锐角三角函数及解直角三角形热点专题
热点题型：
第一类：锐角三角函数的定义及增减性 第二类：角与三角函数的关系
第三类：直角三角形全等 第四类：直角三角形性质
第五类：特殊的直角三角形 第六类：勾股定理
第七类：直角三角形的应用
第一类：锐角三角函数的定义及增减性
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：锐角三角函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，sinA为∠A的对边比上斜边，求出即可．
解答：解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴sinA= = =．
故选A．
点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2、如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA
考点：锐角三角函数的增减性．专题：计算题．分析：根据锐角三角函数的增减性sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，直接得出答案即可．解答：解：∵45°＜A＜90°，
∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞cosA，
故选：B．点评：此题主要考查了锐角三角函数的增减性，正确利用锐角三角函数的增减性是解决问题的关键．
第二类：角与三角函数的关系
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（ ）
A．tanA cotA=1 B．sinA=tanA cosAC．cosA=cotA sinA D．tan2A+cot2A=1
考点：同角三角函数的关系．专题：计算题．分析：可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答．解答：解：根据锐角三角函数的定义，得
A、tanA cotA= =1，关系式成立；
B、sinA=，tanA cosA= =，关系式成立；
C、cosA=，cotA sinA= =，关系式成立；
D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，关系式不成立．
故选D．点评：本题考查了同角三角函数的关系．
（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA= 或sinA=tanA cosA．
（3）正切之间的关系：tanA tanB=1．
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（ ）
A． B． C． D．
考点：互余两角三角函数的关系．分析：△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．解答：解：在△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，
则cosB=sinA=．
故选B．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．
5、如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ）
A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形
考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值，直接得出∠A，∠B的角度从而得出答案．解答：解：∵sinA=cosB=，
∴∠A=∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选C．点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确的记忆特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
第三类：直角三角形全等
6、如图，四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为（ ）
A．145° B．130° C．110° D．70°
考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．分析：根据HL判定△ABC≌△ADC，得出∠ACD=∠ACB=55°，即可求∠BCD的度数．解答：解：∵∠ABC=∠ADC=90，
∴Rt△ADC与Rt△ABC中，
CB=CD，AD=AD
∴△ABC≌△ADC，又∠ACB=55°，
∴∠ACD=∠ACB=55°，
∠BCD=110°．
故选C．点评：本题重点考查直角三角形全等的判定方法：HL．
如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
考点：直角三角形全等的判定．分析：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△AEC≌△ADB．
利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．解答：解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵AC=AB，
∵∠CAE=∠BAD，
∴△AEC≌△ADB；
∴CE=BD，
∵AC=AB，
∴∠CBE=∠BCD，
∵∠BEC=∠CDB=90°，
∴△BCE≌△CDB；
∴BE=CD，
∴AD=AE，
∵AO=AO，
∴△AOD≌△AOE；
∵∠DOC=∠EOB，
∴△COD≌△BOE；
∴OB=OC，
∵AB=AC，
∴CF=BF，AF⊥BC，
∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．
共6对，故选D．点评：本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要由易到难，不重不漏．
7、如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；（2）AB=AC；
（3）∠B=∠C；（4）AD是△ABC的角平分线．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．分析：先运用SAS证明△ABD≌△ACD，再得（1）△ABD≌△ACD正确；（2）AB=AC正确；（3）∠B=∠C正确；
∠BAD=∠CAD（4）AD是△ABC的角平分线．即可找到答案．解答：解：∵AD=AD、∠ADB=∠ADC、BD=CD
∴（1）△ABD≌△ACD正确；
∴（2）AB=AC正确；
（3）∠B=∠C正确；
∠BAD=∠CAD
∴（4）AD是△ABC的角平分线．
故选D．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，及全等三角形性质的运用．
第四类：直角三角形性质
