中考数学专题复习（二十三） 开放与探索的思想（考点+例题精讲+习题+答案）
文档属性
| 名称 | 中考数学专题复习（二十三） 开放与探索的思想（考点+例题精讲+习题+答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 572.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-05-10 13:31:35 | ||
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文档简介
开放与探索
考纲解读：开放与探索性问题是中考题多样化和时代发展要求的产物。单一的题型和测试目标限制了考生应用知识解决实际问题的能力，不利于激发学生的创造性。开放与探索性问题能为考生提供更大的考虑问题的空间，在解决途径方面也是多样的，这样的题是十分有利于考生发挥水平的，也有利于考生创新意识的培养。
考试热点：
探索、补充条件
探索、确定结论
探索存在性
有关方案设计与动手操作的题目（如作图、画图及图形的剪、拼、折叠）
例题演练：
考点1 条件开放的探索
命题规律 给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一，这样的问题是条件开放性问题，解决这样问题的一般思路是：从结论出发，执过索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析。
【例1】如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）由题意，可设抛物线的解析式为，
∵抛物线过原点，
∴， ．
∴抛物线的解析式为．
（2）和所求同底不等高，，
∴的高是高的3倍，即M点的纵坐标是．
∴，即．
解之，得 ，．
∴满足条件的点有两个：，．
（3）不存在．
由抛物线的对称性，知，．
若与相似，必有．
设交抛物线的对称轴于点，显然．
∴直线的解析式为．
由，得，．
∴ ．
过作轴，垂足为．在中，，，
∴．
又OB=4，
∴，，与不相似．
同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．
所以在该抛物线上不存在点N，使与相似．
考点2 结论开放的探索
命题规律 给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题，它要求解题者充分利用条件进行大胆合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考察解题者的发散思维和应用所学基础知识的能力。
解决这类问题的一般思路是：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比，猜测等，从而获得所求的结论。
【例2】如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：
（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．
【分析】：（1）根据已知利用SAS来判定两三角形全等．
（2）根据每一问的结论及已知，利用两组角相等则两三角形相似来判定即可；
（3）根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．
【答案】解：（1）△APD≌△CPD．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．
又∵PD=PD，
∴△APD≌△CPD．
证明：（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，∠FPA=∠FPA，
∴△APE∽△FPA．
猜想：（3）PC2=PE PF．
理由：∵△APE∽△FPA，
∴=．
∴PA2=PE PF．
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC．
∴PC2=PE PF．
考点3 条件与结论都开放的探索
命题规律 此类问题没有明确的条件与结论，并且符合条件的结论具有多样性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性。
【例3】图①是等腰梯形ABCD，其中AD∥BC，AB=DC．图②是与图①完全相同的图形．
（1）请你在图①、图②的梯形ABCD中各画一个与△ABD全等但位置不同的三角形，使三角形的各顶点在梯形的边（含顶点）上；
（2）选择（1）中所画的一个三角形说明它与△ABD全等的理由．
【分析】：（1）首先可以知道，另一条对角线所分得的△ACD就是它的一个全等三角形，然后再从D点作AB的平行线交BC于点E，△BED就又是一个全等三角形；
（2）利用全等三角形的判定证明即可．如图①中，可利用边角边定理来证明．
【答案】解：（1）
（2）证法1：如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BAD=∠CDA．
在△ABD和△DCA中， AB=DC
∠BAD=∠CDA
AD=DA
∴△ABD≌△DCA．
证法2：如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AC=DB．
在△ABD和△DCA中， AB=DC
DB=AC
AD=DA
∴△ABD≌△DCA．
证法3：如图②，在BC上取一点E，使BE=AD，连接DE．
在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBD．
在△ABD和△EDB中， AD=EB
∠ADB=∠EBD
BD=DB
∴△ABD≌△EDB．
说明：（1）画对一个图得（2），画对两个图得．点评：本题主要考查了全等三角形的判定，但与其它题不同的是这个判定放到了梯形里面，网格里面，但性质，判定不变，所以学生平时的学习一定要灵活．
考点4 规律的探索与开发
命题规律 解决这类题的一般思维方法是采用特殊到一般的探索思路，即通过观察几个特殊的例子，进而加以猜想，推广，写成一般规律，这是解决数学问题的重要方法。
【例4】如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面．根据第1-3个图案的排列规律，第6个图案中白色瓷砖的块数应为（ ）块．
【分析】：分别写出n=1，2，3，…，时的白色瓷砖的块数，然后依次类推找出规律，再把n=6代入即可．
【答案】解：n=1时，白色瓷砖的块数为：5=5+3×0；
n=2时，白色瓷砖的块数为：8=5+3×1；
n=3时，白色瓷砖的块数为：11=5+3×2；
…；
当n=n时，白色瓷砖的块数为：5+3（n-1）=3n+2．
∴当n=6时，白色瓷砖的块数为：3×6+2=20．
故第6个图案中白色瓷砖块数为20．
故答案为20．
条件开放的探索练习题
一、选择题
1.将如图①的矩形ABCD纸片沿EF折叠得到图②，折叠后DE与BF相交于点P，如果∠BPE=130°，则∠PEF的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
2.分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③都可以
3.有一张矩形纸片ABCD，其中AD=4cm，上面有一个以AD为直径的半园，正好与对边BC相切，如图(甲).将它沿DE折叠，是A点落在BC上，如图(乙).这时，半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是（ ）
A.（π－ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）cm2
B.（ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )π＋ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）cm2
C.（ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )π－ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）cm2
D.（ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )π＋ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）cm2
4.某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )从学生中征集到的设计方案有正三角形、正五边形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（ ）
A 正三角形 B 正五边形 C 等腰梯形 D 菱形
5.在1，2，3，4，…，999，1000，这1000个自然数中，数字“0”出现的次数一共是（ ）次．
A.182 B.189 C.192 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) D.194
