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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【来源：21·世纪·教育·网】
专题03 几何思想之三角形中位线难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为、的中点，则长度的最大值为（ ）．
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A．3 B． C．4 D．2
【标准答案】D
【思路指引】
由题中条件可判定EF是中位线，可得，当动点N与点B重合时，DN值最大，，此时EF长度取最大值．
【详解详析】
解：如图，连接DN，
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∵点E、F分别为、的中点，
∴EF是中位线，，
当动点N与点B重合时，，此时DN长度取最大值，即此时EF长度取最大值．
∵，，，
∴，
∴．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了中位线性质，用勾股定理解三角形，理解长度的最大值就是求DN长度最大值是解题关键．
2．如图，点E是△ABC内一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，∠AEB＝90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（ ）
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A．7 B． C．8 D．9
【标准答案】C
【思路指引】
延长BE交AC于H，证明△HAE≌△BAE，根据全等三角形的性质求出AH，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解详析】
解：延长BE交AC于H，
∵AE平分∠BAC，
∴∠HAE＝∠BAE，
∵∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠AEH=90°，
在△HAE和△BAE中，
，
∴△HAE≌△BAE（ASA）
∴AH＝AB＝6，HE＝BE，
∵HE＝BE，AD＝DB，
∴DFAC，
∵HE＝BE，
∴HC＝2EF＝2，
∴AC＝AH＋HC＝8，
故选：C．
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【名师指路】
此题主要考查三角形内线段长度求解，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、中位线的性质定理．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若BF＝2，则EF的长是（ ）21·cn·jy·com
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A． B．2 C． D．3
【标准答案】B
【思路指引】
先说明AB=2BC，再根据勾 ( http: / / www.21cnjy.com )股定理求出BC和AB，进而得到BD=BC=AD=2，说明F和E分别是AC、CD的中点，最后根据三角形的中位线定理即可解答．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
解：∵∠ACB=90°，D是AB的中点
∴DC=AB=AD
∵∠ACD＝30°
∴∠A=∠ACD＝30°
∴AB=2BC，∠ABC=60°，
∴BC=AD,即△DBC为等边三角形
∵BF⊥CD于点F，
∴CF=FD,∠DBF=30°
∴BD=2DF
设DF=x，则BD=2x，DF2+BF2=BD2,即x2+() 2=(2x)2,解得x=2或-2（舍去）
∴AD=BD=2x=4
∵DE∥BC交AC于点E，D是AB的中点
∴AE=EC
∵CF=FD
∴EF是三角形ACD的中位线
∴EF=AD=2．
故选B．
【名师指路】
本题考查了勾股定理、等边三角形的性质和判定、 ( http: / / www.21cnjy.com )含30角的直角三角形的性质、三角形的中位线等知识点，能综合运用所学知识进行推理和计算成为解答本题的关键．
4．如图，已知四边形中，，，，点、分别是边、的中点，连接，则的长是（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
取AB的中点G，连接EG、GF，利用三角形中位线性质得到EG＝BD＝4，EG∥BD，GF＝AC＝3，GF∥AC，再判断EG⊥GF，然后利用勾股定理计算EF的长．
【详解详析】
解：取AB的中点G，连接EG、GF，
∵点E、F、G分别是边AD、CB、AB的中点，
∴EG为△ABD的中位线，GF为△ABC的中位线，
∴EG＝BD＝4，EG∥BD，GF＝AC＝3，GF∥AC，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥EG，
∵GF∥AC，
∴EG⊥GF，
在Rt△GEF中，EF＝＝5．
故选：B．
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【名师指路】
本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，解题关键是取中点构建中位线，建立直角三角形．
5．在锐角△ABC中，∠BAC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（ ）
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A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①④
【标准答案】C
【思路指引】
利用直角三角形斜边上的中线的性质即 ( http: / / www.21cnjy.com )可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．
【详解详析】
∵CM、BN分别是高
∴△CMB、△BNC均是直角三角形
∵点P是BC的中点
∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线
∴
故①正确
∵∠BAC=60゜
∴∠ABN=∠ACM=90゜ ∠BAC=30゜
∴AB=2AN，AC=2AM
