2013年中考数学复习专题讲座（WORD版，共10讲）

2013年中考数学复习专题讲座三：开放性问题
一、中考专题诠释
开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．
二、解题策略与解法精讲
解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲
考点一：条件开放型
条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．
例1 （2012 义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是　 　．（不添加辅助线）．
考点： 全等三角形的判定。810360
专题： 开放型。
分析： 由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）；
解答： 解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．
（2）证明：在△BDF和△CDE中
∵
∴△BDF≌△CDE．
点评： 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
　
考点二：结论开放型：
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．
例2 （2012 宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．
考点： 全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行线的判定与性质。810360
专题： 探究型。
分析： CE和BF的关系是CE=BF（数量关系），CE∥BF（位置关系），理由是根据平行线性质求出∠A=∠D，根据SAS证△ABF≌△DCE，推出CE=BF，∠AFB=∠DEC即可．
解答： CE和BF的数量关系是CE=BF，位置关系是CE∥BF，
证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
∵在△ABF和△DCE中
，
∴△ABF≌△DCE，
∴CE=BF，∠AFB=∠DEC，
∴CE∥BF，
即CE和BF的数量关系是CE=BF，位置关系是CE∥BF．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和 判定，平行线的性质和判定，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
　
考点三：条件和结论都开放的问题：
此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．
例3 （2012 广元）如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果…，那么…”）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
考点： 全等三角形的判定与性质。810360
专题： 开放型。
分析： （1）如果①②作为条件，③作为结论，得到的命题为真命题；如果①③作为条件，②作为结论，得到的命题为真命题，写成题中要求的形式即可；
（2）若选择（1）中的如果①②，那么③，由AE与DF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AB=DC，等式左右两边都加上BC，得到AC=DB，又∠E=∠F，利用AAS即可得到三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等得到CE=BF，得证；若选择如果①③，那么②，由AE与FD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由∠E=∠F，CE=BF，利用AAS可得出三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AC=BD，等式左右两边都减去BC，得到AB=CD，得证．
解答： 解：（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；
（2）若选择如果①②，那么③，
证明：∵AE∥DF，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（AAS），
∴CE=BF；
若选择如果①③，那么②，
证明：∵AE∥DF，
∴∠A=∠D，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（AAS），
∴AC=DB，
∴AC﹣BC=DB﹣BC，即AB=CD．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
考点四：编制开放型：
　此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．
例4 （2012 南京）看图说故事．
请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：
①指出变量x和y的含义；
②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．
考点： 函数的图象。
专题： 开放型。
分析： ①结合实际意义得到变量x和y的含义；
②由于函数须涉及“速度”这个量，只要叙述清楚时间及相应的路程，体现出函数的变化即可．
解答： 解：本题答案不唯一，下列解法供参考．
①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y（单位：km）与他所用的时间x（单位：min）的关系．
②小明以400m/min的速度匀速骑了5min，在原地休息了6min，然后以500m/min的速度匀速骑车回出发地．
点评： 对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．．
四、中考真题演练
一、填空题
1．（2012 娄底）写出一个x的值，使|x﹣1|=x﹣1成立，你写出的x的值是　 　．
考点： 绝对值。
专题： 开放型。
分析： 根据非负数的绝对值等于它本身，那么可得x﹣1≥0，解得x≥1，故答案是2（答案不唯一）．
解答： 解：∵|x﹣1|=x﹣1成立，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1，
故答案是2（答案不唯一）．
点评： 本题考查了绝对值，解题的关键是知道负数的绝对值等于其相反数，非负数的绝对值等于它本身．
　
2．（2012 宁波）写出一个比4小的正无理数　 　．
考点： 实数大小比较。
专题： 开放型。
分析： 根据实数的大小比较法则计算即可．
解答： 解：此题答案不唯一，举例如：、π等．
故答案为：π（答案不唯一）．
点评： 本题考查了实数的大小比较，解题的关键是理解正无理数这一概念．
　
3．（2012 连云港）写一个比大的整数是　 　．
考点： 实数大小比较；估算无理数的大小。
专题： 开放型。
分析： 先估算出的大小，再找出符合条件的整数即可．
解答： 解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴符合条件的数可以是：2（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）．
点评： 本题考查的是实数的大小比较，根据题意估算出的大小是解答此题的关键．
　
　
4．（2012 天津）将正比例函数y=﹣6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是　 　（写出一个即可）．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征。810360
专题： 开放型。
分析： 根据“上加下减”的原则在函数解析式后加一个大于0的数即可．
解答： 解：“上加下减”的原则可知该函数的解析式可以是：y=﹣6x+1（答案不唯一）．
故答案为：y=﹣6x+1（答案不唯一）．
点评： 本题考查了一次函数的性质，只要比例系数k相同，则直线平行，保证k不变的条件下，b的正负决定平移的方向．
　
5．（2012 益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：　 　．
考点： 实数范围内分解因式。
专题： 开放型。
分析： 显然答案不唯一．只需符合平方差公式的应用特征即可．
解答： 解：答案不唯一，如
x2﹣3
=x2﹣（）2
=（x+）（x﹣）．
故可填 x2﹣3．
点评： 此题考查在实数范围内分解因式，属开放型试题，比较简单．
6．（2012 湛江）请写出一个二元一次方程组　 　，使它的解是．
考点： 二元一次方程组的解。
专题： 开放型。
分析： 根据二元一次方程解的定义，可知在求解时，应先围绕x=2，y=﹣1列一组算式，然后用x，y代换即可列不同的方程组．答案不唯一，符合题意即可．
解答： 解：此题答案不唯一，如：，
，
①+②得：2x=4，
解得：x=2，
将x=2代入①得：y=﹣1，
∴一个二元一次方程组的解为：．
故答案为：此题答案不唯一，如：．
点评： 本题主要考查了二元一次方程组的解的定义．此题属于开放题，注意正确理解定义是解题的关键．
7．（2012 镇江）写出一个你喜欢的实数k的值　 　，使得反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大．
考点： 反比例函数的性质。810360
专题： 开放型。
分析： 根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围，在此取值范围内找出一个符合条件的k的值即可．
解答： 解：∵反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∴k﹣2＜0，解得k＜2．
∴k可以为：1（答案不唯一）．
故答案为：1（答案不唯一）．
点评： 本题考查的是反比例函数的性质，根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围是解答此题的关键．
　
　
8．（2012 陕西）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=﹣2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是　 （只写出符合条件的一个即可）．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。
专题： 开放型。
分析： 两个函数在同一直角坐标系中的图象无公共点，其k要满足﹣2x2﹣6x﹣k=0，△＜0即可．
解答： 解：设反比例函数的解析式为：y=，
∵一次函数y=﹣2x+6与反比例函数y=图象无公共点，则，
∴﹣2x2﹣6x﹣k=0，
即△=（﹣6）2﹣8k＜0
解得k＞，
则这个反比例函数的表达式是y=；
故答案为：y=．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解题的关键是：两个函数在同一直角坐标系中的图象无公共点，其k要满足﹣2x2﹣6x﹣k=0，△＜0．
　
9．（2012 广西）请写出一个图象在第二、第四象限的反比例函数解析式，你所写的函数解析式是　 　．
考点： 反比例函数的性质。810360
专题： 开放型。
分析： 根据反比例函数y=（k≠0）的性质可知，反比例函数过二、四象限则比例系数k为负数，据此即可写出函数解析式．
解答： 解：由于反比例函数图象经过二、四象限，
所以比例系数为负数，
故解析式可以为y=﹣（答案不唯一）．
故答案为：y=﹣（答案不唯一）．
点评： 本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
　
10．（2012 赤峰）存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过（1，1）点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，这个函数的解析式是　 　（写出一个即可）．
考点： 反比例函数的性质。
专题： 开放型。
分析： 设此函数的解析式为y=（k＞0），再把（1，1）代入求出k的值即可．
解答： 解：设此函数的解析式为y=（k＞0），
∵此函数经过点（1，1），
∴k=1，
∴答案可以为：y=（答案不唯一）．
故答案为：y=（答案不唯一）．
点评： 本题考查的是反比例函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一．
　
11．（2012 三明）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件是　 　．（不再添加辅助线和字母）
考点： 全等三角形的判定与性质。
专题： 开放型。
分析： 答案不唯一根据AB=AC，推出∠B=∠C，根据ASA证出△BED和△CFD全等即可；添加∠BED=∠CDF，根据AAS即可推出△BED和△CFD全等；根据∠AED=∠AFD推出∠B=∠C，根据ASA证△BED≌△CFD即可．
解答： 解：答案不唯一，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD，或∠AED=∠AFD等；
理由是：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
②由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
③由∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据AAS证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
