证明名师押题
1.下列命题中，假命题是（ ）
A、三角形任意两边之和大于第三边B、方差是描述一组数据波动大小的量
C、两相似三角形面积的比等于周长的比的平方
D、不等式-x＜1的解集是x＜-1
考点：命题与定理；不等式的性质；三角形三边关系；相似三角形的性质；方差．专题：应用题．分析：根据命题的性质及假命题的定义，逐个选项进行分析即可得出答案．解答：解：A、三角形任意两边之和大于第三边是真命题，故本选项错误，
B、方差是描述一组数据波动大小的量是真命题，故本选项错误，
C、两相似三角形面积的比等于周长的比的平方是真命题，故本选项错误，
D、不等式-x＜1的解集是x＞-1，故该命题是假命题，正确．
故选D．点评：本题主要考查了假命题的定义，需要熟悉三角形三边关系、方差的定义、相似三角形的性质及不等式的解集，难度适中．
2.下列命题中真命题是（ ）
A、如果m是有理数，那么m是整数B、4的平方根是2
C、等腰梯形两底角相等
D、如果四边形ABCD是正方形，那么它是菱形
考点：命题与定理；有理数；平方根；正方形的性质；等腰梯形的性质．专题：计算题．分析：根据命题的定义：对一件事情做出判断的语句叫命题．正确的命题叫真命题，据此即对四个选项进行分析即可回答．解答：解：A、如果m是有理数，那么m是整数是假命题，如2.1是有理数，但2.1不是整数，故本选项错误；
B、4的平方根是±2，故本选项错误；
C、等腰梯形两底角相等，应为等腰梯形同一底上的两个角相同，故本选项错误；
D、如果四边形ABCD是正方形，则其四条边相等，那么它是菱形，故本选项正确．
故选D．点评：此题考查了命题的定义，包括真命题和假命题，还涉及有理数、平方根、梯形的性质、正方形的性质和菱形的判定．
3.某快餐店肉类食品有5种，蔬菜类食品有8种，饮料类有3种，花15元可以任选其一肉类，一饮料类和二蔬菜类，那么有几种选择（ ）
A、120 B、210 C、420 D、480
考点：推理与论证．分析：根据蔬菜类食品有8种，任意选两类，则有8×7÷2=28种，再进一步和肉类、饮料搭配计算即可．解答：解：根据题意，得
5×3×28=420（种）．
故选C．点评：此类题能够用乘法计算．需注意蔬菜类食品有8种，任意选两类，有28种可能．
4.甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户．李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了．李大爷问：“是谁闯的祸？”
甲说：“是乙不小心闯的祸．”
乙说：“是丙闯的祸．”
丙说：“乙说的不是实话．”
丁说：“反正不是我闯的祸．”
如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸（ ）
A、甲 B、乙 C、丙 D、丁
考点：推理与论证．分析：若甲说的是实话，则丙说的也是实话，所以甲说的是假话，则一定不是乙闯的祸；
若乙说的是真话，则丁说的也是真话，所以乙说的一定是假话，则不是丙闯的祸，所以丙说的话是真话，丁说的是假话．则一定是丁闯的祸．解答：解：本题可分三种情况进行讨论：
①若甲真，则乙假，丙真，丁真；这种情况下，三人说了实话，显然与条件不符；
②若甲假，乙真，则丙假，丁真；这种情况下，两人说了实话，显然与条件不符；
③若甲假，乙假，则丙真，丁假；这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件．
由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁．
故选D．点评：此类题可以用假设的方法，根据只有一人说的是实话进行逐步推理．
5.用反证法证明“a＞b”时应假设（ ）
A、a＞b B、a＜b C、a=b D、a≤b
考点：反证法．分析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是a＞b的反面有多种情况，应一一否定．解答：解：a，b的大小关系有a＞b，a＜b，a=b三种情况，因而a＞b的反面是a≤b．
因此用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b．
故选D．点评：本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ）
A、有两个角是直角B、有两个角是钝角
C、有两个角是锐角
D、一个角是钝角，一个角是直角
考点：反证法．分析：熟记反证法的步骤，然后进行判断．解答：解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先设这个三角形中有两个角是直角．故选A．点评：解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7.到点A的距离等于5cm的点的轨迹是（以点A为圆心，以5cm为半径的圆）。
考点：轨迹．分析：圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，所以到定点A的距离等于5cm的点的集合是圆．解答：解：根据圆的定义可知，到点A的距离等于5cm的点的集合是以点A为圆心，5cm为半径的圆．
故答案为：以点A为圆心，5cm为半径的圆．点评：本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键．
8.已知⊙O的半径为5厘米，则⊙O中长度为8厘米的弦的中点的轨迹是（以O为圆心，半径为3厘米的圆）
