2013届宁波地区中考数学复习方案 专题突破课件
文档属性
| 名称 | 2013届宁波地区中考数学复习方案 专题突破课件 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 4.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-05-10 16:15:32 | ||
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文档简介
课件175张PPT。专题突破一 实践与应用
专题突破二 规律探索题
专题突破三 阅读理解题
专题突破四 方案设计题
专题突破五 开放探究题
专题突破六 动手操作题
专题突破七 图形运动问题
专题突破八 分类讨论题
专题突破九 数形结合思想
专题突破十 综合型问题专题突破专题突破一 实践与应用 现实生活中存在大量的有关数量关系的问题，需要从所研究的问题中捕捉数量关系，建立相应的数学模型——方程（组）、不等式（组）、函数解析式，再通过对数学模型的研究，使原问题获得解决，为此学生要过好三关：
1．审题关．应用题出题形式多样化，如利用对话或图表呈现相关信息．对于文字叙述冗长的问题要从数学的角度去除无关信息，抓住有用信息，捕捉数量关系，为此学生要提高阅读能力和搜集信息的能力．
专题突破一┃ 实践与应用 2．转化关．在分析数量关系时要抓住反映数量关系的关键词语，如“共”、“少”、“是”、“剩下”，根据相等、不等关系分别列方程(组)、不等式(组)，根据变量之间的对应关系列函数解析式，切忌混淆数量关系，建立错误的数学模型．
3．解题关．加强解方程(组)、不等式(组)的训练，确保求解正确，充分考虑结果的多样性，使答案简明、准确．在空间与图形(特别是综合题)中，常遇求未知几何量或探索其存在性问题，可通过探索图形性质，寻找未知几何量和已知几何量之间的等量关系或不等关系，列出方程（组）与不等式（组），利用其有、无解探索其存在性问题，通过求解来求几何量.专题突破一┃ 实践与应用 例1 [2012·珠海] 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了30支．
(1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？
(2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
专题突破一┃ 实践与应用? 类型之一 分析数量之间的相等或不等关系，
建立方程或不等式专题突破一┃ 实践与应用 例2 某企业2011年初投资100万元生产适销对路的产品，2011年底将获得的利润与年初的投资之和作为2012年初的投资，到2012年底，两年共获利润56万元. 已知2012年的年获利率比2011的年获利率多10个百分点(即：2012年的年获利率是2011年的年获利率与10%的和)．
求2011年和2012年的年获利率各是多少？
专题突破一┃ 实践与应用 解：设2011年的年获利率为x，那么2012年的年获利率为
x＋10%，由题意得100x＋100(1＋x)(x＋10%)＝56.
解得x＝20%，x＝－2.3(不合题意，舍去)．∴x＋10%＝30%.
答：2011年和2012年的年获利率分别是20%和30%. [解析] 增长率问题不能盲目套用公式，应分析题意，理清思路. 本题中，设2011年的年获利率为x，则2011年获利100x万元；2012年初的投资额为100(1＋x)万元，2012年获利100(1＋x)(x＋10%)万元．专题突破一┃ 实践与应用 仔细审题，从分析问题中的数量关系入手，寻找相等或不等关系，建立方程或不等式，由此解决实际问题．专题突破一┃ 实践与应用 例3 某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．其中，国内市场的日销售量y1 (万件)与时间t(t为整数，单位：天)的部分对应值如下表所示．而国外市场的日销售量y2 (万件)与时间t(t为整数，单位：天)的关系如图X1－1所示．? 类型之二 分析数量之间的对应关系，建立函数关系式专题突破一┃ 实践与应用 (1)请你从学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式；
(2)依据图中y2与t的关系，当0≤t≤20、20≤t≤30时，分别写出y2与t的函数关系式；
(3)设国内、国外市场的日
销售总量为y(万件)，分别求出
当0≤t≤20、20≤t≤30时，y与t
的函数关系式；并判断上市第几天
国内、国外市场的日销售总量最大，
并求出此时的最大值．图X1－1专题突破一┃ 实践与应用专题突破一┃ 实践与应用专题突破一┃ 实践与应用 此题考查了函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意
构建函数模型，然后根据函数的性质求解即可．专题突破一┃ 实践与应用 例4 [2012·绵阳] 某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择．
方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；
方案二：购买3千克以内(含3千克)的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的，则超过3千克的部分的种子价格打7折
(1)请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x(千克)和付款金额y(元)之间的函数关系式；
(2)若你去购买一定量的种子，你会怎样选择购买方案？说明理由．? 类型之三 函数与方程、不等式之间的关系专题突破一┃ 实践与应用专题突破一┃ 实践与应用专题突破二 规律探索题 所谓规律探索题，指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察，分析，推理探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．常见类型：(1)数字猜想型；(2)数式规律型；(3)图形规律型；(4)数形结合猜想型．常结合的知识：数与式的运算，因式分解，平面直角坐标系，三角形，特殊四边形，几何变换，图形的组合等知识．解题策略为： 从问题的简单情形或特殊情形入手，通过简单情形或特殊情形的猜想和实验发现一般规律，从而找到解决问题的途径或方法.专题突破二┃ 规律探索题 例1 [2012·珠海] 观察下列等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31，
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．? 类型之一 数式规律型专题突破二┃ 规律探索题 (1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对
称等式”：
①52×________＝________×25；
②________×396＝693×________.
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为
b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式
子(含a、b)，并证明．专题突破二┃ 规律探索题 解：(1)①∵5＋2＝7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，
∴52×275＝572×25；
②∵左边的三位数是396，
∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，
∴63×396＝693×36.
故答案为：①275 572；②63 36.专题突破二┃ 规律探索题 (2)∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a＋b，
三位数是100b＋10(a＋b)＋a，
右边的两位数是10b＋a，三位数是100a＋10(a＋b)＋b，
∴一般规律的式子为：(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)．
专题突破二┃ 规律探索题 证明：∵左边＝(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝(10a＋b)(100b＋10a＋10b＋a)＝(10a＋b)(110b＋11a)＝11(10a＋b)(10b＋a)，
右边＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)＝(100a＋10a＋10b＋b)(10b＋a)＝(110a＋11b)(10b＋a)＝11(10a＋b)(10b＋a)，
∴左边＝右边，
∴表示“数字对称等式”一般规律的式子为：(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)．
专题突破二┃ 规律探索题 [解析] (1)观察规律：左边，两位数所乘的三位数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘；
(2)按照(1)的结论，利用多项式的乘法进行证明．专题突破二┃ 规律探索题 通常给定一些代数式、等式或者不等式，猜想其中蕴含的规律，一般解法是先写出代数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同位置的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)，找出各部分的特征，写出符合条件的等式．专题突破二┃ 规律探索题 例2 [2012·铜仁] 如图X2－1，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…，则第⑩个图形中平行四边形的个数是( )
A.54 B．110 C．19 D．109? 类型之二 图形规律型图X2－1D 专题突破二┃ 规律探索题 此类题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，总结出图形的变化规律，进而解决相关问题.专题突破二┃ 规律探索题? 类型之三 数形结合猜想型例3 [2012·益阳] 观察图X2－2，解答问题：图X2－2专题突破二┃ 规律探索题(2)请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.专题突破二┃ 规律探索题专题突破二┃ 规律探索题 [解析] (1)根据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格；
(2)根据图①②③可知，中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求出x、y的值．专题突破二┃ 规律探索题专题突破三 阅读理解题 阅读理解题以内容丰富、构思新颖别致、形式多样为特点，试题结构分为两部分：首先提供一定的阅读材料，材料既可选用与教材知识相关的内容，也可广泛选用课外知识，或介绍一个概念，或给出一种解法，或研究一个问题等，然后在理解材料的基础上，获得探索解决问题的方法，从而加以运用，解决实际问题．试题呈现形式有纯文型(全部用文字展示条件和问题)、图文型(用文字和图形结合展示条件和问题)、表文型(用文字和表格结合展示条件和问题)、改错型(条件、问题、解题过程都已展示，但解题过程可能要改正)．
解决阅读理解题的关键是把握实质并在其基础上作出回答．专题突破三┃ 阅读理解题 首先仔细阅读信息，收集处理信息，以领悟数学知识或感悟数学思想方法；然后运用新知识解决新问题，或运用范例形成科学的思维方式和思维策略，或归纳与类比作出合情判断和推理，进而解决问题．因此，不仅要掌握初中数学的基础知识，更要注重提高阅读理解、知识迁移、分析转化、探索归纳等方面的能力.
专题突破三┃ 阅读理解题? 类型之一 阅读新知识，研究新问题专题突破三┃ 阅读理解题1 2 [解析] 直接套用题意所给的结论，即可得出结果． 专题突破三┃ 阅读理解题专题突破三┃ 阅读理解题 实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001，设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？专题突破三┃ 阅读理解题 [解析] 设行驶x千米平均每千米费用为w元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所给的结论即可得出答案．专题突破三┃ 阅读理解题 这类考题通常给定一个全新的定义或公式、法则等，然后运用它去解决新问题，主要考查解题者的自学能力和阅读理解能力、知识迁移能力及接收、加工和利用信息的能力．专题突破三┃ 阅读理解题 例2 [2012·湛江] 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2 －4>0.? 类型之二 阅读解题过程，模仿解题策略专题突破三┃ 阅读理解题专题突破三┃ 阅读理解题 解：(1)x>4或 x<－4
(2)x>3或 x<1
(3)∵2x2－3x＝x(2x－3)，
∴2x2－3x<0可化为x(2x－3)<0.