8、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点：直角三角形的性质．分析：由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A互余的角．解答：解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴与∠A互余的角有2个，
故选C．点评：此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．
9、Rt△ABC中，∠A=Rt∠，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是（ ）
A．AH＜AE＜AD B．AH＜AD＜AE C．AH≤AD≤AE D．AH≤AE≤AD
考点：直角三角形的性质．分析：此题应分两种情况讨论：①等腰直角三角形，②普通的直角三角形．然后根据各边所对角的大小来判断各线段的大小关系．解答：解：①Rt△ABC中，AB=AC；（图①）
根据等腰三角形三线合一的性质知：
AD、AH、AE互相重合，此时AD=AH=AE；
②Rt△ABC中，AB≠AC；（设AC＞AB，如图②）
在Rt△AHE中，由于AE是斜边，故AE＞AH；
同理可证AD＞AH；
∵∠AED＞∠AHD=90°，∠ADH＜∠AHE=90°
∴∠AED＞∠ADE；
根据大角对大边知：AD＞AE；
即AD＞AE＞AH；
综上所述，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是AH≤AE≤AD；
故选D．点评：此题主要考查的直角三角形的性质，应考查到等腰直角三角形和非等腰直角三角形两种情况，以免漏解．
第五类：特殊的直角三角形
10、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
考点：含30度角的直角三角形；垂线段最短．分析：利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6，可知AP最大不能大于6．此题可解．解答：解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；
∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，
∴AB=6，
∴AP的长不能大于6．
故选D．点评：本题主要考查了垂线段最短和的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6．
11、如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C．若∠AOB=60°，OC=4，则点P到OA的距离PD=
考点：含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：在△OCP中，由题中所给的条件可求出OP的长，根据直角三角形的性质可知，在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，故PD=OP．解答：解：如图，过C点作CE⊥OA，垂足为E，
∵PC∥OA，PD⊥OA，垂足为D，∴PD=CE，
∵∠AOB=60°，OC=4，
在Rt△OCE中，CE=OC sin60°=4×=2，
∴PD=CE=2．点评：本题主要考查三角形的性质及计算技巧．
12、如图，在△ABC中，AB=AC=8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE=
考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．分析：由题意知，△ABC是等腰三角形，所以，D是BC边上的高和中线，即D是边BC的中点；由于△ADC是直角三角形，E为AC中点，所以DE=AC．解答：解：在△ABC中，AB=AC=8，
∴△ABC中是等腰三角形，
又∵AD是底边上的高，
∴AD⊥BC，
∴在△ADC中，∠ADC=90°，
∵E为AC中点，
∴DE=AC=×8=4，
∴DE=4．点评：本题综合考查了直角三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在一个三角形中，只要有两个边相等，那么这个三角形就是等腰三角形．
13、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=4cm，则AB=
考点：直角三角形斜边上的中线．分析：由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知了中线CD的长，即可求出斜边的长．解答：解：∵D是斜边AB的中点，
∴CD是斜边AB上的中线；
故AB=2CD=8cm．点评：此题主要考查的是直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
第六类：勾股定理
14、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
考点：勾股定理．分析：根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．解答：解：根据勾股定理可以得到：AC=BC=5，AB=10．
∵（）2+（）2=（）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．点评：本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
15、如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A． B．2C．3D．4
考点：勾股定理；三角形的外角性质；等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步根据勾股定理进行求解．解答：解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4．
∴∠BDC=∠CBD=30°．
∴∠BDE=90°．
∴BD= =4．
故选D点评：此题综合运用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理．
第七类：直角三角形的应用
16、一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为40°，则梯子底端到墙角的距离为（ ）
A．5sin40° B．5cos40° C．5 D．
考点：解直角三角形的应用．分析：因为梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度．即 =cos40°，由此可以求出梯子底端到墙角的距离．解答：解：∵梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度，
∴梯子底端到墙角的距离=梯子长度×cos40°=5cos40°．
故选B．点评：此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
17、如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l1=5.2m、l2=6.2m、l3=7.8m、l4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
