圆名师押题
1.下列结论正确的是（ ）
A、长度相等的两条弧是等弧B、半圆是弧
C、相等的圆心角所对的弧相等
D、弧是半圆
考点：圆的认识；圆心角、弧、弦的关系．分析：根据圆内相关定义，以及圆心角、弧、弦的关系分别判断即可．解答：解：A、根据圆内相关定义，能够完全重合的弧是等弧，故本选项错误，
B、弧分为优弧、劣弧、半圆，故本选项正确；
C、根据在同圆或等圆内，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；
D、弧分为优弧、劣弧、半圆，故本选项错误．
故选B．点评：此题主要考查了圆内相关定义，以及圆心角、弧、弦的关系，正确区分它们之间的区别是解决问题的关键．
2.已知⊙O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为弦AB上的一个动点，则OP的最短距离为（ ）
A、5cm B、6cm C、8cm D、10cm
考点：垂径定理；垂线段最短；勾股定理．专题：计算题．分析：根据直线外一点到直线上任一点的线段长中垂线段最短得到当OP为垂线段时，即OP⊥AB，OP的最短，再根据垂径定理得到AP=BP=AB=×16=8，然后根据勾股定理计算出OP即可．解答：解：当OP为垂线段时，即OP⊥AB，OP的最短，如图，
∴AP=BP=12AB=12×16=8，
而OA=10，
在Rt△OAP中，
OP===6（cm）．
故选B．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；也考查了垂线段最短以及勾股定理．
3.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）
A、5米 B、8米 C、7米 D、5米
考点：垂径定理的应用；勾股定理．专题：应用题．分析：先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算．解答：解：因为跨度AB=24m，拱所在圆半径为13m，
所以找出圆心O并连接OA，延长CD到O，构成直角三角形，
利用勾股定理和垂径定理求出DO=5，
进而得拱高CD=CO-DO=13-5=8．故选B．点评：本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用．
4.如图，圆上有A，B，C，D四点，其中∠BAD=80度．若ABC︿，ADC︿的长度分别为7p，11p，则BAD︿的长度为何（ ）
A、4p B、8p C、10p D、15p
考点：圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质．分析：根据圆内接四边形的对角互补知，∠A=80°，∠C=100°，由于ABC︿，ADC︿的长度分别为7p，11p，则圆的周长为18p，由∠A=80°，根据圆内接四边形的对角互补知，∠C=100°，故弦把圆分成10p和8p两部分，BAD︿是优弧，所以它的长度是10p．解答：解：∵∠A=80°
∴∠C=100°
∵ABC︿，ADC︿的长度分别为7p，11p
∴圆的周长为18p
∴B、D两点把圆分成10p和8p两部分
∴BAD︿的长度是10p．
故选C．点评：本题利用了圆内接四边形的对角互补和圆周角与弧的关系求解．
5.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠C=16°，则∠BOC的度数是（ ）
A、74° B、48° C、32° D、16°
考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：欲求∠BDC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．解答：解：∵OA=OC，
∴∠A=∠C=16°，
∴∠BOC=∠A+∠C=32°．
故选C．点评：本题考查三角形外角的性质、圆心角、圆周角的应用能力．
6.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（ ）
A、140° B、110° C、90° D、70°
考点：圆内接四边形的性质．分析：根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可．解答：解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；
又∵∠BCD=110°，
∴∠BAD=70°．
故选D．点评：本题主要考查了圆内接四边形的性质．解答此题时，利用了圆内接四边形的对角互补的性质来求∠BCD的补角即可．
7.如图所示，已知⊙O中，弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=4，则PD的长是（ ）
A、6 B、5 C、4 D、3
考点：相交弦定理．分析：可运用相交弦定理求解，圆内的弦AB，CD相交于P，因此AP PB=CP PD，代入已知数值计算即可．解答：解：由相交弦定理得AP PB=CP PD，
∵AP=6，BP=2，CP=4，
∴PD=AP PB÷CP=6×2÷4=3．
故选D．点评：本题主要考查的是相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．
8.若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A、点A在圆内 B、点A在圆上 C、点A在圆外 D、不能确定
考点：点与圆的位置关系．分析：要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．解答：解：∵点A到圆心O的距离为3cm，小于⊙O的半径4cm，
∴点A在⊙O内．故选A．点评：本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
9.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A、点P B、点Q C、点R D、点M
考点：确定圆的条件．专题：网格型．分析：根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．解答：解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB和BC的垂直平分线，交点Q即为圆心．
故选B．
10.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
考点：三角形的外接圆与外心；圆的认识；确定圆的条件．分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
故选B．点评：此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
11.坐标平面上有两圆O1、O2，其圆心坐标均为（3，-7）．若圆O1与x轴相切，圆O2与y轴相切，则圆O1与圆O2的周长比（ ）
A、3：7 B、7：3 C、9：49 D、49：9
考点：直线与圆的位置关系．分析：根据直线和圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，可以分别求得两个圆的半径，再根据圆周长公式，可知两个圆的周长之比即为两个圆的半径之比．解答：解：∵圆心坐标均为（3，-7）．若圆O1与x轴相切，圆O2与y轴相切，
∴⊙O1与⊙O2的半径分别是7，3．
∴圆O1与圆O2的周长比是7：3．
故选B．点评：此题主要是考查了直线和圆相切应满足的数量关系．注意：两个圆的周长比等于两个圆的半径之比．
12.如图，已知⊙O的半径为4，点D是直径AB延长线上一点，DC切⊙O于点C，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（ ）
A、4 B、8 C、4 D、23
考点：切线的性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：连接OC，由切线的性质可知∠OCD为直角，然后利用等边对等角，由OA=OC得到∠BAC=∠OCA，再由∠CAB=30°，得到∠OCA=30°，又∠DOC为三角形AOC的外角，根据三角形外角的性质可得∠DOC为60°，从而得到∠D为30°，在直角三角形OCD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由OC的长求出OD的长，再由OD-OB即可求出BD的长．解答：解：连接OC，如图所示：
由CD为圆O的切线，得到OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，且∠CAB=30°
∴∠CAB=∠OCA=30°，
∴∠DOC=60°，
∴∠ODC=30°，
在Rt△OCD中，OC=4，则OD=8，
则BD=OD-OB=8-4=4．
故选C．点评：此题考查了切线的性质，三角形的外角性质以及含30°角的直角三角形的性质，遇到直线与圆相切时，常常连接圆心与切点，构造直角三角形，利用直角三角形的性质来解决问题．
13.矩形的两邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（ ）
A、0条 B、1条 C、2条 D、3条
考点：切线的判定；矩形的性质．分析：以较长的边为直径作圆，半径正好与另一边相等，从而可发现切线的条数．解答：解：以较长的边为直径作圆，半径正好与另一边相等，所以如上图可知，与半圆相切的线段有3条．
故选D．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
14.如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是TB︿上的一点，若∠TAB=100°，则∠BTD的度数为（ ）
A、20° B、40° C、60° D、80°
考点：弦切角定理；圆内接四边形的性质．分析：设点E是优弧TB上一点，连接TE、BE，根据圆内接四边形的对角互补知，∠E=180°-∠A=80°，再根据弦切角定理知，∠DTB=∠E=80°．解答：解：∵四边形ABET是圆内接四边形，
∴∠E=180°-∠A=80°，
又CD是⊙O的切线，T为切点，
∴∠DTB=∠E=80°．
故选D．点评：本题利用了圆内接四边形的性质和弦切角定理求解．
15.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（ ）
A、35° B、45° C、60° D、70°