④∵∠AED=∠AFD，∠AED=∠B+∠BDE，∠AFD=∠C+∠CDF，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴∠B=∠C，
即由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；
故答案为：答案不唯一，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD或∠AED=∠AFD．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
12．（2012 盐城）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是　 　．（填上你认为正确的一个答案即可）
考点： 矩形的判定；平行四边形的判定。810360
专题： 证明题；开放型。
分析： 根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．
解答： 解：添加的条件是∠A=90°，
理由是：∵AB∥DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A=90°．
点评： 本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定的应用，能熟练地运用判定定理进行推理是解此题的关键，此题是一道比较好的题目．
　
13．（2012 佳木斯）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件　 　，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．
考点： 平行四边形的判定与性质。810360
专题： 开放型。
分析： 根据平行四边形性质得出AD∥BC，得出AF∥CE，根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形推出即可．
解答： 解：添加的条件是AF=CE．理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AF∥CE，
∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：AF=CE．
点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，本题题型较好，是一道开放性的题目，答案不唯一．
15．（2012 郴州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件　 　（只需写一个）．
考点： 相似三角形的判定。810360
分析： 由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得可以添加∠ADE=∠C或∠AED=∠B；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D可以添加AD：AC=AE：AB或AD AB=AE AC，继而求得答案．
解答： 解：∵∠A是公共角，
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相似），
当AD：AC=AE：AB或AD AB=AE AC时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），
∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD AB=AE AC等．
故答案为：此题答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD AB=AE AC等．
点评： 此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
三、解答题
　
16．（2012 张家界）先化简：，再用一个你最喜欢的数代替a计算结果．
考点： 分式的化简求值。
专题： 开放型。
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．
解答： 解：原式=×+1
=+1
∵a≠0，a≠±2，
∴a可以等于1，
当a=1时，原式=1+1=2．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，在解答此题时要注意a不能取0、2、﹣2．
　
17．（2012 新疆）先化简，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
考点： 分式的化简求值。
专题： 开放型。
分析： 将原式被除式的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分母提取2并利用平方差公式分解因式，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后从已知解集中找出整数解为﹣1，﹣2，1，2，0，但是当x=﹣1，1，0时原式没有意义，故x取2或﹣2，将x
=2或﹣2代入化简后的式子中，即可求出原式的值．
解答： 解：（﹣）÷
=÷
=
=，
由解集﹣2≤x≤2中的整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，
当x=1，﹣1，0时，原式没有意义；
若x=2时，原式==2；若x=﹣2时，原式==﹣2．
点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，本题x的值不能取﹣1，1，0，做题时要注意．
18．（2012 吉林）在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；
情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．
（1）情境a，b所对应的函数图象分别是　 　、　 　（填写序号）；
（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．
考点： 函数的图象。
专题： 推理填空题；开放型。
分析： （1）根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案；
（2）把图象分为三部分，再根据离家的距离进行叙述，即可得出答案．
解答： 解：（1）∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，
发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时②③都符合，
又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，
∴只有③符合情境a；
∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，
∴只有①符合，
故答案为：③，①．
（2）情境是小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家．
点评： 主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目．
19．（2012 衢州）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题： 探究型。
分析： 由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB∥CD，AB=CD，然后利用平行线的性质，求得∠ABE=∠CDF，又由BE=DF，即可证得△ABE≌△CDF，继而可得AE=CF．
解答： 解：猜想：AE=CF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF．
点评： 此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对边平行且相等，注意数形结合思想的应用．
　
　
20．（2012 佳木斯）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；
（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．
考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。810360
专题： 综合题。
分析： （1）根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，所以CE=CF，然后等边对等角的性质可得∠F=∠CEF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠F=30°，从而得到∠CBE=∠F，根据等角对等边的性质即可证明；
（2）图2，过点E作EG∥BC，交AB于点G，根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ACB=60°，再求出△AGE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AG=AE，从而可以求出BG=CE，再根据等角的补角相等求出∠BGE=∠ECF=120°，然后利用“边角边”证明△BGE和△ECF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
图3，证明思路与方法与图2完全相同．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CBE=∠F，
∴BE=EF；
（2）图2：BE=EF．…（1分）
图3：BE=EF．…（1分）
图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，…（1分）
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，…（1分）
∴AG=AE，
∴BG=CE，…（1分）
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=120°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）
∴BE=EF； …（1分）
图3证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC∠ACB=60°，…（1分）
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，…（1分）
∴AG=AE，
∴BG=CE，…（1分）
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=60°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）
∴BE=EF． …（1分）
点评： 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键．
　
　
21．（2012 朝阳）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形ABCD为平行四边形，请证明．你添加的条件是　 　．
考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质。810360
分析： 由题目的已知条件可知添加∠F=∠CDE，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC=BF=AB，且DC∥AB，进而证明四边形ABCD为平行四边形．
解答： 解：条件是：∠F=∠CDE，
理由如下：
∵∠F=∠CDE
∴CD∥AF
在△DEC与△FEB中，
，
∴△DEC≌△FEB
∴DC=BF，∠C=∠EBF
∴AB∥DC
∵AB=BF
∴DC=AB
∴四边形ABCD为平行四边形
故答案为：∠F=∠CDE．
点评： 本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
　
　
22．（2012 柳州）右表反映了x与y之间存在某种函数关系，现给出了几种可能的函数关系式：
y=x+7，y=x﹣5，y=﹣，y=x﹣1
x … ﹣6 ﹣5 3 4 …
y … 1 1.2 ﹣2 ﹣1.5 …
（1）从所给出的几个式子中选出一个你认为满足上表要求的函数表达式：　 ；
（2）请说明你选择这个函数表达式的理由．
考点： 反比例函数的性质；函数关系式；一次函数的性质。810360
专题： 探究型。
分析： （1）根据表中列出的x与y的对应关系判断出各点所在的象限，再根据所给的几个函数关系式即可得出结论；
（2）根据（1）中的判断写出理由即可．
解答： 解：（1）∵由表中所给的x、y的对应值的符号均相反，
∴所给出的几个式子中只有y=﹣符合条件，
故答案为：y=﹣；
（2）∵由表中所给的x、y的对应值的符号均相反，
∴此函数图象在二、四象限，
∵xy=（﹣6）×1=（﹣5）×1.2=﹣6，
∴所给出的几个式子中只有y=﹣符合条件．
点评： 本题考查的是反比例函数的性质及一次函数的性质，先根据表中xy的对应值判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键．
　
23．（2012 漳州）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明．
题设：　 　；结论：　 　．（均填写序号）
证明：
考点： 全等三角形的判定与性质；命题与定理。810360