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
解不等式组①，得0 解不等式组②，无解．即一元二次不等式2x2－3x<0的解集为0 (2)根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可．
(3)将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可．专题突破三┃ 阅读理解题 在已有知识的基础上，设计一个全新的数学情境，通过阅读解题过程，领悟它所运用的数学知识、思想方法，再模仿运用解决问题．解题关键是吃透材料中体现的解题策略，探索新的问题的解题方法．专题突破三┃ 阅读理解题? 类型之三 探究特殊范例，推出一般结论 例3 [2012·吉林] 问题情境
如图X3－1，在x轴上有两点A(m,0)，B(n,0)(n>m>0)．分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y＝x2于点C，点D.直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E，点F的纵坐标分别记为yE，yF.
特例探究
填空：
当m＝1，n＝2时，
yE＝________，yF＝________.
当m＝3，n＝5时，
yE＝________，yF＝________.图X3－12 2 15 15 专题突破三┃ 阅读理解题 归纳证明
对任意m，n(n>m>0)，猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想．
解： yE＝yF
专题突破三┃ 阅读理解题 证法1：∵AC⊥x轴BD⊥x轴，A，B的坐标分别为A(m，0)B(n，0)，
∴点C，D的横坐标分别为m，n，点F，E的横坐标分别为m，n.
∵点C，D在抛物线y＝x2上，∴D(m，m2)D(n，n2)．
设直线OC的解析式y＝k1x，直线OD的解析式为y＝k2x，
∴m2＝k1m，n2＝k2n.解得k1＝m，k2＝n.
∴直线OC的解析式为y＝mx，直线OD的解析式为y＝nx.把点E，F的横坐标分别代入y＝mx与y＝nx，得yE＝mn，yF＝mn， ∴yE＝yF.专题突破三┃ 阅读理解题专题突破三┃ 阅读理解题 拓展应用
(1)若将“抛物线y＝x2”改为“抛物线y＝ax2(a>0)”，其它条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系．
(2)连结EF，AE.当S四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写出m和n的关系及四边形OFEA的形状．
专题突破三┃ 阅读理解题 在已有知识的基础上，设计一个数学情境，通过探究特殊范例，类比联想一般情况，运用归纳与类比的方法，进行猜想和推理得到一般结论，再运用一般结论解决问题.专题突破三┃ 阅读理解题专题突破四 方案设计题 方案设计型问题要求以方案设计的形式解决数学问题，问题情境包含实际问题情景和数学问题情境，设计目标有图形设计问题、测量方案问题、经济方案问题等，它一般包括“问题情境——模型建立——说明、应用和拓展”等具体求解过程，三种设计目标所建立的数学模型如下：
1．图形设计方案题：在实际生活的背景下，不只是传统的简单作图，而是运用轴对称图形和中心对称图形的性质，借助某些规则的图形(如等腰三角形、菱形、矩形、圆)的性质，通过对图形进行分解与组合进行创新设计．
专题突破四┃ 方案设计题 2.测量方案设计题：利用全等三角形、相似三角形、锐角三角函数等设计一个可行的方案，对某一物体的长度、高度、宽度等进行测量计算．
3．经济方案设计题：提供或寻求到多种解决问题的方案，并考虑到实施中的经济因素，选择最佳(可行)方案，主要建立方程模型、函数模型、概率模型以解决问题．
方案设计题贴近生活，具有较强的操作性和实践性，考查学生的动手实践能力和创新设计才能，解决问题时要慎于思考，并能在实践中对所有可能的方案进行罗列与分析，得出符合要求的一种或几种方案.专题突破四┃ 方案设计题 例1 [2011·宜宾] 如图X4－1，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离 (因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：
(1)指出需要测量的数据
(用字母表示，并在图中标出)；
(2)用测出的数据写出求
距离MN的步骤．? 类型之一 测量方案设计问题图X4－1专题突破四┃ 方案设计题专题突破四┃ 方案设计题专题突破四┃ 方案设计题 这是一道测量方案设计的题目，它是在限定条件的情况下，测量MN之间的距离，对测量方法、测量数据及MN的计算表达式均无限制，因此解题的方法较多. 构造适当的直角三角形是解题的关键所在.专题突破四┃ 方案设计题 例2 在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1.按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．
(1)在图甲中画一个
平行四边形，使它的周
长是整数；
(2)在图乙中画一个
平行四边形，使它的周长
不是整数．? 类型之二 图形设计方案问题图X4－2专题突破四┃ 方案设计题解： 专题突破四┃ 方案设计题 例3 (1)计算：如图X4－3①，直径为a的三个等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，求O1A的长(用含a的代数式表示)；
(2)探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度hn和hn′(用含n、a的代数式表示)；图X4－3专题突破四┃ 方案设计题 (3)应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米．用这样的集装箱装运长为5米，底面直径(横截面的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用(2)中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？(≈1.73)专题突破四┃ 方案设计题专题突破四┃ 方案设计题专题突破四┃ 方案设计题 例4 [2012·南充] 学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元．
(1)求大、小车每辆的租车费各是多少元？
(2)若每辆车上至少要有一名教师，且总组成费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．? 类型之三 经济方案设计题专题突破四┃ 方案设计题 解：(1)设租用一辆大车的租车费是x元，租用一辆小车的租车费是y元，
依题意，
答：大、小车每辆的租车费分别是400元和300元．专题突破四┃ 方案设计题 (2)240名师生都有座位，租车总辆数≥6；每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数≤6.故租车总数为6辆，设大车辆数是x辆，则租小车(6－x)辆．
得： 解得4≤x≤5.
∵x是正整数，
∴x＝4或5.
于是有两种租车方案，方案1：大车4辆小车2辆总租车费用2200元，方案2：大车5辆小车1辆总租车费用2300元，可见最省钱的是方案1.专题突破四┃ 方案设计题 例5 [2012·青岛] 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图X4－4所示：
(1)试判断y与x之间的函数关系，
并求出函数关系式；
? 类型之四 利用函数进行方案设计图X4－4专题突破四┃ 方案设计题 (2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式；
(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．
专题突破四┃ 方案设计题 解：(1)y是x的一次函数，设所求函数关系式为y＝kx＋b.
由于该函数的图象过点(10，300)，(12，240)，
∴y＝－30x＋600.
当x＝14时，y＝180；当x＝16时，y＝120，
即点(14，180)，(16，120)均在函数y＝－30x＋600图象上．
∴y与x之间的函数关系式为y＝－30x＋600.专题突破四┃ 方案设计题专题突破四┃ 方案设计题 在实际问题或数学问题中建立方程、不等式或函数模型后，利用不等式(组)、函数的最大(小)值可求最大利润、最大面积、最佳方案等问题.
专题突破四┃ 方案设计题专题突破五 开放探究题 开放探究性问题是相对于有明确条件和结论的封闭式问题而言的，它的特点是条件或结论的不确定性、不唯一性．解此类题没有固定的方法，学生需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法，此类题往往作为中考试卷中的压轴题出现．
专题突破五┃ 开放探究题 开放探究题常见的类型有：(1)条件开放型：结论明确但问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；(2)结论开放型：在给定的条件下，无明确结论或结论不唯一；(3)存在型问题：即条件或结论都不固定，仅提供一种问题情境，需要补充条件，设计结论；(4)综合开放型：条件、结论、策略中至少有两项均是开放的．
在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题.
专题突破五┃ 开放探究题 例1 已知命题：如图X5－1，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．? 类型之一 条件开放型问题专题突破五┃ 开放探究题 解：原命题是假命题，添加一个适当条件使它成为真命题，以下任一方法均可：
①添加条件：AC＝DF.
证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.
在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠FDE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
②添加条件：∠CBA＝∠E.
证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠FDE，AB＝DE，∠CBA＝∠E，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．专题突破五┃ 开放探究题 ③添加条件：∠C＝∠F.
证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠FDE，∠C＝∠F，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
专题突破五┃ 开放探究题 [解析] 在△ABC和△DEF中，由AD＝BE易知AB＝DE.
又∠A＝∠FDE，根据全等三角形的判定方法，可增加一个边或角的条件使△ABC≌△DEF，但要注意用边角边公理时其角必须是相等的两组对应边的夹角．专题突破五┃ 开放探究题 解条件开放型问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因．专题突破五┃ 开放探究题 例2 [2011·南通] 比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．
请你再写出它们的两个相同点和不同点．? 类型之二 结论开放型问题专题突破五┃ 开放探究题 解：相同点有：①都有相等的内角；②都是轴对称图形；③对称轴都交于一点；④都有外接圆和内切圆等；
不同点有：①边数不同； ②内角的度数不同； ③内角和不同；④对角线条数不同； ⑤对称轴条数不同等． [解析] 此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，所有的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是中心对称图形．根据正多边形的性质分析它们的相同和不同之处．专题突破五┃ 开放探究题 例3 [2012·南京] “？”的思考
下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注：
题目：某村计划建造如图X5－3所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前面内墙保留3 m宽的空地，其他三面内墙各保留1 m宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2？专题突破五┃ 开放探究题 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x_m．？
根据题意，得x·2x＝288.
解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12.
所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m),
宽为12＋1＋1＝14(m)．
答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？”．专题突破五┃ 开放探究题 结果为何正确呢？
(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程；
变化一下会怎样……
(2)如图X5－4，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，
且AD∶AB＝2∶1.设AB与A′B′，
BC与B′C′，CD与C′D′，
DA与D′A′之间的距离分
别为a，b，c，d.要使矩形
A′B′C′D′∽矩形ABCD，
a，b，c，d应满足什么条件？请说明理由．图X5－4专题突破五┃ 开放探究题专题突破五┃ 开放探究题 解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力．专题突破五┃ 开放探究题 例4 已知抛物线y＝－(x－m)2＋1与x轴的交点为A、B(B在A的右边)，与y轴的交点为C.