考点：切线长定理．分析：根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解．解答：解：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，
∴∠PAB=55°．
根据切线长定理得PA=PB，
所以∠PBA=∠PAB=55°，
所以∠P=70°．
故选D．点评：此题综合运用了切线的性质定理和切线长定理
16.如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A，B，PA=14cm，AB=10cm，PO=20cm，则⊙O的半径是（ ）
A、8cm B、10cm C、12cm D、14cm
考点：切割线定理．分析：根据切割线定理代入公式即可求解．解答：解：设圆O的半径是x，
则PA PB=（PO-r）（PO+r），
∴14×（14+10）=（20-x）（20+x），
解得x=8．
故选A．点评：本题的关键是利用割线定理求线段的长．
17.已知相交两圆的半径分別为4和7，则它们的圆心距可能是（ ）
A、2 B、3 C、6 D、11
考点：圆与圆的位置关系．分析：根据两圆半径；再根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R-r＜P＜R+r；内切，则P=R-r；内含，则P＜R-r．
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径），得出符合要求的答案即可．解答：解：根据题意，得R=7，r=4，
∴R+r=11，R-r=3，
∴相交两圆的圆心距为：
R-r＜d＜R+r，即3＜d＜11，
∴它们的圆心距可能是6．
故选C．点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系与数量关系间的联系是中考热点，需重点掌握．
18.在校运动会上，三位同学用绳子将四根同样大小的接力棒分别按横截面如图（1），（2），（3）所示的方式进行捆绑，三个图中的四个圆心的连线（虚线）分别构成菱形、正方形、菱形，如果把三种方式所用绳子的长度分别用x，y，z来表示，则（ ）
A、x＜y＜z B、X=y＜z C、x＞y＞z D、x=y=z
考点：相切两圆的性质．分析：利用圆与圆之间的位置关系分析．解答：解：设圆的半径是r，通过观察图形可知x=y=z=8r+2πr，故选D．点评：主要考查了圆与圆之间的位置关系和有关公切线的知识．相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．
19.已知下列命题：
（1）菱形的对角线互相平分且相等；
（2）正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（3）平分弦的直径垂直于弦；
（4）相交两圆的公共弦垂直平分连心线．
其中，真命题的个数有（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
考点：相交两圆的性质；菱形的性质；正方形的性质；垂径定理．分析：根据菱形的性质，正方形的对称性质，垂径定理，两圆相交的特点判断．解答：解：（1）不一定，相等的时候就是正方形了!只有正方形对角线才相等!正方形是特殊的菱形．当菱形两个对角线相等时，它就是一个正方形了．故错误；
（2）根据轴对称图形和中心对称图形的概念，正确；
（3）平分弦的直径中的弦不能是直径，故错误；
（4）应是相交两圆的连心线垂直平分公共弦，错误．
故选B．点评：本题考查了对菱形的性质，正方形的对称性质，垂径定理，两圆相交的特点的理解．
20.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）
A、30° B、45° C、55° D、60°
考点：正多边形和圆；圆周角定理．分析：连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°再根据圆周角定理，即可求解．解答：解：连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°．再根据圆周角定理，得∠APB=45°．
故选B．点评：此题综合运用了正方形的性质以及圆周角定理．
21.如图1，扇形AOB中，OA=10，∠AOB=36°．若固定B点，将此扇形依顺时针方向旋转，得一新扇形A′O′B，其中A点在O′B上，如图2所示，则O点旋转至O′点所经过的轨迹长度为（ ）
A、π B、2π C、3π D、4π
考点：弧长的计算．分析：根据弧长公式，此题主要是得到∠OBO′的度数．根据等腰三角形的性质即可求解．解答：解：根据题意，知OA=OB．
又∠AOB=36°，
∴∠OBA=72°．
∴点旋转至O′点所经过的轨迹长度==4π．
故选D．点评：此题综合运用了等腰三角形的性质和弧长公式．
22.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A、3π B、6π C、5π D、4π
考点：扇形面积的计算；旋转的性质．分析：根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积．即可求解．解答：解：阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积．
则阴影部分的面积是：=6π
故选B．点评：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积是解题的关键．
23.一个圆锥的底面圆的周长是2π，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角等于（ ）
A、150° B、120° C、90° D、60°
考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长得到扇形的弧长为2π，然后再根据弧长公式进行计算即可．解答：解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆的周长是2π，母线长是3，
∴2π=，
解得n=120．
故选B．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．
24.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则圆柱的侧面积为（ ）
A、2 B、4 C、2π D、4π
考点：圆柱的计算．专题：计算题．分析：圆柱侧面积=底面周长×高．解答：解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形，它的长是底面圆的周长，即2π，宽为母线长为2cm，
所以它的面积为4πcm2．
故选D．点评：本题考查了圆柱的计算，掌握特殊立体图形的侧面展开图的特点，是解决此类问题的关键．
25.已知△ABC的内切圆⊙O如图，若∠DEF=54°，则∠BAC等于（ ）
A、96° B、48° C、24° D、72°
考点：三角形的内切圆与内心．分析：连接OD、OF；根据切线的性质知：OD⊥AB，OF⊥AC，则四边形ADOF中，∠A+∠DOF=180°；那么解题的关键是求出∠DOF的度数，在⊙O中，∠DOF和∠DEF是同弧所对的圆心角和圆周角，根据圆周角定理，易求得∠DOF的度数，由此得解．解答：解：如图，连接OD、OE，则∠ODA=∠OFA=90°；
⊙O中，∠DOF=2∠DEF=2×54°=108°；
四边形ADEF中，∠ODA=∠OFA=90°，
∴∠BAC+∠DOF=180°，
即∠BAC=180°-∠DOF=72°．
故选D．点评：本题考查的是圆周角定理以及三角形内切圆的性质．圆的考点指南
课标要求：
理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系。
探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
能根据圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系。
掌握切线的判定以及切线的性质定理。
会画圆的切线和三角形的内切圆，掌握三角形的内心概念。
掌握圆和圆的位置关系。
掌握相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，相切两圆的连心线经过切点等性质。
会画两圆的内、外公切线。
了解两圆外公切线的长相等，两圆内公切线的长相等等性质。
会画直线和圆弧、圆弧和圆弧连接的图形。
了解正多边形和圆的关系，理解正多边形的中心，半径、边心距、中心角的概念，会画正多边形。
会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。
考点清单：
圆的有关概念及性质
1、圆的有关概念
（1）圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合。
（2）弦、弧、直径、圆心角、圆周角的概念。
①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
②直径：经过圆心的弦叫做直径。
③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
④圆心角：顶点在圆心的角。
⑤圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2、圆的有关性质
（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心是圆心。
⑵垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
⑶弧、弦、圆心角之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们对应的其余各组量也相等。
⑷圆周角定理及推论
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种：设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则（1）点在圆上→d=r；（2）点在圆内→d﹤r；（3）点在圆外→d﹥r。
直线与圆的位置关系
直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线。
圆的切线垂直经过切点的半径。