6.将一张等边三角形纸片按图1－①所示的方式对折，再按图1－②所示的虚线剪去一个小三角形，将余下纸片展开得到的图案是 ( )
二、填空题
1.将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形；…；如此下去．则图⑨中共有 个正方形．
2.将图（1）所示的正六边形进行分割得到图（2），再将图（2）里的三个小正六边形的其中之一按同样的方式进行分割得到图（3），接着再将图（3）中最小的三个正六边形的其中之一按同样的方式进行分割…，则第n 图形中共有 个六边形．（提示：可设y=an ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )+bn+c,把 代入求a,b,c.再求y= ）
3.用一版权法宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边殂ABCDE，其中∠BAC= 度。
4.小明背对小亮，让不亮按下列四个步骤操作：
第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于3张 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，且各堆牌现有的张数相同；
第二步 从左边一堆拿出3张，放入中间一堆；
第三步 从右边一堆拿出2张，放入中间一堆；
第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。
这时，小明准确说出职间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是
5.如图，将半径为2、圆心角为 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的扇形纸片 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，在直线 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )上向右作无滑动的滚动至扇形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )处，则顶点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )经过的路线总长为 。
6.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为 。
7.（宋朝时，中国象棋就已经风靡于全国，中国象棋规定马步为：“ 、 ”形的对角线（即一次对角线为一步），现定义：在棋盘上从点A到点B，马走的最少步称为A与B的“马步 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )距离”， 记作 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。在图中画出了中国象棋的一部分，上面标有A，B，C，D，E共5个点，则在 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中小的是 ，最小是 步。
三、解答题
1．如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )向下平移4个单位，得到 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，再把 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )绕点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )顺时针旋转 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，得到 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，请你画出 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )和 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（要求写出画法）．
2.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的顶点均在格点上，点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的坐标为 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
①把 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )向上平移5个单位后得到对应的 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，画出 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，并写出 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的坐标；
②以原点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )为对称中心，再画出与 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )关于原点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )对称的 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，并写出点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的坐标．
3．（1）观察与发现
小明将三角形纸片ABC（AB>AC），沿过点A的直线折叠，便得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①），再次折叠该三角形纸片，使点A与点D重合，折痕为EF，展开纸片后得到△AEF（如图②），小明认为△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③），再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④），再展开纸片（如图⑤）求图中∠α的大小．
4.如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ADC,由这个结论解答下列问题：（1）图2中，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，则
S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为 ；图3中，E，F分别为平行四边形ABCD的边AD,BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
（2）图4中，E，F分别为四边形ABCD的边AD,BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为 .
（3）解决问题：如图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD，AB,BC,CD的中点，并且图中四个小三角形的面积的和为1，即S1＋S2＋S3＋S4＝1，求S阴的值。（写出过程）
5.图①是一张长与宽不相等的矩形纸片, 同学们都知道按图②所示的折叠方法可以裁剪出一个正方形纸片和一个矩形纸片(如图③),
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ① ② ③
（1）实验：
将这两张纸片分别按图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )④、⑤所示的折叠方法进行：
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
④
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
⑤
请你分别在图④、⑤的最右边的图形中用虚线画出折痕，并顺次连接每条折痕的端点，所围成的四边形分别是什么四边形？
（2）当原矩形纸片的AB=4，BC=6时，分别求出（1）中连接折痕各端点所得四边形的面积，并求出它们的面积比；
（3）当纸片ABCD的长和宽满足怎样的数量关系时先后得到的两个四边形的面积比等于（2）所得到的两个四边形的面积比？
（4）用（2）中所得到的两张纸片，分别裁剪出那两个四边形，用剩下的8张纸片拼出两个周长不相等的等腰梯形，用图表示并标明主要数据，分别求出两梯形的面积.