分析： 此题可以分成三种情况：情况一：题设：①②③；结论：④，可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF；情况二：题设：①③④；结论：②，可以利用AAS证明△ABC≌△DEF；情况三：题设：②③④；结论：①，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可推出结论．
解答： 情况一：题设：①②③；结论：④．
证明：∵BF=EC，
∴BF+CF=EC+CF，
即BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠1=∠2；
情况二：题设：①③④；结论：②．
证明：在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC=EF，
∴BC﹣FC=EF﹣FC，
即BF=EC；
情况三：题设：②③④；结论：①．
证明：∵BF=EC，
∴BF+CF=EC+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，此题为开放性题目，需要同学们有较强的综合能力，熟练应用全等三角形的全等判定才能正确解答．
　
25．（2012 南平）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件．使四边形AECF是平行四边形，并予以证明，
备选条件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD，
我选择添加的条件是：　 　．
（注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证明）
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。810360
专题： 证明题。
分析： 根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出AF∥CE，AF=CE，根据平行四边形的判定推出即可．
解答： 解：添加的条件是BE=DF．证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF=CE，
即AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
故答案为：BE=DF．
点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，通过做此题培养了学生的推理能力，同时也培养了学生的分析问题和解决问题的能力．
　
26．（2012 南平）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一：　 　；
结论二：　 　；
结论三：　 　．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
考点： 相似形综合题。810360
专题： 综合题。
分析： （1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD；
（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形，则AC=BC=×2=，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD，则有AD：AC=AE：AD，即AD2=AE AC，
AE=== AD2，当AD⊥BC，AD最小，且AD=BC=1，此时AE最小为，利用CE=AC﹣AE得到CE的最大值；
②讨论：当AD=AE时，则∠1=∠AED=45°，得到∠DAE=90°，则点D与B重合，不合题意舍去；当EA=ED时，如图1，则∠EAD=∠1=45°，所以有AD平分∠BAC，得到AD垂直平分BC，则BD=1；
当DA=DE时，如图2，由△ADE∽△ACD，易得△CAD为等腰三角形，则DC=CA=，于是有BD=BC﹣DC=2﹣．
解答： 解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；
（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴AC=BC=×2=，
∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴AD：AC=AE：AD，即AD2=AE AC，
∴AE=== AD2，
当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=BC=1，
∴AE的最小值为×12=，
∴CE的最大值=﹣=；
②当AD=AE时，
∴∠1=∠AED=45°，
∴∠DAE=90°，
∴点D与B重合，不合题意舍去；
当EA=ED时，如图1，
∴∠EAD=∠1=45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴BD=1；
当DA=DE时，如图2，
∵△ADE∽△ACD，
∴DA：AC=DE：DC，
∴DC=CA=，
∴BD=BC﹣DC=2﹣，
∴当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2﹣．
点评： 本题考查了相似形综合题：运用相似比进行线段的计算；熟练掌握等腰直角三角形的性质；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
　2013年中考数学专题讲座一：选择题解题方法
一、中考专题诠释
选择题是各地中考必考题型之一，2012年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性.
选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.
二、解题策略与解法精讲
选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.
解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.
三、中考典例剖析
考点一：直接法
从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础.
例1 （2012 白银）方程的解是（　　）
　 A．x=±1 B． x=1 C． x=﹣1 D． x=0
思路分析： 观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解：方程的两边同乘（x+1），得
x2﹣1=0，
即（x+1）（x﹣1）=0，
解得：x1=﹣1，x2=1．
检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解；
把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解．
则原方程的解为：x=1．
故选B．
点评： 此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
对应训练
1．（2012 南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（　　）
A．7队 B．6队 C．5队 D．4队
考点二：特例法
运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好.
例2 （2012 常州）已知a、b、c、d都是正实数，且 ，给出下列四个不等式：
①；②；③ ；④。
其中不等式正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
思路分析：由已知a、b、c、d都是正实数，且 ，取a=1，b=3，c=1，d=2，代入所求四个式子即可求解。
解：由已知a、b、c、d都是正实数，且 ，取a=1，b=3，c=1，d=2，则
，所以，故①正确；
，所以，故③正确。
故选A。
点评：本题考查了不等式的性质，用特殊值法来解，更为简单．
对应训练
2．（2012 南充）如图，平面直角坐标系中，⊙O的半径长为1，点P（a，0），⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为（　　）
A．3 B．1 C．1，3 D．±1，±3
考点三：筛选法（也叫排除法、淘汰法）
分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.
例3 （2012 东营）方程(k-1)x2-x+=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥1 B．k≤1 C．k＞1 D．k＜1
思路分析：原方程有两个实数根，故为二次方程，二次项系数不能为0，可排除A、B；又因为被开方数非负，可排除C。故选D．
解：方程(k-1)x2-x+=0有两个实数根，故为二次方程，二次项系数，，可排除A、B；又因为，可排除C。
故选D．
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式与解的情况，用排除法较为简单．
对应训练
3． （2012 临沂）如图，若点M是x轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数
y= （x＞0）和y=（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP和OQ．则下列结论正确的是（　　）
A．∠POQ不可能等于90°
B．
C．这两个函数的图象一定关于x轴对称
D．△POQ的面积是（|k1|+|k2|）
考点四：逆推代入法
将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法. 在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度.
例4 （2012 贵港）下列各点中在反比例函数y=的图象上的是（　　）
A．（-2，-3） B．（-3，2） C．（3，-2） D．（6，-1）
思路分析：根据反比例函数y=中xy=6对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵（-2）×（-3）=6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
B、∵（-3）×2=-6≠6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、∵3×（-2）=-6≠6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
D、∵6×（-1）=-6≠6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选A．
点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答此题的关键．
对应训练
4．（2012 贵港）从2，﹣1，﹣2三个数中任意选取一个作为直线y=kx+1中的k值，则所得的直线不经过第三象限的概率是（　　）
　 A． B． C． D． 1
考点五：直观选择法
利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想，每年中考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速.
例5 （2012 贵阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（　　）
A．有最小值-5、最大值0 B．有最小值-3、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
解：由二次函数的图象可知，
∵-5≤x≤0，
∴当x=-2时函数有最大值，y最大=6；
当x=-5时函数值最小，y最小=-3．
故选B．
点评：本题考查的是二次函数的最值问题，能利用数形结合求出函数的最值是解答此题的关键．
对应训练
5． （2012 南宁）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是（　　）
A．k=n B．h=m C．k＜n D．h＜0，k＜0
考点六：特征分析法
对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判断和选择的方法
例6 （2012 威海）下列选项中，阴影部分面积最小的是（　　）
A． B．
C． D．
分析：根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可．
解：A、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴S阴影=2；
B、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴S阴影=2；
C、如图所示，分别过点MN作MA⊥x轴，NB⊥x轴，则S阴影=S△OAM+S阴影梯形ABNM-S△OBN=×2+（2+1）×1-×2=；
D、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴×1×4=2．
∵＜2，
∴C中阴影部分的面积最小．
故选C．
点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．
对应训练
6．（2012 丹东）如图，点A是双曲线y=在第二象限分支上的任意一点，点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为（　　）
　 A．﹣1 B． 1 C． 2 D． ﹣2
考点七：动手操作法
与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型，只凭想象不好确定，处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的.