直线与圆的位置关系有三种，设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，,则（1）直线与圆相切→d=r；（2）直线与圆相交→d﹤r；（3）直线与圆相离→d﹥r。
圆与圆心的位置关系
两圆心的距离叫圆心距。
圆与圆的位置关系有五种，设两圆的半径分别为R和r，两圆的圆心距为d，则（1）两圆外离→d﹥R+r；（2）两圆外切→d=R+r；（3）两圆相交→R-r﹤d﹤R+r（R﹥r）；（4）两圆内切→d= R-r（R﹥r）；（5）两圆内含→d﹤R-r（R﹥r）。
两圆外离有4条公切线；两圆外切有3条公共切线；两圆相交有2条公共切线；两圆内切时有1条公共切线；两圆内含时有0条公切线。
与圆有关的公式
弧长L=（n°为圆心角的度数，r为圆的半径）
圆周长C=2，圆面积S=（r表示圆的半径）
扇形的面积S==LR（n°为扇形圆心角的度数，R为扇形所在圆的半径，L表示弧长）
圆锥的侧面积S=L（L为母线长，r为底面半径）
不规则图形的面积计算
求不规则图形的面积关键是转化：不规则图形→规则图形。
S弓形=S扇形±S三角形
3、 S圆环=S⊙1-S⊙2
A部分：考试指南
历年真题
例1.如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，
若CE=2，则图中阴影部分的面积是【 度002】
A、 B、 C、 D、
【答案】A。
【考点】扇形面积的计算
【分析】已知D、E是半圆的三等分点，如果连接DE、OE、OD，那么△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，由此可求出扇形OBE的圆心角的度数和圆的半径长；由于∠AOE=∠BOD，则AB∥DE，S△ODE=S△BDE；可知阴影部分的面积=S扇形OAE－S△OAE＋S扇形ODE求解：
连接DE、OE、OD，∵点D、E是半圆的三等分点，
∴∠AOE=∠EOD=∠DOB=60°。
∵OA=OE=OD=OB。
∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形。
∴AB∥DE，S△ODE=S△BDE。
∴图中阴影部分的面积=S扇形OAE－S△OAE＋S扇形ODE。故选A。
例2.如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD//BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四
边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为【 度002】
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
【答案】B。
【考点】平行的性质，圆的对称性，角平分线的定义，圆周角定理，勾股定理。
【分析】要求阴影部分的面积，就要从图中看出阴影部分是由哪几部分得来的，然后依面积公式计算：
由AD//BC和圆的对称性，知。
∵AC平分∠BCD，∴。∴AD=AB=DC。
又∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，∴∠ACD=∠DAC=30°。
∴∠BAC=90°，∠B=60°。∴BC是圆的直径，且BC=2AB。
∴根据四边形ABCD的周长为10cm可解得圆的半径是2cm。
由勾股定理可求得梯形的高为cm。
所以阴影部分的面积=（半圆面积－梯形面积）=（cm2）。故选B。
例3.右图中正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B 两点，分别以A、B 两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A（2 , 1) ，则图中两个阴影部分面积的和是 ▲ 度002
【答案】。
【考点】圆和双曲线的中心对称性，圆的切线的性质。
【分析】由题意，根据圆和双曲线的中心对称性，知图中两个阴影部分面积的和是圆的面积；由两个圆与x 轴相切和点A（2 , 1) ，知圆的半径为1，面积为，因此图中两个阴影部分面积的和是。
例4.如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120 ，弦AB=cm，则
OA= ▲ cm.
【答案】2。
【考点】三角形内角和定理，弦径定理，特殊角三角函数值。
【分析】过O作OD⊥AB于D。∵∠AOB=120 ，∴∠OAB=30 。
又∵∠ADO=90 ，AD=，
∴OA=。
例5.阅读材料，解答问题
命题：如图，在锐角△ABC中，BC=a、CA= b、AB=c，△ABC的外接圆半径为R，
则。
证明：连结CO并延长交⊙O于点D，连结DB，则∠D=∠A
∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC=90 。
在Rt△DBC中， ∵，
∴sinA=，即。
同理、。
∴
请你阅读前面所给的命题及证明后，完成下面（1）、（2）两小题
（1）前面的阅读材料中略去了“和”的证明过程，请你把“”的证明过程补写出来。
（1） （2）
（2）直接用前面阅读材料中命题的结论解题
已知，如图，在锐角△ABC中，BC=，CA=，∠A=60 ，求△ABC的外接圆的半径R及∠C。
【答案】证明：（1）连接CO并延长并⊙O于点D，连接DA，则∠B=∠D。
∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC=90°。
在Rt△DAC中，sinD=，即sinD=。
∴sinB=，即。
（2）由命题结论知，
∵BC=，CA=，∠A=60 ，∴，即。
∵△ABC是锐角三角形，∴∠B=45°。∴∠C=75°。
由得，∴R=1。
【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）根据已知的证明过程，同样可以把∠B和b构造到直角三角形中，构造直径所对的圆周角，是圆中构造直角三角形常用的一种方法，根据锐角三角函数进行证明。
（2）根据，代入计算。
例6.如图，已知A（5，－4），⊙A与x 轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，
（1）求过D、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）连结BD，求tan∠BDC的值；
（3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，
∠PFD的平分线FG交DC于G，求sin∠CGF的值。
【答案】解：（1）∵A（5，－4），⊙A与x 轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，
∴由圆的性质和弦径定理可得D（0，－4），B（2，0），C（8，0）。
设过D、B、C三点的抛物线的解析式为。将D、B、C的坐标代入，得
，解得，，∴抛物线的解析式为y=。
（2）作弧BC的中点H，连接AH、AB，
则由弦径定理和圆周角定理，∠BDC=∠BAH=∠BAC，
∴tan∠BDC=tan∠BAH= 。
（3）由（1）y= 得
点P的坐标为（5，）。
由P、C坐标可求得直线PC的解析式为y=。
设M为直线PC与y轴的交点，则M的坐标为（0，6）。
∵OM=6，OC=8，∴由勾股定理，得MC=10。
又MD=OM＋OD=10，∴MD=MC=10。∴∠MCD=∠MDC。
∴∠MCA=∠MDA=∠MDC+∠CDA=90°。∴∠MCO=∠BDC=∠PFD。
∴∠CGF=∠GDF+ ∠PFD=∠GDF+ ∠BDC=∠HDF=45°。
∵DA=AH=半径，∴sin∠CGF=sin45°= 。
【考点】二次函数综合题，弦径定理，圆周角定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】（1）由A点坐标，即可得出圆的半径和OD的长，连接AB，过A作BC的垂线不难求出B、C的坐标．然后可用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）取弧BC的中点H，连接AH、AB，根据弦径定理和圆周角定理可得出∠BDC=∠BAC=∠BAH，由此可求出∠BDC的正切值。（也可通过求弦切角∠PCO的正切值来得出∠BDC的正切值）
（3）由于∠CGF=∠CDF+∠GFD=∠CDF+ ∠CFD，而∠PCO=∠PFD=∠BDC，那么∠CGF=∠CDF+∠BDC=∠HDF，在直角三角形AOH中，DA=AH，因此∠HDF=45°，即∠CGF=45°，据此可求出其正弦值。
例7.直线y=－x＋m与直线y=x＋2相交于y轴上的点C，与x轴分别交于点A、B。
（1）求A、B、C三点的坐标；（3分）
（2）经过上述A、B、C三点作⊙E，求∠ABC的度数，点E的坐标和⊙E的半径；（4分）
（3）若点P是第一象限内的一动点，且点P与圆心E在直线AC的同一侧，直线PA、PC分别交⊙E于点M、N，设∠APC=θ，试求点M、N的距离（可用含θ的三角函数式表示）。（5分）
【答案】解：（1）直线y= x+2中令x=0，得y=2，
∴C点的坐标为（0，2）。
把C（0，2）代入直线y=－x＋m，得m=2，
∴直线y=－x＋m解析式是y=－x＋2。
令y=0，得x=2，则A点的坐标是（2，0），
在y= x＋2中令y=0，得x=，则B的坐标是（，0）。
（2）根据A、B、C的坐标得到OC=2，OA=2，OB=，根据锐角三角函数定义，得tan∠ABC=,∴∠ABC=30°。
又AC=。
连接AE，CE，过点E作EF⊥AB于点F，则∠AEC=60°，
∴△ACE是等边三角形，边长是。
又在Rt△EAF中，AE=，AF=AB=，
∴EF=。
又OF=OA＋AF=。
∴点E的坐标为（，），半径是。
（3）分两种情况：
（I）当点P在⊙E外时，如图，连接AN，连接ME并延长交⊙E于另一点Q，连接NQ，则△NQM是直角三角形。
∵∠MQN=∠MAN=∠ANC－∠P=∠ABC－∠P=30°－θ，
∴在Rt△NQM中，MN=QMsin∠MQN，
即MN=sin（30°－θ）。
（II）当点P在⊙E内时，如图，连接AN，连接ME并延长交⊙E于另一点Q，连接NQ，则△NQM是直角三角形。
∵∠ACB=∠BCO－∠ACO=60°－45°=15°。
∴∠MQN=∠MAN=∠APB－∠ANB=∠APB－∠ACB =θ－15°。
∴在Rt△NQM中，MN=QMsin∠MQN，
即MN=sin（θ－15°）。