(1)写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论；
(2)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
(3)请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题． ? 类型之三 综合开放型问题专题突破五┃ 开放探究题 解：(1)当m＝1时，抛物线的解析式为y＝－x2＋2x.正确的结论有：①抛物线的解析式为y＝－x2＋2x；②开口向下；③顶点为(1，1)；④抛物线经过原点；⑤与x轴的另一个交点是(2，0)；⑥对称轴为x＝1等；
(2)存在．当y＝0时，－(x－m)2＋1＝0，即有(x－m)2＝1.∴x1＝m－1，x2＝m＋1.∵点B在点A的右边，∴A(m－1，0)，B(m＋1，0)．∵点B在原点右边，∴OB＝m＋1.∵当x＝0时，y＝1－m2，点C在原点下方，∴OC＝m2－1.当m2－1＝m＋1时，m2－m－2＝0，∴m＝2或m＝－1(因为对称轴在y轴的右侧，m＞0，所以不合要求，舍去)．∴存在△BOC为等腰三角形的情形，此时m＝2.专题突破五┃ 开放探究题 (3)如①对任意的m，抛物线y＝－(x－m)2＋1的顶点都在直线y＝1上；②对任意的m，抛物线y＝－(x－m)2＋1与x轴的两个交点间的距离是一个定值(或对任意的m，抛物线y＝－(x－m)2＋1与x轴两个交点的横坐标之差的绝对值为2)．专题突破五┃ 开放探究题 (1)解决综合开放性问题时，需要类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决．综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程．
(2)存在型问题是指条件、结论、解题方法都不固定，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，并寻求解法的一类问题，它更具有开发性，能为我们提供宽松的思维环境.专题突破五┃ 开放探究题专题突破六 动手操作题 操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动. 这类活动以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合理猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习要求．常见类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的相互转化.专题突破六┃ 动手操作题 例1 [2012·广安] 现有一块等腰三角形纸板，量得周长为32 cm，底比一腰多2 cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线的长的和．
? 类型之一 分割拼接问题专题突破六┃ 动手操作题 解：如图，∵等腰三角形的周长为32 cm，底比一腰多2 cm，
∴A1B1＝A1C＝10，B1D＝C1D＝6，A1D＝8.
拼成的各种四边形如下：
①∵BD＝10，
∴四边形的两条对角线长
的和是10×2＝20；专题突破六┃ 动手操作题专题突破六┃ 动手操作题 ④
∵BD＝2BO＝2×4.8＝9.6，
∴四边形的两条对角线长的和是AC＋BD＝9.6＋10＝19.6.专题突破六┃ 动手操作题 对图形分割(剪裁)后重新拼接得到新图形，是这几年中考试题中的热点内容．分割拼接问题的解题要求是：动手操作，合理猜想，仔细验证.
专题突破六┃ 动手操作题 例2 生活中有人喜欢把请人传送的便条折成图丁形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条反面)：
(1)如果信纸折成的长方形纸条宽为4 cm，为了保证能折成图丁形状(即纸条两端均刚好到达点P)，纸条长至少多少厘米？纸条长最小时，长方形纸条面积是多少？
? 类型之二 平移、旋转与翻折问题专题突破六┃ 动手操作题 (2)假设折成图丁形状纸条宽x cm，并且一端超出P点2 cm，另一端超出P点3 cm.
①请用含x的代数式表示信纸折成的长方形纸条长y；
②请用含x的代数式表示折成的图丁所用的平面图形的面积S.图X6－1专题突破六┃ 动手操作题 解：(1)根据折叠的方法，知纸条长至少是宽的5倍，即为4×5＝20(cm)，此时纸条的面积是20×4＝80(cm2)．
(2)④根据题意，得y＝5x＋5.
②则平面图形的面积S＝x(5x＋5)＝5x2＋5x.专题突破六┃ 动手操作题 例3 [2012·南充] 在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4.M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.
(1)求证：MA＝MB；
(2)连结AB.探究：在旋转三
角尺的过程中，△AOB的周长是
否存在最小值．若存在，求出
最小值；若不存在，请说明理由．图X6－2专题突破六┃ 动手操作题 解：(1)证明：如图，过点M作ME⊥OP于点E，MF⊥OQ于点F， ∵∠O＝90°，∴四边形OEMF是矩形．∵M是PQ的中点，
OP＝OQ＝4，∠O＝90°，∴ME＝MF＝2，∴四边形OEMF是正方形，则∠AME＋∠AMF＝90°，∠BMF＋∠AMF＝90°， ∴∠AME＝∠BMF，∴△AME≌△BMF，∴MA＝MB.专题突破六┃ 动手操作题专题突破六┃ 动手操作题 平移、旋转与翻折是我们熟知的全等变换，即在变换前后图形的形状、大小都不发生改变，如线段的长度、角的大小保持不变．有时，如果我们亲自动手折一折、转一转、移一移，会起到意想不到的作用．专题突破六┃ 动手操作题 例4 [2012·青岛改编] 如图X6－3，圆柱形玻璃杯高为12 cm、底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．? 类型之三 立体图形与平面图形之间的相互转化问题图X6－3专题突破六┃ 动手操作题专题突破六┃ 动手操作题 要解决立体图形中表面(或侧面)上的最短路线、最佳角度等问题，通常是把立体图形的表面(或侧面)展开，使之转化成平面上的问题；反过来，由几何体的视图、表面展开图，我们可以围成立体图形，以得到物体的真实面貌．立体图形与平面图形之间的相互转化，可以让我们领会立体图形与平面图形的关系，掌握数学中的转化思想．解决这类问题最好的方法是：动手试一试！专题突破六┃ 动手操作题专题突破七 图形运动问题 土性运动问题的特征：探究几何图形(点、直线、三角形、四边形、圆)在运动变化过程中与图形相关的某些量(如角度、线段、周长、面积机箱关的关系)的变化或其中存在的函数关系，这类题目叫做图形运动型试题．解题策略：对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形(特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等)逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决．专题突破七┃ 图形运动问题 当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解.
专题突破七┃ 图形运动问题 例1 [2011·咸宁] 在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．
(1)实验操作：
在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：? 类型之一 点运动型问题(0，4)，(1，2)，(2，0)(0，6)，(1，4)，(2，2)，(3，0)专题突破七┃ 图形运动问题 (2)观察发现：
任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数___ _____的图象上；平移2次后在函数__ ______的图象上，…由此我们知道，平移n次后在函数__ ______的图象上(请填写相应的解析式)；
(3)探索运用：
点P从点O出发经过n次平移后，
到达直线y＝x上的点Q，且平移
的路径长不小于50，不超过56，
求点Q的坐标．图X7－1y＝－2x＋2 y＝－2x＋4 y＝－2x＋2n 专题突破七┃ 图形运动问题专题突破七┃ 图形运动问题图X7－2专题突破七┃ 图形运动问题专题突破七┃ 图形运动问题 (2)∵AB为直径，∠AOC＝60°，
∴∠COB＝120°.
当点P移动到CB的中点时，连结OP，
则∠COP＝∠POB＝60°，
∴△COP为等边三角形．
∴AC＝CP＝OA＝OP，
∴四边形AOPC为菱形．
(3)当点P与B重合时，△ABC≌△APC；
当点P继续运动到CP经过圆心时，也有△ABC≌△APC，
因为此时AB＝CP，AC为公共边，
根据斜边直角边定理即得．专题突破七┃ 图形运动问题 动点问题常见类型有两种：一是研究不同的运动状态或探求出现不同运动结果的条件，二是研究运动状态下的几何量之间的函数关系，前者的解题策略是以静制动，后者的解题策略是以动制动.专题突破七┃ 图形运动问题 例3 [2012·资阳] 已知：一次函数y＝3x－2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1.
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)将一次函数y＝3x－2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；
(3)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：
①函数的图象能由一次函数y＝3x－2的图象绕点(0，－2)旋转一定角度得到；
②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．? 类型之二 线运动型问题专题突破七┃ 图形运动问题专题突破七┃ 图形运动问题 例4 [2012·宜宾] 如图X7－3，在△ABC中，已知
AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
(1)求证：△ABE∽△ECM；
(2)探究：在△DEF运动过程中，
重叠部分能否构成等腰三角形，若能，
求出BE的长；若不能，请说明理由；
(3)当线段AM最短时，求重叠部
分的面积．? 类型之三 图形运动型问题图X7－3专题突破七┃ 图形运动问题 解：(1)证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠DEF＝∠B.
∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠DEF＋∠CEM，∴∠MEC＝∠EAB
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECM.专题突破七┃ 图形运动问题专题突破七┃ 图形运动问题专题突破七┃ 图形运动问题 图形运动型问题，指以三角形(如等边三角形，直角三角形等)或四边形(如正方形，梯形，矩形等)来创设情景，探索图形运动变化过程中蕴含的规律或相关的结论．此类问题要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，化动为静．由特殊情形过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合，分类讨论，转化等数学思想加以解决，常常根据需要建立函数或不等式或方程模型.专题突破七┃ 图形运动问题专题突破八 分类讨论题 分类讨论思想，就是把要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想．分类思想的实质是按照数学对象的共同性和差异性，将问题划分为不同的种类，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．
引起分类讨论的主要原因：(1)概念本身是分类定义的(如绝对值)；(2)某些公式、定理、性质、法则是有条件和范围限制的；(3)题目条件和结论的不唯一；(4)含有字母系数的问题，需对该字母的不同取值范围进行讨论；(5)图形的位置和形状不确定．专题突破八┃ 分类讨论题 分类思想的解题策略：(1)确定分类对象；(2)进行合理分类(选择分类标准，理清分类界限，不重复，不遗漏)；(3)逐类进行讨论；(4)归纳并作出结论.