考点：轨迹；勾股定理；垂径定理．分析：根据垂径定理和勾股定理，得弦心距为3厘米．即弦的中点到圆心的距离为定长，根据基本轨迹解答．解答：解：⊙O中长度为8厘米的弦的中点，即是从圆心向弦作的垂线的交点．根据勾股定理可知弦心距为3．
所以⊙O中长度为8厘米的弦的中点的轨迹是以O为圆心，半径为3厘米的圆．
9、已知：∠1+∠2=180°，求证：∠3=∠4．
考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：
根据平行线的判定与性质结合对顶角相等证明．解答：解：
∵∠1=∠5（对顶角相等），∠1+∠2=180°（已知），
∴∠2+∠5=180°（等量代换），
∴l3∥l4（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）．点评：本题利用了对顶角相等，等量代换以及平行线的判定和性质．
10、将下面三个论断其中的两个作为条件，另一个作为结论，组成一个证明题，并完成证明过程．
（1）AD∥BC；
（2）AB=AC；
（3）∠1=∠2；
题目：已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC
AD∥BC
，∠1=∠2
∠1=∠2；
求证：AB=AC
AB=AC；
证明：考点：平行线的性质．专题：证明题；开放型．分析：根据两直线平行，同位角相等、内错角相等，得到∠B=∠C相等，再利用等角对等边即可求解．解答：证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．点评：本题利用平行线的性质和等角对等边的性质解答，其它组合只要合理也可以．
11、如图已知AB、BE、ED、CD依次相交于B、E、E，∠E=∠B+∠D．试证明AB∥CD．
考点：平行线的判定；平行公理及推论．专题：证明题．分析：
过E作EF∥AB，则得到∠BEF=∠B，因为∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠DEF，已知∠E=∠B+∠D，则得到∠DEF=∠D，满足关于EF，CD平行的条件：内错角相等，两直线平行．根据两条直线分别平行于第三条直线，那么这两条直线平行，所以AB∥CD．解答：解：过E作EF∥AB；
∴∠BEF=∠B；
∵∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠DEF，且∠E=∠B+∠D，
∴∠DEF=∠D；
∴EF∥CD；
∴AB∥CD．点评：根据平行线的性质找出满足另两条直线的内错角的相等关系，得到两直线平行，然后根据两条直线分别平行于第三条直线，那么这两条直线平行来判定．
12、证明题：
在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高，求证：AB2-AC2=2BC DE．考点：勾股定理；三角形的角平分线、中线和高．专题：证明题．分析：由勾股定理可得出AB2=BE2+AE2，AC2=AE2+EC2，则AB2-AC2=BE2-EC2，由平方差公式可得出答案．解答：解：∵AE是高，
∴△ABE和△ACE是直角三角形，
∴AB2=BE2+AE2，AC2=AE2+EC2，
∴AB2-AC2=BE2-EC2
=（BE+CE）（BE-CE）
=BC（BD+DE-CE），
∵AD是中线，
∴AB2-AC2=BC（CD+DE-CE）
=BC（DE+DE）
=2BC DE．点评：本题考查了勾股定理以及三角形的角平分线、中线和高线，是基础知识要熟练掌握．
13、如图，
PC、DA为⊙O的切线，A、C为切点，AB为⊙O的直径，若 DA=2，CD：DP=1：2，则AB=4
4．考点：与圆有关的比例线段．专题：数形结合．分析：由已知中，PC、DA为⊙O的切线，A、C为切点，AB为⊙O的直径，若 DA=2，CD：DP=1：2，我们易根据切线的性质及勾股定理，求出PC长及PA长，进而由切割线定理求出PB后，即可得到AB的长．解答：解：∵DA、DC均为过圆外一点D的切线
∴DA=DC=2
又∵CD：DP=1：2，
∴DP=4，DC=6
在直角三角形DAP中，PA= =2
由线割线定理得PC2=PA PB
解得PB=6
则AB=PB-PA=4
故答案为：4 点评：本题考查的知识点是切线的性质，切割线定理，其中根据切线的性质及勾股定理，求出PC长及PA长，是解答本题的关键．
14、如图1，
两个不全等的四边形ABCD、四边形CGFE是正方形，连接BG，DE．交DC于H，交CG于K
（1）观察图形，①猜想BG与DE之间长度关系；②猜想BG与DE所在直线的位置关系，并证明你的猜想．
直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是正方
正方
形
（2）如图2，将原题中正方形改为菱形，且∠BCD=∠GCE=90°．则（1）中的①、②的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是正方
正方
形
（3）如图3，将原题中正方形改为矩形，且BC=mCG、CD=mCE则（1）中的①、②结论是否成立？不要证明
直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是矩
矩
形．
