北师大版数学九年级上册4.5 相似三角形判定定理的证明课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
*4.5 相似三角形判定定理的证明
第四章 图形的相似
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问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
③ 三边对应成比例,两三角形相似.
讲授新课
证明相似三角形的判定定理
一
在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明．
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和
△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，
∠B =∠B'.
求证：△ABC ∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
∠1=∠B，∠2 =∠C，
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则
∴ ∴
∵ DE∥BC, DF∥AC,
∴ 四边形 DFCE 是平行
四边形．
∴ DE = CF.
∴ ∴
A′
B′
C′
A
B
C
证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则
E
D
F
1
2
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C，
∴ △ADE ∽ △ABC.
∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'，
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C.
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
F
1
2
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵ A′D=AB，
∴
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，
求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
A′
B′
C′
A
C
E
D
B
∴
C′
B′
A′
证明:
在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
△A′B′C′ ∽△ABC.
B
C
A
D
E
又 ，AD=A′B′，
∴ ， .
相似三角形判定定理的运用
二
例1：已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
C
D
A
B
解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C,
∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC = AD : AB,
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD = 2 , AC = 8,
∴ AB = 4.
例2 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似．
C
A
B
D
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝
AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3；
∴
C
A
B
D
2
(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝
AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ．
∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．
C
A
B
D
2
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A=35°，∠B′=55°： ；
(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；
(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
练一练
相似
相似
相似
1.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
①
②
③
④
①③
当堂练习
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长.
解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD =
∴
又∠B =∠ACD,
∴△ABC∽△DCA，
∴
∴AD=
A
B
C
D
相似三角形判定定理的证明
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定理的运用
定理证明
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
课堂小结