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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空 ( http: / / www.21cnjy.com )、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·cn·jy·com
专题04 几何思想之多边形的内角和与外角和综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的内角和是（ ）
A．360° B．900° C．1440° D．1800°
【标准答案】C
【思路指引】
设每一个外角都为x，则相邻的内角为 ( http: / / www.21cnjy.com )4x，然后根据“邻补角和为180°”列方程求得外角的大小，然后再根据多边形外角和定理求得多边形边数，最后运用多边形内角和公式求解即可．21教育名师原创作品
【详解详析】
解：设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，
由题意得，4x+x＝180°，
解得：x＝36°，
多边形的外角和为360°，
360°÷36°＝10，
所以这个多边形的边数为10，
则该多边形的内角和是：（10﹣8）×180＝1440°．
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了多边形内角和相邻外角的关系、多边形的外角和、多边形内角和等知识点，掌握多边形的外角和为360°是解答本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
2．下列说法不正确的是（ ）
A．三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角
B．四边形的内角和与外角和相等
C．等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条
D．全等三角形的周长相等，面积也相等
【标准答案】C
【思路指引】
根据三角形外角的性质，四边形内角和定理和外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质判断即可．
【详解详析】
∵三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角，正确，
∴A不符合题意；
∵四边形的内角和与外角和都是360°，
∴四边形的内角和与外角和相等，正确，
∴B不符合题意；
∵等边三角形是轴对称图形，对称轴有三条，
∴等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，错误，
∴C符合题意；
∵全等三角形的周长相等，面积也相等，正确，
∴D不符合题意；
故选C．
【名师指路】
本题考查了三角形外角的性质，四边形的内角和，外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质，准确相关知识是解题的关键．21*cnjy*com
3．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】B
【思路指引】
根据多边形的内角和公式（n-2） 180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
【详解详析】
解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：
（n-2） 180°=360°，
解得n=4．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
4．如图，M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数是（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．120° B．118° C．110° D．108°
【标准答案】D
【思路指引】
由五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C ( http: / / www.21cnjy.com )，证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，由∠BAM+∠ABP=∠APN，即可得出∠APN=∠ABC，即可得出结果．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=
∴∠APN的度数为108°；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质、多边形的内角和定理；熟练掌握五边形的形状，证明三角形全等是解决问题的关键．
5．能够铺满地面的正多边形组合是（ ）
A．正三角形和正五边形 B．正方形和正六边形
C．正方形和正八边形 D．正五边形和正十边形
【标准答案】C
【思路指引】
利用正多边形内角度数= 18 ( http: / / www.21cnjy.com )0°- 360°÷边数，计算出正多边形的内角，根据题意能够铺满地面的图形，即是两种或两种以上几何图形镶嵌成平面，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个360°的周角，据此判断即可．
【详解详析】
A、正三角形和正五边形内角分别为60°、108°，由于60m+108n = 360，得，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，不符合题意；
B、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，90m+120n = 360，同理m、n不存在正整数值使之成立，故不能铺满，不符合题意；
C、正方形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，90m+135n = 360，当m=1，n=2时等式成立，符合题意；
D、正五边形和正十边形内角分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为108°、144°，108m+144n = 360，同理m、n不存在正整数值使之成立，故不能铺满地面，不符合题意．
故选：C．
【名师指路】
此题主要考查了平面镶嵌，属于基础题，熟练掌握镶嵌的含义是解题的关键．
6．将一个四边形的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（ ）．
A．180° B．180°或360°
C．360°或540° D．180°或360°或540°
【标准答案】D
【思路指引】
根据四边形 ABCD 的纸片剪去一个三角形，剩下图形可能为：三角形，四边形，五边形解题即可．
【详解详析】
解：四边形 ABCD 的纸片剪去一个三角形，剩下图形可能为：三角形，四边形，五边形，
∴剩下的图形内角和为：180°或360°或540°，
故答案选：D．
【名师指路】
此题考查了多边形内角和，正确理解四边形去掉一个三角形后得到的图形形状是解题关键．
7．已知一个n边形的内角和等于1800°，则n＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【标准答案】D
【思路指引】
根据多边形的内角和公式，计算可得结论．
【详解详析】
解：∵（n﹣2）×180＝1800，
∴n＝12.