6. 在一次数学探究性学习活动中, 某学习小组要制作一个圆锥体模型, 操作规则是: 在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面。他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二。（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切。方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）
（1）请说明方案一不可行的理由。
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由。
7.已知：如图所示的一张矩形纸片 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )），将纸片折叠一次，使点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )与 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )重合，再展开，折痕 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )交 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )边于 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，交 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )边于 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，分别连结 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )和 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
（1）求证：四边形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )是菱形；
（2）若 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，求 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的周长；
（3）在线段 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )上是否存在一点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，使得 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )？若存在，请说明点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
8.如图，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分：⑴用直线分割；⑵每个部分内各有一个景点；⑶各部分的面积相等。（可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法）
9、如图， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )、 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（小时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样。（1）根据图象分别求出 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )、 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的函数关系式；
（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？
（3）小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽
灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法
（直接给出答案，不必写出解答过程）。
10.图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）。
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论。
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
请问：经过多少时间，△PQR与△ABC重叠部分的面积恰好等于 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )？
（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90，图4）；
探究：在图4中，线段C ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )N·E ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )N·E ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )M的值，如果有变化，请你说明理由。
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
11．如图，在△ABC中，∠C=900,AC=8,BC=6,分别取各边的中点A1，B1，C1，得到△A1B1C1，再取△A1B1C1各边中点A2，B2，C2，得到△A2B2C2，按此作法进行下去，得到△A3B3C3，………，△AnBnCn.
求A1B1的长；
求△A1B1C1和△A2B2C2的周长；
写出△A8B8C8和△AnBnCn.的周长；
12．如上图，甲船在港口P的北偏西600方向，距港口80海里的A处，沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P．乙船从港口P出发，沿北偏东450方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（精确到0.1海里/时，参考数据 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）
13．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：
A型利润 B型利润
甲店 200 170
乙店 160 150
（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )最大？
14.（济宁师专附中一模）如图，小刚家、王老师家和学校在 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )一条直路上，小刚与王老师家相距3.5千米，王老师家与学校相距0.5千米.近来，小刚父母出差，如果王老师骑自行车到小刚家接小刚上学，就比平时走路上班多用24分钟.已知骑自行车的速度是步行速度的3倍.
（1）问：王老师骑自行车的速度是多少千米／小时？
（2）为了节约时间，王老师与小刚 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )约定每天7：35从家里同时出发，小刚走路，王老师骑车，遇到小刚后，立即搭小刚到校.如果小刚和王老师走路的速度一样，王老师骑车的速度不变，请问他们能否在8：00钟前赶到学校？说明理由.
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15.如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切．请你用直尺圆规画出来（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
16.在平面上有且只有四个点，这四个点有一个独特的性质：每两点之间的距离有且只有两种长度，例如正方形ABCD四个顶点A，B，C，D，有AB=BC=CD=DA,AC=BD，请画出具有这种独特性质的另外四种不同的图形，并标明相等的线段。
17.如图，平行四边形纸条ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点。将纸条的下半部分平行四边形ABFE沿EF翻折，得到一个V字形图案．
（1）请在原图中画出翻折后的平行四边形A B FE；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）
（2）已知∠A=65°，求∠B FC的度数．
18.如图，已知线段 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) .
（1）只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）若在（1）作出的RtΔABC中，AB=4cm，求AC边上的高 .
条件开放的探索练习题答案
一、选择题。
1、答：B 2、答案：A 3、答案：C
4、答案：D 5、答案：C 6、答案：A
二、填空题
1、 答案：25 2、答案：3n-2
3、答案：36
4、答案：8
5、答案： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
6、答案： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
7、答案： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，2
三、解答题
1、答案：
2、答案：画图如下：
C1 (4 ,4) ；② C2 (-4 ,-4) ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、答案：1）∵AD垂直于EF，且AD平分∠EAF，∴△AEF为等腰三角形
（2）由题可得有正方形ABFE ∴∠AEB=45° ∠DEB=135°
又∵EG平分∠BED ∴∠BEG=67.5° 则∠α=∠FEG=22.5°
4、答案：（1）S阴= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )S矩形ABCD ，S阴= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )S平行四边形ABCD。
（2）S阴= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )S四边形ABCD (3)连接AC,BD
由上面的结论得
∵G是四边形ABCD的边AB的中点，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∵H是四边形ABCD的边CD的中点
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
同样的方法得到 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∴S阴= S1＋S2＋S3＋S4 =1
5、解： (1) 图④所示的是正方形,图⑤所示的菱形.
(2) ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ).
(3)设AB=a,BC=b,则 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
要使 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ).
需 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
由∵ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )不等于0, ∴3 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=2b.
（4）如图所示。两等腰梯形周长分别为 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ).