专题突破八┃ 分类讨论题 例1 [2011·襄阳] 已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A.k＜4 B．k≤4
C.k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3? 类型之一 根据概念、定义进行分类讨论B 专题突破八┃ 分类讨论题专题突破八┃ 分类讨论题 本题受思维定势的影响，容易忽视k＝3时该函数为一次函数的情形．所以，解题时要关注题目中的隐含条件，全面考虑问题，重视分类讨论思想的应用．专题突破八┃ 分类讨论题 例2 [2011·广安] 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6 m、8 m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．? 类型之二 根据图形形状进行分类讨论 专题突破八┃ 分类讨论题专题突破八┃ 分类讨论题专题突破八┃ 分类讨论题 当等腰三角形的腰、底边不确定时，应对等腰三角形的形状分类讨论．同样地，当直角三角形的直角不确定时，也应分三种情况讨论．专题突破八┃ 分类讨论题 例3 [2012·河北] 如图X8－1，A(－5,0)，B(－3,0)．点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°.点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
(1)求点C的坐标；
(2)当∠BCP＝15°时，求t的值；
(3)以点P为圆心，PC为半径的⊙P
随点P的运动而变化，当⊙P与四边形
ABCD的边(或边所在的直线)相切时，
求t的值．? 类型之三 根据图形运动的不同位置进行分类讨论图X8－1专题突破八┃ 分类讨论题专题突破八┃ 分类讨论题 (3)由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°，从而
∠OCP＝45°得到OP＝3.
此时t＝1.
②当⊙P与CD相切于点C时，
有PC⊥CD，即点P与点O重合，
此时t＝4.
③当⊙P与AD相切时，由题意，∠DAO＝90°，
∴点A为切点，如图3.PC2＝PA2＝(9－t)2，PO2＝(t－4)2.
于是(9－t)2＝(t－4)2＋32.解处t＝5.6.
∴t的值为1或4或5.6.专题突破八┃ 分类讨论题 本题综合了二次函数、平行四边形、相似三角形、勾股定理等知识，渗透了数形结合、分类讨论、方程函数等多种数学思想方法．解题时要善于化整为零，逐个突破．在对平行四边形和相似三角形的分类讨论时，要做到不重复，不遗漏．专题突破八┃ 分类讨论题专题突破九 数形结合思想 数形结合思想是数学中重要的思想方法．它根据数学问题中条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握．专题突破九┃ 数形结合思想 解题策略：数形结合思想包含“以形助数”和“以数助形”两个方面．即用数形结合思想解题可分两类：一是依形判数，用形解决数的问题，常见于借用数轴、函数图象、几何图形来求解代数问题；二是就数论形，用数解决形的问题，常见于运用恒等变形、建立方程(组)、面积转换等求解几何问题.专题突破九┃ 数形结合思想? 类型之一 与数轴结合的问题－6 专题突破九┃ 数形结合思想专题突破九┃ 数形结合思想专题突破九┃ 数形结合思想 例2 [2012·咸宁] 某景区的旅游线路如图X9－2①所示，其中A为入口，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图①中所给数据为相应两点间的路程(单位：km)．甲游客以一定的速度沿线路“A→D→C→E→A”
步行游览，在每个景点逗留
的时间相同，当他回到A处时，
共用去3 h．甲步行的路程s(km)
与游览时间t(h)之间的部分函数
图象如图②所示．? 类型之二 与函数图象结合的问题图X9－2专题突破九┃ 数形结合思想 (1)求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象；
(2)求C，E两点间的路程；
(3)乙游客与甲同时从A处出发，打算游完三个景点后回到A处，两人相约先到者在A处等候，等候时间不超过10分钟．如果乙的步行速度为3 km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现？请说明理由．专题突破九┃ 数形结合思想专题突破九┃ 数形结合思想 (2)解法一：甲步行的总时间为3－0.5×2＝2(h)．
∴甲的总行程为2×2＝4(km)．
∴C，E两点间的路程为4－1.6－1－0.8＝0.6(km)．
解法二：设甲沿C→E→A步行时，s与t的函数关系式为s＝2t＋m.则2×2.3＋m＝2.6.∴m＝－2.∴s＝2t－2.
当t＝3时，s＝2×3－2＝4.
∴C，E两点间的路程为4－1.6－1－0.8＝0.6(km)．专题突破九┃ 数形结合思想专题突破九┃ 数形结合思想图X9－3专题突破九┃ 数形结合思想专题突破九┃ 数形结合思想 根据函数图象求函数解析式、方程或不等式的解等问题，是利用数形结合思想解决函数问题的主要题型．解决这类问题的关键是要熟悉函数的性质，以及函数与方程、不等式之间的关系.专题突破九┃ 数形结合思想? 类型之三 与几何图形结合的问题专题突破九┃ 数形结合思想图X9－4专题突破九┃ 数形结合思想专题突破九┃ 数形结合思想 本题考查求代数式最小值的问题，通过“变数为形”转化为几何中的轴对称、最短路线问题，解答的关键是建立几何模型，利用数形结合求解．这类问题既考查学生的阅读能力，又考查学生的创新思维能力，是近几年中考命题的重点之一.专题突破九┃ 数形结合思想专题突破十 综合型问题 代数型综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．涉及知识：主要包括方程、函数、不等式等内容．解题策略：用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等．
几何型综合题是指以几何知识为主或者以几何变换为主的一类综合题．涉及知识：主要包括几何的定义、公理、定理、几何变换等内容．解题策略： 解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的．
代数和几何型综合题是指以代数知识与几何知识综合运用的一类综合题．涉及知识：代数与 专题突破十┃ 综合性问题 例1 [2012·宁夏] 某超市销售一种新鲜“酸奶”， 此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出．这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理．
(1)该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售．若设售出酸奶的瓶数为x(瓶)，销售酸奶的利润为y(元)，写出这一天销售酸奶的利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式．为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？? 类型之一 代数(函数)综合型问题专题突破十┃ 综合性问题 (2)小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：
根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；
(3)小明根据(2)中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多．你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明．专题突破十┃ 综合性问题 解：(1)由题意知，这一天销售酸奶的利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式为y＝5x－60，当5x－60≥0时，x≥12，∴当天至少应售出12瓶酸奶超市才不亏本．
(2)在这10天当中，利润为25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有5天，∴这10天中，每天销售酸奶的利润的平均数为(25＋30×2＋35×2＋40×5)÷10＝35.5(元)．
(3)小明说的有道理．∵在这10天当中，每天购进20瓶获利共计355元，而每天购进19瓶销售酸奶的利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式为：y＝5x－57，在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，38元的有7天．总获利为28＋33×2＋38×7＝360>355∴小明说的有道理．专题突破十┃ 综合性问题 1．代数综合题是以代数知识及代数变形为主的综合题．主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等.2.解代数综合题要注意方程、不等式和函数、统计等知识点之间的横向联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而解决问题．专题突破十┃ 综合性问题 例2 [2012·内江] 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列)，使∠DAF＝ 60°，连结CF.? 类型之二 几何综合型问题 图X10－1专题突破十┃ 综合性问题 (1)如图?，当点D在边BC上时，求证：
①BD＝CF，②AC＝CF＋CD；
(2)如图?，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CF＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)如图?，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．专题突破十┃ 综合性问题 解：(1)①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，
∠BAC＝60°.∵四边形ADEF为菱形，∴AD＝AF.
∵∠BAC＝∠DAF＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAF－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF，∴△ABD≌△ACF，∴BD＝CF.
②∵AC＝BC＝BD＋CD，且由①BD＝CF，
∴AC＝CF＋CD.
(2)不成立．存在的数量关系为：CF＝AC＋CD.理由：由(1)同理可得△ABD≌△ACF，∴BD＝CF.∵BD＝BC＋CD＝AC＋CD， ∴CF＝AC＋CD.