故选：D．
【名师指路】
本题考查了多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决本题的关键．
8．多边形的内角和不可能为（ ）
A．180° B．540° C．1080° D．1200°
【标准答案】D
【思路指引】
多边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°（n≥3且n是整数），则多边形的内角和是180度的倍数，由此即可求出答案．2·1·c·n·j·y
【详解详析】
多边形的内角和可以表示成（n-2） 18 ( http: / / www.21cnjy.com )0°（n≥3且n是整数），n应为整数，所以n-2也是整数，所以多边形的内角能被180整除，因为在这四个选项中不是180°的倍数的只有1200°．
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查了多边形的内角和定理，牢记定理是解答本题的关键，难度不大．
9．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【标准答案】C
【思路指引】
多边形的外角和是，则内角和是,设这个多边形是n边形，内角和是，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值.
【详解详析】
解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得：．
即这个多边形为六边形．
故选：C.
【名师指路】
本题考查了多边形的内角和与外角 ( http: / / www.21cnjy.com )和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键，根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.
二、填空题
10．一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数是______．
【标准答案】6
【思路指引】
先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于360°，再用360°除以外角的度数，即可得到边数．
【详解详析】
∵多边形的每一个内角都等于120°，
∴多边形的每一个外角都等于180°-120°=60°，
∴边数n=360°÷60°=6．
故答案为：6．
【名师指路】
此题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．
11．如图，和都是等边三角形，连接AD，BD，BE，．下列四个结论中：①≌；②；③；④，正确的是______（填写所有正确结论的序号）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】①③##③①
【思路指引】
利用等边三角形的性质即可证明出；在四边形中，根据，可得，即；先求出，得，通过等量代换即可；根据即可判断．
【详解详析】
解：和都是等边三角形，
，
，
，
，
故①正确；
，
在四边形中，
，
，
故②错误；
，
，
，
，
，
故③正确；
，
，
不一定等于，
不一定成立，
故④错误；
故答案是：①③．
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定定理、勾股定理、多边形内角和，解题的关键掌握等边三角形的性质，通过等量代换的思想进行求解．
12．如图，四边形ABCD，BP、CP分别平分、，写出、、之间的数量关系______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
如图（见解析），先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理、四边形的内角和即可得．
【详解详析】
解：如图，、分别平分、，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、四边形的内角和，熟练掌握三角形的内角和定理、四边形的内角和是解题关键．
13．如图，将一个正五边形与一个正方形拼接在一起，连接、，则的度数为_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】9°
【思路指引】
由周角的定义求出∠BCG，再根据等腰三角形的两底角相等求解即可．
【详解详析】
解：∵， ，
∴∠BCG=360°-∠BCD-∠GCD=360°-108°-90°=162°，
∵BC=CG，
∴∠BGC=∠GBC==9°，
故答案为：9°．
【名师指路】
本题考查了多边形的内角，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
14．如图，在ABC中，∠BAC＝120°，点E、F分别是ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H、G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠GAH＝60°，④GD＝GH．则其中正确的结论有__．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】①②③
【思路指引】
①根据四边形AEDF的内角和为360°，计算∠EDF便可判断①的结论的正确与否；
②连接BD、CD，根据垂直平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线的性质得HB＝HA，GA＝GC，DB＝DA＝DC，进而由等腰三角形的性质得结论∠DAH＝∠DAG，从而得出②的结论正确与否；
③证明∠BAH＋∠DAF＝90°，∠ADF＋∠DAF＝90°，∠BAH＝∠ADF，即可判断③的结论是否正确；
④由∠DHG＝∠BHE＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90° ∠B，∠DGH＝∠CGF＝90° ∠C，当AB≠AC时，∠B≠∠C，∠DHG≠∠DGH≠60°，此时GD≠GH，由此判断④的结论正确与否．