考点：全等三角形的判定与性质；垂线；三角形内角和定理；三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据正方形的性质得到BC=DC，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°，推出∠BCG=∠ECD，根据SAS证△BCG≌△DCE，得到BG=DE，∠GBC=∠CDE，根据三角形的内角和定理求出∠DOH即可；
（2）根据正方形的判定证出是正方形，由（1）说明即可；
（3）根据三角形的中位线定理证出是平行四边形，根据对角线垂直证出一个角是直角，即可得出答案．解答：解：（1）①BG与DE之间长度关系是BG=DE，②BG与DE所在直线的位置关系是BG⊥DE，
证明：∵正方形ABCD、EFGC，
∴BC=DC，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°，
∴∠BCG=∠ECD，
∴△BCG≌△DCE，
∴BG=DE，∠GBC=∠CDE，
∵∠GBC+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DEG=90°，
∴∠DOH=180°-90°=90°，
∴BG⊥DE．
故答案为：正方．
（2）成立，
证明：∵菱形ABCD、EFGC，
∵∠BCD=∠GCE=90°，
∴菱形ABCD、EFGC是正方形，
由（1）证出BG=DE，BG⊥DE，
∴仍成立．
故答案为：正方．
（3）答：①不成立，②成立，
故答案：矩．点评：本题主要考查对三角形的中位线定理，正方形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂直的定义，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
15、如图，
△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交边BC于点E，连接BD．
（1）根据题设条件，请你找出图中各对相似三角形；
（2）请选择其中的一对相似三角形加以证明．考点：相似三角形的判定；圆周角定理．专题：几何综合题．分析：认真审题，选择适宜的相似三角形的判定方法进行判定．解答：解：△DBE∽△DAB；△DBE∽△CAE；△ABD∽△AEC各（1分）共（3分）
选择△ABD∽△AEC．
∵DA是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAE．（4分）
∵∠D=∠C，（6分）
∴△ABD∽△AEC．（8分）点评：此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．证明考点指南
课标要求：
1、掌握运用平面图形、平面图形的位置关系。
2、掌握运用三角形各种角，边的关系，全等，相似的判定。
3、掌握运用四边形各种性质及判定。
4、生活中的对称图形、图形的旋转与平移。
5、会熟练运用统计与概率。
6、熟练运用圆的性质
考试清单：
1、熟练运用圆的切线性质，弦径定理，弦切角；圆周角定理
2、方程的解，正反比例函数的性质。
3、熟练运用平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质．
4、等腰梯形的性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，直角三角形两锐角的关系，垂直的判定，特殊角的三角函数值。
5、相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；垂线；三角形内角和定理；三角形中位线定理；
6、统计与概率、中位数、众数、随机事件．
A部分：考试指南
历年真题
例1.下列命题是真命题的有【 度002】
①垂直于半径的直线是圆的切线 ②平分弦的直径垂直于弦
③若是方程－=3的解，则=－1
④若反比例函数的图像上有两点(，1)(1，2)，则1 <2
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C。
【考点】圆的切线，弦径定理，方程的解，反比例函数的性质。
【分析】命题①因为过切点而垂直于半径的直线是圆的切线。故命题①不是真命题。
命题②平分弦的直径垂直于弦。故命题②是真命题。
命题③把。故命题②是真命题。
命题④根据反比例函数的图像性质，当，函数，而，所以y1 四个命题中真命题有3个。故选C。
例2.下列命题中错误的是【 度002】
Ａ．平行四边形的对边相等 Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形
【答案】D。
【考点】命题和证明，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质。
【分析】根据平行四边形、矩形的判定和性质定理进行判定：选项A、B、C均正确，D中说法应为：对角线相等且互相平分的四边形是矩形。故选D。
例3.已知：如图，在口ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AF=CE。
求证：DE=BF
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD。∴∠BAE=∠DCF。
∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF（SAS）。
∴BE=DF。
