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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题05 平行四边形压轴题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④；成立的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】A
【思路指引】
利用平行四边形的性质可得，，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．
【详解详析】
解：四边形是平行四边形，
，，
平分，
是等边三角形，
，，
，
，
，故①错误；
可得
，
，故②错误；
，
为中点，
，
，
，
；故③不正确；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故正确的个数为1个，
故选：A．
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【名师指路】
此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形是关键．
2．如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由可判定①，证明∠BAC=90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④．
【详解详析】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵
∴EC=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S ABCD=AB AC=AC CD，故③正确；
∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S ABCD=3：8，
∵S△AOD：S ABCD=1：4，
∴故④正确．
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．【版权所有：21教育】
3．如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则 ABCD的对角线AC的长为（ ）21*cnjy*com
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A． B．5 C．5 D．2
【标准答案】A
【思路指引】
过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，根据菱形的性质可知BC＝BD＝AD＝3，由∠BAD＝45°可知∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，依据勾股定理，在Rt△ABD中，AB＝AD＝，由∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°得出FC＝FB＝，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可求出AC＝．
【详解详析】
解：如图所示，过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，
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∵在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，
∴BC＝BD＝AD＝3，
又∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
∴Rt△ABD中，AB＝AD＝，
∵∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°，
∴∠BCF＝45°，
∴FC＝FB＝，
∴Rt△ACF中，
，
故选：A．
【名师指路】
本题考查平行四边形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．
4．如图，已知是边长为6的等边三角形，点是线段上的一个动点（点不与点，重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交线段，于点，，连接和，则下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④当时，，其中正确的有（ ）．
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【标准答案】A
【思路指引】
判断BE与CD是否相等，可考虑与 是否全等；结合图形特征和已知条件，从∠BDE+∠ ADE+∠ADC=180°和∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°入手，判断∠ BDE与∠CAD能否相等；要判断四边形 BCGE能否是平行四边形，已知EG∥BC，只需判断EB与GC能否平行即可； 由已知可判断三角形AFG是等边三角形，过点 A作AH⊥EG于点H，分别求出AH和EF，则三角形AEF的面积可求，从而能判断结论是否正确．
【详解详析】
解：∵和都是等边三角形，
∴，，．
又∵，，
∴．
∴≌（SAS）．
∴．
所以①正确；
∵，
，
又∵和都是等边三角形，
∴，
∴．
所以②正确；
∵
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
所以③正确；
∵
∴BE=CD=2．
∵四边形BCGE是平行四边形，
∴CG=BE=2，EG=BC=6．
∵EG∥BC，
∴∠AFG=∠ABC=60°，∠AGF=∠ACB=60°．
∵∠FAG=60°，
∴是等边三角形．
∴AG=FG=AC-CG=6-2=4．
∴EF=EG-FG=6-4=2．
过点A作AH⊥FG于点H，如图所示，则
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∴
∴
所以④正确．
综上可知：结论都正确．
故选：A
【名师指路】
本题考查了等边三角形的判定与性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定与性质、平角及三角形的内角和、平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式等知识点，熟知上述相关图形的判定和性质是解题的基础，灵活运用则更为关键；同时本题的四个结论具有连续性，上一个结论的正确性对下一个问题的提示和帮助作用不可忽视．
5．如图，由25个点构成的5×5的正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（ ）21*cnjy*com
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A．6个 B．7个 C．9个 D．11个
【标准答案】D
【思路指引】
根据平行四边形的判定，两组对边必须平行，可以得出上下各两个平行四边形符合要求，以及特殊四边形矩形与正方形即可得出答案．
【详解详析】
解：根据题意得：一共11个面积为4的阵点平行四边形．
故选：．
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【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定得出结论是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BC和∠ACB的角平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F．过点O作OD⊥AC于D．下列五个结论：其中正确的有（ ）