∴AN：AB=AM：AC=1：2
即②正确
在Rt△ABN中，由勾股定理得：
故③错误
当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形
∵CM⊥AB，BN⊥AC
∴M、N分别是AB、AC的中点
∴MN是△ABC的中位线
∴MN∥BC
故④正确
即正确的结论有①②④
故选：C
【名师指路】
本题考查了直角三角形斜边上中线的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．
6．如图，平行四边形ABCD，∠BC ( http: / / www.21cnjy.com )D=120°，AB=2，BC=4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先证明NM为△AEF的中位线，根据中位线性质得出MN=，可得AE最小时，MN最小，根据点E在直线BC上，根据点到直线的距离最短得出AE⊥BC时AE最短，根据在平行四边形ABCD中，∠BCD=120°，求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，利用三角形内角和∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-60°-90°=30°，利用30°直角三角形性质得出BE=，再利用勾股定理求出AE即可．
【详解详析】
解：∵M为FA中点，N为FE中点，
∴NM为△AEF的中位线，
∴MN=
∴AE最小时，MN最小，
∵点E在直线BC上，
根据点A到直线BC的距离最短，
∴AE⊥BC时AE最短，
∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=120°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
∴∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-60°-90°=30°，
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=2，
∴BE=，
根据勾股定理AE最小值=,
∴MN=．
故选择C．
( http: / / www.21cnjy.com / )【名师指路】
本题考查三角形中位线性质，平行四边形性质， ( http: / / www.21cnjy.com )点到直线距离，三角形内角和，30°直角三角形性质，勾股定理，掌握三角形中位线性质，平行四边形性质，点到直线距离，三角形内角和，30°直角三角形性质，勾股定理是解题关键．
7．如图，△ABC的周长为 ( http: / / www.21cnjy.com )a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（ ）
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A．a B．a C．a D．a
【标准答案】A
【思路指引】
根据三角形中位线的性质可知的周长的周长，的周长的周长，以此类推找出规律，写出代数式，再整理即可选择．
【详解详析】
解：∵以△ABC的各边的中点为顶点作，
∴的周长的周长．
∵以各边的中点为顶点作，
∴的周长的周长，
…，
∴的周长
故选：A．
【名师指路】
本题主要考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求出前2个三角形的面积总结出规律是解答本题的关键．21*cnjy*com
8．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC＝（ ）
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A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5
【标准答案】A
【思路指引】
作DH∥AC交BF于H，如图，先证明△EDH≌△EAF得到DH＝AF，然后判断DH为△BCF的中位线，从而得到CF＝2DH．
【详解详析】
解：作DH∥AC交BF于H，如图，
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∵DH∥AF，
∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，
∵DE＝AE，
∴△EDH≌△EAF（AAS），
∴DH＝AF，
∵点D为BC的中点，DH∥CF，
∴DH为△BCF的中位线，
∴CF＝2DH＝2AF，
∴AF：FC＝1：2，
故选：A．
【名师指路】
本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．21世纪教育网版权所有
9．如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（ ）
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A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【标准答案】C
【思路指引】
由平行线的性质得到内错角相等和角平分线的性质通过等量代换，得到， ，所以，因此
【详解详析】
解： 点、分别为边、的中点，
，
∵BF是∠ABC的角平分线
故选：．
【名师指路】
本题考察了平行线的性质及三角形的中位线性质；利用三角形的中位线性质是解决本题的关键点．
10．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，，，的面积为9，则点F到BC的距离为（ ）
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A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8
【标准答案】B
【思路指引】
连接BE，交AD于点O．过点E作于点H，点F作于点G，由翻折的性质可得出AB=AE，，BD=DE，易证，得出结论BO=EO，，即证明．由题意可求出DF=EF=2.5，BD=DE=5，即得出和等底同高，即可求出的面积，从而可求出EO的长，进而可求出BE的长．再在中，利用勾股定理可求出OD的长，最后在中，利用等积法，即可求出的长，再由点F是DE的中点和所作辅助线，即可求出FG的长，即点F到BC的距离．
【详解详析】