【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，弦径定理，三角形外角定理。
【分析】（1）直线y= x+2与y轴的交点可以求出，把这点的坐标就可以求出直线y=－x＋m的解析式，两个函数与x轴的交点就可以求出。
（2）根据三角函数可以求出角的度数。由OC、OA、OB的长度，根据勾股定理、等边三角形的判定和性质、弦径定理可求出点E的坐标和⊙E的半径。
（3）分点P在⊙E外和点P在⊙E内两种情况讨论即可。
例8. AB是⊙O的直径，点E是半圆上一动点（点E与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB，垂足为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合。
（1）（5分）求证：△AHD∽△CBD
（2）（4分）连HB，若CD=AB=2，求HD+HO的值。
【答案】解：（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADH=∠CDB=900。
又∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=900。
∴∠HAD=900－∠ABE=∠BCD。
∴△AHD∽△CBD。
（2）设OD=x，则BD=1－x，AD=1＋x，
由（1）Rt△AHD∽Rt△CBD得，HD : BD=AD : CD，即HD : (1－x)=(1＋x) : 2， 即HD=。
在Rt△HOD中，由勾股定理得： HO==。
∴HD+HO=+=1。
特别，如图，当点E移动到使D与O重合的位置时，这时HD与HO
重合，由Rt△AHO∽Rt△CBO，利用对应边的比例式为方程，可以算出HD=HO=，即HD+HO=1。
【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）一方面，由直径所对圆周角是直角的性质和直角三角形两锐角互余的关系，可证得∠HAD=∠BCD；另一方面，由CD⊥AB得∠ADH=∠CDB=900，从而得证△AHD∽△CBD。
（2）设OD=x。一方面，由相似三角形对应边成比例的性质，可得HD=；另一方面，由勾股定理，可得HO=。从而求得HD+HO=+=1。
例9.如图1，在平面直角坐标系中，点M在轴的正半轴上， ⊙M交轴于 A、B两点，交轴于C、D两点，且C为的中点，AE交轴于G点，若点A的坐标为（－2，0），AE
(1)(3分)求点C的坐标.
(2)(3分)连结MG、BC，求证：MG∥BC
(3)(４分) 如图2，过点D作⊙M的切线，交轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.
【答案】解：（1）∵直径AB⊥CD，∴CO＝CD，＝。
∵Ｃ为的中点，∴＝。∴＝。∴CD＝AE。∴CO＝CD＝４。
∴Ｃ点的坐标为（０，４）。
（２）连接CM，交ＡＥ于点Ｎ，
设半径AM＝CM＝ｒ，则OM＝ｒ－２。
由OC＋OM＝M得：４＋（ｒ－２）＝ｒ，
解得，ｒ＝５。
∵∠AOG＝∠ANM＝９０°，∠GAO＝∠MAN，∴△AOG∽△ANM。∴。
∵由弦径定理，AN＝4，ＭＮ＝ＯＭ＝３，AO＝2，∴。∴ＯＧ＝。
∵，，∴。
又∵∠GOM＝∠COB，∴△GOM∽△COB。∴∠GMO＝∠CBO。∴MG∥BC。
（３）连结DM，则DM⊥PD，DO⊥PM，
∴△MOD∽△MDP，△MOD∽△DOP。
∴DM＝MO·MP；DO＝OM·OP。
∴４＝３·OP，即OP＝。
当点Ｆ与点Ａ重合时：。
当点Ｆ与点Ｂ重合时：。
当点Ｆ不与点Ａ、Ｂ重合时：连接OF、PF、MF，
∵DM＝MO·MP，∴FM＝MO·MP。∴。
∵∠AMF＝∠FMA，∴△MFO∽△MPF。∴。
综上所述，的比值不发生变化，比值为。
【考点】弦径定理，圆周角定理，勾股定理，平行的判定，切线的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由已知，应用弦径定理和圆周角定理即可出点C的坐标。
（2）应用勾股定理、弦径定理和相似三角形的判定和性质可证得∠GMO＝∠CBO，从而根据同位角相等，两直线平行的判定得证。
（3）应用相似三角形的判定和性质，分点Ｆ与点Ａ重合、点Ｆ与点Ｂ重合和点Ｆ不与点Ａ、Ｂ重合三种情况讨论即可。
例10.如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，
cos∠BFA＝，求△ACF的面积．
【答案】解：（1）证明：连接BO，
∵AB=AO，BO=AO，∴AB＝AD＝AO。∴△ABO为等边三角形。
∴∠BAO=∠ABO=60°。
∵AB=AD，∴∠D=∠ABD。
又∠D+∠ABD=∠BAO=60°，∴∠ABD=30°。
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO。
又∵BO是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线。
（2）∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF。
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°。
在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴ 。
又∵＝8，∴。
【考点】等边三角形的判定和性质，三角形外角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由等边三角形的判定和性质、三角形外角定理和等腰三角形的性质判断△DOB是直角三角形，则
∠OBD=90°，BD是⊙O的切线。
（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似
比的平方即可求解。
例11.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，
点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
【答案】解：（1）⊙P与x轴相切。理由如下：
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），
∴OA=4，OB=8。
由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.。
在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径。
∴⊙P与x轴相切。
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD。
当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E。
∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，∴PE=。
∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB。
∴。∴。
∴。∴。∴。
当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P(0，－－8)。∴k =－－8，
∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形。
【考点】切线的判定，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）通过一次函数可求出A、B两点的坐标及线段的长，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值，再与圆的半径相比较，即可得出⊙P与x轴的位置关系．
（2）根据正三角形的性质，分圆心P在线段OB上和圆心P在线段OB的延长线上两种情况讨论即可。
例12.如图1，以点M（－1，,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直
线y＝－ x－ 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（3分）
（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3分）
（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是
否存在一个常数，始终满足MN·MK＝，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．（3分）
【答案】解：（1）OE＝5，，CH＝2。
（2）如图，连接QC、QD，则∠CQD=900，∠QHC=∠QDC。
又∵∠CPH=∠QPD， ∴△CPH∽△QPD。
∴，即，。
∵，∴。
（3）如图，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则∠GTA=900。
∴。
∵，∴。
∵，∴。
而，∴。
在△AMK和△NMA 中，，∠AMK=∠NMA ，
∴△AMK∽△NMA。
∴，即MN·MK=AM2＝4。
故存在常数，始终满足MN·MK＝，常数。
【考点】直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，锐角三角函数定义，圆周角定理。
【分析】（1）连接MH。
在y＝－ x－ 中，令y＝0，则x＝5，∴OE＝5。
在y＝－ x－ 中，令x＝0，则y＝－ ，∴OF＝。
由勾股定理，得EF=。
∵M（－1，,0），∴EM＝4。
由△EMH∽△EFO，得，即，MH＝2。∴。
∴CE＝2。∴点C是Rt△EMH斜边上的中线。∴CH＝2。；
（2）连接QC、QD，由直径所对圆周角为直角，得∠CQD=900；由同弧所对圆周角相等，得∠QHC=∠QDC。从而可得△CPH∽△QPD，由相似三角形对应边的比，得。因此。
（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由角的等量代换证得△AMK∽△NMA，即可得MN·MK=AM2＝4。从而得证。
17.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，
( 1 ) ( 2 分）求证：MN 是半圆的切线，
( 2 ) ( 3 分）设D 是弧AC 的中点，连接BD交AC 于G , 过D 作DE⊥AB于E，交AC于F．
求证：FD＝FG..