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】要证BE=DF，只要证△ABE≌△CDF即可。由平行四边形的性质知AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，又知AE=CF，于是可由SAS证明△ABE≌△CDF，从而BE=DF得证。本题还可以通过证△ADF≌△CBE来证线段相等。
例4.等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，连结CE
（1）求证：CE=CA；（5分）
（2）上述条件下，若AF⊥CE于点F，且AF平分∠DAE，，求sin∠CAF的值
（5分）
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABDE是等腰梯形，∴AC=BD。
∵CD=BE且CD∥BE，∴四边形DBEC是平行四边形。
∴CE=AC。∴CE=BD。
（2）∵CD=BE，且，∴。
∵AF⊥EC，BD∥EC，∴AF⊥BD，设垂足为O，
∵AF平分∠DAB，
∴AF垂直平分BD，即BO=BD=AC=CE。
∵BO∥CE，∴△ABO∽△AEF。∴，即 。∴EF=CE。
∴CF=CE=AC。
∴sin∠CAF=。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得出AC=BD，而CD BE，因此四边形CEBD是平行四边形，CE=BD，因此可得出CE=CA。
（2）要求∠CAF的正弦值，就要知道，CF和AC的比例关系．由于BD∥CE，AF⊥CE，那么AF⊥BD，而AF平分∠DAB，因此AF垂直平分BD，如果设AF，BD交于O点，那么BO=BD=AC=CE．根据CD：AE=2：5，即BE：AE=2：5，可得出AB：AE=3：5，有BO∥CE，得出BO：EF=AB：AE，也就求出了BF何CE的比例关系，便可得出CF和EC的比例关系，由于CE=AC，因此也就得出了CF和AC的比例关系即可得出∠CAF的正弦值。
例5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=DC=AD，∠ADC=1200．
（1）（３分）求证：BD⊥DC．
（2）（４分）若AB=4，求梯形ABCD的面积．
【答案】解：（1） 证明：∵ AD∥BC，∠ADC=1200，∴∠C=600。
又∵ AB=DC=AD，
∴∠ABC=∠C=600，∠ABD=∠ADB=∠DBC=300。
∴∠BDC=900。∴BD⊥DC。
（2）过D作DE⊥BC于E, 在Rt△DEC中，
∵∠C=600，AB=DC=4，∴DE=DCsin600=。
在Rt△BDC 中，BC=。
∴。
【考点】等腰梯形的性质，平行的性质，垂直的判定，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）由等腰梯形和平行的性质，经过等量代换即可证得∠BDC=900，从而得证。
（2）作DE⊥BC，由锐角三角函数求出下底BC和高DE即可求梯形ABCD的面积。
例6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点，∠BAE=∠MCE，∠MBE=450．
（1）求证：BE=ME．
（2）若AB=7，求MC的长．
【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，EA⊥AD，∴∠DAE=∠AEB=90°。
∵∠MBE=45°，∴∠BME=45°=∠MBE。
∴BE=ME。
（2）∵∠AEB=∠AEC=90°，∠BAE=∠MCE，BE=ME，
∴△AEB≌△CEM（AAS）。∴MC=BA=7。
【考点】梯形的性质，直角三角形两锐角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。
【分析】（1）由已知可得∠MBE=∠BME=45°，根据等腰三角形等角对等边的判定，得BE=ME。
（2）根据AAS判定△AEB≌△CEM，由全等三角形的对应边相等，得MC=AB=7。
例7.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．
（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．
【答案】解:（1）证明：∵AE∥BD，∴∠E＝∠BDC。
∵DB平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠BDC。
又∵∠C＝2∠E，∴∠ADC＝∠BCD。
∴梯形ABCD是等腰梯形。
（2）由（1）得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5。
∵ 在△BCD中，∠C＝60°，∠BDC＝30°，∴∠DBC＝90°。
∴DC＝2BC＝10。
【考点】平行的性质，等腰梯形的判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】（1）由于已知ABCD是梯形，要证ABCD是等腰梯形，只要证∠ADC=∠C，而∠BDC=∠E， DB平分∠ADC，所以∠E=∠BDC=∠ADB，所以∠ADC=2∠E=∠C，从而可证明其是等腰梯形。
（2）根据已知得到∠C=2∠E=2∠BDC=60°，且BC=AD=5，所以根据三角形内角和定理得∠DBC=90°，从而根据含30度角的直角三角形中，30度角所对的边是斜边一半的性质，得到DC=2BC=10。
例8.如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.