(3)CD＝AC＋CF.补全图形略．专题突破十┃ 综合性问题 几何综合题考查的图形种类多、条件隐晦．在观察方法上要注意从三角形、四边形、圆的定义、性质、判定来观察分析图形，通过寻找、分解、构造基本图形以发现图形特征；在思考方法上分析挖掘题目的隐含条件，注意结合代数知识与几何图形的性质思考，不断地由已知想未知，为解决问题创造条件．专题突破十┃ 综合性问题? 类型之三 代数与几何综合型问题图X10－2专题突破十┃ 综合性问题 (1)若抛物线C1过点M(2,2)，求实数m的值；
(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积；
(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH＋EH最小，并求出点H的坐标；
(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．专题突破十┃ 综合性问题专题突破十┃ 综合性问题专题突破十┃ 综合性问题专题突破十┃ 综合性问题 几何与代数相结合的综合题涵盖初中阶段所学的代数与几何的重要知识点和多种数学思想方法，特别注意运用数形结合的思想沟通几何与代数知识之间的内在联系，运用通过数来研究形与通过形来研究数的解题策略．主要题型为：在坐标系中研究直线型图形、圆、函数图象，在直线型图形和圆中研究几何量之间的函数关系，从问题的类型来看主要有探索性问题、存在性问题、开放性问题．专题突破十┃ 综合性问题再见 谢谢合作
专题突破二 规律探索题
专题突破三 阅读理解题
专题突破四 方案设计题
专题突破五 开放探究题
专题突破六 动手操作题
专题突破七 图形运动问题
专题突破八 分类讨论题
专题突破九 数形结合思想
专题突破十 综合型问题专题突破专题突破一 实践与应用 现实生活中存在大量的有关数量关系的问题，需要从所研究的问题中捕捉数量关系，建立相应的数学模型——方程（组）、不等式（组）、函数解析式，再通过对数学模型的研究，使原问题获得解决，为此学生要过好三关：
1．审题关．应用题出题形式多样化，如利用对话或图表呈现相关信息．对于文字叙述冗长的问题要从数学的角度去除无关信息，抓住有用信息，捕捉数量关系，为此学生要提高阅读能力和搜集信息的能力．
专题突破一┃ 实践与应用 2．转化关．在分析数量关系时要抓住反映数量关系的关键词语，如“共”、“少”、“是”、“剩下”，根据相等、不等关系分别列方程(组)、不等式(组)，根据变量之间的对应关系列函数解析式，切忌混淆数量关系，建立错误的数学模型．
3．解题关．加强解方程(组)、不等式(组)的训练，确保求解正确，充分考虑结果的多样性，使答案简明、准确．在空间与图形(特别是综合题)中，常遇求未知几何量或探索其存在性问题，可通过探索图形性质，寻找未知几何量和已知几何量之间的等量关系或不等关系，列出方程（组）与不等式（组），利用其有、无解探索其存在性问题，通过求解来求几何量.专题突破一┃ 实践与应用 例1 [2012·珠海] 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了30支．
(1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？
(2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
专题突破一┃ 实践与应用? 类型之一 分析数量之间的相等或不等关系，
建立方程或不等式专题突破一┃ 实践与应用 例2 某企业2011年初投资100万元生产适销对路的产品，2011年底将获得的利润与年初的投资之和作为2012年初的投资，到2012年底，两年共获利润56万元. 已知2012年的年获利率比2011的年获利率多10个百分点(即：2012年的年获利率是2011年的年获利率与10%的和)．
求2011年和2012年的年获利率各是多少？
专题突破一┃ 实践与应用 解：设2011年的年获利率为x，那么2012年的年获利率为
x＋10%，由题意得100x＋100(1＋x)(x＋10%)＝56.
解得x＝20%，x＝－2.3(不合题意，舍去)．∴x＋10%＝30%.
答：2011年和2012年的年获利率分别是20%和30%. [解析] 增长率问题不能盲目套用公式，应分析题意，理清思路. 本题中，设2011年的年获利率为x，则2011年获利100x万元；2012年初的投资额为100(1＋x)万元，2012年获利100(1＋x)(x＋10%)万元．专题突破一┃ 实践与应用 仔细审题，从分析问题中的数量关系入手，寻找相等或不等关系，建立方程或不等式，由此解决实际问题．专题突破一┃ 实践与应用 例3 某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．其中，国内市场的日销售量y1 (万件)与时间t(t为整数，单位：天)的部分对应值如下表所示．而国外市场的日销售量y2 (万件)与时间t(t为整数，单位：天)的关系如图X1－1所示．? 类型之二 分析数量之间的对应关系，建立函数关系式专题突破一┃ 实践与应用 (1)请你从学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式；
(2)依据图中y2与t的关系，当0≤t≤20、20≤t≤30时，分别写出y2与t的函数关系式；
(3)设国内、国外市场的日
销售总量为y(万件)，分别求出
当0≤t≤20、20≤t≤30时，y与t
的函数关系式；并判断上市第几天
国内、国外市场的日销售总量最大，
并求出此时的最大值．图X1－1专题突破一┃ 实践与应用专题突破一┃ 实践与应用专题突破一┃ 实践与应用 此题考查了函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意
构建函数模型，然后根据函数的性质求解即可．专题突破一┃ 实践与应用 例4 [2012·绵阳] 某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择．
方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；
方案二：购买3千克以内(含3千克)的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的，则超过3千克的部分的种子价格打7折
(1)请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x(千克)和付款金额y(元)之间的函数关系式；
(2)若你去购买一定量的种子，你会怎样选择购买方案？说明理由．? 类型之三 函数与方程、不等式之间的关系专题突破一┃ 实践与应用专题突破一┃ 实践与应用专题突破二 规律探索题 所谓规律探索题，指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察，分析，推理探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．常见类型：(1)数字猜想型；(2)数式规律型；(3)图形规律型；(4)数形结合猜想型．常结合的知识：数与式的运算，因式分解，平面直角坐标系，三角形，特殊四边形，几何变换，图形的组合等知识．解题策略为： 从问题的简单情形或特殊情形入手，通过简单情形或特殊情形的猜想和实验发现一般规律，从而找到解决问题的途径或方法.专题突破二┃ 规律探索题 例1 [2012·珠海] 观察下列等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31，
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．? 类型之一 数式规律型专题突破二┃ 规律探索题 (1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对
称等式”：
①52×________＝________×25；
②________×396＝693×________.
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为
b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式
子(含a、b)，并证明．专题突破二┃ 规律探索题 解：(1)①∵5＋2＝7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，
∴52×275＝572×25；
②∵左边的三位数是396，
∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，
∴63×396＝693×36.
故答案为：①275 572；②63 36.专题突破二┃ 规律探索题 (2)∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a＋b，
三位数是100b＋10(a＋b)＋a，
右边的两位数是10b＋a，三位数是100a＋10(a＋b)＋b，
∴一般规律的式子为：(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)．
专题突破二┃ 规律探索题 证明：∵左边＝(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝(10a＋b)(100b＋10a＋10b＋a)＝(10a＋b)(110b＋11a)＝11(10a＋b)(10b＋a)，
右边＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)＝(100a＋10a＋10b＋b)(10b＋a)＝(110a＋11b)(10b＋a)＝11(10a＋b)(10b＋a)，
∴左边＝右边，
∴表示“数字对称等式”一般规律的式子为：(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)．
专题突破二┃ 规律探索题 [解析] (1)观察规律：左边，两位数所乘的三位数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘；
(2)按照(1)的结论，利用多项式的乘法进行证明．专题突破二┃ 规律探索题 通常给定一些代数式、等式或者不等式，猜想其中蕴含的规律，一般解法是先写出代数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同位置的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)，找出各部分的特征，写出符合条件的等式．专题突破二┃ 规律探索题 例2 [2012·铜仁] 如图X2－1，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…，则第⑩个图形中平行四边形的个数是( )
A.54 B．110 C．19 D．109? 类型之二 图形规律型图X2－1D 专题突破二┃ 规律探索题 此类题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，总结出图形的变化规律，进而解决相关问题.专题突破二┃ 规律探索题? 类型之三 数形结合猜想型例3 [2012·益阳] 观察图X2－2，解答问题：图X2－2专题突破二┃ 规律探索题(2)请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.专题突破二┃ 规律探索题专题突破二┃ 规律探索题 [解析] (1)根据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格；
(2)根据图①②③可知，中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求出x、y的值．专题突破二┃ 规律探索题专题突破三 阅读理解题 阅读理解题以内容丰富、构思新颖别致、形式多样为特点，试题结构分为两部分：首先提供一定的阅读材料，材料既可选用与教材知识相关的内容，也可广泛选用课外知识，或介绍一个概念，或给出一种解法，或研究一个问题等，然后在理解材料的基础上，获得探索解决问题的方法，从而加以运用，解决实际问题．试题呈现形式有纯文型(全部用文字展示条件和问题)、图文型(用文字和图形结合展示条件和问题)、表文型(用文字和表格结合展示条件和问题)、改错型(条件、问题、解题过程都已展示，但解题过程可能要改正)．
解决阅读理解题的关键是把握实质并在其基础上作出回答．专题突破三┃ 阅读理解题 首先仔细阅读信息，收集处理信息，以领悟数学知识或感悟数学思想方法；然后运用新知识解决新问题，或运用范例形成科学的思维方式和思维策略，或归纳与类比作出合情判断和推理，进而解决问题．因此，不仅要掌握初中数学的基础知识，更要注重提高阅读理解、知识迁移、分析转化、探索归纳等方面的能力.
专题突破三┃ 阅读理解题? 类型之一 阅读新知识，研究新问题专题突破三┃ 阅读理解题1 2 [解析] 直接套用题意所给的结论，即可得出结果． 专题突破三┃ 阅读理解题专题突破三┃ 阅读理解题 实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001，设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？专题突破三┃ 阅读理解题 [解析] 设行驶x千米平均每千米费用为w元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所给的结论即可得出答案．专题突破三┃ 阅读理解题 这类考题通常给定一个全新的定义或公式、法则等，然后运用它去解决新问题，主要考查解题者的自学能力和阅读理解能力、知识迁移能力及接收、加工和利用信息的能力．专题突破三┃ 阅读理解题 例2 [2012·湛江] 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2 －4>0.? 类型之二 阅读解题过程，模仿解题策略专题突破三┃ 阅读理解题专题突破三┃ 阅读理解题 解：(1)x>4或 x<－4
(2)x>3或 x<1
(3)∵2x2－3x＝x(2x－3)，
∴2x2－3x<0可化为x(2x－3)<0.