如图，连接BE，交AD于点O．过点E作于点H，点F作于点G，
由翻折可知AB=AE，，BD=DE，
又∵AO=AO，
∴，
∴BO=EO，，
∴．
∵点F是DE的中点，EF=2.5，
∴DF=EF=2.5，BD=DE=5，
∴和等底同高，
∴．
∵，
∴，
解得：．
∴在中，，
∵．
∴．
又∵，
∴，
解得：．
∵点F是DE的中点，，，
∴FG为中位线，
∴．
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故选B．
【名师指路】
本题考查翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的判定和性质．正确的作出辅助线和利用数形结合的思想是解答本题的关键．21cnjy.com
二、填空题
11．如图，中，三条中位线围成的的周长是则的周长是________．
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【标准答案】30
【思路指引】
根据三角形的周长公式、三角形中位线定理解答即可．
【详解详析】
解：∵△DEF的周长是15，
∴DE+DF+EF=15，
∵DE、DF、EF分别是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，AC=2DF，AB=2EF，
∴△ABC的周长=BC+AC+AB=2（DE+DF+EF）=30（cm），
故答案为：30．
【名师指路】
本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12．如图，将△ABC沿其中位线D ( http: / / www.21cnjy.com )E翻折，点A落在BC边上的A′处．若BA′：A′C＝2：1，且△DB A′的面积为4，则△ABC的面积为___________．www.21-cn-jy.com
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【标准答案】12
【思路指引】
连结AA′，将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A′处．可得DE∥BC，且DE=，AA′⊥DE，根据BA′：A′C＝2：1，可得S△BDA′：S△EA′C =，由，S△EA′C=，由S△BDA′+S△EA′C=6=，而S△ADE=S△A′DE=，可求S△ABC=S△ADE+S△A′DE+S△DBA′+S△AEC即可．21*cnjy*com
【详解详析】
解：连结AA′，
∵将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A′处．
∴DE∥BC，且DE=，AA′⊥DE，
∴S△BDA′=，S△EA′C=，
∵BA′：A′C＝2：1，
∴S△BDA′：S△EA′C=：=，
∵，
∴S△EA′C=，
∵S△BDA′+S△EA′C=+====4+2=6，
而S△ADE=S△A′DE=，
∴S△ABC=S△ADE+S△A′DE+S△DBA′+S△AEC=4+3+2+3=12．
故答案为：12．
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【名师指路】
本题考查三角形面积，折叠性质，中位线性质，掌握三角形面积求法，折叠性质，中位线性质，利用等高三角形面积比等于底的比来运算是解题关键．【来源：21cnj*y.co*m】
13．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为CD、BC的中点，AM＝6，AN＝3，∠MAN＝60°，则对角线BD的长为_____．【版权所有：21教育】
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【标准答案】6
【思路指引】
延长AM至E，使得ME＝AM，过点E作EH⊥AN，交AN延长线于H点，连接MN、BD．证明N点为AH中点，求出AH,再运用勾股定理求出HE，最后根据三角形的中位线定理可得MN＝HE＝BD即可求解．
【详解详析】
解：延长AM至E，使得ME＝AM，过点E作EH⊥AN，交AN延长线于H点，连接MN、BD．
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∴AE＝2AM＝12．
∵∠MAN＝60°，
∴∠E＝30°，
∴AH＝AE＝6，
∴HE＝ ，
∵AN＝3，
∴N点为AH中点，
∴MN＝HE=，
∵M、N分别为CD、BC的中点，
∴MN＝BD．
∴BD＝HE＝6．
故填6．
【名师指路】
本题主要考查了了平行四边形的性质、勾股定理、三角形中位线的性质，解决本题的关键是借助线段的中点作“倍长中线”辅助线，使得线段得以转化．
14．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，若，则_______．
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【标准答案】3
【思路指引】
过O作OM∥BC交CD于M，根据平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形的性质得到BO＝DO，根据三角形的中位线的性质得到CM＝MD，可得CF是△EMO中位线，根据中位线性质可求长．
【详解详析】
解：过O作OM∥BC交CD于M，
∵在平行四边形ABCD中，，
∴BO＝DO，
∴CM＝DM=，
∵，
∴CE=CM，
∵OM∥BC，
∴CF是△EMO中位线，即；
故答案为：3．
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【名师指路】
本题考查了平行线的性质和中位线的性质与判定，解题关键是恰当构建中位线，依据中位线的性质求解．
15．已知：如图，线段AB＝6cm，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB作等边APC、等边BPD，连接CD，点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是_____________cm．
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【标准答案】3
【思路指引】
分别延长AC，BD交于H，过点M ( http: / / www.21cnjy.com )作GN∥AB分别交AH于G，BH于N，易证明四边形CPDH是平行四边形，从而得到M是PH的中点故在P运动过程中，M始终在HP的中点，所以M的运动轨迹即为△HAB的中位线，即线段GN，由此求解即可．