（1）求证：AG=C′G；
（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于M，求EM的长.
【答案】解：（1）证明：由对折和图形的对称性可知，
CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°。
在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°， ∴AB＝C′D，∠A＝∠C′。
在△ABG和△C’DG中，∵AB＝C′D，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′GD ，
∴△ABG≌△C′DG（AAS）。 ∴AG＝C′G。
（2）如图2，设EM＝x，AG＝y，则有： C′G＝y，DG＝8－y， DM=AD=4 。
在Rt△C’DG中，∠DC′G＝90°，C′D＝CD＝6， ∴。
即：。 解得： 。∴C′G＝，DG＝。
又∵△DME∽△DC′G，∴， 即：， 解得：。
即：EM＝。
∴所求的EM长为cm。
【考点】轴对称的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）要证AG=C′G，只要证明它们是全等三角形的对应边即可。由已知的矩形和轴对称性易证△ABG≌△C’DG。
（2）考虑Rt△DME和Rt△DC′G。△DC’G中DC′（=6）已知，DG=AD（=8）－AG，
而由（1）AG=C′G，从而应用勾股定理可求得C′G。而△DME中DM=DM=AD=4，从而由Rt△DME∽Rt△DC′G得到对应边的比相等可求EM的长。
例9．（本题8分）如图9，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G。
（1）求证：△ABE≌△CBF；（4分）
（2）若∠ABE=50 ，求∠EGC的大小。（4分）
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BE⊥EF
∴AB=CB，∠ABC=∠EBF=90° ……………1分
∴
即 ∠ABE=∠CBF ……………2分
又∵BE=BF …………3分
∴△ABE≌△CBF …………4分
（2）解：∵BE=BF，∠EBF=90
∴∠BEF=45° …………………5分
又 …………………………6分
∴ …………………………8分
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和。
【分析】（1）要证△ABE≌△CBF，只要证明它们相应的角边角相等即可。由已知易证△ABE≌△CBF
（2）考虑正方形的性质，加上（1）的结果，三角形的外角等于和它不相邻的两内角和。即可求出∠EGC=85°
例10．（本题8分）如图10，AB是⊙O的直径，AB=10，
DC切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E。
（1）求证：AC平分∠BAD；（4分）
（2）若sin∠BEC=，求DC的长。（4分）
【答案】解：（1）证明：连结OC，
由DC是切线得OC⊥DC
又AD⊥DC
∴AD∥OC ……………2分
∴∠DAC=∠ACO
又由OA=OC得∠BAC=∠ACO ……………3分
∴∠DAC=∠BAC ……………4分
即AC平分∠BAD
（2）解：方法一：∵AB是直径
∴∠ACB=90° …………………………5分
又∵∠BAC=∠BEC
∴ …………………………6分
∴ …………………………7分又∵∠DAC=∠BAC=∠BEC且AD⊥DC
∴ …………………………8分
方法二：∵AB是直径
∴∠ACB=90° …………………………5分
又∵∠BAC=∠BEC
∴ …………………………6分
∴ …………………………7分
又∵∠DAC=∠BAC，∠D=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB
∴，即
解得， …………………………8分
【考点】圆的性质，平行线与角的关系、锐角三角函数值、勾股定理的逆应用。
【分析】（1）要证：AC平分∠BAD，只要证明∠DAC=∠BAC相等即可。
（2）要求DC的长，可以运用已知的三角函数值，在看⊿DAC为直角三角形，运用勾股定理的逆运用，即可解得。
例11．（本题7分）如图8，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90 ，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD；（4分）
（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的长．（3分）
【答案】解：（1）证明：如右图1，
，
又，
（2）由有：，，
，故
【考点】圆的性质，平行线与角的关系、锐角三角函数值、勾股定理的逆应用。
【分析】（1）要证：AC平分∠BAD，只要证明∠DAC=∠BAC相等即可。
（2）要求DC的长，可以运用已知的三角函数值，在看⊿DAC为直角三角形，运用勾股定理的逆运用，即可解得。
