数学高中北师大版必修五3.3《基本不等式》课件

课件43张PPT。新课导入 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？基本不等式的几何背景. 实际上，我们可以尝试用四个全等的直角三角形拼成上面那个“风车”图案.赵爽弦图 从图形的面积的角度你能找不一些不等关系吗？3.4基本不等式教学目标知识与能力 1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2.进一步掌握基本不等式 会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题.1.通过实例探究抽象基本不等式； 过程与方法 2.通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式并会用此定理求某些函数的最大、最小值; 3.会利用基本不等式证明一些比较简单的证明题，从而从基本不等式中衍生新的结论. 1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣; 情感态度与价值观 2.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德; 3.积极倡导同学们进行几何与代数的结合运用，发现各种事物之间的普遍联系.重点难点教学重难点 1.应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程; 2.掌握基本不等式，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值.1.基本不等式等号成立条件;2.利用此不等式求函数的最大、最小值.探究 我们继续导入中的问题，观察下图中的不等关系.由图中可得：为什么？ 在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a和b，那么正方形的边长为 这样，4个直角三角形的 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以我们就得到了一个不等式：面积的和是2ab，正方形的面积为 思考：1、不等式在什么条件下都成立吗？形的角度a>0,b>0数的角度从而，a和b是实数时，不等式都成立.2、公式中等号成立的条件是什么？形的角度数的角度a=b 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有不等式等号成立.3、公式两边具有何种运算结构？数的角度:平方和不小于积的2倍 小结：由上面的讨论，我们得到一个结论:(当且仅当a=b时，等号成立) 引申1、认识基本不等式特别的，如果a>0,b>0,我们用去代替a和b，可得通常我们把上式写成（当且仅当a=b时取等号）从而我们得到了这个基本不等式.2、从不等式的性质推导基本不等式的性质. 分析：我们从几何图形中的关系获得了基本不等式，能否利用不等式的性质，直接推导出这个不等式呢？要证（2），只要证 要证 （1）只要证 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时， （4）中的等号成立. 3、这样，我们又一次的得到了基本不等式 分析法即为，之前证明基本不等式时用的以结论来推过程的方法.小结： 1、经过以上的引申，我们得到了一个基本不等式2、我们应熟练掌握分析法证明不等式.是什么？思考： 我们之前用分析法证明了基本不等式，它有什么几何意义吗？ 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 根据圆的性质，我们知道：半径不小于半弦从而得到：概念1、如果把 看作是正数a、b的等差中项， 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2、在数学中，我们称 为a、b的算术平均数 ，称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.实际问题 1、用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短篱笆是多少？ 2、一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？ 分析：对于（1），矩形菜园的面积是确定的.因此我们要解决的问题是：当面积确定时，长和宽取什么值时篱笆的周长最短? 对于（2），矩形菜园的周长是确定的，长和宽没有确定.我们要解决的问题是：当周长确定时，长和宽取什么值时篱笆围成的面积越大？解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m. 由 可得即x+y≥20,当且仅当x=y=10时等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为x　m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜ 其面积S＝x（36－2x）＝ ×2x（36－2x） 当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2. 解法二：设矩形菜园的长为x m,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m2.由可得xy≤81.当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立. 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.从上面的实际问题中，你能得到什么结论呢？小结： 1、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab等号当且仅当a＝b时成立. 2、两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b 等号当且仅当a＝b时成立 .应用 某厂生产化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，某年生产总成本y（万元）与年产量x(吨）之间的关系可近似地表示为　　　求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？解：每吨平均成本为（万元），则≥10即当且仅当即x=200时，取等号小结： 用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： 1、先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； 2、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； 3、在定义域内，求出函数的最大值或最小值；4、正确写出答案.求最值已知：0＜x＜，求函数y=x（1-3x）的最大值.利用二次函数求某一区间的最值分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、挖掘隐含条件∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜则1-3x＞0；即x=ymax=∵0＜x＜，∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=3x（1-3x）当且仅当 3x=1-3x 可用均值不等式法解：小结： 1、利用上述重要不等式求函数的最值时务必注意三点达到：一正二定三能等!具体指的是什么？(1)各项必须为正;(2)含变数的各项和或积必须为定值;(3)必须有自变量值能使函数取到 = 号.证明 2、主要用到的方法和技巧是：凑、拆,使之出现和为定值或积为定值特征. 求证：在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短.设矩形的长为x，宽为y，那么该矩形的周长2(x+y),面积为xy，这样问题就转化为： （1）如果2(x+y)(从而x+y）为定值，那么正数x、y 相等时，xy最大. （2）如果 xy为定值，那么正数 x=y时，2(x+y)最小，（从而 x+y）最小. 解：课堂小结(当且仅当a=b时，等号成立). 1、经过本节课的学习，我们得到了一个基本不等式其中，a>0,b>0 2、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab等号当且仅当a＝b时成立. 3、两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b 等号当且仅当a＝b时成立 . 4、利用上述重要不等式求函数的最值时务必注意三点达到：一正二定三能等! （2005 上海）已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.解：∵a，b，c都是正数∴a＋b≥2 b＋c≥2 c＋a≥2 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a） 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.高考链接课堂练习 1、若x>0,f(x)= 的最小值为_______;此时x=_______.若x>0,f(x)= 的最小值为_______;此时x=_______.122-12-2直接应用基本不等式即可，注意等号成立的条件！2、阅读下题的各种解法，指出有错误的地方. 答：前两种解法中都没有注意等号成立的条件，均值不等式只在等号同时成立的时候，等号才成立.只有第三种解法是对的.还有其他方法吗？3、下列函数中，最小值是4的是（ ） 4、建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 __元.3600C5、求证证明:当且仅当a=5时，等号成立.6、(1)设 a与b都为实数且a+b=3,的最小值___. (2)求函数f(x)=x (4-x) (0-1，则函数的最小值___.49习题答案1.(1) 设两个正数为a，b，则a>0,b>0,且ab=36,所以 a+b
当且仅当a=b=6时取等号.
答:当这两个正数均为6时,它们的和最小.设两个正数为,,依题意a>0,b>0,且a+b=18,所以
当且仅当a=b=9时,取等号.
答:当这两个正数均为9时,它们的和最小.