（1） EF=BE+CF； （2）∠BOC=90°+∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相等；（4）设OD=m．若AE十AF =n，则S△AEF= mn；（5）S△AEF=S△FOC．
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【标准答案】B
【思路指引】
由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故①正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设，，则，故③错误；、不可能是三角形的中点，则不能为中位线故④正确．
【详解详析】
解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故（2）正确；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故（1）正确；
过点作于，作于，连接，
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在中，和的平分线相交于点，
，
；故（3）正确，（4）错误；
，，
，不一定等于，
不一定等于．故（5）错误，
综上可知其中正确的结论是（1）（2）（3），
故选：．
【名师指路】
此题考查了三角形中位线定理的运用，以及平行线的性质、等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
7．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，连接下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
利用平行四边形的性质可得，，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．
【详解详析】
解：四边形是平行四边形，
，，
平分，
是等边三角形，
，，
，
，
，故①正确；
可得
，
，故②错误；
，
为中点，
，
，
，
；故③正确；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故正确的个数为3个，
故选：C．
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【名师指路】
此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键．
8．如图，为的对角线，于点E，于点F，、相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）www.21-cn-jy.com
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A．①②④ B．②③⑤ C．①⑤ D．③④
【标准答案】B
【思路指引】
通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE ( http: / / www.21cnjy.com )=DE，根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，则∠A=∠BHE，于是可对②进行判断；根据“AAS”可证明△BEH≌△DEC，得到BH=CD，CE=EH，可对①进行判断；接着由平行四边形的性质得AB=CD，则AB=BH，运算可对③进行判断；因为∠BDH=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD；依据勾股定理即可得到BH2+BG2=AG2．
【详解详析】
解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE=DE，
∵BF⊥CD，
∴∠C+∠CBF=90°，
而∠BHE+∠CBF=90°，
∴∠BHE=∠C，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，所以②正确；
在△BEH和△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴BH=CD，CE=EH，
∵点H不是DE中点
∴BE=ED≠2EC，所以①错误；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，所以③正确；
∵∠BDH=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠EBH，
∴∠BDG＞∠BHD，所以④错误；
∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴∠ABG=90°，
∴Rt△ABG中，AB2+BG2=AG2，
又∵AB=BH，
∴BH2+BG2=AG2，所以⑤正确；
故选：B．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．21教育名师原创作品
9．如图，在△ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】B
【思路指引】
由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③错误；最后求出，故④错误；即可得出答案．
【详解详析】
解：，，，，
，
是直角三角形，，
，故①正确；
，都是等边三角形，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
，
，
同理可证：，
，
四边形是平行四边形，故②正确；
，故③错误；
过作于，如图所示：
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，故④错误；
正确的个数是2个，
故选：B．
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【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
10．如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正确的个数是（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
【标准答案】A
【思路指引】
①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，即可得到E为BC中点，再根据中位线定理得到AB=2OE，即AD=4OE ；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；③根据大角对大边进行计算求解即可得到答案；④过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N可以得到即可求得，由此求出即可得出结论．
【详解详析】
解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AD=BC,OA=OC,
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵CE＝BE＝2
∴E为BC的中点
∴OE为△ABC的中位线
∴OE=AB=1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝90°，
∵BC＝2AB
∴BC=4OE
∴AD=4OE
∴①正确
Rt△EOC中，OC＝，
在Rt△OCD中，OD＝
BD＝2OD＝2
故②正确
在Rt△AOE中，∵AE是斜边
∴AE＞AO
∴AB＞AO
∴∠AOB＞∠ABO
∴∠AOB＞45°
∴∠BOE=90°-∠AOB＜45°
∵OE=
∴∠BOE＞∠OBE