【详解详析】
解：①∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EDF＝360° ∠AED ∠AFD ∠BAC＝60°，
∴①的结论正确；
②连接BD、CD，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴HB＝HA，GA＝GC，DB＝DA＝DC，
∴∠ABH＝∠BAH，∠ACG＝∠CAG，∠DBA＝∠DAB，∠DCA＝∠DAC，∠DCB＝∠DBC，
∴∠DAH＝∠DBH＝∠DCG＝∠DAG
∴AD平分∠HAG，
∴②的结论正确；
③∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴HB＝HA，GA＝GC，
∴∠HBA＝∠HAB，∠GAC＝∠C，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B＋∠C＝∠HAB＋∠GAC＝60°，
∴∠HAG＝60°，
∴③的结论正确；
④∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DHG＝∠BHE＝90° ∠B，
∠DGH＝∠CGF＝90° ∠C，
当AB≠AC时，用∠B≠∠C，
∴∠DHG≠∠DGH，
∴DH≠DG，
∵∠HDG＝60°，
∴△DHG不是等边三角形，
∴GD≠GH，
∴④的结论不正确．
故答案为：①②③．
【名师指路】
本题是三角形的一个综合题，主要 ( http: / / www.21cnjy.com )考查了三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，四边形的内角和定理，考查的知识点多，难度增大，正确地作辅助线是解决本题的关键．
15．（1）如图1所示，_________；
（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为__________；二环五边形的内角和为__________；二环n边形的内角和为_________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】 360° 720° 1080°
【思路指引】
（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，得，再根据四边形内角和的性质计算，即可得到答案；
（2）连接，交于点M，根据三角形内角和和对顶角的知识，得；结合五边形内角和性质，得；结合（1）的结论，根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解详析】
（1）如图所示，连接AD，交于点M
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，
∴；
故答案为：360°
（2）如图，连接，交于点M
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴二环四边形的内角和为：
∵二环三角形的内角和为：
二环四边形的内角和为：
∴二环五边形的内角和为：
∴二环n边形的内角和为：
故答案为：，，．
【名师指路】
本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质，从而完成求解．
16．如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】36
【思路指引】
机器人行走的路程为10米，每次走1米，回到 ( http: / / www.21cnjy.com )O点时，组成一个封闭的图形，则多边形的边数为十，且每条边长度相等，由于每次右转的角度相同，故为正十边形，每次右转的角度为正十边形的外角，因而可求得答案．
【详解详析】
根据题意可得，机器人行走的路程是边长为1米的正十边形，而每次向右转的角度为正十边形的外角度数，所以．
故答案为：36°．
【名师指路】
本题主要考查了正多形的定义及外角和的性质．
17．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为，则内角和是______．
【标准答案】
【思路指引】
设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，根据题意得
变形 为，由n是正整数，求出x的值即可得到答案．
【详解详析】
设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，由题意得
∴，
∵n是正整数，，
∴x=，
∴这个多边形的内角和为，
故答案为：．
【名师指路】
此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．【版权所有：21教育】
18．如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．
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【标准答案】0
【思路指引】
将两个六边形分别进行拆分，再结合三角形的内角和和四边形的内角和计算即可得出答案.
【详解详析】
如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，
∴=180°×2+360°=720°
如图2所示，将原六边形分成了四个三角形
∴=180°×4=720°
∴m-n=0
故答案为0.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，难度适中，解题关键是将所求六边形拆分成几个三角形和四边形的形式进行求解.21cnjy.com
19．如图，已知正六边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】60°
【详解详析】
如图，因为点Ａ关于GH的对称点是F，所以连接BF交GH于点P，
则PA+PB=PF+PB=BF，
所以PA+PB的最小值是BF.