例12．（8分）如图9，已知在中，点为劣弧上的中点，连接并延长至，使；连接并延长交与点，连接。
（1）求证：是的直径；
（2）如图10，连接，半径为5，的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留与根号）
【答案】解：（1）证明：如图2，连接AB、BC，
∵点C是劣弧AB上的中点
∴
∴CA＝CB
又∵CD＝CA
∴CB＝CD＝CA
∴在△ABD中，CB=AD
∴∠ABD＝90°
∴∠ABE＝90°
∴AE是⊙O的直径。
（2）解：由（1）可知，AE是⊙O的直径
∴∠ACE＝90°
∵⊙O的半径为5，AC＝4
∴AE＝10，⊙O的面积为25π
在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：
CE=
∴
∴
【考点】圆的性质，圆、三角形的面积，勾股定理。
【分析】（1）点C平分弧AB，根据等弧相关性质，即可证明。（2）要求阴影部分的面积，观察可知它就等于圆的面积减去三角形ACE的面积。
D
A
C
D
E
F
A
B
E
C
D
A
B
E
C
D
F
A
D
B
C
A
B
C
D
图8
O
图1
A
E
C
O
D
B
图9
A
E
C
O
D
B
图10证明热点专题
热点题型：
第一类：命题与定理 第二类：推理与论证
第三类：反正法 第四类：轨迹
第五类：平行线及角的相关证明 第六类：三角形的相关证明
第七类：圆的相关证明
第一类：命题与定理
1.下列命题中，假命题是（ ）
A、经过两点有且只有一条直线B、平行四边形的对角线相等
C、两腰相等的梯形叫做等腰梯形
D、圆的切线垂直于经过切点的半径
考点：命题与定理；直线的性质：两点确定一条直线；平行四边形的性质；等腰梯形的判定；切线的性质．分析：根据直线的性质、平行四边形的性质、等腰梯形的性质和切线的性质判断各选项即可．解答：解：A、经过两点有且只有一条直线，故本选项正确；
B、平行四边形的对角线不一定相等，故本选项错误；
C、两腰相等的梯形叫做等腰梯形，故本选项正确
D、圆的切线垂直于经过切点的半径，故本选项正确．
故选B．点评：本题考查了直线的性质、平行四边形的性质、等腰梯形的性质和切线的性质，属于基础题，注意这些知识的熟练掌握．
2.已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
考点：命题与定理；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；菱形的判定；等腰梯形的性质．分析：命题是判断事情的语句，若是判断的事情是正确的就是真命题，如果是错误的就是假命题，平行四边形的对角线互相平分，等腰梯形的对角线相等，对角线互相垂直的不一定是菱形，两直线平行，内错角才相等．解答：解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题．
②等腰梯形的对角线相等．故②是真命题．
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．故③是假命题．
④两直线平行，内错角相等．故④是假命题．
故选B．点评：本题考查真假命题的概念，以及平行四边形的判定．菱形的判定，等腰梯形的判定定理，以及内错角等知识点．
第二类：推理与论证
3.用：0，1，2，3，4，5，6，7，8这9个数字组成若干个一位数或两位数（每个数字都只使用一次），然后把所得的数相加，它们的和不可能是（ ）
A、36 B、117 C、115 D、153
考点：推理与论证．分析：用排除法计算，分别检验各个选项．解答：解：0+1+2+3+4+5+6+7+8=36，
2+3+4+5+6+17+80=117，
0+1+2+3+4+56+87=153，
故不能组成115．
故选C点评：在计算此类题时，可用排除法求解．
4.下列说法不正确的是（ ）
A、在选举中，人们通常最关心的数据是众数B、掷一枚骰子，3点朝上是不确定事件
C、数据3，5，4，1，-2的中位数是3
D、有两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形一定相似
考点：推理与论证；相似三角形的判定；中位数；众数；随机事件．分析：此题涉及到中位数、众数，随机事件，相似三角形的判定等知识点，要针对各知识点分别进行判断．解答：解：A、众数表示的是一组数据中出现次数最多的数，在选举中，若某人的选票最多，则此人当选的可能性就越大，故A正确；
B、在掷筛子的过程中，可能出现3点，也可能不是3点，所以3点朝上是不确定事件，故B正确；
C、将这组数据从小到大排列，得：-2，1，3，4，5；中位数是3，故C正确；
D、两对应边成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似，故D错误；
故选D．点评：此题需注意的是相似三角形的判定过程中，若已知了两组对应边成比例，一组角对应相等，那么这组角必须是两对应边的夹角．
第三类：反正法