∵∠ACB=30°，∠EOC=90°
∴∠OEC=60°
∴∠OEB=120°
∴∠BOE +∠OBE=60°
∴∠BOE＞30°
∴③正确
过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N
∴PM=PN（角平分线的性质）
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC=，
∴
∴④正确
综上，正确的个数是4个
故选：A．
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【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、直角三角形30度角的性质、三角形面积，角平分线的性质，三角形中位线定理，大角对大边等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．21·世纪*教育网
二、填空题
11．如图，是边长为6的等边三角形，为射线上一动点（点在点的右侧），将线段绕点逆时针旋转120°得到线段，连接，为的中点，连接，在点运动的过程中，线段长度的最小值为______．
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【标准答案】
【思路指引】
连接CE，取BC的中点N，连接作射线NF，先由旋转的性质和等腰三角形的性质得∠DCE=30°，再由三角形中位线定理得NF∥CE，则∠CNF=∠DCE=30°，得点F的轨迹为射线NF，且∠CNF=30°，当CF⊥NF时，CF最短，然后由含30°角的直角三角形的性质得CF=CN=即可．
【详解详析】
解：连接CE，取BC的中点N，连接作射线NF，如图所示：
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由旋转可知：CD=DE，∠CDE=120°，
∴△CDE为等腰三角形，
∴∠DCE=30°，
∵点N为BC的中点，点F为BE的中点，
∴NF是△BCE的中位线，
∴NF∥CE，
∴∠CNF=∠DCE=30°，
∴点F的轨迹为射线NF，且∠CNF=30°，
当CF⊥NF时，CF最短，
∵AB=BC=6，
∴CN=3，
在Rt△CNF中，∠CNF=30°，
∴CF=CN=，
∴线段CF长度的最小值为，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，判断出点F的运动轨迹是解题的关键．【出处：21教育名师】
12．如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）．在运动以后，当______时以、、、四点组成的四边形为平行四边形．
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【标准答案】4.8s或8s或9.6s
【思路指引】
根据平行四边形的判定可得当DP=BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解详析】
解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
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∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP=BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C-B，方程为12-4t=12-t，
此时方程t=0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C-B-C，方程为4t-12=12-t，
解得：t=4.8；
③点Q的运动路线是C-B-C-B，方程为12-（4t-24）=12-t，
解得：t=8；
④点Q的运动路线是C-B-C-B-C，方程为4t-36=12-t，
解得：t=9.6；
综上所述，t=4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8s或8s或9.6s．
【名师指路】
此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
13．如图，在平行四边形ABCD中，，F是AD的中点，过点C作于点E，连结EF，CF，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_________（填序号）．
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【标准答案】①②④
【思路指引】
由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得①∠DCF=∠BCD；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解详析】
解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故此选项正确；
③过点F作FN⊥CD，垂足为N，
∵△AEF≌△DMF，
∴S△AEF=S△DMF，
∵CD⊥AB，AB∥CD，
∴FN∥CE，
∴2FN=CE，
∵S△BEC=，S△DFM=，
若S△BEC=2S△AEF，即S△BEC=2S△DFM，
则BE=DM，又AE=DM，
则BE=AE，但无法证明该条件，
∴S△BEC=2S△AEF不一定成立，
故此选项错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：①②④．
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【名师指路】
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键．
14．如图，在中，，，，点，，分别为，，上一点，，．连结和，当平分时，的长为________．
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【标准答案】
【思路指引】
过D作DG⊥BC于G，在AB上截取AF=AQ，连接QF，证明是等边三角形，证明≌，得到，，证明≌，得到，设，利用直角三角形的性质求出DG，在中，利用勾股定理列出方程，求得a值，即可得到CP．
【详解详析】
解：过D作DG⊥BC于G，在AB上截取AF=AQ，连接QF，
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，，
∵DE平分，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
设，则，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．2·1·c·n·j·y
15．已知：如图，平行四边形中，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．
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（1）当点落在上时，________；
（2）若点落在的内部（包括边界），则的范围是___________．
【标准答案】 4 -3≤≤7
【思路指引】
（1）根据折叠的性质和平行线的性质，可得A′E=A′B，从而得AE= AB=6，进而即可求解；
（2）先求出当点A′在DE上时，求得DE的值，再求出当点A′在CE上时，求得ED=-3，进而即可得到答案．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
（1）解：∵把沿折叠到，
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∴∠AEB=∠A′EB，