因为∠BAF=180°×(6-2)÷6=120°，AB=AF，
所以∠AFB=30°.
因为∠HGF=90°，
所以∠GPF=60°.
故答案为：60°.
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三、解答题
20．已知：如图，PC平分∠APB， ( http: / / www.21cnjy.com )CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】见详解．
【思路指引】
根据PC平分∠APB，CM ( http: / / www.21cnjy.com )⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．
【详解详析】
解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【名师指路】
本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键．【出处：21教育名师】
21．角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
小强证明该定理的步骤如下：
已知：如图1，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：OC是∠AOB的平分线．
证明：通过测量可得∠AOC=23°，∠BOC=23°．
∴∠AOC=∠BOC．
∴OC是∠AOB的平分线．
(1)关于定理的证明，下面说法正确的是 ．
A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理．
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理．
C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整．
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
(2)利用小强的已知和求证，请你证明该定理；
(3)如图2，在五边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CDE中，BC=CD=DE，∠ABC=80°，∠BAE=110°，∠AED=100°，在五边形ABCDE内有一点F，使得S△BCF=S△CDF=S△DEF．直接写出∠CFD的度数．21·世纪*教育网
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【标准答案】(1)D
(2)见解析
(3)∠CFD=55°．
【思路指引】
（1）由题意可得出答案；
（2）证明Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），由全等三角形的性质得出∠DOP=∠EOP，则可得出结论；
（3）过点F作FG⊥BC于点G，FH⊥CD ( http: / / www.21cnjy.com )于点H，FM⊥DE于点M，由三角形的面积可证出GF=FH=FM，由角平分线的性质得出∠BCF=∠DCF，∠CDF=∠EDF，由五边形内角和可求出∠BCD+∠CDE的度数，求出∠DCF+∠FDC的度数，则可求出答案．
(1)
解：由证明过程可知：小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
故选：D；
(2)
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP=∠OEP=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中，
，
∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），
∴∠DOP=∠EOP，
∴OC平分∠AOB；
(3)
解：过点F作FG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H，FM⊥DE于点M，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵S△BCF=S△CDF=S△DEF，
∴BC GF=CD FH=DE FM，
∵BC=CD=DE，
∴GF=FH=FM，
∴CF平分∠BCD，DF平分∠CDE，
∴∠BCF=∠DCF，∠CDF=∠EDF，
由（2）可知，△GCF≌△HCF，△FMD≌△FHD，
∴∠GFC=∠HFC，∠HFD=∠MFD，
∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，∠ABC=80°，∠BAE=110°，∠AED=100°，
∴∠BCD+∠CDE=540°-∠ABC-∠BAE-∠AED=250°，
∴∠DCF+∠FDC= (∠BCD+∠CDE )=×250°=125°，
∴∠CFD=180°-(∠DCF+∠FDC)=180°-125°=55°．
【名师指路】
本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．21世纪教育网版权所有
22．如图1，已知∠ACD是ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
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(1)尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞）
(2)初步应用：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P= ．
(3)解决问题：如图4，在四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系．
【标准答案】(1)＝
(2)∠P＝90°－∠A
(3)∠P＝180°－∠BAD－∠CDA，探究见解析
【思路指引】
（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式相加可得结论；
（2）根据角平分线的定义得：∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90° ∠A；21教育网
（3）根据平角的定义得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分线得：∠3=∠EBC=90° ∠1，∠4=∠FCB=90° ∠2，相加可得：∠3+∠4=180° （∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．
(1)
∠DBC+∠ECB-∠A=180°，
理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，
∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°，
故答案为：=；
(2)
∠P=90°-∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，
∵△BPC中，∠P=180°-∠CBP-∠BCP=180°-（∠DBC+∠ECB），
∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∴∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A．
故答案为：∠P=90°-∠A，
(3)
∠P=180°-∠BAD-∠CDA，
理由是：如图，
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∵∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3=∠EBC=90°-∠1，∠4=∠FCB=90°-∠2，
∴∠3+∠4=180°-（∠1+∠2），
∵四边形ABCD中，∠1+∠2=360°-（∠BAD+∠CDA），
又∵△PBC中，∠P=180°-（∠3+∠4）=（∠1+∠2），
∴∠P=×[360°-（∠BAD+∠CDA）]=180°-（∠BAD+∠CDA）=180°-∠BAD-∠CDA．
【名师指路】