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
解不等式组①，得0
(3)将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可．专题突破三┃ 阅读理解题 在已有知识的基础上，设计一个全新的数学情境，通过阅读解题过程，领悟它所运用的数学知识、思想方法，再模仿运用解决问题．解题关键是吃透材料中体现的解题策略，探索新的问题的解题方法．专题突破三┃ 阅读理解题? 类型之三 探究特殊范例，推出一般结论 例3 [2012·吉林] 问题情境
如图X3－1，在x轴上有两点A(m,0)，B(n,0)(n>m>0)．分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y＝x2于点C，点D.直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E，点F的纵坐标分别记为yE，yF.
特例探究
填空：
当m＝1，n＝2时，
yE＝________，yF＝________.
当m＝3，n＝5时，
yE＝________，yF＝________.图X3－12 2 15 15 专题突破三┃ 阅读理解题 归纳证明
对任意m，n(n>m>0)，猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想．
解： yE＝yF
专题突破三┃ 阅读理解题 证法1：∵AC⊥x轴BD⊥x轴，A，B的坐标分别为A(m，0)B(n，0)，
∴点C，D的横坐标分别为m，n，点F，E的横坐标分别为m，n.
∵点C，D在抛物线y＝x2上，∴D(m，m2)D(n，n2)．
设直线OC的解析式y＝k1x，直线OD的解析式为y＝k2x，
∴m2＝k1m，n2＝k2n.解得k1＝m，k2＝n.
∴直线OC的解析式为y＝mx，直线OD的解析式为y＝nx.把点E，F的横坐标分别代入y＝mx与y＝nx，得yE＝mn，yF＝mn， ∴yE＝yF.专题突破三┃ 阅读理解题专题突破三┃ 阅读理解题 拓展应用
(1)若将“抛物线y＝x2”改为“抛物线y＝ax2(a>0)”，其它条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系．
(2)连结EF，AE.当S四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写出m和n的关系及四边形OFEA的形状．
专题突破三┃ 阅读理解题 在已有知识的基础上，设计一个数学情境，通过探究特殊范例，类比联想一般情况，运用归纳与类比的方法，进行猜想和推理得到一般结论，再运用一般结论解决问题.专题突破三┃ 阅读理解题专题突破四 方案设计题 方案设计型问题要求以方案设计的形式解决数学问题，问题情境包含实际问题情景和数学问题情境，设计目标有图形设计问题、测量方案问题、经济方案问题等，它一般包括“问题情境——模型建立——说明、应用和拓展”等具体求解过程，三种设计目标所建立的数学模型如下：
1．图形设计方案题：在实际生活的背景下，不只是传统的简单作图，而是运用轴对称图形和中心对称图形的性质，借助某些规则的图形(如等腰三角形、菱形、矩形、圆)的性质，通过对图形进行分解与组合进行创新设计．
专题突破四┃ 方案设计题 2.测量方案设计题：利用全等三角形、相似三角形、锐角三角函数等设计一个可行的方案，对某一物体的长度、高度、宽度等进行测量计算．
3．经济方案设计题：提供或寻求到多种解决问题的方案，并考虑到实施中的经济因素，选择最佳(可行)方案，主要建立方程模型、函数模型、概率模型以解决问题．
方案设计题贴近生活，具有较强的操作性和实践性，考查学生的动手实践能力和创新设计才能，解决问题时要慎于思考，并能在实践中对所有可能的方案进行罗列与分析，得出符合要求的一种或几种方案.专题突破四┃ 方案设计题 例1 [2011·宜宾] 如图X4－1，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离 (因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：
(1)指出需要测量的数据
(用字母表示，并在图中标出)；
(2)用测出的数据写出求
距离MN的步骤．? 类型之一 测量方案设计问题图X4－1专题突破四┃ 方案设计题专题突破四┃ 方案设计题专题突破四┃ 方案设计题 这是一道测量方案设计的题目，它是在限定条件的情况下，测量MN之间的距离，对测量方法、测量数据及MN的计算表达式均无限制，因此解题的方法较多. 构造适当的直角三角形是解题的关键所在.专题突破四┃ 方案设计题 例2 在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1.按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．
(1)在图甲中画一个
平行四边形，使它的周
长是整数；
(2)在图乙中画一个
平行四边形，使它的周长
不是整数．? 类型之二 图形设计方案问题图X4－2专题突破四┃ 方案设计题解： 专题突破四┃ 方案设计题 例3 (1)计算：如图X4－3①，直径为a的三个等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，求O1A的长(用含a的代数式表示)；
(2)探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度hn和hn′(用含n、a的代数式表示)；图X4－3专题突破四┃ 方案设计题 (3)应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米．用这样的集装箱装运长为5米，底面直径(横截面的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用(2)中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？(≈1.73)专题突破四┃ 方案设计题专题突破四┃ 方案设计题专题突破四┃ 方案设计题 例4 [2012·南充] 学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元．
(1)求大、小车每辆的租车费各是多少元？
(2)若每辆车上至少要有一名教师，且总组成费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．? 类型之三 经济方案设计题专题突破四┃ 方案设计题 解：(1)设租用一辆大车的租车费是x元，租用一辆小车的租车费是y元，
依题意，
答：大、小车每辆的租车费分别是400元和300元．专题突破四┃ 方案设计题 (2)240名师生都有座位，租车总辆数≥6；每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数≤6.故租车总数为6辆，设大车辆数是x辆，则租小车(6－x)辆．
得： 解得4≤x≤5.
∵x是正整数，
∴x＝4或5.
于是有两种租车方案，方案1：大车4辆小车2辆总租车费用2200元，方案2：大车5辆小车1辆总租车费用2300元，可见最省钱的是方案1.专题突破四┃ 方案设计题 例5 [2012·青岛] 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图X4－4所示：
(1)试判断y与x之间的函数关系，
并求出函数关系式；
? 类型之四 利用函数进行方案设计图X4－4专题突破四┃ 方案设计题 (2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式；
(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．
专题突破四┃ 方案设计题 解：(1)y是x的一次函数，设所求函数关系式为y＝kx＋b.
由于该函数的图象过点(10，300)，(12，240)，
∴y＝－30x＋600.
当x＝14时，y＝180；当x＝16时，y＝120，
即点(14，180)，(16，120)均在函数y＝－30x＋600图象上．
∴y与x之间的函数关系式为y＝－30x＋600.专题突破四┃ 方案设计题专题突破四┃ 方案设计题 在实际问题或数学问题中建立方程、不等式或函数模型后，利用不等式(组)、函数的最大(小)值可求最大利润、最大面积、最佳方案等问题.
专题突破四┃ 方案设计题专题突破五 开放探究题 开放探究性问题是相对于有明确条件和结论的封闭式问题而言的，它的特点是条件或结论的不确定性、不唯一性．解此类题没有固定的方法，学生需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法，此类题往往作为中考试卷中的压轴题出现．
专题突破五┃ 开放探究题 开放探究题常见的类型有：(1)条件开放型：结论明确但问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；(2)结论开放型：在给定的条件下，无明确结论或结论不唯一；(3)存在型问题：即条件或结论都不固定，仅提供一种问题情境，需要补充条件，设计结论；(4)综合开放型：条件、结论、策略中至少有两项均是开放的．
在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题.
专题突破五┃ 开放探究题 例1 已知命题：如图X5－1，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．? 类型之一 条件开放型问题专题突破五┃ 开放探究题 解：原命题是假命题，添加一个适当条件使它成为真命题，以下任一方法均可：
①添加条件：AC＝DF.
证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.
在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠FDE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
②添加条件：∠CBA＝∠E.
证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠FDE，AB＝DE，∠CBA＝∠E，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．专题突破五┃ 开放探究题 ③添加条件：∠C＝∠F.
证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠FDE，∠C＝∠F，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
专题突破五┃ 开放探究题 [解析] 在△ABC和△DEF中，由AD＝BE易知AB＝DE.
又∠A＝∠FDE，根据全等三角形的判定方法，可增加一个边或角的条件使△ABC≌△DEF，但要注意用边角边公理时其角必须是相等的两组对应边的夹角．专题突破五┃ 开放探究题 解条件开放型问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因．专题突破五┃ 开放探究题 例2 [2011·南通] 比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．
请你再写出它们的两个相同点和不同点．? 类型之二 结论开放型问题专题突破五┃ 开放探究题 解：相同点有：①都有相等的内角；②都是轴对称图形；③对称轴都交于一点；④都有外接圆和内切圆等；
不同点有：①边数不同； ②内角的度数不同； ③内角和不同；④对角线条数不同； ⑤对称轴条数不同等． [解析] 此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，所有的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是中心对称图形．根据正多边形的性质分析它们的相同和不同之处．专题突破五┃ 开放探究题 例3 [2012·南京] “？”的思考
下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注：
题目：某村计划建造如图X5－3所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前面内墙保留3 m宽的空地，其他三面内墙各保留1 m宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2？专题突破五┃ 开放探究题 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x_m．？
根据题意，得x·2x＝288.
解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12.
所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m),
宽为12＋1＋1＝14(m)．
答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？”．专题突破五┃ 开放探究题 结果为何正确呢？
(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程；
变化一下会怎样……
(2)如图X5－4，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，
且AD∶AB＝2∶1.设AB与A′B′，
BC与B′C′，CD与C′D′，
DA与D′A′之间的距离分
别为a，b，c，d.要使矩形
A′B′C′D′∽矩形ABCD，
a，b，c，d应满足什么条件？请说明理由．图X5－4专题突破五┃ 开放探究题专题突破五┃ 开放探究题 解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力．专题突破五┃ 开放探究题 例4 已知抛物线y＝－(x－m)2＋1与x轴的交点为A、B(B在A的右边)，与y轴的交点为C.