【详解详析】
解：如图，分别延长AC，BD交于H，过点M作GN∥AB分别交AH于G，BH于N，
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∵△APC、△BPD都是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠DPB=∠CPA=60°，
∴AH∥PD，BH∥CP，
∴四边形CPDH是平行四边形，
∴CD与HP互相平分，
∴M是PH的中点，
故在P运动过程中，M始终在HP的中点，所以M的运动轨迹即为△HAB的中位线，即线段GN，
∴cm，
故答案为：3．
【名师指路】
本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
16．如图，将长方形ABCD沿AE，EF翻折使其B、C重合于点H，点D落在点G的位置，HE与AD交于点P，连接HF，当，时，则P到HF的距离是______．
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【标准答案】
【思路指引】
连接FC，过点H作，过点P作，线段PM长度即为所求，根据折叠及矩形的性质可得，，，，，，由全等三角形及平行线的判定得出，，，点A、H、G三点共线，且，点H为AG中点，设，则，，利用勾股定理可得，，由三角形中位线的判定及性质可得，，最后在两个三角形与中，利用等面积法求解即可得．
【详解详析】
解：如图所示：连接FC，过点H作，过点P作，线段PM长度即为所求，
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∵长方形ABCD沿AE，EF翻折使其B、C重合于点H，点D落在点G的位置，
∴，，，，，，
∴，，，
∴点A、H、G三点共线，且，点H为AG中点，
设，则，，
在中，
，
即，
解得：，
∴，，
∵且点H为AG中点，
∴HP为中位线，
∴，，
在中，
，
，即，
∴，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【名师指路】
题目主要考查矩形及图形折叠的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，全等三角形的性质及平行线的判定，中位线的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．21教育网
17．如图，在中，，，射线AF是的平分线，交BC于点D，过点B作AB的垂线与射线AF交于点E，连结CE，M是DE的中点，连结BM并延长与AC的延长线交于点G．则下列结论正确的是______．
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① ②BG垂直平分DE ③ ④ ⑤
【标准答案】①②⑤
【思路指引】
先由题意得到∠ABE=∠ACB=∠BCG ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，∠BAC=45°，再由角平分线的性质得到∠BAE=∠DAC=22.5°，从而推出∠BEA=∠ADC，则∠BDE=∠BED，再由三线合一定理即可证明BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，即可判断②；得到∠MAG+∠MGA=90°，再由∠CBG+∠CGB=90°，可得∠DAC=∠GBC=22.5°，则∠GBE=22.5°，2∠GBE=45°，从而可证明△ACD≌△BCG，即可判断①；则CD=CG，再由AC=BC=BD+CD，可得到AC=BE+CG，即可判断⑤；由∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，即可判断④；延长BE交AC延长线于G，先证△ABH是等腰直角三角形，得到C为AH的中点，然后证BE≠HE，即E不是BH的中点，得到CE不是△ABH的中位线，则CE与AB不平行，即可判断③．
【详解详析】
解：∵∠ACB=90°，BE⊥AB，AC=BC，
∴∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°，∠BAC=45°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，∠DAC+∠ADC=90°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAC=22.5°，
∴∠BEA=∠ADC，
又∵∠ADC=∠BDE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=ED，
又∵M是DE的中点，
∴BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，
∴BG垂直平分DE，∠AMG=90°，故②正确，
∴∠MAG+∠MGA=90°，
∵∠CBG+∠CGB=90°，
∴∠DAC=∠GBC=22.5°，
∴∠GBE=22.5°，
∴2∠GBE=45°，
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCG（ASA），故①正确；
∴CD=CG，
∵AC=BC=BD+CD，
∴AC=BE+CG，故⑤正确；
∵∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，
∴∠G≠2∠GBE，故④错误；
如图所示，延长BE交AC延长线于G，
∵∠ABH=∠ABC+∠CBH=90°，∠BAC=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∵BC⊥AH，
∴C为AH的中点，
∵AB≠AH，AF是∠BAH的角平分线，
∴BE≠HE，即E不是BH的中点，
∴CE不是△ABH的中位线，
∴CE与AB不平行，
∴BE与CE不垂直，故③错误；
故答案为：①②⑤．
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【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的挂件．
18．已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝______．
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【标准答案】