考点：解直角三角形的应用．专题：应用题．分析：根据30度直角边等于斜边一半，高是5，然后用勾股来算；或根据正弦函数等于对边比斜边即可解答．解答：解：方法1：∠ACD=90°-60°=30°，
设拉线AC=x，则AD=x，则．
x2=（12x）2+52，
AC=x=≈5.77，AC=x=-（不合题意舍去）．
方法2：如图CD=5米，∠A=60°
∴AC= ==≈5.77米
所以最好选用l2
故选B．点评：此题主要考查三角函数的运用能力．
18、如图所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．
考点：解直角三角形的应用．分析：首先α不在直角三角形中，所以先找一个和α相等的角，因为AC、BD、法线均和镜面垂直，所以∠A=∠B=α，因为△ACE∽△BDE，所以CEDE=ACBD，由此可以求出CE，然后在三角形ACE中tanA=tanα可以求出tanα的值．解答：解：因为AC、BD、法线均和镜面垂直，
所以∠A=∠B=α，
而由已知得△ACE∽△BDE，
所以=即 =
∴CE=，
在三角形ACE中tanA= ==tanα．
故选D．点评：解此题的关键是角之间的转化，把实际问题转化为数学问题，利用正切的定义解题．锐角函数及解直角三角形名师押题
1、在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC：CA：AB=5：12：13，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．专题：计算题．分析：根据三角形余弦表达式即可得出结果．解答：解：根据三角函数性质，
cosB= =，
故选C．点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义及比例关系，比较简单．
2、已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（ ）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥1
考点：锐角三角函数的增减性．分析：根据锐角三角函数的概念，可以用直角三角形的边进行表示，再进一步根据三角形的三边关系进行分析．解答：解：设在直角三角形ABC中，∠A=α，∠C=90°，
故sinα=，cosα=；
则m=sinα+cosα=＞1．
故选A．点评：此题综合考查了锐角三角函数的概念，以及三角形的三边关系．
3、已知∠A是锐角，sinA=，则5cosA=（ ）
A．4 B．3 C． D．5
考点：同角三角函数的关系．分析：根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，由三角函数的定义直接解答即可．解答：解：由sinα= =知，如果设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x；
∴cosA= =，
∴5cosA=4．
故选A．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
4、在△ABC中，∠C=90°，若sinB=，则cosA的值为（ ）
A． B． C．1 D．
考点：互余两角三角函数的关系．分析：△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．解答：解：在△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，
则cosA=sinB=．
故选A．点评：本题考查在直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系．
5、点M（-sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（，） B．（-，-） C．（-，） D．（-，-）
考点：特殊角的三角函数值；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．解答：解：∵sin60°=，cos60°=，
∴点M（-，）．
∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，-n），
∴M关于x轴的对称点的坐标是（-，-）．
故选B．点评：考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值．
6、能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．斜边相等 B．一锐角对应相等C．两锐角对应相等 D．两直角边对应相等
考点：直角三角形全等的判定．分析：要判断能使两个直角三角形全等的条件首先要看现在有的条件：一对直角对应相等，还需要两个条件，而AAA是不能判定三角形全等的，所以正确的答案只有选项D了．解答：解：A选项，无法证明两条直角边对应相等，因此A错误．
B、C选项，在全等三角形的判定过程中，必须有边的参与，因此B、C选项错误．
D选项的根据是全等三角形判定中的斜边直角边定理，简称HL．
故选D．点评：本题考查的是直角三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7、如图：Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．图中与∠A互余的角有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点：直角三角形的性质．分析：两角互余和为90°，根据直角三角形的性质和图形可知∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°．解答：解：∵∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，
∴有2个，故选C．点评：此题考查的是角的性质，两角互余和为90°，互补和为180°
8、如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中互余的角有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
考点：直角三角形的性质．分析：此题直接利用直角三角形两锐角之和等于90°的性质即可顺利解决．解答：解：∵∠BAC=90°
∴∠B+∠C=90°①；
∠BAD+∠CAD=90°②；
又∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
∴∠B+∠BAD=90°③；
∠C+∠CAD=90°④．
故共4对．
故选C．点评：本题主要考查了直角三角形的性质，根据互余定义，找到和为90°的两个角即可．
9、用含30°角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形，其中可以被拼成的图形是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①②③
考点：含30度角的直角三角形．专题：分类讨论．分析：当把完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况：
（1）当把60度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等边三角形；