6、答案：解：（1）理由如下：
∵扇形的弧长=16×π/2=8π，圆锥底面周长=2πr
∴圆的半径是4 cm
由于所给正方形对角线的长为16 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为16+4+4 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=20+4 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，20+4 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )>16 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∴方案1不可行
（2）方案2可行
求解过程如下：
设圆锥的底面半径为r cm，圆锥的母线长为Rcm，则
（1+ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）r+R=16 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2πr= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
由①②可得R= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )cm，r= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )cm
7、解：（1）连结 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )交 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )于 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
当顶点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )与 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )重合时，折痕 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )在平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" \o "欢迎登陆21世纪教育网"
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )分
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )四边形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )是菱形．
（2）四边形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )是菱形， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
设 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ①
又 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，则 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )． ②
由①、②得： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（不合题意舍去）
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的周长为 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
（3）过 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )作 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )交 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )于 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，则 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )就是所求的点．
证明：由作法， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
由（1）得： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，又 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，则 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )四边形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )是菱形， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
8、解：答案不唯一，如
9、解：(1)直线L1 yl=O.03x+2(0≤x≤2000)
设直线L2的解析式为y2=0.012x+20(0≤x≤2000)
(2)当yl=y2时，两种灯的费用相等 0．03X+2=0．012X+20
解得：x=1000
∴ 当照明时间为1000小时时，两种灯的费用相等
(3)节能灯使用2000小时，白炽灯使用500小时
10、答案：解：（1）BE=AD
证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD
∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD
∴ BE=AD（也可用旋转方法证明BE=AD）
（2）设经过x秒重叠部分的面积是 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，如图在△CQT中
∵∠TCQ=30° ∠RQP=60°
∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ ∴QT=QC=x∴ RT=3－x
∵∠RTS＋∠R=90° ∴∠RST=90°
由已知得 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )×32 － ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（3－x）2= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
x ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )＝1，x ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )＝5，因为0≤x≤3，所以x=1
答：经过1秒重叠部分的面积是
（3）C′N·E′M的值不变
证明：∵∠ACB=60°∴∠MCE′＋∠NCC′=120°
∵∠CNC′＋∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′
∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ∴C′N·E′M=C′C·E′C= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )× ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
11、解：（1）在Rt△ ABC中
由勾股定理得AB=10
A1B1=5．
（2）△A1B1C1和△A2B2C2的周长分别为：12和6
（3）△A8B8C8和△AnBnCn.的周长分别为： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )和 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
12、答案：依题意，设乙船速度为 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )海里/时，2小时后甲船在点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )处，乙船在点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )处，作 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )于 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，则 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )海里， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )海里．
在 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
在 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
答：乙船的航行速度约为19.7海里/时．
13、答案：依题意，甲店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型产品有 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )件，乙店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型有 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型有 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )件，则
（1） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )解得 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
（2）由 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，39，40．
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )有三种不同的分配方案．
① ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )时，甲店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型38件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型32件，乙店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型2件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型28件．
② ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )时，甲店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型39件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型31件，乙店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型1件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型29件．
③ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )时，甲店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型40件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型30件，乙店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型0件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型30件．
（3）依题意：
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
①当 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )时， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，即甲店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型40件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型30件，乙店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型0件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型30件，能使总利润达到最大．
②当 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )时， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，符合题意的各种方案，使总利润都一样．③当 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )时， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，即甲店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型10件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型60件，乙店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型30件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型0件，能使总利润达到最大．
14、答案：解:(!)设王老师骑自行车的速度是x千米／小时,由题意得
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )解得x=15,经检验知x=15是原方程的解且符合题意,所以王老师骑自行车的速度是15千米／小时.
(2)答: 能在8：00钟前赶到学校,设王老师与小刚相遇用了y小时,相遇后小刚到校用了z小时,依题意得 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),解得 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),由 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )＜25分钟,所以他们能在8：00钟前赶到学校.