【思路指引】
根据直角三角形斜边上的中线即可求得，根据三角形中位线的性质即可求得的长．
【详解详析】
解：，点D是AC的中点，
∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴
故答案为：
【名师指路】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
三、解答题
19．如图，在平行四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中对角线AC、BD交于O，BD=2AB，点E是OA的中点，点F是OC的中点，点M是CB的中点，连接BE，DF，MF．
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(1)求证：DF=BE；
(2)已知AC=4，BE=，求FM的长．
【标准答案】(1)见解析
(2)FM的长为．
【思路指引】
（1）依据平行四边形的性质，证明△ABE≌△CDF，即可证明DF=BE；
（2）证明△ODC和△OAB都是等腰三角形，在Rt△BOE中，利用勾股定理求得BO的长，再利用三角形中位线定理即可求解．
(1)
解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO=CO，
又∵点E，F分别为OA、OC的中点，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴DF=BE；
(2)
解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AB=CD，AO=CO，BO=DO，
又∵BD=2AB，
∴BO=DO=AB=CD，
∴△ODC和△OAB都是等腰三角形，
又∵点E，F分别为OA、OC的中点，AC=4，
∴DF⊥OC，BE⊥OA，AE=EO=OF=FC=1，
在Rt△BOE中，BE=，EO=1，
∴BO==，
∵点F为OC的中点，点M是CB的中点，
∴FM=BO=．
∴FM的长为．
【名师指路】
本题主要考查了平行四边形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定与性质勾股定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及三角形中位线定理，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．21教育名师原创作品
20．数学学习小组在学习了三角形中位线定理后，对四边形中有关中点的问题进行了探究：如图，在四边形中，E，F分别是边的中点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)若，，，，求的长．小兰说：取的中点P，连接，．利用三角形中位线定理就能解答此题，请你根据小兰提供的思路解答此题；
(2)小花说：根据小兰的解题思路得到启发，如果满足，就能得到、、的数量关系，你觉得小花说得对吗？若对，请你帮小花得到、、的数量关系，并说明理由．
【标准答案】(1)
(2)，理由见解析
【思路指引】
（1）根据题意作出辅助线，根据中位线的性质求得，根据平行线的性质求得，进而勾股定理即可求得;
（2）方法同（1）．
(1)
解：如图，取的中点P，连接，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
P，E，F分别是边的中点, ，，
,，
，，
,，
，
在中，，
(2)
，理由如下，
如图，取的中点P，连接，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
P，E，F分别是边的中点,，
,，
，
,，
，
在中，，
即
【名师指路】
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，掌握中位线定理是解题的关键．
21．已知：△ABC，AD为BC边上的中线，点M为AD上一动点（不与点A重合），过点M作ME∥AB，过点C作CE∥AD，连接AE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)如图1，当点M与点D重合时，求证：①△ABM≌△EMC；②四边形ABME是平行四边形
(2)如图2，当点M不与点D重合时，试判断四边形ABME还是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
(3)如图3，延长BM交AC于点N，若点M为AD的中点，求的值．
【标准答案】(1)①见解析；②见解析
(2)是，见解析
(3)
【思路指引】
（1）①根据DE∥AB，得出∠E ( http: / / www.21cnjy.com )DC＝∠ABM，根据CE∥AM，∠ECD＝∠ADB，根据AM是△ABC的中线，且D与M重合，得出BD＝DC，再证△ABD≌△EDC（ASA）即可；
②由①得△ABD≌△EDC，得出AB＝ED，根据AB∥ED，即可得出结论．
（2）如图，设延长BM交 ( http: / / www.21cnjy.com )EC于点F，过M作ML∥DC交CF于L，先证四边形MDCL为平行四边形，得出ML=DC=BD，可证△BMD≌△MFL（AAS），再证△ABM≌△EMF（ASA），可证四边形ABME是平行四边形；
（3）过点D作DG∥BN交AC于点G，根据M为AD的中点，DG∥MN，得出MN为三角形中位线MN＝DG，根据D为BC的中点，得出DG＝BN，可得MN＝BN，可求即可．
(1)
证明：①∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，
∴BD＝DC，
在△ABD与△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（ASA），
即△ABM≌△EMC；
②由①得△ABD≌△EDC，
∴AB＝ED，
∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形；
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)
成立．理由如下：
如图，设延长BM交EC于点F，过M作ML∥DC交CF于L，
∵AD∥EC，ML∥DC，
∴四边形MDCL为平行四边形，
∴ML=DC=BD，
∵ML∥DC，
∴∠FML=∠MBD，
∵AD∥EC，
∴∠BMD=∠MFL，∠AMB=∠EFM,
在△BMD和△MFL中
，
∴△BMD≌△MFL（AAS），
