中考数学专题复习（二十） 分类讨论专题（考点+例题精讲+习题+答案）

分类讨论专题
一.分类讨论思想
当数学问题不宜统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想。这就是主要考查了分类讨论的数学思想方法。
一：【要点梳理】
1.数学问题比较复杂时，有时可以将其分割成若干个小问题或一系列步骤，从而通过问题的局部突破来实现整体解决，正确应用分类思想，是完整接替的基础。而在学业考试中，分类讨论思想也贯穿其中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都设计分类讨论。由此可见分类思想的重要性，在数学中，我们常常需要根据研究队形性质的差异，分个中不同情况予以观察，这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法的解题策略，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分级问题、解决问题的能力都是十分重要的。
2.分类讨论设计全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。
3.热点内容
(1).实数的分类。
(2).绝对值、算术根
(3).各类函数的自变量取值范围
(4).函数的增减性：
(5).点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。
(6).三角形的分类、四边形的分类
二：【例题与练习】
例1、．如图，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作轴的平行线与过点B作轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为？
【答案】8。
【考点】反比例函数系数的几何意义。
【分析】双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为||，根据反比例函数的中心对称特点可知△ABC的是面积2||=2×4=8。故选A。
例2、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是多少？
答案：
例3、某果品基地用汽车装运A、B、C三种不同品牌的水果到外地销售，按规定每辆汽车只能装同种水果，且必须装满，其中A、B、C三种水果的重量及利润按下表提供信息：
水果品牌 A B C
每辆汽车载重量（吨） 2．2 2．1 2
每吨水果可获利润（百元） 6 8 5
（1）若用7辆汽车装运A、C两种水果共15吨到甲地销售，如何安排汽车装运A、C两种水果？
（2）计划用20辆汽车装运A、B、C三种不同水果共42吨到乙地销售（每种水果不少于2车），请你设计一种装运方案，可使果品基地获得最大利润，并求出最大利润.
答案：
解：（1）设安排x辆汽车装运A种水果，则安排（7-x）辆汽车装运C种水果.
根据题意得，2.2x +2（7-x）=15
解得，x=5，∴7-x=2
答：安排5辆汽车装运A种水果，安排2辆汽车装运C种水果。
（2）设安排m辆汽车装运A种水果，安排n辆汽车装运B种水果，则安排（20-m-n）辆装运C种水果。根据题意得，2.2m+2.1n+2（20-m-n）= 42
∴n =20-2m
又∵ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) （m是整数）
设此次装运所获的利润为w，则w=6×2.2 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )m +8×2.1n +5×2×（20-m-n）=－10.4m＋336…
∵-10.4＜0， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ∴W随m的增大而减小，
∴当m=2时，W=315.2（百元）=31520（元）
即，各用2辆车装运A、C种水果，用16辆车装运B种水果使果品基地获得最大利润，最大利润为31520元.
例4、填空
①如图，⊙O的半径为2，弦AB垂直平分半径OC与D，则弦AB的长为 。
答案：
②在实数范围内因式分解_____________________。
答案：
③某班第二组女生参加体育测试，仰卧起坐的成绩（单位：个）如下：
43、41、39、40、37．这组数据的中位数是___________；标准差是_______________。
答案：40 2
④ 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=BC，点P在EC上，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，则PM+PN= ；
答案：
⑤ 如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为_____ __ __。
答案：2
⑥ 如图，在平面直角坐标系上有个点P(1，0)，点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(―1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，……，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是 。
答案：(26 ，50)
例5、选择。
①下列运算正确的是 ( )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
答案：D
②已知半径分别为5 cm和8 cm的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ）
A．1 cm B．3 cm C．10 cm D．15 cm
答案：C
③已知⊙O1的半径为5cm，⊙O2的半径为3cm，圆心距O1O2＝2，那么⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．相离　 　B．外切　 　C．相交　 　D．内切
答案：D
例6.如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（　　）
A、2 B、3 C、4 D、5
考点：三角形的面积 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：网格型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据三角形ABC的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．
解答：解：C点所有的情况如图所示：
故选C．
点评：本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中．
例7.某商场在“五一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色
乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸
奖一次，得奖的概率是 ▲ ．
【答案】。
【考点】概率。
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可：
∵一次摸出两个球的所有等可能情况有（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），
（红2，白2），（白1，白2）6种，其中两球颜色相同的有2种，
∴顾客摸奖得奖的概率是。