( 3 ) ( 3 分）若△DFG的面积为4.5 ，且DG＝3，GC＝4， 试求△BCG的面积．
【答案】解：（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝900。
∴∠BAC＋∠ABC＝900。
又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠BAC＋∠MAC＝900。∴MN⊥AB。
∴MN 是半圆的切线。
（2）∵D 是弧AC 的中点，∴∠CBD＝∠DBA。
∵∠ACB＝900，∴∠DGF＝∠CGB＝900－∠CBD
又∵DE⊥AB，∴∠GDF＝900－∠DBA。
∴∠DGF＝∠GDF。∴FD＝FG.。
（3）过点F作FH⊥DG于点H，
则由FD＝FG，DG＝3，△DFG的面积为4.5，得HG=1.5，S△FHG＝。
∵∠GCB＝900，FH⊥DG，∴∠GCB＝∠GHF＝900。
又∵∠CGB＝∠HGF，∴△BCG＝△FHG。∴
∴。
【考点】圆切线的判定，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，对顶角的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质。
【分析】（1）要证MN 是半圆的切线，只要证MN⊥AB即可。由圆周角定理和直角三角形两锐角的关系，经过等量代换，即可证得∠BAC＋∠MAC＝900，从而得证。
（2）由等弧所对圆周角相等的性质，直角三角形两锐角的关系和对顶角相等的性质，可证得∠DGF＝∠GDF，由等腰三角形等角对等边的判定，即可得FD＝FG.。
（3）过点F作FH⊥DG于点H，由等腰三角形三线合一的性质可得HG=1.5，S△FHG＝。由相似三角形的性质即可求得△BCG的面积。
18.如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的
中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB
并延长交⊙O于点E，连接AE.
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接CE，⊙O的半径为5，AC长
为4，求阴影部分面积之和.(保留与根号)
【答案】解：（1）证明：如图，连接AB、BC，
∵点C是劣弧AB上的中点，∴。∴CA＝CB 。
又∵CD＝CA ， ∴CB＝CD＝CA 。
∴在△ABD中，CB=AD。 ∴∠ABD＝90°。∴∠ABE＝90°。
∴AE是⊙O的直径。
(2) 如图，由（1）可知，AE是⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°。
∵⊙O的半径为5，AC＝4 ， ∴AE＝10，⊙O的面积为25π 。
在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：
CE=
∴
∴
【考点】直角三角形的判定，直径与圆周角的关系，勾股定理。
【分析】（1）要证AE是⊙O的直径，只要证AE所对的圆周角是直角即可。故作辅助线连接AB、BC，由已知的点C为劣弧AB的中点和CA=CD即易证得。
(2) 求阴影部分面积之和，只要求⊙O的面积减去△ACE的面积即可。
A
D
C
B
B
C
A
D
c
b
a
O
B
C
A
O
·
B
C
A
b
O
·
P
x
y
B
C
O
D
A
E
F
G
y
C
·E
A
B
O
x
A
O
D
B
H
E
C
x
D
A
B
H
C
E
M
O
F
图1
x
y
D
A
B
H
C
E
M
O
图2
P
Q
x
y
D
A
B
H
C
E
M
O
F
图3
N
T
K
y
图1 图2圆热点专题
热点题型：
第一类：圆的认识 第二类：垂径定理及其应用
第三类：圆心角，弧，弦的关系 第四类：圆周角定理
第五类：圆内接四边形的性质 第六类：相交弦定理
第七类：点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 第八类：确定圆的条件
第九类：三角形的外接圆与外心及三角形的内切圆与内心 第十类：切线的判定及切线的性质
第十一类：弦切角定理、切线长定理、切割线定理 第十二类：相切两圆、相交两圆的性质
第十三类：正多边行和圆 第十四类：弧长、扇形面积、圆锥面积、圆柱的计算
第一类：圆的认识
1.下列命题中，真命题的个数为（ ）
①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半
③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等
④已知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切．
A、1 B、2 C、3 D、4
考点：圆的认识；正方形的判定；圆周角定理；圆与圆的位置关系．专题：几何综合题．分析：根据正方形的判定定理，对角线互相垂直的四边形面积的计算方法，及圆的相关知识，逐一判断，可得出①、②、④都是正确的．因为弦所得的圆周角有两种，一种角的顶点在优弧上，另一种角的顶点在劣弧上，而这两种圆周角不一定相等，所以③是错误的．解答：解：①正确，正方形的判定定理：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；②正确，对角线互相垂直的四边形面积等于两条对角线长的积的一半；③错误，弦对的圆周角有两种，一种是顶点在优弧上，另一种是顶点在劣弧上，而这两种角不一定相等，故弦相等，那么它们所对的圆周角不一定相等；④正确，因为当圆心距等于两圆半径之差时，两圆内切，所以该命题是正确的．故选C．点评：本题主要考查正方形的判定，对角线互相垂直的四边形面积的计算公式，弦与圆周角的关系及两圆位置关系的知识．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是（ ）
A、S1＜S2 B、S1＞S2 C、S1=S2 D、不确定
考点：圆的认识．分析：根据已知及圆的轴对称性质进行分析．解答：解：根据条件上面的半圆关于OP对称，因而S1，S2直径AC上面的两部分的面积相等，△CDB与△AEB的底CD与AE相等，高相同，因而面积相同，因而S1=S2．
故选C．点评：本题主要考查了圆有轴对称性质．
第二类：垂径定理及其应用
3.如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于（ ）
A、8 B、4 C、10 D、5
考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OA，即可证得△OAM是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM，根据勾股定理即可求得OA的长．解答：解：连接OA，
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB，且AM=4
在直角△OAM中，=5
故选D．点评：本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，根据垂径定理求得AM的长，证明△OAM是直角三角形是解题的关键．
4.已知⊙0的直径AB=40，弦CD⊥AB于点E，且CD=32，则AE的长为（ ）
A、12 B、8 C、12或28 D、8或32
考点：垂径定理；勾股定理．分析：在直角△OCE中，利用勾股定理即可求得OE的长，则AE=OA+OE或AE=OB-OE，据此即可求解．解答：解：如图，连接OC，
∵弦CD⊥AB于点E
∴CE=CD=16，
在直角△OCE中，OE===12，
则AE=20+12=32，
或AE=20-12=8，
故AE的长是8或32．
故选D．点评：本题主要考查了垂径定理，正确理解应分两种情况讨论是解题关键．
5.如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（ ）
A、10平方米 B、10π平方米 C、100平方米 D、100π平方米
考点：垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质．专题：计算题．分析：过O作OC⊥AB于C，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=10，再根据切线的性质得到AB为小圆的切线，于是有圆环的面积=π OA2-π OC2=π（OA2-OC2）=π AC2，即可圆环的面积．解答：解：过O作OC⊥AB于C，连OA，如图，
∴AC=BC，而AB=20，
∴AC=10，
∵AB与小圆相切，
∴OC为小圆的半径，
∴圆环的面积=π OA2-π OC2，
=π（OA2-OC2），
=π AC2=100π（平方米）．
故选D．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理．
6.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）
A、0.4米 B、0.5米 C、0.8米 D、1米
考点：垂径定理的应用；勾股定理．专题：应用题．分析：根据题意知，已知弦长和弓形高，求半径（直径）．
根据垂径定理和勾股定理求解．解答：解：设半径为r，则半径，弦心距，弦的一半组成的直角三角形，r2=（r-0.2）2+0.42，