∴BM=MF ,
∵AB∥ME，
∴∠ABM=∠EMF，
在△ABM和△EMF中，
∴△ABM≌△EMF（ASA），
∴AB＝EM，
∵AB∥EM，
∴四边形ABME是平行四边形；
( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)
解：过点D作DG∥BN交AC于点G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵M为AD的中点，DG∥MN，
∴MN＝DG，
∵D为BC的中点，
∴DG＝BN，
∴MN＝BN，
∴，
由（2）知四边形ABME为平行四边形，
∴BM＝AE，
∴．
【名师指路】
本题考查三角形中线性质，平行线性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，三角形全等判定与性质，平行四边形判定，三角形中位线性质，掌握三角形中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，平行四边形判定，三角形中位线性质是解题关键．21·世纪*教育网
22．已知在四边形中，，分别是边，的中点．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)如图1，若，，，．求的长；
(2)如图2，若．求证：．
【标准答案】(1)5
(2)证明见解析
【思路指引】
（1）如图1，取的中点，连接，，可知分别是的中位线，且，在中，由勾股定理可求的长．www-2-1-cnjy-com
（2）如图2，取的中点，连接，，可知分别是的中位线，且，在中，由勾股定理得，将，代入即可证明．
(1)
解：如图1，取的中点，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，
∴分别是的中位线
∴，，，
∴，，，
∴
∴
在中，由勾股定理得
∴的长为5．
(2)
证明：如图2，取的中点，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，
∴分别是的中位线
∴，，，
∴，
∵
∴
在中，由勾股定理得
∴
∴．
【名师指路】
本题考查了中位线，勾股定理．解题的关键在于灵活运用中位线的性质求解．
23．点E是 ABCD的边CD上的一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．2·1·c·n·j·y
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(1)求证：四边形DMFC是平行四边形；
(2)连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．
【标准答案】(1)证明见解析
(2)EF＝4
【思路指引】
（1）由题意知，，，AB为△EMN的中位线，有，，得到，，进而可证明四边形MFCD为平行四边形；【出处：21教育名师】
（2）如图，连接AF，BF，则AF是△ ( http: / / www.21cnjy.com )MNE的中位线，由AF∥EB，AF＝EB，可证四边形AFBE是平行四边形，故有OF＝OE＝2，进而可求EF的长．
(1)
证明：由题意知，，，AB为△EMN的中位线
∴，
∴
∴，
∴四边形MFCD为平行四边形；
(2)
解：如图，连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴AF∥EB，AF＝EB
∴四边形AFBE是平行四边形
∴OF＝OE＝2
∴EF＝4．
【名师指路】
本题考查了中位线，平行四边形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握中位线的性质．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解 ( http: / / www.21cnjy.com )答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·cn·jy·com
专题03 几何思想之三角形中位线难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为、的中点，则长度的最大值为（ ）．
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A．3 B． C．4 D．2
2．如图，点E是△ABC内一点，∠AE ( http: / / www.21cnjy.com )B＝90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（ ）21cnjy.com
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A．7 B． C．8 D．9
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若BF＝2，则EF的长是（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．2 C． D．3
4．如图，已知四边形中，，，，点、分别是边、的中点，连接，则的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
5．在锐角△ABC中，∠BAC＝6 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（ ）
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A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①④
6．如图，平行四边形ABCD，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )CD=120°，AB=2，BC=4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（ ）
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A．1 B． C． D．
7．如图，△ABC的周长为a，以它的各 ( http: / / www.21cnjy.com )边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（ ）
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A．a B．a C．a D．a