（2）当把30度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等腰三角形；
（3）当斜边重合，且一个三角形的30度角的顶点与另一个三角形60度角的顶点重合时，所成的图形是矩形，矩形也是平行四边形．解答：解：如图，把完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况：分别有等边三角形，等腰三角形，矩形，平行四边形．
故选B．点评：本题考查了图形的拼接，注意要分类讨论．
10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是三边的中点，且CF=3cm，则DE=3
3
cm．考点：直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．专题：计算题．分析：由直角三角形的性质易得CF为AB一半，即可求得AB长，而DE是Rt△ABC的中位线，那么DE应等于AB的一半．解答：解：∵在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，
∴AB=2CF=6cm，
又∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB=3 cm
11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，D为AB的中点，则CD=
考点：直角三角形斜边上的中线．分析：此题直接根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出CD．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，D为AB的中点，
∴CD=AB=5cm．
故填空答案：5．点评：本题主要考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半．
12、直角三角形斜边长是6，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是
考点：直角三角形斜边上的中线．专题：计算题．分析：根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得此圆的半径，进而求出圆的面积．解答：解：根据直角三角形的性质得到圆的半径=6÷2=3，
则面积=πr2=9π．故答案为，9π．点评：熟悉直角三角形的性质以及圆面积公式．
13、如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
考点：勾股定理．分析：大正方形的面积是49，则其边长是7，显然，利用勾股定理可得①x2+y2=49；
小正方形的面积是4，则其边长是2，根据图可发现y+2=x，即②x-y=2；
还可以得出四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4×xy+4=49，化简得③2xy+4=49；
其中④x+y=9无法证明，故不成立．解答：解：①大正方形的面积是49，则其边长是7，显然，利用勾股定理可得x2+y2=49，故选项①正确；
②小正方形的面积是4，则其边长是2，根据图可发现y+2=x，即x-y=2，故选项②正确；
③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4×xy+4=49，化简得2xy+4=49，故选项③正确；
④x+y=9，无法证明，故此选项不正确．
故选B．点评：本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．
14、某水坝的坡度i=1：，坡长AB=20米，则坝的高度为（ ）
A．10米 B．20米 C．40米 D．20米
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：计算题．分析：画出图形，根据坡度的定义---直角三角形中，坡角的正切值，然后利用解直角三角形的知识解答．解答：解：如图：
∵坡度i=1：，
∴设AC=x，BC=x，
根据勾股定理得，
AC2+BC2=AB2，
则x2+（x）2=202，
解得x=10．
故选A．点评：此题考查了坡比的概念，不仅要熟悉解直角三角形的知识，还要熟悉勾股定理．
15、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=5cm，则坡面AB的长是（ ）
A．
10m B．10m C．15m D．5m
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．解答：解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，
即 =，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×5=10，
故选：A．点评：此题考查的是解直角三角形的应用，关键是先由已知得出∠BAC=30°，再求出AB．锐角三角函数及解直角三角形考点指南
课标要求：
理解三角函数的概念，熟记特殊角的三角函数值。
会运用锐角三角函数及构造直角三角形解直角三角形。
会用正弦、余弦、正切、勾股定理等知识解直角三角形及生产、生活中有关的应用题。
考点清单：
锐角三角函数
三角函数的定义
⑴正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA. SinA=
（2）余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA. cosA=
(3)正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA. tan A=
(4)余切：锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA. cotA=
2、特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值 0 30° 45° 60° 90°
sinA 0 1
cosA 1 0
tanA 0 1 不存在
cotA 不存在 1 0
3、三角函数之间的关系
⑴同角的正弦和余弦之间的关系
Sin2A+cos2A=1
⑵互余角的正弦和余弦之间的关系
sinA=cos（90°-A） cosA=sin（90°-A）
⑶同角的正切和余切之间的关系
tanA×cotA=1
⑷互余角的正切和余切之间的关系
tanA=cot（90°-A）, cotA= tan(90°-A)
解直角三角形
解直角三角形概念
解直角三角形的边角关系
⑴三边之间的关系：a2+b2=c2
（3）边角之间的关系
sinA= cosB=, cosA= sinB=, tanA= cotB=, cotA= tanB=
直角三角形的解法
解直角三角形的有关概念
仰角和俯角
坡度和坡角（i=）
A部分：考试指南
历年真题
例1.计算：的结果是【 度002】
A、1 B、 C、2-3 D、
【答案】A。
【考点】特殊角的三角函数值，二次根式化简。
【分析】根据特殊角的三角函数值计算：
∵cot45°=1，cos60°=，cos30°=，tan60°=，
∴原式=。故选A。
例2.计算：3tan30 ＋cot45 －2tan45 ＋2cos60 = ▲ .