本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是关键．
23．（1）如图1，∠ADC=120°，∠BCD=140°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点，则∠AFB的度数是 ；
（2）如图2，若∠ADC=，∠BCD=，且，∠DAB和∠CBE的平分线交于点，则∠AFB= （用含，的代数式表示）；
（3）如图3，∠ADC=，∠BCD=，当∠DAB和∠CBE的平分线AG,BH平行时，,应该满足怎样的数量关系？请说明理由；
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（4）如果将（2）中的条件改为，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，∠AFB与，满足怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．
【标准答案】（1）40°；（2）；（3）若AG∥BH，则α+β=180°，理由见解析；（4），图见解析．
【思路指引】
（1）利用四边形内角和定理得到∠DAB+∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC=360°-120°-140°=100°．再利用三角形的外角性质得到∠F=∠FBE-∠FAB，通过计算即可求解；
（2）同（1），通过计算即可求解；
（3）由AG∥BH，推出∠GAB=∠HBE．再推出AD∥BC，再利用平行线的性质即可得到答案；
（4）利用四边形内角和定理得 ( http: / / www.21cnjy.com )到∠DAB+∠ABC=360°-∠D-BCD=360°-α-β．再利用三角形的外角性质得到∠F=∠MAB-∠ABF，通过计算即可求解．
【详解详析】
解：（1）∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE=∠CBE，∠FAB=∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC=360°，
∴∠DAB+∠ABC=360°-∠D-∠DCB
=360°-120°-140°=100°．
又∵∠F+∠FAB=∠FBE，
∴∠F=∠FBE-∠FAB=∠CBE ∠DAB
= (∠CBE ∠DAB)
= (180° ∠ABC ∠DAB)
=×(180° 100°)
=40°．
故答案为：40°；
（2）由（1）得：∠AFB= (180° ∠ABC ∠DAB)，
∠DAB+∠ABC=360°-∠D-∠DCB．
∴∠AFB= (180° 360°+∠D+∠DCB)
=∠D+∠DCB 90°
=α+β 90°．
故答案为：；
（3）若AG∥BH，则α+β=180°．理由如下：
若AG∥BH，则∠GAB=∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB=2∠GAB，∠CBE=2∠HBE，
∴∠DAB=∠CBE，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠DCB=α+β=180°；
（4）如图：
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∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM=∠DAB，∠NBE=∠CBE，
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD=360°，
∴∠DAB+∠ABC=360°-∠D-BCD=360°-α-β，
∴∠DAB+180°-∠CBE=360°-α-β，
∴∠DAB-∠CBE=180°-α-β，
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF=∠NBE，
又∵∠F+∠ABF=∠MAB，
∴∠F=∠MAB-∠ABF，
∴∠F=∠DAB ∠NBE
=∠DAB ∠CBE
= (∠DAB ∠CBE)
= (180° α β)
=90°-α β．
【名师指路】
本题主要考查了三角形的外角性质、四边形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题．
24．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
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【标准答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°
【思路指引】
（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，21*cnjy*com
（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，
（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．
【详解详析】
解：（1）如图①，连接AD，
由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F
即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，
（2）如图②，由（1）方法可得：
∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，
∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，
（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，
∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，
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【名师指路】
本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．
25．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
【标准答案】（1）9；（2）1080 或1260 或1440 ．
【思路指引】
（1）设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据内角与其相邻的外角的和是 列出方程，求出的值，再由多边形的外角和为，求出此多边形的边数为；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．
【详解详析】
解：（1）设每一个外角为，则与其相邻的内角等于，
，
，即多边形的每个外角为，
∵多边形的外角和为，
∴多边形的外角个数为：，
∴这个多边形的边数为；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
①若剪去一角后边数减少1条，即变成边形，
内角和为，
②若剪去一角后边数不变，即变成边形，
内角和为，
③若剪去一角后边数增加1，即变成边形，
内角和为，
∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为或或 ．
【名师指路】
本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题04 几何思想之多边形的内角和与外角和综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的内角和是（ ）
A．360° B．900° C．1440° D．1800°
2．下列说法不正确的是（ ）
A．三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角
B．四边形的内角和与外角和相等
C．等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条
D．全等三角形的周长相等，面积也相等
3．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．如图，M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数是（ ）21教育网