(1)写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论；
(2)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
(3)请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题． ? 类型之三 综合开放型问题专题突破五┃ 开放探究题 解：(1)当m＝1时，抛物线的解析式为y＝－x2＋2x.正确的结论有：①抛物线的解析式为y＝－x2＋2x；②开口向下；③顶点为(1，1)；④抛物线经过原点；⑤与x轴的另一个交点是(2，0)；⑥对称轴为x＝1等；
(2)存在．当y＝0时，－(x－m)2＋1＝0，即有(x－m)2＝1.∴x1＝m－1，x2＝m＋1.∵点B在点A的右边，∴A(m－1，0)，B(m＋1，0)．∵点B在原点右边，∴OB＝m＋1.∵当x＝0时，y＝1－m2，点C在原点下方，∴OC＝m2－1.当m2－1＝m＋1时，m2－m－2＝0，∴m＝2或m＝－1(因为对称轴在y轴的右侧，m＞0，所以不合要求，舍去)．∴存在△BOC为等腰三角形的情形，此时m＝2.专题突破五┃ 开放探究题 (3)如①对任意的m，抛物线y＝－(x－m)2＋1的顶点都在直线y＝1上；②对任意的m，抛物线y＝－(x－m)2＋1与x轴的两个交点间的距离是一个定值(或对任意的m，抛物线y＝－(x－m)2＋1与x轴两个交点的横坐标之差的绝对值为2)．专题突破五┃ 开放探究题 (1)解决综合开放性问题时，需要类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决．综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程．
(2)存在型问题是指条件、结论、解题方法都不固定，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，并寻求解法的一类问题，它更具有开发性，能为我们提供宽松的思维环境.专题突破五┃ 开放探究题专题突破六 动手操作题 操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动. 这类活动以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合理猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习要求．常见类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的相互转化.专题突破六┃ 动手操作题 例1 [2012·广安] 现有一块等腰三角形纸板，量得周长为32 cm，底比一腰多2 cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线的长的和．
? 类型之一 分割拼接问题专题突破六┃ 动手操作题 解：如图，∵等腰三角形的周长为32 cm，底比一腰多2 cm，
∴A1B1＝A1C＝10，B1D＝C1D＝6，A1D＝8.
拼成的各种四边形如下：
①∵BD＝10，
∴四边形的两条对角线长
的和是10×2＝20；专题突破六┃ 动手操作题专题突破六┃ 动手操作题 ④
∵BD＝2BO＝2×4.8＝9.6，
∴四边形的两条对角线长的和是AC＋BD＝9.6＋10＝19.6.专题突破六┃ 动手操作题 对图形分割(剪裁)后重新拼接得到新图形，是这几年中考试题中的热点内容．分割拼接问题的解题要求是：动手操作，合理猜想，仔细验证.
专题突破六┃ 动手操作题 例2 生活中有人喜欢把请人传送的便条折成图丁形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条反面)：
(1)如果信纸折成的长方形纸条宽为4 cm，为了保证能折成图丁形状(即纸条两端均刚好到达点P)，纸条长至少多少厘米？纸条长最小时，长方形纸条面积是多少？
? 类型之二 平移、旋转与翻折问题专题突破六┃ 动手操作题 (2)假设折成图丁形状纸条宽x cm，并且一端超出P点2 cm，另一端超出P点3 cm.
①请用含x的代数式表示信纸折成的长方形纸条长y；
②请用含x的代数式表示折成的图丁所用的平面图形的面积S.图X6－1专题突破六┃ 动手操作题 解：(1)根据折叠的方法，知纸条长至少是宽的5倍，即为4×5＝20(cm)，此时纸条的面积是20×4＝80(cm2)．
(2)④根据题意，得y＝5x＋5.
②则平面图形的面积S＝x(5x＋5)＝5x2＋5x.专题突破六┃ 动手操作题 例3 [2012·南充] 在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4.M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.
(1)求证：MA＝MB；
(2)连结AB.探究：在旋转三
角尺的过程中，△AOB的周长是
否存在最小值．若存在，求出
最小值；若不存在，请说明理由．图X6－2专题突破六┃ 动手操作题 解：(1)证明：如图，过点M作ME⊥OP于点E，MF⊥OQ于点F， ∵∠O＝90°，∴四边形OEMF是矩形．∵M是PQ的中点，
OP＝OQ＝4，∠O＝90°，∴ME＝MF＝2，∴四边形OEMF是正方形，则∠AME＋∠AMF＝90°，∠BMF＋∠AMF＝90°， ∴∠AME＝∠BMF，∴△AME≌△BMF，∴MA＝MB.专题突破六┃ 动手操作题专题突破六┃ 动手操作题 平移、旋转与翻折是我们熟知的全等变换，即在变换前后图形的形状、大小都不发生改变，如线段的长度、角的大小保持不变．有时，如果我们亲自动手折一折、转一转、移一移，会起到意想不到的作用．专题突破六┃ 动手操作题 例4 [2012·青岛改编] 如图X6－3，圆柱形玻璃杯高为12 cm、底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．? 类型之三 立体图形与平面图形之间的相互转化问题图X6－3专题突破六┃ 动手操作题专题突破六┃ 动手操作题 要解决立体图形中表面(或侧面)上的最短路线、最佳角度等问题，通常是把立体图形的表面(或侧面)展开，使之转化成平面上的问题；反过来，由几何体的视图、表面展开图，我们可以围成立体图形，以得到物体的真实面貌．立体图形与平面图形之间的相互转化，可以让我们领会立体图形与平面图形的关系，掌握数学中的转化思想．解决这类问题最好的方法是：动手试一试！专题突破六┃ 动手操作题专题突破七 图形运动问题 土性运动问题的特征：探究几何图形(点、直线、三角形、四边形、圆)在运动变化过程中与图形相关的某些量(如角度、线段、周长、面积机箱关的关系)的变化或其中存在的函数关系，这类题目叫做图形运动型试题．解题策略：对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形(特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等)逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决．专题突破七┃ 图形运动问题 当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解.
专题突破七┃ 图形运动问题 例1 [2011·咸宁] 在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．
(1)实验操作：
在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：? 类型之一 点运动型问题(0，4)，(1，2)，(2，0)(0，6)，(1，4)，(2，2)，(3，0)专题突破七┃ 图形运动问题 (2)观察发现：
任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数___ _____的图象上；平移2次后在函数__ ______的图象上，…由此我们知道，平移n次后在函数__ ______的图象上(请填写相应的解析式)；
(3)探索运用：
点P从点O出发经过n次平移后，
到达直线y＝x上的点Q，且平移
的路径长不小于50，不超过56，
求点Q的坐标．图X7－1y＝－2x＋2 y＝－2x＋4 y＝－2x＋2n 专题突破七┃ 图形运动问题专题突破七┃ 图形运动问题图X7－2专题突破七┃ 图形运动问题专题突破七┃ 图形运动问题 (2)∵AB为直径，∠AOC＝60°，
∴∠COB＝120°.
当点P移动到CB的中点时，连结OP，
则∠COP＝∠POB＝60°，
∴△COP为等边三角形．
∴AC＝CP＝OA＝OP，
∴四边形AOPC为菱形．
(3)当点P与B重合时，△ABC≌△APC；
当点P继续运动到CP经过圆心时，也有△ABC≌△APC，
因为此时AB＝CP，AC为公共边，
根据斜边直角边定理即得．专题突破七┃ 图形运动问题 动点问题常见类型有两种：一是研究不同的运动状态或探求出现不同运动结果的条件，二是研究运动状态下的几何量之间的函数关系，前者的解题策略是以静制动，后者的解题策略是以动制动.专题突破七┃ 图形运动问题 例3 [2012·资阳] 已知：一次函数y＝3x－2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1.
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)将一次函数y＝3x－2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；
(3)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：
①函数的图象能由一次函数y＝3x－2的图象绕点(0，－2)旋转一定角度得到；
②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．? 类型之二 线运动型问题专题突破七┃ 图形运动问题专题突破七┃ 图形运动问题 例4 [2012·宜宾] 如图X7－3，在△ABC中，已知
AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
(1)求证：△ABE∽△ECM；
(2)探究：在△DEF运动过程中，
重叠部分能否构成等腰三角形，若能，
求出BE的长；若不能，请说明理由；
(3)当线段AM最短时，求重叠部
分的面积．? 类型之三 图形运动型问题图X7－3专题突破七┃ 图形运动问题 解：(1)证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠DEF＝∠B.
∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠DEF＋∠CEM，∴∠MEC＝∠EAB
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECM.专题突破七┃ 图形运动问题专题突破七┃ 图形运动问题专题突破七┃ 图形运动问题 图形运动型问题，指以三角形(如等边三角形，直角三角形等)或四边形(如正方形，梯形，矩形等)来创设情景，探索图形运动变化过程中蕴含的规律或相关的结论．此类问题要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，化动为静．由特殊情形过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合，分类讨论，转化等数学思想加以解决，常常根据需要建立函数或不等式或方程模型.专题突破七┃ 图形运动问题专题突破八 分类讨论题 分类讨论思想，就是把要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想．分类思想的实质是按照数学对象的共同性和差异性，将问题划分为不同的种类，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．
引起分类讨论的主要原因：(1)概念本身是分类定义的(如绝对值)；(2)某些公式、定理、性质、法则是有条件和范围限制的；(3)题目条件和结论的不唯一；(4)含有字母系数的问题，需对该字母的不同取值范围进行讨论；(5)图形的位置和形状不确定．专题突破八┃ 分类讨论题 分类思想的解题策略：(1)确定分类对象；(2)进行合理分类(选择分类标准，理清分类界限，不重复，不遗漏)；(3)逐类进行讨论；(4)归纳并作出结论.