5.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A、有一个内角大于60° B、有一个内角小于60°C、每一个内角都大于60° D、每一个内角都小于60°
考点：反证法．分析：熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．解答：解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．故选C．点评：本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6.以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例为（ ）
A、3 B、4 C、8 D、6
考点：反证法．分析：反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．解答：解：A、3不是偶数，不符合条件，故错误；
B、4是偶数，且能被4整除，故错误；
C、8是偶数，且是4的2倍，故错误；
D、6是偶数，但是不能被4整除，故正确．
故选D．点评：理解反例的含义是解决本题的关键．
第四类：轨迹
7.到直线l的距离等于2的点的轨迹是（ ）
A、半径为2的圆B、与l平行且到l的距离等于2的一条直线
C、与l平行且到l的距离等于2的两条直线
D、与l垂直的一条直线
考点：轨迹．分析：到直线距离相等的点的集合是它的平行线，因为在直线两侧都可以做，所以有两条这样的直线．解答：解：到直线l的距离等于2的点的轨迹是与l平行，且到l的距离等于2的两条直线．
故选C．点评：本题考查两平行线间的距离，两条这样的直线可能有些同学考虑不到，导致误选B．
8.我们知道2003年10月我国成功地发射了第一艘载人飞船．下面是关于“神舟五号载人飞船”在太空中飞行的一段报道：15日15时57分，据航天员杨利伟报告和地面监测表明“神舟五号载人飞船”变轨成功．据北京航天指挥控制中心现场工作人员介绍，飞船发射升空后，进入的是绕地球飞行的椭圆轨道．实施变轨后，飞船进入的是距地球表面约343千米的圆形轨道．看完上面的这段报道，请你说出“神舟五号载人飞船”变轨后的轨迹是：（以地球的中心为圆心，以6714千米为半径的圆）．（地球的半径约为6371千米）
考点：轨迹．分析：因为6371+343=6714千米，所以轨迹上的点到地球中心的距离等于定值是6714千米．因而变轨后的轨迹是：以地球的中心为圆心，以6714千米为半径的圆．解答：解：以地球的中心为圆心，以6714千米为半径的圆．点评：本题主要考查了圆的集合定义，圆就是到定点距离等于定长的点的集合．
第五类：平行线及角的相关证明
9、证明题：如图：两直线a，b平行，直线c与a，b相交，则：直线a、b、c三线共面（要求写处已知、求证、证明）
考点：平面的基本性质及推论．专题：证明题．分析：这种题目首先要根据所给的图形写出符合条件的已知，求证，再根据条件进行证明，首先两条平行线确定一个平面，再说明两个交点在平面上，根据一条直线有两个点在平面上知道直线在平面上，得到三线在同一个平面上．解答：已知：a∥b，a∩c=A，b∩c=B，
求证：直线a、b、c共面．
证明：∵a∥b
∴a与b确定一个平面α
又a∩c=A，b∩c=B，
则A∈α，B∈α
∴AB α，即c α，
∴直线a、b、c共面．点评：本题考查平面的基本性质及推论，考查两条平行线确定一个平面，考查一条直线若有两个点在一个平面上，则直线在平面上，本题是一个基础题．
证明题：已知：如图，
｛
四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．求证：AD=CB．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质．专题：证明题．分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠ABD=∠BDC，再证明△ABD和△CDB全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明AD=CB．解答：证明：∵AB∥CD
∴∠ABD=∠BDC，
{ AB=CD
∠ABD=∠BD C
BD=BD，
在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB（SAS），
∴AD=CB．点评：本题主要考查了三角形全等的判定和性质；由平行线得内错角相等是解答本题的前提，找内错角时要找对，不要找成∠CBD=∠ADB．
第六类：三角形的相关证明
10、如图，
在Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，请你猜想线段AB、AD、BC之间的数量关系，并证明你猜想的正确性．（证明你的猜想需要用题中所有条件）考点：角平分线的性质．专题：探究型．分析：过点D作DE⊥BC，可证明△ABD≌△EBD，则∠A=∠E=90°，利用角与角之间的关系，证得ED=EC，则可得出结论AB+AD=BC．解答：证明：AB+AD=BC，证明如下：