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A．120° B．118° C．110° D．108°
5．能够铺满地面的正多边形组合是（ ）
A．正三角形和正五边形 B．正方形和正六边形
C．正方形和正八边形 D．正五边形和正十边形
6．将一个四边形的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（ ）．
A．180° B．180°或360°
C．360°或540° D．180°或360°或540°
7．已知一个n边形的内角和等于1800°，则n＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．多边形的内角和不可能为（ ）
A．180° B．540° C．1080° D．1200°
9．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
10．一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数是______．
11．如图，和都是等边三角形，连接AD，BD，BE，．下列四个结论中：①≌；②；③；④，正确的是______（填写所有正确结论的序号）．【来源：21·世纪·教育·网】
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12．如图，四边形ABCD，BP、CP分别平分、，写出、、之间的数量关系______．
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13．如图，将一个正五边形与一个正方形拼接在一起，连接、，则的度数为_______．
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14．如图，在ABC中，∠BAC＝120°，点E、F分别是ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H、G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠GAH＝60°，④GD＝GH．则其中正确的结论有__．21·世纪*教育网
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15．（1）如图1所示，_________；
（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为__________；二环五边形的内角和为__________；二环n边形的内角和为_________．21*cnjy*com
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16．如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________．【来源：21cnj*y.co*m】
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17．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为，则内角和是______．
18．如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．
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19．如图，已知正六边形ABCDEF的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．www.21-cn-jy.com
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三、解答题
20．已知：如图，PC平分∠APB，CM ( http: / / www.21cnjy.com )⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．【出处：21教育名师】
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21．角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
小强证明该定理的步骤如下：
已知：如图1，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE．
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求证：OC是∠AOB的平分线．
证明：通过测量可得∠AOC=23°，∠BOC=23°．
∴∠AOC=∠BOC．
∴OC是∠AOB的平分线．
(1)关于定理的证明，下面说法正确的是 ．
A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理．
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理．
C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整．
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
(2)利用小强的已知和求证，请你证明该定理；
(3)如图2，在五边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCDE中，BC=CD=DE，∠ABC=80°，∠BAE=110°，∠AED=100°，在五边形ABCDE内有一点F，使得S△BCF=S△CDF=S△DEF．直接写出∠CFD的度数．21·cn·jy·com
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22．如图1，已知∠ACD是ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？2·1·c·n·j·y
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(1)尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞）www-2-1-cnjy-com
(2)初步应用：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P= ．21cnjy.com
(3)解决问题：如图4，在四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系．2-1-c-n-j-y
23．（1）如图1，∠ADC=120°，∠BCD=140°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点，则∠AFB的度数是 ；【版权所有：21教育】
（2）如图2，若∠ADC=，∠BCD=，且，∠DAB和∠CBE的平分线交于点，则∠AFB= （用含，的代数式表示）； 21教育名师原创作品
（3）如图3，∠ADC=，∠BCD=，当∠DAB和∠CBE的平分线AG,BH平行时，,应该满足怎样的数量关系？请说明理由；21*cnjy*com
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（4）如果将（2）中的条件改为，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，∠AFB与，满足怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．
24．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
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25．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
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