∵平行四边形中，点落在上，
∴AE∥A′B，
∴∠AEB=∠A′BE，
∴∠A′EB=∠A′BE，
∴A′E=A′B，
又∵AE= A′E，AB= A′B，
∴AE= AB=6，
又∵，
∴AD=10，
∴DE=10-6=4，
故答案是：4；
（2）当点A′在DE上时，如图，此时，∠AEB=90°，
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∵，
∴∠ABE=90°-60°=30°，
∴AE=AB=3，
∴DE=10-3=7；
当点A′在CE上时，如图，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，
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∵AB∥CD，
∴∠A=∠NDC=60°，
又∵CD=AB=6，
∴DN=CD=3，CN=，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCA′，
∵把沿折叠到，
∴∠BA′E=∠A=60°，CD=AB=A′B，
∴∠BA′C=180°-60°=120°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC=180°-60°=120°，
∴∠BA′C=∠ADC，
∴，
∴CE=BC=10，
∴EN=，
∴ED=-3，
∴的范围是：-3≤≤7．
故答案是：-3≤≤7．
【名师指路】
本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
16．如图，已知，点A在边上，．过点A作于点C，以为一边在内作等边三角形，点P是围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作交于点D，作交于点E．设，则的最大值与最小值的和是_________．
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【标准答案】14
【思路指引】
作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形是平行四边形，得，在中，，可得的长，计算，确认最大和最小值的位置，可得结论．
【详解详析】
解：如图1，过作交于点，
，，
四边形是平行四边形，，
，
中，，
，
，
当在边上时，与重合，此时的最小值，即的最小值是4；
当在点时，如图2，
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，，
中，，
，，
则的最大值是：，即的最大值是10，
的最大值和最小值的和，
故答案为：14．
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【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．
17．如图，在平行四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是___．
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【标准答案】．
【思路指引】
如图，以AB为边向下作等边△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，用勾股定理求出EK即可解决问题．
【详解详析】
如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．
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∵BE＝BF，BK＝BA，
又∵∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF≌△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝75°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝15°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝15°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，
设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET=a，
在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，
∴a2+（2a+a）2＝4，
∴a＝，
∴EK＝2a+a＝，
∴AF的最小值为．
故答案为．
【名师指路】
本题考查旋转的性质，平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．【来源：21cnj*y.co*m】
18．如图，点D，E是ABC内的两点，且DEAB，连结AD，BE，CE．若AB＝9，DE＝2，BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为___________．
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【标准答案】
【思路指引】
过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到△，过作交延长线于，则，都是等边三角形，可判断四边形是平行四边形，由已知分别可求，，则，，所以，则，当、、、共线时，有最小值为的长，再由，，可得，，在中，，在△中，，则的最小值为．
【详解详析】
解：过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到△，过作交延长线于，
，都是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
当、、、共线时，有最小值为的长，
，，
，，
在中，，
在△中，，
的最小值为，
故答案为．
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【名师指路】
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质，通过构造平行四边形、旋转三角形，确定AD+BE+CE有最小值为CF'的长是解题的关键．
19．已知直线与轴，轴分别交于点，，点是射线上的动点，点在第一象限，四边形是平行四边形．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，则点的坐标为______．
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【标准答案】或．
【思路指引】
先根据题意求得，，，分点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点关于直线的对称点恰好落在轴上，根据含30度角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得点的坐标．
【详解详析】
与轴，轴分别交于点，，
令，，，
令，，，
，
，
，
，，
，
①如图，当点在第二象限时，设交轴于点，交于点，交轴于点，
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四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点关于直线的对称点为点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
②如图，当点在第二象限时，延长交轴于点，
则，
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点关于直线的对称点为点