例7 （2012 西宁）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论（　　）
A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
思路分析：严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可仔细观察图形特点，利用对称性与排除法求解．
解：如图②，∵△CDE由△ADE翻折而成，
∴AD=CD，
如图③，∵△DCF由△DBF翻折而成，
∴BD=CD，
∴AD=BD=CD，点D是AB的中点，
∴CD=AB，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
故选C．
点评：本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
对应训练
7．（2012 宁德）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　）
　 A． B．
C． D．
四、中考真题演练
1．（2012 衡阳）一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为（　　）
　 A．30πcm2 B． 25πcm2 C． 50πcm2 D． 100πcm2
2．（2012 福州）⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm和4cm，如果O1O2=7cm，则这两圆的位置关系是（　　）
　 A．内含 B． 相交 C． 外切 D． 外离
3．（2012 安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）
　 A．2a2 B． 3a2 C． 4a2 D． 5a2
4．（2012 安徽）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线 ，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（　　）
　 A． B．
C． D．
5．（2012 黄石）有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（　　）
　 A．x=1，y=3 B． x=3，y=2 C． x=4，y=1 D． x=2，y=3
6．（2012 长春）有一道题目：已知一次函数y=2x+b，其中b＜0，…，与这段描述相符的函数图象可能是（　　）
　 A． B．
C． D．
7．（2012 荆门）如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作 ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（　　）
　 A．2 B． 3 C． 4 D． 5
8．（2012 河池）若a＞b＞0，则下列不等式不一定成立的是（　　）
　 A．ac＞bc B． a+c＞b+c C． D． ab＞b2
9．（2012 南通）已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于（　　）
　 A．64 B． 48 C． 32 D． 16
10．（2012 六盘水）下列计算正确的是（　　）
　 A． B． （a+b）2=a2+b2 C． （﹣2a）3=﹣6a3 D． ﹣（x﹣2）=2﹣x
11．（2012 郴州）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
　 A．（﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （1，2）
12．（2012 莆田）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平均数均为166cm，且方差分别为=1.5，=2.5，=2.9，=3.3，则这四队女演员的身高最整齐的是（　　）
　 A．甲队 B． 乙队 C． 丙队 D． 丁队
13．（2012 怀化）为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8，则下列说法正确的是（　　）
　 A．甲秧苗出苗更整齐 B． 乙秧苗出苗更整齐
　 C．甲、乙出苗一样整齐 D． 无法确定
14．（2012 长春）如图是2012年伦敦奥运会吉祥物，某校在五个班级中对认识它的人数进行了调查，结果为（单位：人）：30，31，27，26，31．这组数据的中位数是（　　）
　 A．27 B． 29 C． 30 D． 31
15．（2012 钦州）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，在把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是（　　）
　 A．正三角形 B． 正方形 C． 正五边形 D． 正六边形
16．（2012 江西）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（　　）
　 A．a户最长 B． b户最长 C． c户最长 D． 三户一样长
17．（2012 大庆）平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（，1），将OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，则点B的坐标为（　　）
　 A．（1，） B． （﹣1，） C． （O，2） D． （2，0）
18．（2012 长春）在下列正方体的表面展开图中，剪掉1个正方形（阴影部分），剩余5个正方形组成中心对称图形的是（　　）
　 A． B．
C． D．
19．（2012 凉山州）已知，则的值是（　　）
　 A． B． C． D．
20．（2012 南充）下列几何体中，俯视图相同的是（　　）
　 A．①② B． ①③ C． ②③ D． ②④
21．（2012 朝阳）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是（　　）
　 A．两个外离的圆 B． 两个相交的圆 C． 两个外切的圆 D． 两个内切的圆
22．（2012 河池）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上．如果∠1=25°，那么∠2的度数是（　　）
　 A．30° B． 25° C． 20° D． 15°
23．（2012 长春）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为（m﹣1，2n），则m与n的关系为（　　）
　 A．m+2n=1 B． m﹣2n=1 C． 2n﹣m=1 D． n﹣2m=1
24．（2012 巴中）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）
　 A．AB=AC B． ∠BAC=90° C． BD=AC D． ∠B=45°
25．（2012 河池）用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
　 A． 一组邻边相等的四边形是菱形
　 B． 四边相等的四边形是菱形
　 C． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
　 D． 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
　
26．（2012 随州）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（　　）
　 A．35° B． 55° C． 70° D． 110°
27．（2012 攀枝花）下列四个命题：
①等边三角形是中心对称图形；
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③三角形有且只有一个外接圆；
④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．
其中真命题的个数有（　　）
　 A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
28．（2012 莱芜）以下说法正确的有（　　）
①正八边形的每个内角都是135°
②与是同类二次根式
③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°
④反比例函数y=﹣，当x＜0时，y随x的增大而增大．
　 A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
29．（2012 东营）如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中正确的结论是（　　）
　 A．①② B． ①②③ C． ①②③④ D． ②③④
专题一 选择题解题方法参考答案
三、中考典例剖析
对应训练
1．C
解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x-1=10，
即=10，
∴x2-x-20=0，
∴x=5或x=-4（不合题意，舍去）．
故选C．
2．D
解：当两个圆外切时，圆心距d=1+2=3，即P到O的距离是3，则a=±3．
当两圆相内切时，圆心距d=2-1=1，即P到O的距离是1，则a=±1．
故a=±1或±3．
故选D．
3．D
解：A．∵P点坐标不知道，当PM=MO=MQ时，∠POQ=90°，故此选项错误；
B．根据图形可得：k1＞0，k2＜0，而PM，QM为线段一定为正值，故，故此选项错误；
C．根据k1，k2的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x轴对称，故此选项错误；
故选：D．
4．C
5．A
6．D
解：∵点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点，
∴四边形ABCD是矩形，
∵四边形ABCD的面积是8，
∴4×|﹣k|=8，
解得|k|=2，
又∵双曲线位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴k=﹣2．
故选D．
7． B．
四、中考真题演练
1．B
2．C　
3．A
解：∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，
∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，
∴sin45°===，
∴AC=BC=a，
∴S△ABC=×a×a=，
∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：×4=a2．
正八边形中间是边长为a的正方形，
∴阴影部分的面积为：a2+a2=2a2，
故选：A．
4．D
解：当P与O重合，
∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，
∴AO=2，OP=x，则AP=2﹣x，
∴tan60°==，
解得：AB=（2﹣x）=﹣x+2，
∴S△ABP=×PA×AB=（2﹣x） （﹣x+2）=x2﹣6x+6，
故此函数为二次函数，
∵a=＞0，
∴当x=﹣=﹣=2时，S取到最小值为：=0，
根据图象得出只有D符合要求．
故选：D．
5．B
解：根据题意得：7x+9y≤40，
则x≤，
∵40﹣9y≥0且y是非负整数，
∴y的值可以是：1或2或3或4．
当x的值最大时，废料最少，
当y=1时，x≤，则x=4，此时，所剩的废料是：40﹣1×9﹣4×7=3mm；
当y=2时，x≤，则x=3，此时，所剩的废料是：40﹣2×9﹣3×7=1mm；
当y=3时，x≤，则x=1，此时，所剩的废料是：40﹣3×9﹣7=6mm；
当y=4时，x≤，则x=0（舍去）．
则最小的是：x=3，y=2．
故选B．
6．A
7．D
解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．
把y=b代入y=得，b=，则x=，，即A的横坐标是，；
同理可得：B的横坐标是：﹣．
则AB=﹣（﹣）=．
则S□ABCD=×b=5．
故选D．
8．A
9．A
10．D
11．D
12．A
13．A
14．C
15．D
16．D
17．A
解：如图，作AC⊥x轴于C点，BD⊥y轴于D点，
∵点A的坐标为（，1），
∴AC=1，OC=，
∴OA==2，
∴∠AOC=30°，
∵OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，
∴∠AOB=30°，OA=OB，
∴∠BOD=30°，
∴Rt△OAC≌Rt△OBD，
∴DB=AC=1，OD=OC=，
∴B点坐标为（1，）．
故选A．
18．D
19．D　
20．C
21．B
22．C
解：∵△GEF是含45°角的直角三角板，
∴∠GFE=45°，
∵∠1=25°，
∴∠AFE=∠GEF﹣∠1=45°﹣25°=20°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠AFE=20°．
故选C．
23．B