15、答案： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )如图所示
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
16、答案：存在这些图形:1、一顶角为60度的菱形；2、正方形 ；3、一个正三角形+ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )顶角150度的等腰三角形构成的四边行(等腰三角形的底为正三角形的边) ；4、一个等腰三角形+内部一点，使得该点到3个顶点的距离均等于底边；5、一内角为72度且上底等于腰的等腰梯形 ；6、正三角形+心
17、答案：(1)画出正确的图形（见右图）。
（2）∵四边ABEF是平行四边行
∴∠EFB=∠A=65°
∵四边形A B FE是由四边形ABFE翻折得到，
∴∠B FE=∠EFB=65°
∴∠B FC=180°-∠B FE -∠EFB=50°
18、答案：
（1）作图如 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )右， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )即为所求的直角三角形；
（2）由勾股定理得，AC= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )cm，
设斜边AC上的高为h, ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )面积等于
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
y
x
O
A
B
第24题图
y
x
O
A
B
E
N
A′
①
②
第5题
第6题
A
B
C
第1题图
第2题图
S1
S2
S3
S4
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
C
C
C
C
D
D
D
C
D
D
E
E
E
E
F
F
F
F
G
H
图1
图2
图3
图4
图5
密 封 线 内 不 要 答 题
A
E
D
C
F
B
第9题
B
A
C
A1
C1
A2
A2
B1
C3
A
P
东
北
26题图
A
B
C
D
C
D
A
B
E
F
A
B
C
A
E
D
C
F
B
P
O
T
S
A
B
D
C
A
B
E
F
考纲解读：开放与探索性问题是中考题多样化和时代发展要求的产物。单一的题型和测试目标限制了考生应用知识解决实际问题的能力，不利于激发学生的创造性。开放与探索性问题能为考生提供更大的考虑问题的空间，在解决途径方面也是多样的，这样的题是十分有利于考生发挥水平的，也有利于考生创新意识的培养。
考试热点：
探索、补充条件
探索、确定结论
探索存在性
有关方案设计与动手操作的题目（如作图、画图及图形的剪、拼、折叠）
例题演练：
考点1 条件开放的探索
命题规律 给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一，这样的问题是条件开放性问题，解决这样问题的一般思路是：从结论出发，执过索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析。
【例1】如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）由题意，可设抛物线的解析式为，
∵抛物线过原点，
∴， ．
∴抛物线的解析式为．
（2）和所求同底不等高，，
∴的高是高的3倍，即M点的纵坐标是．
∴，即．
解之，得 ，．
∴满足条件的点有两个：，．
（3）不存在．
由抛物线的对称性，知，．
若与相似，必有．
设交抛物线的对称轴于点，显然．
∴直线的解析式为．
由，得，．
∴ ．
过作轴，垂足为．在中，，，
∴．
又OB=4，
∴，，与不相似．
同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．
所以在该抛物线上不存在点N，使与相似．
考点2 结论开放的探索
命题规律 给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题，它要求解题者充分利用条件进行大胆合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考察解题者的发散思维和应用所学基础知识的能力。
解决这类问题的一般思路是：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比，猜测等，从而获得所求的结论。
【例2】如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：
（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．
【分析】：（1）根据已知利用SAS来判定两三角形全等．
（2）根据每一问的结论及已知，利用两组角相等则两三角形相似来判定即可；
（3）根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．
【答案】解：（1）△APD≌△CPD．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．
又∵PD=PD，
∴△APD≌△CPD．
证明：（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，∠FPA=∠FPA，
∴△APE∽△FPA．
猜想：（3）PC2=PE PF．
理由：∵△APE∽△FPA，
∴=．
∴PA2=PE PF．
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC．
∴PC2=PE PF．
考点3 条件与结论都开放的探索
命题规律 此类问题没有明确的条件与结论，并且符合条件的结论具有多样性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性。
【例3】图①是等腰梯形ABCD，其中AD∥BC，AB=DC．图②是与图①完全相同的图形．
（1）请你在图①、图②的梯形ABCD中各画一个与△ABD全等但位置不同的三角形，使三角形的各顶点在梯形的边（含顶点）上；
（2）选择（1）中所画的一个三角形说明它与△ABD全等的理由．
【分析】：（1）首先可以知道，另一条对角线所分得的△ACD就是它的一个全等三角形，然后再从D点作AB的平行线交BC于点E，△BED就又是一个全等三角形；
（2）利用全等三角形的判定证明即可．如图①中，可利用边角边定理来证明．
【答案】解：（1）
（2）证法1：如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BAD=∠CDA．
在△ABD和△DCA中， AB=DC
∠BAD=∠CDA
AD=DA
∴△ABD≌△DCA．
证法2：如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AC=DB．
在△ABD和△DCA中， AB=DC
DB=AC
AD=DA
∴△ABD≌△DCA．
证法3：如图②，在BC上取一点E，使BE=AD，连接DE．
在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBD．
在△ABD和△EDB中， AD=EB
∠ADB=∠EBD
BD=DB
∴△ABD≌△EDB．
说明：（1）画对一个图得（2），画对两个图得．点评：本题主要考查了全等三角形的判定，但与其它题不同的是这个判定放到了梯形里面，网格里面，但性质，判定不变，所以学生平时的学习一定要灵活．
考点4 规律的探索与开发
命题规律 解决这类题的一般思维方法是采用特殊到一般的探索思路，即通过观察几个特殊的例子，进而加以猜想，推广，写成一般规律，这是解决数学问题的重要方法。
【例4】如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面．根据第1-3个图案的排列规律，第6个图案中白色瓷砖的块数应为（ ）块．
【分析】：分别写出n=1，2，3，…，时的白色瓷砖的块数，然后依次类推找出规律，再把n=6代入即可．
【答案】解：n=1时，白色瓷砖的块数为：5=5+3×0；
n=2时，白色瓷砖的块数为：8=5+3×1；
n=3时，白色瓷砖的块数为：11=5+3×2；
…；
当n=n时，白色瓷砖的块数为：5+3（n-1）=3n+2．
∴当n=6时，白色瓷砖的块数为：3×6+2=20．
故第6个图案中白色瓷砖块数为20．
故答案为20．
条件开放的探索练习题
一、选择题
1.将如图①的矩形ABCD纸片沿EF折叠得到图②，折叠后DE与BF相交于点P，如果∠BPE=130°，则∠PEF的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
2.分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③都可以
3.有一张矩形纸片ABCD，其中AD=4cm，上面有一个以AD为直径的半园，正好与对边BC相切，如图(甲).将它沿DE折叠，是A点落在BC上，如图(乙).这时，半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是（ ）
A.（π－ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）cm2
B.（ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )π＋ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）cm2
C.（ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )π－ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）cm2