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
．
综合①②可知C的坐标为或．
故答案为: 或．
【名师指路】
本题考查了一次函数图像的性质，平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法比较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．
20．如图，中，//轴，．点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为______．
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【标准答案】，或，
【思路指引】
先求出直线的解析式为，则可求，设，则，可求，，分两种情况讨论：当在轴负半轴时，由折叠可知，在△中，由勾股定理可求，在△中，，，可求，所以，解得，则，；当在轴正半轴时，同理可得，，解得，求得，．
【详解详析】
解：设的直线解析式为，
将，代入可得，
，
解得，
，
，
点是边上，轴，
设，
轴，
，
，，
当在轴负半轴时，如图，
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由折叠可知，，
，
在△中，，
在△中，，，
，
，
解得，
，；
当在轴正半轴时，如图，
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同理可得，，
解得，
，；
综上所述：点坐标为，或，，
故答案为，或，．
【名师指路】
本题考查折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．
三、解答题
21．如图，在中，，对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．
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（1）当旋转角为时，如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）在旋转过程中，线段与是否总保持相等，并说明理由；
（3）在旋转过程中，当时，如图2
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①求出此时绕点顺时针旋转的锐角度数；
②直接写出的值．
【标准答案】（1）见解析；（2）线段与总保持相等，理由见解析；（3）①；②．
【思路指引】
(1)证ABEF，又AE BF，可证四边形ABFE是平行四边形；
(2)根据ASA证△AOE△COF，即可得证OE = OF；
(3)①根据AB = 1，BC =，可得AO= AB，即∠ABO =∠AOB = 45°，又∠BOE = 90°，可得旋转角为45°；
②过点A作AMBO，交BO于点M，交BC于点N，取OF的中点H，连接MH，证四边形AMHE是平行四边形，得EH=AM=BO=，又OE = OF= 2OH，可得．
【详解详析】
解：证明：由题可知，，
又四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形；
（2）线段与总保持相等，理由如下：
四边形是平行四边形，
又
，
；
（3）①在中，，
，
，
，
即旋转的度数为，
②．
如图，过点作交于点，
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交于点，取的中点，连接．
由（3）①可知，
又点为中点，
为中位线，
，
四边形是平行四边形，
∴，
又
∴．
【名师指路】
本题主要考查平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，利用辅助线构造平行四边形是解题的关键．
22．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
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【标准答案】（1）见解析；（2）①16；②m+k＝2．
【思路指引】
（1）根据 ABCD中，∠ADC=60°，可得△ABE是等边三角形，进而可以证明结论；
（2）①根据 ，可得AB=BC，证明∠BAC=90°，再利用含30度角的直角三角形可得AB的长，进而可得平行四边ABCD的面积； ②根据四边形ABCD是平行四边形，可得S△AOD=S△BOC，S△BOC=S△BCD，由△ABE是等边三角形，可得BE=AB=mBC，由△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，设BC边上的高为h，BC的长为b，分别表示出四边形OECD和三角形AOD的面积，进而可得k与m满足的关系．
【详解详析】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB AC＝4×＝16；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝＝，
∴，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
【名师指路】
本题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质.
23．如图，在平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中，直线l1：y＝﹣x＋5与y轴交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B(﹣4，0)和点C，且与直线l1交于点D(2，m)．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求直线l2的解析式；
（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l1交于点G，当EG＝6时，求点G的坐标；
（3）若在平面上存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H的坐标．
【标准答案】（1）；（2）(﹣2，7)；（3）(2，0)或(2，6)或(﹣2，4)．
【思路指引】
（1）先求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用两条直线的解析式表示出G，E两点的坐标，进而得出线段GE的长，列出方程即可解答；
（3）分三种情形解答，先求得经过点H的解析式，再联立，解方程组即可求解．
【详解详析】
解：（1）∵当x＝2时，y＝﹣2+5＝3＝m，
∴D(2，3)．
设直线l2的解析式为y＝kx+b，由题意得：
，
解得： ．
∴直线l2的解析式为．
（2）∵EF⊥x轴，
∴G，E的横坐标相同．
设G(n，﹣n+5)，则E(n，)．
∵E为线段BC上一个动点，
∴﹣n+5＞0，＞0，
∴FG＝﹣n+5，FE＝．
∴EG＝FG﹣FE＝＝6．
解得：n＝﹣2．
∴G(﹣2，7)．
（3）如下图，当四边形AHCD为平行四边形时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
令x＝0，则，
∴C(0，2)．
∵CH∥AD，
∴同理可得：直线CH的解析式为：y＝﹣x+2．
令x＝0，则y＝﹣1×0+5＝5，
∴A(0，5)．
∵AH∥CD，
∴直线AH的解析式为：．
∴．
解得：．
∴H(﹣2，4)．
如下图，当四边形AHDC为平行四边形时，
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∵DH∥AC，
∴直线DH的解析式为x＝2，
∵AH∥DC，
∴直线AH的解析式为，
∴当x＝2时，，
∴H(2，6)．
当四边形ADHC为平行四边形时，如下图，
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∵DH∥AC，