解：∵OA=OB；分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C，
∴C点在∠BOA的角平分线上，
∴C点到横纵坐标轴距离相等，进而得出，m﹣1=2n，
即m﹣2n=1．
故选：B．
24．A
25．B
26．B　
27．B
解：∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴①是假命题；
如图，∠C和∠D都对弦AB，但∠C和∠D不相等，即②是假命题；
三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即③是真命题；
垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即④是真命题．
故选B．
28．C
解：①正八边形的每个内角都是：=135°，故①正确；
②∵=3，=，
∴与是同类二次根式；故②正确；
③如图：∵OA=OB=AB，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=∠AOB=30°，
∴∠D=180°﹣∠C=150°，
∴长度等于半径的弦所对的圆周角为：30°或150°；故③错误；
④反比例函数y=﹣，当x＜0时，y随x的增大而增大．故④正确．
故正确的有①②④，共3个．
故选C．
29．C
解：①设D（x，），则F（x，0），
由图象可知x＞0，
∴△DEF的面积是：×||×|x|=2，
设C（a，），则E（0，），
由图象可知：＜0，a＞0，
△CEF的面积是：×|a|×||=2，
∴△CEF的面积=△DEF的面积，
故①正确；
②△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，
故EF∥CD，
∴FE∥AB，
∴△AOB∽△FOE，
故②正确；
③∵C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数的图象的交点，
∴x+3=，
解得：x=﹣4或1，
经检验：x=﹣4或1都是原分式方程的解，
∴D（1，4），C（﹣4，﹣1），
∴DF=4，CE=4，
∵一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵DF∥BO，AO∥CE，
∴∠BCE=∠BAO=45°，∠FDA=∠OBA=45°，
∴∠DCE=∠FDA=45°，
在△DCE和△CDF中，
∴△DCE≌△CDF（SAS），
故③正确；
④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，
故④正确；
正确的有4个．
故选C．2013年中考数学复习专题讲座九：阅读理解型问题
一、中考专题诠释
阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.
二、解题策略与解法精讲
解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.
三、中考考点精讲
考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题
例1 （2012 十堰）阅读材料：
例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．
解：=，
如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，
则可以看成点P与点A（0，1）的距离，
可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式的最小值为 ．
考点：轴对称-最短路线问题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
析：（1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；
（2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．
解答：解：（1）∵原式化为的形式，
∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，
故答案为（2，3）；
（2）∵原式化为的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，
如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，
∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，
∵A（0，7），B（6，1）
∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，
∴A′B==10，
故答案为：10．
点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．
考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法
例2 （2012 赤峰）阅读材料：
（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a-b＞0时，一定有a＞b；
当a-b=0时，一定有a=b；
当a-b＜0时，一定有a＜b．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a2-b2=（a+b）（a-b），a+b＞0
∴（a2-b2）与（a-b）的符号相同
当a2-b2＞0时，a-b＞0，得a＞b
当a2-b2=0时，a-b=0，得a=b
当a2-b2＜0时，a-b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：
①W1= （用x、y的式子表示）
W2= （用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．
①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
考点：轴对称-最短路线问题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；整式的混合运算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1-W2=x-y，根据x和y的大小比较即可；
（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；
③求出a12-a22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．
解答：（1）解：①W1=3x+7y，W2=2x+8y，
故答案为：3x+7y，2x+8y．

②解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y，
∵x＞y，
∴x-y＞0，
∴W1-W2＞0，
得W1＞W2，
所以张丽同学用纸的总面积大．

（2）①解：a1=AB+AP=x+3，
故答案为：x+3．

②解：过B作BM⊥AC于M，
则AM=4-3=1，
在△ABM中，由勾股定理得：BM2=AB2-12=x2-1，
在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=，
故答案为：．
③解：a12-a22=（x+3）2-（）2=x2+6x+9-（x2+48）=6x-39，
当a12-a22＞0（即a1-a2＞0，a1＞a2）时，6x-39＞0，解得x＞6.5，
当a12-a22=0（即a1-a2=0，a1=a2）时，6x-39=0，解得x=6.5，
当a12-a22＜0（即a1-a2＜0，a1＜a2）时，6x-39＜0，解得x＜6.5，
综上所述
当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，
当x=6.5时，两种方案一样，
当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．
点评：本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论
例3 （2012 凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值： ．
考点：轴对称-最短路线问题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；
（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．
解答：解：（1）如图，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，
P点即为所求；
（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE为△ABC中位线，
∵BC=6，BC边上的高为4，
∴DE=3，DD′=4，
∴D′E==5，
∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8，
故答案为：8．
点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE周长的最小值，求出DP+PE的最小值即可是解题关键．
考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题
例4 （2012 重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
考点：相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；直角梯形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：代数几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；
（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；
（3）分别从当0≤t≤时，当＜t≤2时，当2＜t≤时，当＜t≤4时去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）如图①，
设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x，
∵AB=3，BC=6，
∴AG=AB-BG=3-x，
∵GF∥BE，
∴△AGF∽△ABC，
∴，
即，
解得：x=2，
即BE=2；
（2）存在满足条件的t，
理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，
则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t-2|，EC=4-t，
∵EF∥AB，
∴△MEC∽△ABC，
∴，即，
∴ME=2-t，
在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2-t）2=t2-2t+8，
在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t-2）2=t2-4t+13，
过点M作MN⊥DH于N，
则MN=HE=t，NH=ME=2-t，
∴DN=DH-NH=3-（2-t）=t+1，
在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，
即t2+t+1=（t2-2t+8）+（t2-4t+13），
解得：t=，
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，
即t2-4t+13=（t2-2t+8）+（t2+t+1），
解得：t1=-3+，t2=-3-（舍去），
∴t=-3+；
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，
即：t2-2t+8=（t2-4t+13）+（t2+t+1），
此方程无解，
综上所述，当t=或-3+时，△B′DM是直角三角形；
（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，
即2：3=CE：4，
∴CE=，
∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-=，
∵ME=2-t，
∴FM=t，
当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，
②如图④，当G在AC上时，t=2，
∵EK=EC tan∠DCB=EC =（4-t）=3-t，
∴FK=2-EK=t-1，
∵NL=AD=，
∴FL=t-，
∴当＜t≤2时，S=S△FMN-S△FKL=t2-（t-）（t-1）=-t2+t-；
③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，
解得：B′C=，
∴EC=4-t=B′C-2=，
∴t=，