【答案】。
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】运用特殊角的三角函数值求解：
3tan30°＋cot45°－2tan45°＋2cos60°=。
例3.在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为 ▲ ．
【答案】7。
【考点】三角形的中线定义，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理。
【分析】根据条件先确定△ABC为直角三角形，再求得△ABC的面积：
如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，
∵CD=3，AB=6，∴AD=DB=3，∴CD=AD=DB。∴∠1=∠2，∠3=∠4。
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°。∴△ABC是直角三角形。
∴AC2＋BC2=AB2=36。
又∵AC＋BC=8，∴AC2＋2AC BC＋BC2=64。∴2AC BC=64－（AC2＋BC2）=64－36=28。
∴AC BC=14。S△ABC=AC BC= ×14=7。
例4.直角三角形斜边长是，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是 ▲ ．
【答案】9π。
【考点】直角三角形斜边上中线的性质。
【分析】根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得此圆的半径，从而求出圆的面积：
圆的半径=6÷2=3，
则面积=πr2=9π。
例5.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测
到灯塔M在北偏东60 方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东
30 方向上，那么该船继续航行 ▲ 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置
【答案】15。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），垂直线段的性质，平行的性质，三角形外角定理，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。
【分析】过点M作MC⊥AB于点C，由垂直线段的性质，知渔船到达离灯塔距离最近的位置即为点C。由两直线平行，内错角相等的性质，得∠ADB=60 ，从而由∠DBM=30 和三角形外角定理，得∠DMB=∠DBM=30 。因此根据等腰三角形等角对等边的判定，得AB=MB。
设渔船航行的速度为v单位/分钟，则由已知MB= AB=30v单位。
在Rt△BCM中，∠MCB=90 ，∠MBC=30 ，则BC= MB=15v单位。则渔船从B处航行到C处所用时间为=15分钟。即该船继续航行15分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。
例6.如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东300 方向上的B 处，则海轮行驶的路程AB为 ▲ 海里（结果保留根号）．
【答案】40+。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），平行的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】由平行的性质和等腰直角三角形的判定，知△APC为等腰直角三角形，由AP=，根据勾股定理，得AC=PC=40；
由平行的性质，得∠B=300，由锐角三角函数定义，得CB=。
因此，AB=AC+CB=40+（海里）。
例7.如图，已知△ABC，∠ACB=90 ，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45 ，
（1）求证：△ACF∽△BEC （8分）
（2）设△ABC的面积为S，求证：AF·BE=2S （4分）
（3）试判断以线段AE、EF、FB为边的三角形的形状并给出证明．
【答案】解：（1）证明：∵AC=BC，∠ECF=45°∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，∠AFC=45°+∠BCF，∠ECB=45°+∠BCF。
∴∠AFC=∠ECB。∴△ACF∽△BEC。
（2）∵△ACF∽△BEC，∴ ，即AF BE=AC BC。
又∵ S△ABC=AC BC，∴AF BE=2S。
（3）直角三角形。证明如下：
由（2）可知AF BE=AC BC= AC2=AB2。
设AE=a，BF=b，EF=c．
则 (a+c)(b+c)= (a+b+c)2，化简即得a2+b2=c2。
所以以线段AE、EF、FB为边的三角形是以线段EF为斜边的直角三角形。
【考点】相似三角形的判定和性质，三角形三边关系，勾股定理的逆定理。
【分析】（1）对应角相等，两三角形相似。
（2）根据相似三角形的性质证明AF BE=AC BC=2S；
（3）由（2）的结论，求出AE、EF、FB的数量关系，应用勾股定理的逆定理即可证明。本题还有以下证明方法：
方法1：将△ACE绕O顺时针旋转90°到△CBG，边角边证明三角形全等，得出FG=EF，再证明△FBG为直角三角形，得出三边构成三角形的形状。
方法2：将△ACE和△BCF分别以CE、CF所在直线为轴折叠，则AC、BC的对应边正好重合与一条线段CG，连接GE、GF，则△FEG是直角三角形。
例8.大楼AD的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得踏顶B处的仰角为60 ，爬