∴直线DH的解析式为x＝2，
∵CH∥AD，
∴直线CH的解析式为：y＝﹣x+2，
当x＝2时，y＝﹣2+2＝0，
∴H(2，0)．
综上，存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为：(2，0)或(2，6)或(﹣2，4)．21cnjy.com
【名师指路】
本题是一道一次函数的综合题， ( http: / / www.21cnjy.com )主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式的重要方法，也是解答本题的关键．
24．在中，．
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（1）如图①，、的平分线相交于点，则________；
（2）如图②，的外角、的平分线相交于点，则_________；
（3）探究
探究一：如图③，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，求的度数．（用的代数式表示）【来源：21·世纪·教育·网】
探究二：已知，四边形的内角的平分线所在直线与其外角的平分线所在直线相交于点，，
①如图④，若，则__________（用、的代数式表示）
②如图⑤，若，则___________（用、的代数式表示）
【标准答案】（1）125；（2）55；（3）探究一：；探究二：①；②
【思路指引】
（1）求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形的一个外角等于与 ( http: / / www.21cnjy.com )它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）探究一：根据提供的信息，根据三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠OBC表示出∠OCE，再利用外角性质得到∠BOC=∠OCE-∠OBC，然后整理即可得到∠BOC的度数．
探究二：①根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BOC+∠OBC=∠OCE，然后整理即可得解；
②同①的思路求解即可．
【详解详析】
解：（1）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=×110°=55°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°；
（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∵、分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠=∠DBC，∠=∠ECB，
∴∠+∠=（180°+∠A），
∴∠=180°-（∠+∠）=180°-（180°+∠A）=90°-∠A=55°；
（3）探究一：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠OCE=（∠A+∠ABC）=∠A+∠OBC，
∵∠OCE是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=∠A+∠OBC-∠OBC=∠A=n°；
探究二：①由四边形内角和定理得，∠BCD=360°-∠A-∠D-∠ABC，
∴∠DCE=180°-（360°-∠A-∠D-∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC-180°，
由三角形的外角性质得，∠OCE=∠O+∠OBC，
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∵BO、CO分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠DCE，
∴∠BOC+∠OBC=（∠A+∠D+∠ABC-180°）=（∠A+∠D）+∠ABC90°，
∴∠BOC=（∠A+∠D）-90°，
∵∠A=n°，∠D=m°，
∴∠BOC=（n°+m°）-90°；
②如图：同①可求，∠FBC=∠ABC，∠GCE=∠DCE，
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∴∠BCO=∠GCE=∠DCE，
∴∠BOC+∠BCO=，
∴∠BOC+∠GCE=，
∴，
∴
∴
∴∠BOC=90°（n°+m°）．
故答案为：125；55；（n°+m°）-90°；90°-（n°+m°）．
【名师指路】
本题考查了多边形的内角和公式，三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．
25．已知，，是直线在第二象限内的一点，且，将线段沿轴翻折得到点的对应点 ．
（1）当时，求直线的解析式；
（2）用含的代数式表示的面积；
（3）作平行四边形，当时，请直接写出点的坐标 ．
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【标准答案】（1）（2）；（3） ．
【思路指引】
（1）根据b=2，得到点B坐标为，利用待定系数法即可求出AB的解析式；
（2）作BD∥x轴，作PD∥y轴，PD、BD交于点D，证明△OBO≌BPD，得到，确定点P坐标为进而得到坐标为，利用割补法即可求解；21·cn·jy·com
（3）设，根据平行四边形性质得到，根据平移特点即可求出x、y，问题得解．
【详解详析】
解：（1）当时，坐标是，
设解析式为，
将，代入，
得，
解得；
∴直线解析式为；
（2）如图，作BD∥x轴，作PD∥y轴，PD、BD交于点D，
∴∠BAO=∠PBD，∠BOA=∠D=90°，
，
∴△ＡBO≌BPD，
，
，
∵点P与点关于x轴对称，
；
；
（3）设，
∵四边形为平行四边形，
为矩形，D为AP1中点
∴AD=AB
有对称变换可知，AB=AD，OA平分∠BAD
∴△ＡBD为等边三角形，OA⊥BD于点O
则对角线BC在y轴上
∴∠BCA=30°
∴
．
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【名师指路】
本题为一次函数综合题，难度较大，熟知待定系数法，轴对称与坐标特点，理解平行四边形的性质及特点是解题关键．21教育网
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题05 平行四边形压轴题专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④；成立的个数有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则 ABCD的对角线AC的长为（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B．5 C．5 D．2
4．如图，已知是边长为6的等边三角形，点是线段上的一个动点（点不与点，重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交线段，于点，，连接和，则下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④当时，，其中正确的有（ ）．【来源：21·世纪·教育·网】
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，由25个点构成的5×5的正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（ ）21·世纪*教育网
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A．6个 B．7个 C．9个 D．11个