∵B′N=B′C=（6-t）=3-t，
∵GN=GB′-B′N=t-1，
∴当2＜t≤时，S=S梯形GNMF-S△FKL=×2×（t-1+t）-（t-）（t-1）=-t2+2t-，
④如图⑥，当＜t≤4时，
∵B′L=B′C=（6-t），EK=EC=（4-t），B′N=B′C=（6-t）EM=EC=（4-t），
S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL-S梯形B′EMN=-t+．
综上所述：
当0≤t≤时，S=t2，
当＜t≤2时，S=-t2+t-；
当2＜t≤时，S=-t2+2t-，
当＜t≤4时，S=-t+．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．
四、中考真题演练
1．（2012 宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1， ABCD中，若AB=1，BC=2，则 ABCD为1阶准菱形．
（1）判断与推理：
①邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形；
②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把 ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．
（2）操作、探究与计算：
①已知 ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出 ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；
②已知 ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出 ABCD是几阶准菱形．
考点：图形的剪拼 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平行四边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；菱形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；作图—应用与设计作图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；
②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；
（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；
②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出 ABCD是几阶准菱形．
解答：解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，
故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；
故答案为：2；
②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BF，
∴∠AEB=∠FBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴四边形ABFE是菱形；
（2）
①如图所示：
，
②∵a=6b+r，b=5r，
∴a=6×5r+r=31r；
如图所示：
故 ABCD是10阶准菱形．
点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．
2．（2012 淮安）阅读理解
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
探究发现
（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填“是”或“不是”）．
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ．
应用提升
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
考点：翻折变换（折叠问题） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：压轴题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；规律型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；
（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；
利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；
（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．
解答：解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；
理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B=∠AA1B1；
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
∴∠A1B1C=∠C；
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），
∴∠B=2∠C；
故答案是：是；
（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．
证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；
（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，
∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，
∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．
3．（2012 南京）下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．
题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？
解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得x 2x=288．
解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12
所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）
答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．
结果为何正确呢？
（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：
变化一下会怎样…
（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．
考点：相似多边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；一元二次方程的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得方程 =2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；
（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，即
，然后利用比例的性质，即可求得答案．
解答：解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：
设温室的宽为ym，则长为2ym．
则矩形蔬菜种植区域的宽为（y-1-1）m，长为（2y-3-1）m．
∵ =2，
∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；
（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，
就要，即，
即，
即=2．
点评：此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．
4．（2012 鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．
（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：相似形综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解一元二次方程-因式分解法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平行四边形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；矩形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）解一元二次方程，求出OA、OB的长度，从而得到A、B点的坐标；
（2）△APQ与△AOB相似时，存在两种情况，需要分类讨论，不要遗漏，如图（2）所示；
（3）本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质，如图（3）所示．在求M1，M2坐标时，注意到M1，M2与Q点坐标的对应关系，则容易求解；在求M3坐标时，可以利用全等三角形，得到线段之间关系．
解答：解：（1）解方程x2-7x+12=0，得x1=3，x2=4，
∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4．
∴A（0，3），B（4，0）．
（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．
△APQ与△AOB相似，可能有两种情况：
（I）△APQ∽△AOB，如图（2）a所示．
则有，即，解得t=．
此时OP=OA-AP=，PQ=AP tanA=，∴Q（，）；
（II）△APQ∽△ABO，如图（2）b所示．
则有，即，解得t=．
此时AQ=，AH=AQ cosA=，HQ=AQ sinA=，OH=OA-AH=，
∴Q（，）．
综上所述，当t=秒或t=秒时，△APQ与△AOB相似，所对应的Q点坐标分别为（，）或（，）．
（3）结论：存在．如图（3）所示．
∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．
过Q点作QE⊥y轴于点E，则QE=AQ sin∠QAP=，AE=AQ cos∠QAP=，
∴OE=OA-AE=，∴Q（，）．
∵ APQM1，∴QM1⊥x轴，且QM1=AP=2，∴M1（，）；
∵ APQM2，∴QM2⊥x轴，且QM2=AP=2，∴M2（，）；
如图（3），过M3点作M3F⊥y轴于点F，
∵ AQPM3，∴M3P=AQ，∠QAE=∠M3PF，∴∠PM3F=∠AQE；
在△M3PF与△QAE中，∵∠QAE=∠M3PF，M3P=AQ，∠PM3F=∠AQE，
∴△M3PF≌△QAE，
∴M3F=QE=，PF=AE=，∴OF=OP+PF=，∴M3（-，）．
∴当t=2时，在坐标平面内，存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形．
点M的坐标为：M1（，），M2（，），M3（-，）．
点评：本题是动点型压轴题，综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、平行四边形等知识点．本题难点在于分类讨论思想的应用，第（2）（3）问中，均涉及到多种情况，需要逐一分析不能遗漏；另外注意解答中求动点时刻t和点的坐标的过程中，全等三角形、相似三角形、三角函数等知识发挥了重要作用，这是解答压轴题的常见技巧，需要熟练掌握．
5．（2012 长春）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm．D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE．点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止．点P在线段AD上以cm/s的速度运动，在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M在线段AQ上．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为 cm（用含t的代数式表示）．
（2）当点N落在AB边上时，求t的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．
（4）连接CD，当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中点处，直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．