D.（ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )π＋ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）cm2
4.某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )从学生中征集到的设计方案有正三角形、正五边形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（ ）
A 正三角形 B 正五边形 C 等腰梯形 D 菱形
5.在1，2，3，4，…，999，1000，这1000个自然数中，数字“0”出现的次数一共是（ ）次．
A.182 B.189 C.192 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) D.194
6.将一张等边三角形纸片按图1－①所示的方式对折，再按图1－②所示的虚线剪去一个小三角形，将余下纸片展开得到的图案是 ( )
二、填空题
1.将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形；…；如此下去．则图⑨中共有 个正方形．
2.将图（1）所示的正六边形进行分割得到图（2），再将图（2）里的三个小正六边形的其中之一按同样的方式进行分割得到图（3），接着再将图（3）中最小的三个正六边形的其中之一按同样的方式进行分割…，则第n 图形中共有 个六边形．（提示：可设y=an ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )+bn+c,把 代入求a,b,c.再求y= ）
3.用一版权法宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边殂ABCDE，其中∠BAC= 度。
4.小明背对小亮，让不亮按下列四个步骤操作：
第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于3张 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，且各堆牌现有的张数相同；
第二步 从左边一堆拿出3张，放入中间一堆；
第三步 从右边一堆拿出2张，放入中间一堆；
第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。
这时，小明准确说出职间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是
5.如图，将半径为2、圆心角为 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的扇形纸片 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，在直线 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )上向右作无滑动的滚动至扇形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )处，则顶点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )经过的路线总长为 。
6.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为 。
7.（宋朝时，中国象棋就已经风靡于全国，中国象棋规定马步为：“ 、 ”形的对角线（即一次对角线为一步），现定义：在棋盘上从点A到点B，马走的最少步称为A与B的“马步 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )距离”， 记作 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。在图中画出了中国象棋的一部分，上面标有A，B，C，D，E共5个点，则在 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中小的是 ，最小是 步。
三、解答题
1．如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )向下平移4个单位，得到 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，再把 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )绕点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )顺时针旋转 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，得到 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，请你画出 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )和 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（要求写出画法）．
2.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的顶点均在格点上，点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的坐标为 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
①把 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )向上平移5个单位后得到对应的 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，画出 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，并写出 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的坐标；
②以原点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )为对称中心，再画出与 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )关于原点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )对称的 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，并写出点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的坐标．
3．（1）观察与发现
小明将三角形纸片ABC（AB>AC），沿过点A的直线折叠，便得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①），再次折叠该三角形纸片，使点A与点D重合，折痕为EF，展开纸片后得到△AEF（如图②），小明认为△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③），再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④），再展开纸片（如图⑤）求图中∠α的大小．
4.如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ADC,由这个结论解答下列问题：（1）图2中，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，则
S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为 ；图3中，E，F分别为平行四边形ABCD的边AD,BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
（2）图4中，E，F分别为四边形ABCD的边AD,BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为 .
（3）解决问题：如图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD，AB,BC,CD的中点，并且图中四个小三角形的面积的和为1，即S1＋S2＋S3＋S4＝1，求S阴的值。（写出过程）
5.图①是一张长与宽不相等的矩形纸片, 同学们都知道按图②所示的折叠方法可以裁剪出一个正方形纸片和一个矩形纸片(如图③),
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ① ② ③
（1）实验：
将这两张纸片分别按图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )④、⑤所示的折叠方法进行：
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
④
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
⑤
请你分别在图④、⑤的最右边的图形中用虚线画出折痕，并顺次连接每条折痕的端点，所围成的四边形分别是什么四边形？
（2）当原矩形纸片的AB=4，BC=6时，分别求出（1）中连接折痕各端点所得四边形的面积，并求出它们的面积比；
（3）当纸片ABCD的长和宽满足怎样的数量关系时先后得到的两个四边形的面积比等于（2）所得到的两个四边形的面积比？
（4）用（2）中所得到的两张纸片，分别裁剪出那两个四边形，用剩下的8张纸片拼出两个周长不相等的等腰梯形，用图表示并标明主要数据，分别求出两梯形的面积.