专题突破八┃ 分类讨论题 例1 [2011·襄阳] 已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A.k＜4 B．k≤4
C.k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3? 类型之一 根据概念、定义进行分类讨论B 专题突破八┃ 分类讨论题专题突破八┃ 分类讨论题 本题受思维定势的影响，容易忽视k＝3时该函数为一次函数的情形．所以，解题时要关注题目中的隐含条件，全面考虑问题，重视分类讨论思想的应用．专题突破八┃ 分类讨论题 例2 [2011·广安] 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6 m、8 m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．? 类型之二 根据图形形状进行分类讨论 专题突破八┃ 分类讨论题专题突破八┃ 分类讨论题专题突破八┃ 分类讨论题 当等腰三角形的腰、底边不确定时，应对等腰三角形的形状分类讨论．同样地，当直角三角形的直角不确定时，也应分三种情况讨论．专题突破八┃ 分类讨论题 例3 [2012·河北] 如图X8－1，A(－5,0)，B(－3,0)．点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°.点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
(1)求点C的坐标；
(2)当∠BCP＝15°时，求t的值；
(3)以点P为圆心，PC为半径的⊙P
随点P的运动而变化，当⊙P与四边形
ABCD的边(或边所在的直线)相切时，
求t的值．? 类型之三 根据图形运动的不同位置进行分类讨论图X8－1专题突破八┃ 分类讨论题专题突破八┃ 分类讨论题 (3)由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°，从而
∠OCP＝45°得到OP＝3.
此时t＝1.
②当⊙P与CD相切于点C时，
有PC⊥CD，即点P与点O重合，
此时t＝4.
③当⊙P与AD相切时，由题意，∠DAO＝90°，
∴点A为切点，如图3.PC2＝PA2＝(9－t)2，PO2＝(t－4)2.
于是(9－t)2＝(t－4)2＋32.解处t＝5.6.
∴t的值为1或4或5.6.专题突破八┃ 分类讨论题 本题综合了二次函数、平行四边形、相似三角形、勾股定理等知识，渗透了数形结合、分类讨论、方程函数等多种数学思想方法．解题时要善于化整为零，逐个突破．在对平行四边形和相似三角形的分类讨论时，要做到不重复，不遗漏．专题突破八┃ 分类讨论题专题突破九 数形结合思想 数形结合思想是数学中重要的思想方法．它根据数学问题中条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握．专题突破九┃ 数形结合思想 解题策略：数形结合思想包含“以形助数”和“以数助形”两个方面．即用数形结合思想解题可分两类：一是依形判数，用形解决数的问题，常见于借用数轴、函数图象、几何图形来求解代数问题；二是就数论形，用数解决形的问题，常见于运用恒等变形、建立方程(组)、面积转换等求解几何问题.专题突破九┃ 数形结合思想? 类型之一 与数轴结合的问题－6 专题突破九┃ 数形结合思想专题突破九┃ 数形结合思想专题突破九┃ 数形结合思想 例2 [2012·咸宁] 某景区的旅游线路如图X9－2①所示，其中A为入口，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图①中所给数据为相应两点间的路程(单位：km)．甲游客以一定的速度沿线路“A→D→C→E→A”
步行游览，在每个景点逗留
的时间相同，当他回到A处时，
共用去3 h．甲步行的路程s(km)
与游览时间t(h)之间的部分函数
图象如图②所示．? 类型之二 与函数图象结合的问题图X9－2专题突破九┃ 数形结合思想 (1)求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象；
(2)求C，E两点间的路程；
(3)乙游客与甲同时从A处出发，打算游完三个景点后回到A处，两人相约先到者在A处等候，等候时间不超过10分钟．如果乙的步行速度为3 km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现？请说明理由．专题突破九┃ 数形结合思想专题突破九┃ 数形结合思想 (2)解法一：甲步行的总时间为3－0.5×2＝2(h)．
∴甲的总行程为2×2＝4(km)．
∴C，E两点间的路程为4－1.6－1－0.8＝0.6(km)．
解法二：设甲沿C→E→A步行时，s与t的函数关系式为s＝2t＋m.则2×2.3＋m＝2.6.∴m＝－2.∴s＝2t－2.
当t＝3时，s＝2×3－2＝4.
∴C，E两点间的路程为4－1.6－1－0.8＝0.6(km)．专题突破九┃ 数形结合思想专题突破九┃ 数形结合思想图X9－3专题突破九┃ 数形结合思想专题突破九┃ 数形结合思想 根据函数图象求函数解析式、方程或不等式的解等问题，是利用数形结合思想解决函数问题的主要题型．解决这类问题的关键是要熟悉函数的性质，以及函数与方程、不等式之间的关系.专题突破九┃ 数形结合思想? 类型之三 与几何图形结合的问题专题突破九┃ 数形结合思想图X9－4专题突破九┃ 数形结合思想专题突破九┃ 数形结合思想 本题考查求代数式最小值的问题，通过“变数为形”转化为几何中的轴对称、最短路线问题，解答的关键是建立几何模型，利用数形结合求解．这类问题既考查学生的阅读能力，又考查学生的创新思维能力，是近几年中考命题的重点之一.专题突破九┃ 数形结合思想专题突破十 综合型问题 代数型综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．涉及知识：主要包括方程、函数、不等式等内容．解题策略：用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等．
几何型综合题是指以几何知识为主或者以几何变换为主的一类综合题．涉及知识：主要包括几何的定义、公理、定理、几何变换等内容．解题策略： 解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的．
代数和几何型综合题是指以代数知识与几何知识综合运用的一类综合题．涉及知识：代数与 专题突破十┃ 综合性问题 例1 [2012·宁夏] 某超市销售一种新鲜“酸奶”， 此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出．这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理．
(1)该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售．若设售出酸奶的瓶数为x(瓶)，销售酸奶的利润为y(元)，写出这一天销售酸奶的利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式．为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？? 类型之一 代数(函数)综合型问题专题突破十┃ 综合性问题 (2)小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：
根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；
(3)小明根据(2)中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多．你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明．专题突破十┃ 综合性问题 解：(1)由题意知，这一天销售酸奶的利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式为y＝5x－60，当5x－60≥0时，x≥12，∴当天至少应售出12瓶酸奶超市才不亏本．
(2)在这10天当中，利润为25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有5天，∴这10天中，每天销售酸奶的利润的平均数为(25＋30×2＋35×2＋40×5)÷10＝35.5(元)．
(3)小明说的有道理．∵在这10天当中，每天购进20瓶获利共计355元，而每天购进19瓶销售酸奶的利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式为：y＝5x－57，在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，38元的有7天．总获利为28＋33×2＋38×7＝360>355∴小明说的有道理．专题突破十┃ 综合性问题 1．代数综合题是以代数知识及代数变形为主的综合题．主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等.2.解代数综合题要注意方程、不等式和函数、统计等知识点之间的横向联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而解决问题．专题突破十┃ 综合性问题 例2 [2012·内江] 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列)，使∠DAF＝ 60°，连结CF.? 类型之二 几何综合型问题 图X10－1专题突破十┃ 综合性问题 (1)如图?，当点D在边BC上时，求证：
①BD＝CF，②AC＝CF＋CD；
(2)如图?，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CF＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)如图?，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．专题突破十┃ 综合性问题 解：(1)①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，
∠BAC＝60°.∵四边形ADEF为菱形，∴AD＝AF.
∵∠BAC＝∠DAF＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAF－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF，∴△ABD≌△ACF，∴BD＝CF.
②∵AC＝BC＝BD＋CD，且由①BD＝CF，
∴AC＝CF＋CD.
(2)不成立．存在的数量关系为：CF＝AC＋CD.理由：由(1)同理可得△ABD≌△ACF，∴BD＝CF.∵BD＝BC＋CD＝AC＋CD， ∴CF＝AC＋CD.
(3)CD＝AC＋CF.补全图形略．专题突破十┃ 综合性问题 几何综合题考查的图形种类多、条件隐晦．在观察方法上要注意从三角形、四边形、圆的定义、性质、判定来观察分析图形，通过寻找、分解、构造基本图形以发现图形特征；在思考方法上分析挖掘题目的隐含条件，注意结合代数知识与几何图形的性质思考，不断地由已知想未知，为解决问题创造条件．专题突破十┃ 综合性问题? 类型之三 代数与几何综合型问题图X10－2专题突破十┃ 综合性问题 (1)若抛物线C1过点M(2,2)，求实数m的值；
(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积；
(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH＋EH最小，并求出点H的坐标；
(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．专题突破十┃ 综合性问题专题突破十┃ 综合性问题专题突破十┃ 综合性问题专题突破十┃ 综合性问题 几何与代数相结合的综合题涵盖初中阶段所学的代数与几何的重要知识点和多种数学思想方法，特别注意运用数形结合的思想沟通几何与代数知识之间的内在联系，运用通过数来研究形与通过形来研究数的解题策略．主要题型为：在坐标系中研究直线型图形、圆、函数图象，在直线型图形和圆中研究几何量之间的函数关系，从问题的类型来看主要有探索性问题、存在性问题、开放性问题．专题突破十┃ 综合性问题再见 谢谢合作
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