考点：相似形综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）点P在AD段的运动时间为2s，则DP的长度为（t-2）cm；
（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如图（2）所示．利用运动线段之间的数量关系求出时间t的值；
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示．分别用时间t表示各相关运动线段的长度，然后利用“S=S梯形AQPD-S△AMF=（PG+AC） PC-AM FM”求出面积S的表达式；
（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H、点P的运动过程：
当4＜t＜6时，此时点P在线段DE上运动，如图（4）a所示．此时点H将两次落在线段CD上；
当6≤t≤8时，此时点P在线段EB上运动，如图（4）b所示．此时MN与CD的交点始终是线段MN的中点，即点H．
解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=4cm，
∴AB=，
D为AB中点，∴AD=2，
∴点P在AD段的运动时间为=2s．
当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t-2）s，
∵DE段运动速度为1cm/s，∴DP=（t-2）cm．
（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如下图所示：
①如图（2）a，此时点D与点N重合，P位于线段DE上．
由三角形中位线定理可知，DM=BC=2，∴DP=DM=2．
由（1）知，DP=t-2，∴t-2=2，∴t=4；
②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．
∵DE=AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s，
∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．
∵PN∥AC，∴PN：PB=AC：BC=2，∴PN=2PB=16-2t．
由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=．
所以，当点N落在AB边上时，t=4或t=．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示：
①当2＜t＜4时，如图（3）a所示．
DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．
∵MN∥BC，∴FM：AM=BC：AC=1：2，∴FM=AM=t．
S=S梯形AQPD-S△AMF=（DP+AQ） PQ-AM FM= [（t-2）+（2+t）]×2-t t=-t2+2t；
②当＜t＜8时，如图（3）b所示．
PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，
∴FM=AM=6-t，PG=2PB=16-2t，
S=S梯形AQPD-S△AMF=（PG+AC） PC-AM FM= [（16-2t）+8]×（t-4）-（12-t） （6-t）=-t2+22t-84．
综上所述，S与t的关系式为：S=。
（4）依题意，点H与点P的运动分为两个阶段，如下图所示：
①当4＜t＜6时，此时点P在线段DE上运动，如图（4）a所示．
此阶段点P运动时间为2s，因此点H运动距离为2.5×2=5cm，而MN=2，
则此阶段中，点H将有两次机会落在线段CD上：
第一次：此时点H由M-＞H运动时间为（t-4）s，运动距离MH=2.5（t-4）cm，∴NH=2-MH=12-2.5t；
又DP=t-2，DN=DP-2=t-4，由DN=2NH得到：t-4=2（12-2.5t），解得t=；
第二次：此时点H由N-＞H运动时间为t-4-=（t-4.8）s，运动距离NH=2.5（t-4.8）=2.5t-12；
又DP=t-2，DN=DP-2=t-4，由DN=2NH得到：t-4=2（2.5t-12），解得t=5；
②当6≤t≤8时，此时点P在线段EB上运动，如图（4）b所示．
由图可知，在此阶段，始终有MH=MC，即MN与CD的交点始终为线段MN的中点，即点H．
综上所述，在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是：t=或t=5或6≤t≤8．
点评：本题是运动型综合题，涉及到动点型（两个动点）和动线型，运动过程复杂，难度颇大，对同学们的解题能力要求很高．读懂题意，弄清动点与动线的运动过程，是解题的要点．注意第（2）、（3）、（4）问中，分别涉及多种情况，需要进行分类讨论，避免因漏解而失分．
6．（2012 丽水）小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一般”三选一投票．如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图．
（1）求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数；
（2）求小明的综合得分是多少？
（3）在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩得分至少要多少分？
考点：条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；一元一次不等式的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；加权平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据众数的定义和所给的统计图即可得出评委给小明演讲答辩分数的众数；用1减去一般和优秀所占的百分比，再乘以360°，即可得出民主测评为“良好”票数的扇形圆心角的度数；
（2）先去掉一个最高分和一个最低分，算出演讲答辩分的平均分，再算出民主测评分，再根据规定即可得出小明的综合得分；
（3）先设小亮的演讲答辩得分为x分，根据题意列出不等式，即可得出小亮的演讲答辩得至少分数．
解答：解：（1）小明演讲答辩分数的众数是94分，
民主测评为“良好”票数的扇形的圆心角度数是：（1-10%-70%）×360°=72°．
（2）演讲答辩分：（95+94+92+90+94）÷5=93，
民主测评分：50×70%×2+50×20%×1=80，
所以，小明的综合得分：93×0.4+80×0.6=85.2．
（3）设小亮的演讲答辩得分为x分，根据题意，得：
82×0.6+0.4x≥85.2，
解得：x≥90．
答：小亮的演讲答辩得分至少要90分．
点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个评分的数据．
7．（2012 黑龙江）为了强化司机的交通安全意识，我市利用交通安全宣传月对司机进行了交通安全知识问卷调查．关于酒驾设计了如下调查问卷：
克服酒驾--你认为哪种方式最好？（单选）
A加大宣传力度，增强司机的守法意识． B在汽车上张贴温馨提示：“请勿酒驾”．
C司机上岗前签“拒接酒驾”保证书． D加大检查力度，严厉打击酒驾．
E查出酒驾追究一同就餐人的连带责任．
随机抽取部分问卷，整理并制作了如下统计图：
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是多少？
（2）补全条形图，并计算B选项所对应扇形圆心角的度数；
（3）若我市有3000名司机参与本次活动，则支持D选项的司机大约有多少人？
考点：条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）用E小组的频数除以该组所占的百分比即可求得样本容量；
（2）用总人数乘以该组所占的百分比即可求得A组的人数，总数减去其他小组的频数即可求得B小组的人数；
（3）总人数乘以支持D选项的人数占300人的比例即可；
解答：解：（1）样本容量：69÷23%=300 …（2分）
（2）A组人数为300×30%=90（人）
B组人数：300-（90+21+80+69）=40（人）…（1分）
补全条形图人数为40 …（1分）
圆心角度数为 360°×=48°，
（3）3000×=800（人）
点评：本题考查了统计图的各种知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的有关信息．
8．（2012 达州）今年5月31日是世界卫生组织发起的第25个“世界无烟日”．为了更好地宣传吸烟的危害，某中学八年级一班数学兴趣小组设计了如下调查问卷，在达城中心广场随机调查了部分吸烟人群，并将调查结果绘制成统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是 人，并把条形统计图补充完整．
（2）在扇形统计图中，C选项的人数百分比是 ，E选项所在扇形的圆心角的度数是 ．
（3）若通川区约有烟民14万人，试估计对吸烟有害持“无所谓”态度的约有多少人？你对这部分人群有何建议？
考点：条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）调查的总人数用B小组的人数除以其所占的百分比即可；
（2）用C小组的频数除以总人数即可求得其所占的百分比；
（3）用总人数乘以无所谓态度所占的百分比即可．
解答：解：（1）∵B小组共有126人，占总数的42%，
∴总人数为126÷42%=300（1分）?补全统计图如下：
（2）∵C选项的共有78人，
∴78÷300×100%=26%，
∵E选项共有30人，
∴其圆心角的度数为30÷300×360=36°，
（3）解：A选项的百分比为：×100%=4%
对吸烟有害持“无所谓” 态度的人数为：14×4%=0.56（万）。
建议：只要答案合理均可得分。
点评：本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息．
9．（2012 六盘水）假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是 张，补全统计图．
（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？
（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．
考点：游戏公平性 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据去A、B、D的车票总数除以所占的百分比求出总数，再减去去A、B、D的车票总数即可；
（2）用去B地的车票数除以总的车票数即可；
（3）根据题意用列表法分别求出当指针指向的两个数字之和是偶数时的概率，即可求出这个规定对双方是否公平．
解答：解：（1）根据题意得：
总的车票数是：（20+40+10）÷（1-30%）=100，
则去C地的车票数量是100-70=30；
故答案为：30．

（2）余老师抽到去B地的概率是；
（3）根据题意列表如下：
因为两个数字之和是偶数时的概率是，
所以票给李老师的概率是，
所以这个规定对双方公平．
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
10．（2012 无锡）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=
投资收益
实际投资额
×100%）
（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？
考点：一元一次方程的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；列代数式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较；
（2）利用（1）的表示，根据二者的差是5万元，即可列方程求解．
解答：解：（1）设商铺标价为x万元，则
按方案一购买，则可获投资收益（120%-1） x+x 10%×5=0.7x，
投资收益率为×100%=70%，
按方案二购买，则可获投资收益（120%-0.85） x+x 10%×（1-10%）×3=0.62x，
投资收益率为×100%≈72.9%，
∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高；
（2）由题意得0.7x-0.62x=5，
解得x=62.5万元，
∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．
点评：本题考查了列方程解应用题，正确表示出两种方案的收益率是解题的关键．
11．（2012 呼和浩特）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元，请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：
乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列方程组．