6. 在一次数学探究性学习活动中, 某学习小组要制作一个圆锥体模型, 操作规则是: 在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面。他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二。（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切。方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）
（1）请说明方案一不可行的理由。
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由。
7.已知：如图所示的一张矩形纸片 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )），将纸片折叠一次，使点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )与 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )重合，再展开，折痕 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )交 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )边于 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，交 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )边于 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，分别连结 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )和 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
（1）求证：四边形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )是菱形；
（2）若 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，求 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的周长；
（3）在线段 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )上是否存在一点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，使得 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )？若存在，请说明点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
8.如图，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分：⑴用直线分割；⑵每个部分内各有一个景点；⑶各部分的面积相等。（可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法）
9、如图， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )、 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（小时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样。（1）根据图象分别求出 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )、 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的函数关系式；
（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？
（3）小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽
灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法
（直接给出答案，不必写出解答过程）。
10.图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）。
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论。
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
请问：经过多少时间，△PQR与△ABC重叠部分的面积恰好等于 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )？
（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90，图4）；
探究：在图4中，线段C ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )N·E ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )N·E ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )M的值，如果有变化，请你说明理由。
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
11．如图，在△ABC中，∠C=900,AC=8,BC=6,分别取各边的中点A1，B1，C1，得到△A1B1C1，再取△A1B1C1各边中点A2，B2，C2，得到△A2B2C2，按此作法进行下去，得到△A3B3C3，………，△AnBnCn.
求A1B1的长；
求△A1B1C1和△A2B2C2的周长；
写出△A8B8C8和△AnBnCn.的周长；
12．如上图，甲船在港口P的北偏西600方向，距港口80海里的A处，沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P．乙船从港口P出发，沿北偏东450方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（精确到0.1海里/时，参考数据 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）
13．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：
A型利润 B型利润
甲店 200 170
乙店 160 150
（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )最大？
14.（济宁师专附中一模）如图，小刚家、王老师家和学校在 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )一条直路上，小刚与王老师家相距3.5千米，王老师家与学校相距0.5千米.近来，小刚父母出差，如果王老师骑自行车到小刚家接小刚上学，就比平时走路上班多用24分钟.已知骑自行车的速度是步行速度的3倍.
（1）问：王老师骑自行车的速度是多少千米／小时？
（2）为了节约时间，王老师与小刚 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )约定每天7：35从家里同时出发，小刚走路，王老师骑车，遇到小刚后，立即搭小刚到校.如果小刚和王老师走路的速度一样，王老师骑车的速度不变，请问他们能否在8：00钟前赶到学校？说明理由.
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15.如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切．请你用直尺圆规画出来（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
16.在平面上有且只有四个点，这四个点有一个独特的性质：每两点之间的距离有且只有两种长度，例如正方形ABCD四个顶点A，B，C，D，有AB=BC=CD=DA,AC=BD，请画出具有这种独特性质的另外四种不同的图形，并标明相等的线段。
17.如图，平行四边形纸条ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点。将纸条的下半部分平行四边形ABFE沿EF翻折，得到一个V字形图案．
（1）请在原图中画出翻折后的平行四边形A B FE；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）
（2）已知∠A=65°，求∠B FC的度数．
18.如图，已知线段 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) .
（1）只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）若在（1）作出的RtΔABC中，AB=4cm，求AC边上的高 .
条件开放的探索练习题答案
一、选择题。
1、答：B 2、答案：A 3、答案：C
4、答案：D 5、答案：C 6、答案：A
二、填空题
1、 答案：25 2、答案：3n-2
3、答案：36
4、答案：8
5、答案： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
6、答案： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
7、答案： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，2
三、解答题
1、答案：
2、答案：画图如下：
C1 (4 ,4) ；② C2 (-4 ,-4) ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、答案：1）∵AD垂直于EF，且AD平分∠EAF，∴△AEF为等腰三角形
（2）由题可得有正方形ABFE ∴∠AEB=45° ∠DEB=135°
又∵EG平分∠BED ∴∠BEG=67.5° 则∠α=∠FEG=22.5°
4、答案：（1）S阴= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )S矩形ABCD ，S阴= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )S平行四边形ABCD。
（2）S阴= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )S四边形ABCD (3)连接AC,BD
由上面的结论得
∵G是四边形ABCD的边AB的中点，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∵H是四边形ABCD的边CD的中点
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
同样的方法得到 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∴S阴= S1＋S2＋S3＋S4 =1
5、解： (1) 图④所示的是正方形,图⑤所示的菱形.
(2) ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ).
(3)设AB=a,BC=b,则 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
要使 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ).
需 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
由∵ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )不等于0, ∴3 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=2b.
（4）如图所示。两等腰梯形周长分别为 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ).