6．如图，在△ABC中，∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C和∠ACB的角平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F．过点O作OD⊥AC于D．下列五个结论：其中正确的有（ ）www-2-1-cnjy-com
（1） EF=BE+CF； （2）∠BOC=90°+∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相等；（4）设OD=m．若AE十AF =n，则S△AEF= mn；（5）S△AEF=S△FOC．21*cnjy*com
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，连接下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，为的对角线，于点E，于点F，、相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）【版权所有：21教育】
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A．①②④ B．②③⑤ C．①⑤ D．③④
9．如图，在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正确的个数是（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．如图，是边长为6的等边三角形，为射线上一动点（点在点的右侧），将线段绕点逆时针旋转120°得到线段，连接，为的中点，连接，在点运动的过程中，线段长度的最小值为______．2-1-c-n-j-y
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12．如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）．在运动以后，当______时以、、、四点组成的四边形为平行四边形．【出处：21教育名师】
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13．如图，在平行四边形ABCD中，，F是AD的中点，过点C作于点E，连结EF，CF，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_________（填序号）．www.21-cn-jy.com
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14．如图，在中，，，，点，，分别为，，上一点，，．连结和，当平分时，的长为________．21世纪教育网版权所有
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15．已知：如图，平行四边形中，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．
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（1）当点落在上时，________；
（2）若点落在的内部（包括边界），则的范围是___________．
16．如图，已知，点A在边上，．过点A作于点C，以为一边在内作等边三角形，点P是围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作交于点D，作交于点E．设，则的最大值与最小值的和是_________．
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17．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是___．【来源：21cnj*y.co*m】
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18．如图，点D，E是ABC内的两点，且DEAB，连结AD，BE，CE．若AB＝9，DE＝2，BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为___________．
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19．已知直线与轴，轴分别交于点，，点是射线上的动点，点在第一象限，四边形是平行四边形．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，则点的坐标为______．
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20．如图，中，//轴，．点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为______．21cnjy.com
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三、解答题
21．如图，在中，，对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．
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（1）当旋转角为时，如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）在旋转过程中，线段与是否总保持相等，并说明理由；
（3）在旋转过程中，当时，如图2
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①求出此时绕点顺时针旋转的锐角度数；
②直接写出的值．
22．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
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23．如图，在平面直角坐标系中，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )l1：y＝﹣x＋5与y轴交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B(﹣4，0)和点C，且与直线l1交于点D(2，m)．21*cnjy*com
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（1）求直线l2的解析式；
（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l1交于点G，当EG＝6时，求点G的坐标；
（3）若在平面上存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H的坐标．
24．在中，．
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（1）如图①，、的平分线相交于点，则________；
（2）如图②，的外角、的平分线相交于点，则_________；
（3）探究
探究一：如图③，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，求的度数．（用的代数式表示）21教育名师原创作品
探究二：已知，四边形的内角的平分线所在直线与其外角的平分线所在直线相交于点，，
①如图④，若，则__________（用、的代数式表示）
②如图⑤，若，则___________（用、的代数式表示）
25．已知，，是直线在第二象限内的一点，且，将线段沿轴翻折得到点的对应点 ．
（1）当时，求直线的解析式；
（2）用含的代数式表示的面积；
（3）作平行四边形，当时，请直接写出点的坐标 ．
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