解得r=0.5所以直径为1米．故选D．点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
第三类：圆心角，弧，弦的关系
7.若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，则优弧所对的圆周角为（ ）
A、45° B、90° C、l35° D、270°
考点：圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：计算题．分析：因为弧的度数就是它所对圆心角的度数，所以弧的比就是圆周角的比，据此即可求出圆周角的度数．解答：解：∵圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，
∴∠AOB：大角∠AOB=1：3，
∴大角∠AOB=360°×=270°．
故选D．
点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系，要知道，弧的度数就是它所对圆心角的度数．
8.下列命题是真命题的是（ ）
A、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B、平移不改变图形的形状和大小
C、对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
D、相等的弦所对的弧相等
考点：圆心角、弧、弦的关系；菱形的判定；等腰梯形的判定；平移的性质．分析：根据菱形的判定，等腰梯形，弦与弧的关系，平移等知识判断．解答：解：A、错误，对角线相等且互相垂直的四边形可以是筝形；
B、正确；
C、错误，应为：对角线互相垂直且相等的梯形才是等腰梯形；
D、错误，没有强调是同圆或等圆中．
故选B．点评：本题考查命题的真假判断，菱形的判定，等腰梯形，弦与弧的关系，平移等知识．
易错易混点：学生易忽略其中某个知识而错选．
第四类：圆周角定理
9.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30°，则∠B的度数为（ ）
A、15° B、30° C、45° D、60°
考点：圆周角定理．分析：根据直径所对的圆周角为90°，可得∠C的度数，再利用三角形内角和定理进行计算．解答：解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴∠B=180°-90°-30°=60°．
故选D．点评：此题主要考查了圆周角定理和三角形内角和定理，题目比较简单．
10.如图，圆O为△ABC的外接圆，其中D点在AC︿上，且OD⊥AC．已知∠A=36°，∠C=60°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A、132 B、144 C、156 D、168
考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：连接CO，由圆周角定理可求∠BOC，由等腰三角形的性质求∠BCO，可得∠OCA，利用互余关系求∠COD，则∠BOD=∠BOC+∠COD．解答：解：连接CO，∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，
在△BOC中，∵BO=CO，
∴∠BCO=（180°-72°）÷2=54°，
∴∠OCA=∠BCA-54°=60°-54°=6°，
又OD⊥AC，
∴∠COD=90°-∠OCA=90°-6°=84°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=72°+84°=156°．
故选C．点评：本题考查了圆周角定理．关键是将圆周角的度数转化为圆心角的度数，利用互余关系，角的和差关系求解．
第五类：圆内接四边形的性质
11.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（ ）
A、115° B、l05° C、100° D、95°
考点：圆内接四边形的性质．专题：计算题．分析：根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．解答：解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DEC=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°．
故选B．点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
12.已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D=50°，则∠ABC等于（ ）
A、100° B、110° C、120° D、130°
考点：圆内接四边形的性质．专题：计算题．分析：根据圆内接四边形的对角互补，得∠ABC=180°-∠D=130°．解答：解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ABC+∠D=180°
∵∠D=50°
∴∠ABC=180°-∠D=130°．
故选D．点评：本题考查了圆内接四边形的性质，圆内接四边形对角互补．
第六类：相交弦定理
13.如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD=9，BD=4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE EQ的值是（ ）
A、24 B、9 C、6 D、27
考点：相交弦定理；垂径定理．分析：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．在⊙O中，由垂径定理、相交弦定理易得CD=6．在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知PE EQ=DE EM=CE EN，设CE=x，列方程求解得CE=3．所以DE=6-3=3，EM=6+3=9，即可求得PE EQ．解答：解：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．
∵CD2=AD DB，AD=9，BD=4，
∴CD=6．
在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE EQ=DE EM=CE EN，
设CE=x，则DE=6-x，
则（6-x）（x+6）=x（6-x+6），
解得x=3．
所以，CE=3，DE=6-3=3，EM=6+3=9．
所以PE EQ=3×9=27．
故选D．点评：此题综合运用了相交弦定理、垂径定理．
14.如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB=4，DE=CE+3，则CD的长为（ ）
A、4 B、5 C、8 D、10
考点：相交弦定理．分析：运用相交弦定理求解．解答：解：设CE=x，则DE=3+x．
根据相交弦定理，得x（x+3）=2×2，
x=1或x=-3（不合题意，应舍去）．
则CD=3+1+1=5．
故选B．点评：此题可以根据相交弦定理列方程求解．
第七类：点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
15.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（ ）
A、12秒 B、16秒 C、20秒 D、24秒
考点：点与圆的位置关系．专题：应用题．分析：过点A作AC⊥ON，求出AC的长，当火车到B点时开始对学校有噪音影响，直到火车到D点噪音才消失．解答：解：如图：过点A作AC⊥ON，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对学校产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选B．点评：本题考查的是点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对小学产生噪音的时间，难度适中．
16.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A、点A在圆外 B、点A在圆上 C、点A在圆内 D、不能确定
考点：点与圆的位置关系．分析：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．解答：解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选：C．点评：此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
17.如图为平面上圆O与四条直线L1、L2、L3、L4的位置关系．若圆O的半径为20公分，且O点到其中一直线的距离为14公分，则此直线为何？（ ）
A、L1 B、L2 C、L3 D、L4
考点：直线与圆的位置关系．分析：根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d=r，则直线和圆相切；当d＜r，则直线和圆相交；当d＞r，则直线和圆相离，进行分析判断．解答：解：因为所求直线到圆心O点的距离为14公分＜半径20公分，