例8.在一次数学探究性学习活动中, 某学习小组要制作一个圆锥体模型, 操作规则是: 在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面。他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二。（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切。方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）
（1）请说明方案一不可行的理由。
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由。
答案：解：（1）理由如下：
∵扇形的弧长=16×π/2=8π，圆锥底面周长=2πr
∴圆的半径是4 cm
由于所给正方形对角线的长为16 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为16+4+4 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=20+4 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，20+4 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )>16 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∴方案1不可行
（2）方案2可行
求解过程如下：
设圆锥的底面半径为r cm，圆锥的母线长为Rcm，则
（1+ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）r+R=16 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2πr= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
由①②可得R= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )cm，r= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )cm
故所求圆锥的母线长为 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )cm，底面圆的半径为 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )cm
例9.已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点．
（1）如图1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；
（2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得PB=PA'的点P的坐标．
考点：二次函数综合题；点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）先连接AB，根据A点是抛物线C的顶点，且C交x轴于O、B，得出AO=AB，再根据∠AOB=60°，得出△ABO是等边三角形，再过A作AE⊥x轴于E，在Rt△OAE中，求出OE、AE的值，即可求出顶点A的坐标，最后设抛物线C的解析式，求出a的值，从而得出抛物线C的解析式；
（2）先过A作AE⊥OB于E，根据题意得出OE=OB=2，再根据直线OA的解析式为y=x，得出AE=OE=2，求出点A的坐标，再将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，求出a的值，得出抛物线C的解析式，再根据抛物线C、C′关于原点对称，从而得出抛物线C′的解析式；
（3）先作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），由（2）知，抛物线C′的顶点为A′（-2，-2），得出A′B的中点M的坐标，再作MH⊥x轴于H，得出△MHN∽△BHM，则MH2=HN HB，求出N点的坐标，再根据直线l过点M（1，-1）、N（，0），得出直线l的解析式，求出x的值，再根据抛物线C上存在两点使得PB=PA'，从而得出P1，P2坐标，再根据抛物线C′上也存在两点使得PB=PA'，得出P3，P4的坐标，即可求出答案．解答：解：（1）连接AB．
∵A点是抛物线C的顶点，且C交x轴于O、B，
∴AO=AB，
又∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
过A作AE⊥x轴于E，在Rt△OAE中，
∴OE=2，AE=2，
∴顶点A的坐标为（2，2）
设抛物线C的解析式为y=a(x-2)2+2（a≠0），
将O（0，0）的坐标代入，
求得：a=-，
∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x．
（2）过A作AE⊥OB于E，
∵抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点和B（4，0），顶点为A，
∴OE=OB=2，
又∵直线OA的解析式为y=x，
∴AE=OE=2，
∴点A的坐标为（2，2），
将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，
∴a=-，
∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x，
又∵抛物线C、C′关于原点对称，
∴抛物线C′的解析式为y=x2+2x；
（3）作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），
由前可知，抛物线C′的顶点为A′（-2，-2），
故A′B的中点M的坐标为（1，-1）．
作MH⊥x轴于H，
∴△MHN∽△BHM，则MH2=HN HB，即12=（1-n）（4-1），
∴n=，即N点的坐标为（，0）．
∵直线l过点M（1，-1）、N（，0），
∴直线l的解析式为y=-3x+2，
解得，x=5±．
∴在抛物线C上存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为
P1（5+，-13-3），P2（5-，-13+3）；
解得，x=-5±．
∴在抛物线C′上也存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为
P3（-5+，17-3），P4（-5-，17+3）．
∴点P的坐标是：P1（5+，-13-3），P2（5-，-13+3），P3（-5+，17-3），P4（-5-，17+3）．点评：本题是二次函数的综合，其中涉及到的知识点有旋转的性质，点的坐标，待定系数法求二次函数等知识点，难度较大，综合性较强．
“分类讨论”练习
1.已知AB是圆的直径，AC是弦，AB＝2，AC＝，弦AD＝1，则∠CAD＝　　　．
2. 若(x2－x－1)＝1，则x＝___________．
3. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．
4.若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（　　）
A. B. C. 或 D. a+b或a-b
5.同一平面上的四个点，过每两点画一直线，则直线的条数是（ ）
A.　1　 B.　4　 C.　6　 D.　1或4或6
6. 若
A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1
7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，2）.