6、答案：解：（1）理由如下：
∵扇形的弧长=16×π/2=8π，圆锥底面周长=2πr
∴圆的半径是4 cm
由于所给正方形对角线的长为16 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为16+4+4 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=20+4 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，20+4 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )>16 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∴方案1不可行
（2）方案2可行
求解过程如下：
设圆锥的底面半径为r cm，圆锥的母线长为Rcm，则
（1+ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )）r+R=16 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2πr= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
由①②可得R= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )cm，r= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )cm
7、解：（1）连结 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )交 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )于 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
当顶点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )与 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )重合时，折痕 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )在平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
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( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )分
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )四边形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )是菱形．
（2）四边形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )是菱形， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
设 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ①
又 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，则 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )． ②
由①、②得： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（不合题意舍去）
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的周长为 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
（3）过 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )作 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )交 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )于 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，则 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )就是所求的点．
证明：由作法， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
由（1）得： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，又 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，则 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )四边形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )是菱形， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
8、解：答案不唯一，如
9、解：(1)直线L1 yl=O.03x+2(0≤x≤2000)
设直线L2的解析式为y2=0.012x+20(0≤x≤2000)
(2)当yl=y2时，两种灯的费用相等 0．03X+2=0．012X+20
解得：x=1000
∴ 当照明时间为1000小时时，两种灯的费用相等
(3)节能灯使用2000小时，白炽灯使用500小时
10、答案：解：（1）BE=AD
证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD
∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD
∴ BE=AD（也可用旋转方法证明BE=AD）
（2）设经过x秒重叠部分的面积是 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，如图在△CQT中
∵∠TCQ=30° ∠RQP=60°
∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ ∴QT=QC=x∴ RT=3－x
∵∠RTS＋∠R=90° ∴∠RST=90°
由已知得 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )×32 － ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )（3－x）2= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
x ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )＝1，x ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )＝5，因为0≤x≤3，所以x=1
答：经过1秒重叠部分的面积是
（3）C′N·E′M的值不变
证明：∵∠ACB=60°∴∠MCE′＋∠NCC′=120°
∵∠CNC′＋∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′
∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ∴C′N·E′M=C′C·E′C= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )× ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
11、解：（1）在Rt△ ABC中
由勾股定理得AB=10
A1B1=5．
（2）△A1B1C1和△A2B2C2的周长分别为：12和6
（3）△A8B8C8和△AnBnCn.的周长分别为： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )和 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
12、答案：依题意，设乙船速度为 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )海里/时，2小时后甲船在点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )处，乙船在点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )处，作 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )于 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，则 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )海里， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )海里．
在 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
在 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
答：乙船的航行速度约为19.7海里/时．
13、答案：依题意，甲店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型产品有 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )件，乙店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型有 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型有 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )件，则
（1） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )解得 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
（2）由 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，39，40．
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )有三种不同的分配方案．
① ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )时，甲店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型38件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型32件，乙店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型2件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型28件．
② ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )时，甲店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型39件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型31件，乙店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型1件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型29件．
③ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )时，甲店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型40件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型30件，乙店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型0件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型30件．
（3）依题意：
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
①当 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )时， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，即甲店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型40件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型30件，乙店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型0件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型30件，能使总利润达到最大．
②当 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )时， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，符合题意的各种方案，使总利润都一样．③当 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )时， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，即甲店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型10件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型60件，乙店 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型30件， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )型0件，能使总利润达到最大．
14、答案：解:(!)设王老师骑自行车的速度是x千米／小时,由题意得
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )解得x=15,经检验知x=15是原方程的解且符合题意,所以王老师骑自行车的速度是15千米／小时.
(2)答: 能在8：00钟前赶到学校,设王老师与小刚相遇用了y小时,相遇后小刚到校用了z小时,依题意得 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),解得 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),由 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )＜25分钟,所以他们能在8：00钟前赶到学校.
15、答案： ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )如图所示
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
16、答案：存在这些图形:1、一顶角为60度的菱形；2、正方形 ；3、一个正三角形+ ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )顶角150度的等腰三角形构成的四边行(等腰三角形的底为正三角形的边) ；4、一个等腰三角形+内部一点，使得该点到3个顶点的距离均等于底边；5、一内角为72度且上底等于腰的等腰梯形 ；6、正三角形+心
17、答案：(1)画出正确的图形（见右图）。
（2）∵四边ABEF是平行四边行
∴∠EFB=∠A=65°
∵四边形A B FE是由四边形ABFE翻折得到，
∴∠B FE=∠EFB=65°
∴∠B FC=180°-∠B FE -∠EFB=50°
18、答案：
（1）作图如 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )右， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )即为所求的直角三角形；
（2）由勾股定理得，AC= ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )cm，
设斜边AC上的高为h, ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )面积等于
( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
y
x
O
A
B
第24题图
y
x
O
A
B
E
N
A′
①
②
第5题
第6题
A
B
C
第1题图
第2题图
S1
S2
S3
S4
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
C
C
C
C
D
D
D
C
D
D
E
E
E
E
F
F
F
F
G
H
图1
图2
图3
图4
图5
密 封 线 内 不 要 答 题
A
E
D
C
F
B
第9题
B
A
C
A1
C1
A2
A2
B1
C3
A
P
东
北
26题图
A
B
C
D
C
D
A
B
E
F
A
B
C
A
E
D
C
F
B
P
O
T
S
A
B
D
C
A
B
E
F
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