所以此直线为圆O的割线，即为直线L2．
故选B．点评：此题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，能够结合图形进行分析判断．
18.已知两圆的半径R，r分别为方程x2-3x+2=0的两根，这两圆的圆心距为3，则这两圆的位置关系是（ ）
A、外切 B、内切 C、相交 D、外离
考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．专题：综合题；方程思想．分析：根据题意解方程可得两圆半径之和为5，等于圆心距，所以两圆外切．解答：解：∵两圆半径的长分别为方程x2-3x+2=0的两根，
∴两圆半径之和为3，
又∵两圆的圆心距为3，
∴两圆外切．
故选A．点评：此题考查两圆位置关系的判定方法．根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R-r＜P＜R+r；内切，则P=R-r；内含，则P＜R-r．
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
第八类：确定圆的条件
19.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A、（2，3） B、（3，2） C、（1，3） D、（3，1）
考点：确定圆的条件；坐标与图形性质．分析：根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．解答：解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．
故选D．点评：此题考查了垂径定理的推论，能够准确确定一个圆的圆心．
20.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=21，BC=20．若有一半径为10的圆分别与AB、BC相切，则下列何种方法可找到此圆的圆心（ ）
A、∠B的角平分线与AC的交点B、AB的中垂线与BC中垂线的交点
C、∠B的角平分线与AB中垂线的交点
D、∠B的角平分线与BC中垂线的交点
考点：确定圆的条件；圆的认识．专题：压轴题．分析：因为圆分别与AB、BC相切，所以圆心到AB、CB的距离一定相等，都等于半径．而到角的两边距离相等的点在角的平分线上，圆的半径为10，所以圆心到AB的距离为10．因为BC=20，所以BC的中垂线上的点到AB的距离为10，所以∠B的角平分线与BC的中垂线的交点即为圆心．解答：解：∵圆分别与AB、BC相切，
∴圆心到AB、CB的距离都等于半径，
∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
∴圆心定在∠B的角平分线上，
∵因为圆的半径为10，
∴圆心到AB的距离为10，
∵BC=20，
又∵∠B=90°，
∴BC的中垂线上的点到AB的距离为10，
∴∠B的角平分线与BC的中垂线的交点即为圆心．
故选D．点评：本题考查的是圆的确定，运用角平分线的判定和平行线的性质来解题，题目难度中等．
第九类：三角形的外接圆与外心及三角形的内切圆与内心
21.如图所示，甲、乙、丙三个三角形，每个三角形的内角均为55°、60°、65°．若AB︿=DE︿=GH︿，则甲、乙、丙周长的关系为（ ）
A、甲=乙=丙 B、甲＜乙＜丙 C、甲＜丙＜乙 D、丙＜乙＜甲
考点：三角形的外接圆与外心．分析：根据在三角形中，大角对大边，知甲图中，AB最大；乙图中，DE是中间；丙图中，GH最小．再进一步结合已知条件即可判断三个图形的周长的大小．解答：解：根据大角对大边和已知条件，得
甲图中的最大边=乙图中的中间边=丙图中的最小边．
所以它们的周长大小是甲＜乙＜丙．
故选B．点评：此题考查了同一个三角形中的边角关系．
22.如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆．若∠AOB=70°，则∠COD=（ ）
A、110° B、125° C、140° D、145°
考点：三角形的内切圆与内心．分析：由于⊙O是四边形ABCD的内切圆，则OA、OB、OC、OD分别是四边形四个内角的角平分线；可得：∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°，即∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°，由此可求出∠COD的度数．解答：解：∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，
∴∠OAB=∠OAD，∠ODA=∠ODC，∠OCD=∠OCB，∠OBC=∠OBA，
∴∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°；
∴∠COD=180°-∠AOB=110°．
故选A．点评：本题主要考查了四边形内切圆的性质，三角形及四边形的内角和定理．
第十类：切线的判定及切线的性质
23.如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（ ）
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线．
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
考点：切线的判定；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；弦切角定理．分析：根据圆周角定理和切线的判定，采用排除法，逐条分析判断．解答：解：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，故①正确；
∵点D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴△ACD≌△ABD（SAS），
∴AC=AB，∠C=∠B，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，OD∥AC，
∴∠ODE=∠CED，
∴ED是圆O的切线，故④正确；
由弦切角定理知，∠EDA=∠B，故②正确；
∵点O是AB的中点，故③正确，
故选D．点评：本题利用了平行线的判定，弦切角定理，全等三角形的判定和性质，切线的概念，中点的性质求解．
24.如图，AB为圆O的直径，在圆O上取异于A、B的一点C，并连接BC、AC．若想在AB上取一点P，使得P与直线BC的距离等于AP长，判断下列四个作法何者正确？（ ）
A、作AC︿的中垂线，交AB︿于P点B、作∠ACB的角平分线，交AB︿于P点
C、作∠ABC的角平分线，交AC︿于D点，过D作直线BC平行线，交AB︿于P点
D、过A作圆O的切线，交直线BC于D点，作∠ADC的角平分线，交AB︿于P点
考点：切线的性质；角平分线的性质．分析：A圆内弦中垂线过原点；角平分线上点到到两边距离相等；角平分线上点到两边距离相等；D角平分线上点到两边距离相等，与切线与过切点的直径垂直．从而判断出来．解答：解：A、圆内弦的中垂线过原点，有圆内弦性质可知，所以交AB于圆点O，故本选项错误；
B、作∠ACB的角平分线，则点P到BC的距离等于点P到AC的距离，而不等于AP，故本选项错误；
C、若过点D作直线BC的平行线交AB于点P，那么点P的距离，等于DP也不等于AP，故本选项错误；
D、角平分线DP交直径AB与点P，根据角平分线定理，由PA⊥AD，得到点P到BC的距离等于AP，故正确．点评：本题考查了切线的性质，A考查了圆内弦中垂线过原点；B考查了角平分线上点到到两边距离相等；C考查了角平分线上点到两边距离相等；D考查了角平分线上点到两边距离相等，与切线与过切点的直径垂直．
第十一类：弦切角定理、切线长定理、切割线定理
25.如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE=19°，则∠AFB的度数为何？（ ）
A、97° B、104° C、116° D、142°
考点：弦切角定理；圆周角定理．分析：先根据直径所对的圆周角为直角得出角BAD的度数，根据角平分线的定义得出角BAF的度数，再根据弦切角等于它所夹弧对的圆周角，得出角ABD的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出角AFB的度数．解答：解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD=90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE=∠ABD=19°，
∴∠AFB=180°-∠BAF-∠ABD=180°-45°-19°=116°．
故选C．点评：此题考查圆周角定理以及弦切角定理的灵活运用，是一道在圆中求角度数的综合题．
26.如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A=70°，∠B=60°，则CD︿的度数为何（ ）
A、50° B、60° C、100° D、120°
考点：弦切角定理；圆周角定理．分析：本题首先根据三角形的内角和定理求得∠C的度数，再根据弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半进行求解．解答：解：∵∠A=70°，∠B=60°，