过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∵BD平分∠ABC，
∴DA=DE，∠ABD=∠EBD（角平分线上的任一点到角的两条边的距离相等），
∵BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AB=BE，
∴∠A=∠BED=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
在△DEC中，∠DEC=90°，∠C=45°，
∴∠EDC=45°，
∴ED=EC，
∴AD=EC，
∴BE+EC=AB+AD=BC．点评：本题考查同学们利用角平分线的性质解决问题的能力．有利于培养同学们的综合解题的思维能力．
11、证明题：如图所示，
在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．考点：反证法．专题：证明题．分析：运用反证法进行求解：
（1）假设结论PB≠PC不成立，PB=PC成立．
（2）从假设出发推出与已知相矛盾．
（3）得到假设不成立，则结论成立．解答：证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC，∠PBC=∠PCB；
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB；
∴∠ABP=∠ACP；
∴△ABP≌△ACP，
∴∠APB=∠APC；
与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC．点评：解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
证明：是无理数．考点：有理数无理数的概念与运算．专题：证明题．分析：运用反证法证明．假设3是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得=，那么可证p和q都是3的倍数，这与假设p，q互质矛盾，从而假设不成立，故结论成立．解答：证明：假设是有理数．
∵1＜＜2，∴3不是整数，
那么存在两个互质的正整数p，q，使得=，
于是p=3q．
两边平方，得p2=3q2．
∵3q2是3的倍数，
∴p2是3的倍数，
又∵p是正整数，
∴p是3的倍数．
设p=3k（k为正整数），代入上式，得3q2=9k2，
∴q2=3k2，
同理q也是3的倍数，
这与前面假设p，q互质矛盾．
因此假设是有理数不成立．
故是无理数．点评：本题考查了反证法．反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．应用反证法证明的具体步骤是：①反设：作出与求证结论相反的假设； ②归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；③结论：说明反设成立，从而肯定原命题成立．反证法在初中教材大纲中不作要求，本题属于竞赛题型，有一定难度．
第七类：圆的相关证明
12、证明下题，并注明理由：（几何证明选做题）若A，B，C是⊙O上三点，PC切⊙O于点C，∠ABC=110°，∠BCP=40°，则∠AOB的大小为——°
考点：弦切角；圆周角定理．专题：计算题．分析：由PC切⊙O于点C，OC为圆的半径可得∠PCO=90°，由∠BCP=40°，可求得∠BCO=50°，，由弦切角定理及圆周角定理可知，∠BOC=2∠PCB=80°，然后在△BOC中，由∠OBC=50°，∠ABC=110°可求∠OBA，进而可求解答：解：∵PC切⊙O于点C，OC为圆的半径
∴OC⊥PC，即∠PCO=90°
∵∠BCP=40°∴∠BCO=50°
由弦切角定理及圆周角定理可知，∠BOC=2∠PCB=80°
∵△BOC中，∠OBC=50°，∠ABC=110°
∴∠OBA=60°
∵OB=OA
∴∠AOB=60°
故答案为：60°
点评：本题主要考查了圆的弦切角定理与圆周角定理的综合应用，灵活应用圆的基本定理是解答本题的关键
13．如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则线段DO的长等于3
考点：平行投影；与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：
连接OC，由圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，知CD⊥BD，设圆半径为r，在Rt△ODC中，则16+（8-r）2=r2，解得r=5．由此能求出线段DO的长．解答：解：连接OC，
∵圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，
∴CD⊥BD，
设圆半径为r，在Rt△ODC中，
CD=4，OD=8-r，OC=r，
∴16+（8-r）2=r2，
解得r=5．
∴线段DO=8-5=3．
故答案为：3．点评：本题考查平行投影的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意与圆有关的比例线段的灵活运用．
