲、乙两名队员哪位队员的射击成绩更好．21教育名师原创作品
【标准答案】（1），，；（2）答案见解析.
【思路指引】
（1）分别根据平均数，方差，中位数的定义求解即可；
（2）从众数与中位数的角度分析，乙的射击成绩都比甲要高，从而可得结论.
【详解详析】
解：（1）由频数直方图可得：甲的成绩如下：
其中环出现了4次，所以众数是环，
环
由折线统计图可得：按从小到大排序为：
所以中位数为：.
故答案为：，，；
（2）从众数与中位数来看，乙的众数与中位数都比甲高，所以乙的射击成绩比甲的射击成绩要好一些.
【名师指路】
本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的含义，根据平均数，众数，中位数，方差下结论，掌握以上基础概念是解本题的关键.
23．疫情防控人人有责，为此我校在 ( http: / / www.21cnjy.com )七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：
（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D：95≤x≤100）
七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92
( http: / / www.21cnjy.com / )
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 b c d 52
八年级 92 93 100 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 年级成绩更平衡，更稳定；
（2）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；d＝
（3）我校八年级共1200人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的人数
【标准答案】（1）八；（2）40；91.4；93；96；（3）840人
【思路指引】
（1）根据方差的意义求解即可；
（2）先求出八年级学生成绩落在C组人数所占百分比，再根据百分比之和为1求解可得a的值，然后根据平均数、中位数和众数的概念求解即可；
（3）用总人数乘以样本中成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数对应的百分比即可．
【详解详析】
（1）∵七年级成绩的方差为52，八年级成绩的方差为50.4，
∴八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴八年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：八；
（2）∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为3÷10×100%=30%，
∴a%=1-（20%+10%+30%）=40%，即a=40；
七年级的平均数=
将七年级成绩重新排列为：80，82，86，89，90，96，96，96，99，100，
则这组数据的中位数
七年级的成绩中96出现次数最多，所以众数d=96，
故答案为：40；91.4；93；96；
（3）估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是1200×（1-20%-10%）=840（人）．
【名师指路】
考查方差、中位数、众数的意义和计算方法，扇形统计图，从统计图中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
24．（1）从下面两幅图中，分别“读”出甲、乙两队员射击成绩的平均数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）通过估计，比较甲、乙两队员射击成绩的方差的大小，说说你是怎么估计的；
（3）分别计算甲、乙两队员射击成绩的方差，看看刚才自己的估计是否正确；
（4）如果丙队员的射击成绩如下，那么三人射击成绩的方差谁的最大，谁的最小？你是怎样判断的？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）甲、乙两人射击的 ( http: / / www.21cnjy.com )平均数都是8环；（2）甲的方差大，理由见解析；（3）甲的方差是1.4，乙的方差是1.2；（4）丙的方差最大，乙的方差最小，见解析
【思路指引】
（1）根据平均数的概念求解可得；
（2）由方差的意义可估计大小；
（3）根据方差的定义计算可得；
（4）先求出丙的平均数，再求出方差，最后进行比较即可．
【详解详析】
解：（1）根据图可知：甲的平均数为：，
乙的平均数为：，
故甲、乙两人射击的平均数都是8环．
（2）甲的方差大．估计的方法不唯一．例如，可以将甲、乙两人的射击成绩转化为散点图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
通过散点图可以发现，两人的平 ( http: / / www.21cnjy.com )均成绩都是8环，极差都是4环；但是甲集中在平均成绩线上的点只有2个，而乙集中在平均成绩线上的点较多，有4个，分散在其他线上的点较甲少，因此乙的方差较小．
也可以这样思考：因为方差表示的是数据在 ( http: / / www.21cnjy.com )平均值附近的波动情况，对于“对称”的条形统计图，它的平均值都位于对称轴处，因此离平均值近的数据越多，离平均值远的数据越少，方差就越小．
（3）甲的方差是，
乙的方差，
故乙的方差小；
（4）丙的平均数为：，
丙的方差为：，
丙的方差最大，乙的方差最小．
【名师指路】
本题考查了平均数和方差的定义与公式，解题的关键是掌握数形结合的思想进行求解．
25．某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下：
甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9；
甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：
平均数 众数 中位数 方差
甲 8 b 8 0.4
乙 a 9 c 3.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格是a＝ ，b＝ ，c＝ ．（填数值）
（2）体育老师根据这5次的 ( http: / / www.21cnjy.com )成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是 ．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是 ；21·世纪*教育网
（3）如果乙同学再做一次引体向上，有 ( http: / / www.21cnjy.com )效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数 ，中位数 ，方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【标准答案】（1）a、b ( http: / / www.21cnjy.com )、c的值分别是8、8、9；（2）甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是9，众数是9，获奖次数较多；（3）不变；变小；变小．21cnjy.com
【思路指引】
（1）根据平均数，中位数和方差的概念计算即可得出答案；
（2）通过对比甲，乙两同学的方差，中位数和众数即可得出答案；
（3）首先计算乙同学之后的平均数，中位数和方差，然后与之前的进行比较即可得出答案．
【详解详析】
（1），
因为甲中8共出现3次，次数最多，所以b=8
因为乙的有效次数中按顺序排列后处于中间位置的是9，所以中位数c=9；
故答案为a、b、c的值分别是8、8、9；
（2），
∴甲的方差较小，成绩比较稳定，
∴选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛；
∵乙的中位数是9，众数也是9，
∴获奖可能性较大，
∴根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛；
（3）∵原来的平均数是8，增加一次也是8，
∴平均数不变．
∵六次成绩排序为5，7，8，9，9，10，
∴处于中间位置的数为8，9，
∴中位数为 ，
∴中位数变小．
后来的方差为，
∴方差变小．
【名师指路】
本题主要考查数据的分析，掌握平均数，中位数，众数和方差的概念是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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