∴∠C=50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴CD︿的度数=2∠C=100°．
故选C．点评：此题综合考查了弦切角定理和三角形的内角和定理．
27.如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1=60°，∠2=65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（ ）
A、AB＞CE＞CD B、AB=CE＞CD C、AB＞CD＞CE D、AB=CD=CE
考点：切线长定理；三角形三边关系；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据∠1=60°，∠2=65°，利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，然后可得AB＞BC＞AC，由切线长定理得AC=CD，BC=CE，利用等量代换求得AB＞CE＞CD即可．解答：解：∵∠1=60°，∠2=65°，
∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-60°-65°=55°，
∴∠2＞∠1＞∠ABC，
∴AB＞BC＞AC，
∵CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，
∴AC=CD，BC=CE，
∴AB＞CE＞CD．
故选A．点评：此题主要考查切线长定理和三角形三边关系，三角形内角和定理等知识点，解答此题的关键是利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数．
28.如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB=60°，点P到圆心O的距离OP=2，则⊙O的半径为（ ）
A、 B、1 C、D、2
考点：切割线定理；等边三角形的性质；勾股定理．分析：根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，可知∠APO的度数，连接OA，可知OA⊥AP，故在Rt△AOP中，根据三角函数公式，可将半径求出．解答：解：连接OA
∵PA为⊙O的切线
∴PA⊥OA
∵∠APO=∠APB=30°
∴OA=OP×sin∠APO=2×=1
∴⊙O的半径为1
故选B．点评：本题主要考查圆的切线长定理．
第十二类：相切两圆、相交两圆的性质
29.如图是一个组合烟花的横截面，其中16个圆的半径相同，点A、B、C、D分别是四个角上的圆的圆心，且四边形ABCD为正方形．若圆的半径为r，组合烟花的高为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计）（ ）
A、26πrh B、24rh+πrh C、12rh+2πrh D、24rh+2πrh
考点：相切两圆的性质；扇形面积的计算．专题：计算题．分析：根据图形可以看出截面的周长等于12个圆的直径和1个半径为r的圆的周长的和，用周长乘以组合烟花的高即可．解答：解：由图形知，正方形ABCD的边长为6r，
∴其周长为4×6r=24r，
∵一个圆的周长为：2πr，
∴截面的周长为：24r+2πr，
∴组合烟花的侧面包装纸的面积为：（24r+2πr）h=24rh+2πrh．
故选D．点评：本题考查了相切两圆的性质及扇形的面积的计算，解题的关键是判断组合烟花的截面周长的算法．
30.下列图形中，一定能够能得出结论∠2=2∠1的是（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：相交两圆的性质；对顶角、邻补角；三角形的外角性质；圆周角定理．分析：（1）根据平角的性质解答；
（2）根据三角形内角与外角的关系解答；
（3）根据圆心角与圆周角的关系解答；
（4）根据等边三角形的性质解答．解答：解：A，不能，∠1+∠2=180°；
B，不能，∠2是三角形的一外角，∠2＞∠1；
C，不能，∠1，∠2所对的弧不同，无法比较；
D，正确，由图知，两圆半径相等，是等圆，
∴点O1，点O2与两圆的一个交点组成的三角形是等边三角形，∠2=60°，∠1=90°-60°=30°．
故选D．点评：本题涉及到平角的性质、三角形内角与外角的关系、圆心角与圆周角的关系、等边三角形的性质．
第十三类：正多边行和圆
31.判断图中正六边形ABCDEF与正三角形FCG的面积比为何（ ）
A、2：1 B、4：3 C、3：1 D、3：2
考点：正多边形和圆．专题：计算题．分析：作EH∥CG交CF于H，连接DH，将正三角形FCG等分为4个全等的等边三角形，将梯形等分为六个全等的等边三角形，从而求出其面积的比．解答：解：如图：作EH∥CG交CF于H，连接DH，
∴S正三角形FCG=4S△GED
S正六边形ABCDEF=6S△DEG
∴正六边形ABCDEF与正三角形FCG的面积的比为：3：2，
故选D．点评：本题考查了正多边形和圆的知识，可以设出正三角形的边长进而求出正六边形的面积和正三角形的面积即可．
32.如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，下列何者会经过点（75，0）（ ）
A、A B、B C、C D、D
考点：正多边形和圆；坐标与图形性质．专题：规律型．分析：根据点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．解答：解：∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．
∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0），
∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，
∴可知经过（5，0）的点经过（75，0），
∴点B经过点（75，0）．
故选B．点评：本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点（75，0）的点就是经过（5，0）的点．
第十四类：弧长、扇形面积、圆锥面积、圆柱的计算
33.按图1的方法把圆锥的侧面展开，得到图2，其半径0A=3，圆心角∠AOB=120°，则AB︿的长为（ ）
A、π B、2π C、3π D、4π
考点：弧长的计算．专题：常规题型．分析：弧长的计算公式为，把半径和圆心角代入公式可以求出弧长．解答：解：AB︿==2π．
故选B．点评：本题考查的是弧长的计算，知道圆心角和半径，代入弧长公式计算．
34.如图，圆心角为120°的扇形AOB，C为AB︿的中点．若CB上有一点P，今将P点自C沿CB移向B点，其中AP的中点Q也随着移动，则关于扇形POQ的面积变化，下列叙述何者正确？（ ）
A、越来越大 B、越来越小C、先变小再变大 D、先变大再变小
考点：扇形面积的计算．专题：计算题．分析：由∠AOB=120°，C为弧AB的中点，根据弧相等所对的圆心角相等得到∠AOC=∠BOC=60°，然后讨论：当P在C点时，∠POQ=30；当P在B点时，∠BOQ=60°；再根据扇形的面积公式得到S随n的增大而增大．解答：解：∵∠AOB=120°，C为弧AB的中点，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
①当P在C点时，PQ︿会最小，
∴∠POQ=30°
②当P在B点时，PQ︿会最大，
∴∠BOQ=60°，
而扇形的面积S=，
∴在半径不变的情况下，S随n的增大而增大．
故选A．点评：本题考查了扇形的面积公式：S=；也考查了弦，弧，圆心角之间的关系．
35.露露从纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片（如图），用它们恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为1．扇形的圆心角等于120°，则此扇形的半径为（ ）
A、 B、 C、3 D、6
考点：圆锥的计算．分析：圆的周长就是扇形的弧长，根据弧长的计算公式即可求得半径的长．解答：解：扇形的弧长是2π．设圆的半径是r，则=2π，
解得：r=3．
故选C．点评：本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算，正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键．
36.如图，是一个有盖子的圆柱体水杯，底面周长为6πcm，高为18cm，若盖子与杯体的重合部分忽略不计，则制作10个这样的水杯至少需要的材料是（ ）
A、108πcm2 B、1080πcm2 C、126πcm2 D、1260πcm2
考点：圆柱的计算．专题：计算题．分析：求出一个水杯的表面积乘以10即可得到所需材料多少．解答：解：设底面半径为r，
则2πr=6π，
解得r=3，
∴底面积为9π，
侧面积为：6π×18=108π
∴一个杯子的表面积为：108π+2×9π=126π，
∴制作10个这样的水杯至少需要的材料是10×126π=1260π．
故选D．点评：本题考查了圆柱的计算，解题的关键是熟知一个杯子的表面积的计算方法．