（1）若a＝1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求b的值.
（2）若abc＝4，且a≥b≥c，求|a|＋|b|＋|c|的最小值.
8．长宽都为整数的矩形，可以分成边长都为整数的小正方形。
例如一个边长24的矩形：
可以分成三种情况：
（1）
（2）
(3)
一个长宽为36的矩形，可以怎样分成小正方形，请画出你的不同分法。
9.已知与是反比例函数图象上的两个点．
（1）求的值；
（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10.如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点在坐标轴上，，．动点从点出发，以的速度沿轴匀速向点运动，到达点即停止．设点运动的时间为．
（1）过点作对角线的垂线，垂足为点．求的长与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）在点运动过程中，当点关于直线的对称点恰好落在对角线上时，求此时直线的函数解析式；
（3）探索：以三点为顶点的的面积能否达到矩形面积的？请说明理由．
练习答案
1. 15°或105°
2. 2、－1、0、－2
3. 腰长6底边9或腰长8底边5
4.C 5.D 6.C
7. 解：⑴由题意，a＋b＋c＝2，　∵a＝1，∴b＋c＝1 　
抛物线顶点为A（－，c－）
设B（x1，0），C（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0
∴|BC|＝| x1－x2|＝＝＝
∵△ABC为等边三角形，∴ －c＝ 　
即b2－4c＝2·，∵b2－4c＞0，∴＝2
∵c＝1－b，　∴b2＋4b－16＝0，　b＝－2±2
所求b值为－2±2 　　
⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾.
∴a＞0． 　　　
∵b＋c＝2－a，bc＝
∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋＝0的两实根．
∴△＝（2－a）2－4×≥0，　
∴a3－4a2＋4a－16≥0， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) 即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4.　　
∵abc＞0，∴a、b、c为全大于０或一正二负．
①若a、b、c均大于0，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾；　　
②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0,
则|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，　　
∵ a≥4， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )故2a－2≥6
当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．
故|a|＋|b|＋|c|的最小值为6． 　
8.分7种情况画图
9.解：（1）由，得，因此
（2）如图1，作轴，为垂足，则，，，因此．
由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．
当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，
故不符题意．
当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，
过点分别作轴，轴的平行线，交于点．
由于，设，则，，
由点，得点．
因此，
解之得（舍去），因此点．
此时，与的长度不等，故四边形是梯形．
如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为．
由于，因此，从而．作轴，为垂足，
则，设，则，
由点，得点，
因此．
解之得（舍去），因此点．
此时，与的长度不相等，故四边形是梯形．
如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，
同理可得，点，四边形是梯形．
综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或．
10.解：（1）在矩形中，，，
，．
，即，
当点运动到点时即停止运动，此时的最大值为．
所以，的取值范围是．
（2）当点关于直线的对称点恰好在对角线上时，三点应在一条直线上（如答图2）．
，．
，
．
．点的坐标为
设直线的函数解析式为．将点和点代入解析式，得解这个方程组，得
此时直线的函数解析式是．
（3）由（2）知，当时，三点在一条直线上，此时点　不构成三角形．
故分两种情况：
（i）当时，点位于的内部（如答图3）．
过点作，垂足为点，由
可得．
．
若，则应有，即．
此时，，所以该方程无实数根．
所以，当时，以为顶点的的面积不能达到矩形面积的．
（ii）当时，点位于的外部．（如答图4）
此时．
若，则应有，即．
解这个方程，得，（舍去）．
由于，．
而此时，所以也不符合题意，故舍去．
所以，当时，以为顶点的的面积也不能达到矩形面积的．
综上所述，以为顶点的的面积不能达到矩形面积的．
分成两个正方形，面积分别为4，4
分成8个正方形，面积每个都是1
分成5个正方形，1个面积为4，4个面积是1
y
x
B
C
P
O
A
T
图2
图1
图3
y
x
B
C
P
O
A
T
（答图1）
y
x
B
C
P
O
A
T
（答图2）
2
1
y
x
B
C
P
O
A
T
（答图3）
E