8．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC＝（ ）21教育网
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A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5
9．如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（ ）
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A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，，，的面积为9，则点F到BC的距离为（ ）
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A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8
二、填空题
11．如图，中，三条中位线围成的的周长是则的周长是________．
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12．如图，将△ABC沿其中位线DE翻折，点 ( http: / / www.21cnjy.com )A落在BC边上的A′处．若BA′：A′C＝2：1，且△DB A′的面积为4，则△ABC的面积为___________．2·1·c·n·j·y
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13．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为CD、BC的中点，AM＝6，AN＝3，∠MAN＝60°，则对角线BD的长为_____．【来源：21·世纪·教育·网】
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14．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，若，则_______．21·世纪*教育网
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15．已知：如图，线段AB＝6cm，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB作等边APC、等边BPD，连接CD，点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是_____________cm．2-1-c-n-j-y
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16．如图，将长方形ABCD沿AE，EF翻折使其B、C重合于点H，点D落在点G的位置，HE与AD交于点P，连接HF，当，时，则P到HF的距离是______．21*cnjy*com
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17．如图，在中，，，射线AF是的平分线，交BC于点D，过点B作AB的垂线与射线AF交于点E，连结CE，M是DE的中点，连结BM并延长与AC的延长线交于点G．则下列结论正确的是______．www-2-1-cnjy-com
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① ②BG垂直平分DE ③ ④ ⑤
18．已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝______．【来源：21cnj*y.co*m】
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三、解答题
19．如图，在平行四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中对角线AC、BD交于O，BD=2AB，点E是OA的中点，点F是OC的中点，点M是CB的中点，连接BE，DF，MF．21世纪教育网版权所有
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(1)求证：DF=BE；
(2)已知AC=4，BE=，求FM的长．
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(1)若，，，，求的长．小兰说：取的中点P，连接，．利用三角形中位线定理就能解答此题，请你根据小兰提供的思路解答此题；【版权所有：21教育】
(2)小花说：根据小兰的解题思路得到启发，如果满足，就能得到、、的数量关系，你觉得小花说得对吗？若对，请你帮小花得到、、的数量关系，并说明理由．
21．已知：△ABC，AD为BC边上的中线，点M为AD上一动点（不与点A重合），过点M作ME∥AB，过点C作CE∥AD，连接AE．21教育名师原创作品
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(1)如图1，当点M与点D重合时，求证：①△ABM≌△EMC；②四边形ABME是平行四边形
(2)如图2，当点M不与点D重合时，试判断四边形ABME还是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；21*cnjy*com
(3)如图3，延长BM交AC于点N，若点M为AD的中点，求的值．
22．已知在四边形中，，分别是边，的中点．
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(1)如图1，若，，，．求的长；
(2)如图2，若．求证：．
23．点E是 ABCD的边 ( http: / / www.21cnjy.com )CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．
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(1)求证：四边形DMFC是平行四边形；
(2)连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．
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