中小学教育资源及组卷应用平台
【1.7.1】2021-2022学年初二数学下册同步系列（青岛版）
----初二数学下册第7章：实数
重难点知识
★☆★ 算术平方根
算术平方根的双重非负性
1.中a≥0
2.≥0
★☆★ 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
常见的整数勾股数：
3，4，5
② 6，8，10
③ 5，12，13
④ 7，24，25
勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
★☆★ 是无理数
无理数定义：无限不循环小数
用有理数估计某数的算术平方根
在数轴上表示无理数的方法：构造直角三角形
在数轴上表示π：直径为1的圆在数轴上从原点滚动一周
★☆★ 勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形；若时，以a，b，c 为三边的三角形是钝角三角形；若时，以a，b，c 为三边的三角形是锐角三角形；
勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
定理中a，b，c 及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c 满足，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边.
勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：
算术平方根、勾股定理及逆定理基础练习
1．的算术平方根为（ ）
A． B．
C． D．
2．如果y＝++3，那么yx的算术平方根是（ ）
A．2 B．3
C．9 D．±3
3．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）
A．±2 B．
C．2 D．4
4．下列说法中，其中不正确的有（ ）
①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；
③a2的算术平方根是a；④算术平方根不可能是负数．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
5．4的算术平方根是（ ）
B．2
C．±2 D．±
6．的算术平方根是（ ）
A．±6 B．6
C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是
B．﹣8是64的一个平方根
C．的算术平方根是4
D．＝±9
8．如果a有算术平方根，那么a一定是（ ）
A．正数 B．0
C．非负数 D．非正数
9．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）
A．12 B．7+
C．12或7+ D．以上都不对
10．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（ ）
A． B．3
C．1 D．
11．如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A．48 B．60
C．76 D．80
12．假设如图的方格纸中，每个小正方形的面积是1，则图中的四条线段中，长度是无理数的有（ ）条．
A．1 B．2
C．3 D．4
13．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )
A． B．1,
C．6,7,8 D．2,3,4
14．三角形的三边长为，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
15．满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．在中，是直线上一点，已知，，，，则的长为（ ）
A．4或14 B．10或14
C．14 D．10
17．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则的周长为_______________．
18．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
19．在下列4×4各图中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．
表示： 表示： 表示： （注：横线上填入对应的无理数）
20．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【1.7.1】2021-2022学年初二数学下册同步系列（青岛版）
----初二数学下册第7章：实数
参考答案
1．B
【解析】
分析：先求得的值，再继续求所求数的算术平方根即可．
详解：∵=2，
而2的算术平方根是，
∴的算术平方根是，
故选B．
点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误．
2．B
【解析】
解：由题意得：x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得：x=2，∴y=3，则yx=9，9的算术平方根是3．故选B．
3．C
【解析】
二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．
【分析】∵是二元一次方程组的解，∴，解得．
∴．即的算术平方根为2．故选C．
4．D
【分析】
①②③④分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断．
【详解】
解：根据平方根概念可知：
①负数没有算术平方根，故错误；
②反例：0的算术平方根是0，故错误；
③当a＜0时，a2的算术平方根是﹣a，故错误；
④算术平方根不可能是负数，故正确．
所以不正确的有①②③．
故选D．
【点睛】
考核知识点：算术平方根.
5．B
【解析】
试题分析：根据算术平方根的定义可得4的算术平方根是2，故答案选B．
考点：算术平方根的定义．
6．D
【分析】
先求出36的算术平方根＝6，然后再求6的算术平方根即可．
【详解】
解：∵＝6，
6的算术平方根为,
∴的算术平方根为．
故选D．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，先将进行化简，然后再求算术平方根是解决此题的一般步骤，注意算术平方根与平方根的区别．
7．B
【解析】
【分析】
依据平方根的定义、算术平方根的定义进行解答即可．
【详解】
的平方根是±，故A错误；
-8是64的一个平方根，故B正确；
=4，4的平方根是±2，故C错误；
=9，故D错误．
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
8．C
【解析】
∵a有算术平方根，
∴a≥0．
故选C．
9．C
【详解】
设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=，此时这个三角形的周长=3+4+=7+．故选C
10．A
【分析】
首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可
【详解】
∵AB=3，AD=4，∴DC=3
∴根据勾股定理得AC=5
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C=DC=3，DE=D′E
设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，
解得：x=
故选A.
11．C
【解析】
试题解析：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴AB=
∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-
=100-24
=76.
故选C.
考点：勾股定理.
12．C
【解析】
试题分析：首先利用勾股定理求得AB、CD、EF的长，然后根据无理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：AB==，是无理数；
CD==2，是无理数；
EF==，是无理数．
GH=2，是整数，是有理数．
故选C．
考点：无理数；勾股定理．
13．B
【解析】
试题解析：A．（）2+（）2≠（）2，故该选项错误；
B．12+（）2=（）2,故该选项正确；
C．62+72≠82，故该选项错误；
D．22+32≠42，故该选项错误.
故选B.
考点：勾股定理.
14．C
【分析】
利用完全平方公式把等式变形为a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理即可判断三角形为直角三角形，可得答案．
【详解】
∵，
∴a2+2ab+b2=c2+2ab，
∴a2+b2=c2，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．
15．C
【分析】
根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．
【详解】
A. ,则a2+c2=b2 ,△ABC是直角三角形,故A正确，不符合题意；
B. 52+122=132，△ABC是直角三角形，故B正确，不符合题意；
C.∠A：∠B：∠C=3：4：5，
设∠A、∠B、∠C分别为3x、4x、5x，
则3x+4x+5x=180°，
解得，x=15°，
则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，
△ABC不是直角三角形；故C选项错误，符合题意；
D. ∠A-∠B=∠C，则∠A=∠B+∠C，
∠A=90°，
△ABC是直角三角形，故D正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
16．A
【分析】
根据AC=13，AD=12，CD=5，可判断出△ADC是直角三角形，在Rt△ADB中求出BD，继而可得出BC的长度．
【详解】
∵AC=13，AD=12，CD=5，
∴，
∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，
由于点D在直线BC上，分两种情况讨论：
当点D在线段BC上时，如图所示，
在Rt△ADB中，，
则；
②当点D在BC延长线上时，如图所示，
在Rt△ADB中，，
则．
故答案为：Ａ．
【点睛】
本题考查勾股定理和逆定理，需要分类讨论，掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键．
17．32或42
【分析】
根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案
【详解】
当△ABC是钝角三角形时，
∵∠D=90°，AC=13，AD=12，
∴,
∵∠D=90°，AB=15，AD=12，
∴,
∴BC=BD-CD=9-5=4，
∴△ABC的周长=4+15+13=32；
当△ABC是锐角三角形时，
∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，
∴，
∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，
∴，
∴BC=BD-CD=9+5=14，
∴△ABC的周长=14+15+13=42；
综上，△ABC的周长是32或42，
故答案为：32或42.
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.
18．（1）DE=3；（2）.
【分析】
（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积.
【详解】
（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴△ADB的面积为.
19．作图见解析.
【解析】连接任意正方形的对角线，根据勾股定理计算出其长度，再由无理数的定义进行解答即可．
20．（1）36；（2）7200元.
【解析】
分析：（1）连接BD．在Rt△ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得△DBC为直角三角形，DC为斜边；由四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解；
（2）根据总费用=面积×单价解答即可．
详解：（1）连接BD．在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52．在△CBD中，CD2=132，BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，
S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC= AD AB+DB BC=×4×3+×12×5=36．
（2）需费用36×200=7200（元）．
点睛：本题考查了勾股定理及逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