到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为30 ，求塔BC的高度。
【答案】解：作BE⊥AD的延长线于点E，
设ED= x，
在Rt△BDE中，BE=DE=，
在Rt△ABE中，AE=BE=3x，
由AE－ED=AD 得：3x－x=10 ， 解之得：x=5。
所以BC=5+10=15。
答：塔BC的高度为15米。
【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。
【分析】过点B作BE⊥AD交AD延长线于点E，构造两个直角三角形。设DE=x，分别求解可得AD与DE的值，再利用BC=AD+DE，即可求出答案。
例9.如图，某货船以海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东的方向上．该货船航行分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在C岛周围海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
【答案】解：如图，在Rt△ABP中，
AB=24×0.5=12，∠BAP=900－600=300，
AP=，BP= 。
易求，∠PCB=∠PBC=300，∴PC= BP= ，AC=。
过点C作CQ⊥AM于点Q，则CQ=。
∵，∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，等腰三角形的判定。
【分析】应用锐角三角函数求出点C到直线AM的距离，与海里比较即可。
例10.如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡
顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆
BC的高度．
【答案】解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．
在Rt△AEC中，AC＝10， 由坡比为1︰可知：∠CAE＝30°，
∴ CE＝AC·sin30°＝10×＝5，
AE＝AC·cos30°＝10×＝ 。
在Rt△ABE中，BE＝＝＝11。
∵ BE＝BC＋CE，∴ BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）。
答：旗杆的高度为6米。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】延长BC交AD于E点，则CE⊥AD，要求旗杆BC的高度，只要求出BE和CE的高度即可。解Rt△AEC和Rt△AB即可得出结果。
例11.如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90 ，D在AB上．
（1）求证：△AOB≌△COD；（4分）
（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的长．（3分）
【答案】解：（1）证明：∵∠DOB=90°－∠AOD，∠AOC=90°－∠AOD，
∴∠DOB=∠AOC。
∵OC=OD，OA=OB，∴△AOC≌△BOD（SAS）。
（2）∵△AOC≌△BOD，∴AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°。
∴∠CAB=∠CAO+∠BAO=90°，
∴CD= 。
【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）因为∠AOB=∠COD=90°，由等量代换可得∠DOB=∠AOC，又因为△AOB和△COD均为等腰直角三角形，所以OC=OD，OA=OB，则△AOC≌△BOD。
（2）由（1）△AOC≌△BOD，所以AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代换求得∠CAB=90°，则根据勾股定理CD= 可求。
例12.阅读下列材料：
正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．数学老师给小明出了一道题目：在图一1 正方形网格（每个小正方形边长为1 ）中画出格点△ABC ，使AB＝AC＝，BC＝；
小明同学的做法是：由勾股定理，得AB＝AC＝，BC，于是画出线段AB 、AC、BC，从而画出格点△ABC．
（1）请你参考小明同学的做法，在图一2 正方形网格（每个小正方形边长为1 ）中画出格点△A'B'C'（A'点位置如图所示）， 使A'B'＝A'C'＝5，B'C'＝（直接画出图形，不写过程）；
（2）观察△ABC与△A'B'C' 的形状，猜想∠BAC与∠B' A' C'有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】解：（1）格点△A'B'C'如图（一个即可）：
（2）猜想：∠BAC=∠B' A' C'。证明如下：
∵ ，。∴。
∴△ABC∽△A'B'C'。∴∠BAC=∠B' A' C'。
【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由勾股定理可作图形。
（2）由三边对应成比例的判定可得△ABC∽△A'B'C'，从而根据相似三角形对应角相等的性质即可得到∠BAC=∠B' A' C'。
A
B
M
北M
北M
30 M
60 M
东
A
B
M
北M
北M
30 M
60 M
东
C
D
A
E
F
B
C
D
A
C
B
D
A
C
B
E
北
60°
30°
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
O