甲：x表示 ，y表示 ；
乙：x表示 ，y表示 。
（2）甲同学根据他所列方程组解得x=300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
考点：二元一次方程组的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出x，y的值并补全方程组即可；
（2）将x的值代入方程组即可得到结论．
解答：解：（1）甲：x表示产品的重量，y表示原料的重量，
乙：x表示产品销售额，y表示原料费，
甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲；
（2）将x=300代入原方程组解得y=400
∴产品销售额为300×8000=2400000元
原料费为400×1000=400000元
又∵运费为15000+97200=112200元
∴这批产品的销售额比原料费和运费的和多2400000-（400000+112200）=1887800元
点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是从题目中找到等量关系并写出表示出x、y所表示的实际意义．
12．（2012 湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2-4＞0
解：∵x2-4=（x+2）（x-2）
∴x2-4＞0可化为
（x+2）（x-2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①， ②。
解不等式组①，得x＞2，
解不等式组②，得x＜-2，
∴（x+2）（x-2）＞0的解集为x＞2或x＜-2，
即一元二次不等式x2-4＞0的解集为x＞2或x＜-2．
（1）一元二次不等式x2-16＞0的解集为 ；
（2）分式不等式＞0的解集为 ；
（3）解一元二次不等式2x2-3x＜0．
考点：一元二次方程的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；分式方程的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；一元一次不等式组的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；
（2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；
（3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；
解答：解：（1）∵x2-16=（x+4）（x-4）
∴x2-16＞0可化为
（x+4）（x-4）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得或。
解不等式组①，得x＞4，
解不等式组②，得x＜-4，
∴（x+4）（x-4）＞0的解集为x＞4或x＜-4，
即一元二次不等式x2-16＞0的解集为x＞4或x＜-4．
（2）∵＞0
∴或，
解得：x＞3或x＜1
（3）∵2x2-3x=x（2x-3）
∴2x2-3x＜0可化为
x（2x-3）＜0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
或，
解不等式组①，得0＜x＜，
解不等式组②，无解，
∴不等式2x2-3x＜0的解集为0＜x＜．
点评：本题考查了一元一次不等式组及方程的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经过加工得到解决此类问题的方法．
13．（2012 宜昌）[背景资料]
低碳生活的理念已逐步被人们接受．据相关资料统计：
一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18kg；
一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6kg．
[问题解决]
甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”、“少买衣服”的倡议．2009年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排二氧化碳总量为600kg．
（1）2009年两校响应本校倡议的人数分别是多少？
（2）2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；乙校响应本校倡议的人数每年按相同的百分率增长．2010年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍；2011年两校响应本校倡议的总人数比2010年两校响应本校倡议的总人数多100人．求2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量．
考点：一元二次方程的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；二元一次方程组的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）设2009年甲校响应本校倡议的人数为x人，乙校响应本校倡议的人数为y人，根据题意列出方程组求解即可．
（2）设2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加m人；乙校响应本校倡议的人数每年增长的百分率为n．根据题目中的人数的增长率之间的关系列出方程组求解即可．
解答：解：（1）方法一：设2009年甲校响应本校倡议的人数为x人，乙校响应本校倡议的人数为y人，…1分
依题意得：
，
解之得x=20，y=40…4分
方法二：设2009年甲校响应本校倡议的人数为x人，乙校响应本校倡议的人数为（60-x）人，..1分
依题意得：
18x+6（60-x）=600…3分
解之得：x=20，60-x=40…4分
∴2009年两校响应本校倡议的人数分别是20人和40人．
（2）设2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加m人；乙校响应本校倡议的人数每年增长的百分率为n．依题意得：
，
由①得m=20n，代入②并整理得2n2+3n-5=0
解之得n=1，n=-2.5（负值舍去）…8分
∴m=20…9分
∴2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量：
（20+2×20）×18+40（1+1）2×6=2040（千克）…10分
答：2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量为2040千克．
点评：本题考查了一元二次方程的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到合适的等量关系．
14．（2012 吉林）在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；
情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．
（1）情境a，b所对应的函数图象分别是 、 （填写序号）；
（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．
考点：函数的图象 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：推理填空题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；开放型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案；
（2）把图象分为三部分，再根据离家的距离进行叙述，即可得出答案．
解答：解：（1）∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，
发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时②③都符合，
又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，
∴只有③符合情境a；
∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，
∴只有①符合，
故答案为：③，①．
（2）情境是小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家．
点评：主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目．
16．（2012 咸宁）某景区的旅游线路如图1所示，其中A为入口，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图1中所给数据为相应两点间的路程（单位：km）．甲游客以一定的速度沿线路“A→D→C→E→A”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到A处时，共用去3h．甲步行的路程s（km）与游览时间t（h）之间的部分函数图象如图2所示．
（1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象；
（2）求C，E两点间的路程；
（3）乙游客与甲同时从A处出发，打算游完三个景点后回到A处，两人相约先到者在A处等候，等候时间不超过10分钟．如果乙的步行速度为3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现？请说明理由．
考点：一次函数的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：应用题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据图2中的图象得到甲从A步行到D，用了0.8h，步行了1.6km，可计算出甲步行的速度==2（km/h），从图象中可得甲步行到C共用了1.8h，步行了2.6km，于是甲在D景点逗留的时间=1.8-0.8-=1-0.5=0.5（h），即得到甲在每个景点逗留的时间；同时可得甲在C景点逗留0.5h，从2.3h开始步行到3h，步行了（3-2.3）×2=1.4km，即回到A处时共步行了4km，然后依此补全图象；
（2）由（1）得甲从C到A步行了（3-2.3）×2=1.4km，由图1得到C到A的路程为0.8km，则C，E两点间的路程为1.4-0.8=0.6km；
（3）由于走E-B-E-C的路程为0.4+0.4+0.6=1.4（km），走E-B-C的路程为0.4+1.3=1.7（km），则乙游览的最短线路为：A→D→C→E→B→E→A（或A→E→B→E→C→D→A），总行程为1.6+1+0.6+0.4×2+0.8=4.8（km），于是可计算出乙游完三个景点后回到A处的总时间=3×0.5+=3.1（h），即可得到乙比甲晚0.1小时，即6分钟到A处．
解答：解：（1）由图2得，甲从A步行到D，用了0.8h，步行了1.6km，则甲步行的速度==2（km/h），
而甲步行到C共用了1.8h，步行了2.6km，
所以甲在D景点逗留的时间=1.8-0.8-=1-0.5=0.5（h），
所以甲在每个景点逗留的时间为0.5h；
甲在C景点逗留0.5h，从2.3h开始步行到3h，步行了（3-2.3）×2=1.4km，即回到A处时共步行了4km，画右图；
（2）由（1）得甲从C到A步行了（3-2.3）×2=1.4km，
而C到A的路程为0.8km，
所以C，E两点间的路程为0.6km；
（3）他们的约定能实现．理由如下：
∵C，E两点间的路程为0.6km，
∴走E-B-E-C的路程为0.4+0.4+0.6=1.4（km），走E-B-C的路程为0.4+1.3=1.7（km），
∴乙游览的最短线路为：A→D→C→E→B→E→A（或A→E→B→E→C→D→A），总行程为1.6+1+0.6+0.4×2+0.8=4.8（km），
∴乙游完三个景点后回到A处的总时间=3×0.5+=3.1（h），
而甲用了3小时，
∴乙比甲晚0.1小时，即6分钟到A处，
∴他们的约定能实现．
点评：本题考查了一次函数的应用：根据一次函数图象的性质能从一次函数图象中获取实际问题中的相关数据，同时能用一次函数图象表示实际问题中变化情况．也考查了速度公式．
17．（2012 济宁）问题情境：
用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？
建立模型：
有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解．
解决问题：
根据以上步骤，请你解答“问题情境”．
考点：一次函数的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；规律型：图形的变化类 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：阅读型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：画出相关图形后可得这些点在一条直线上，设出直线解析式，把任意两点代入可得直线解析式，进而把x=2012代入可得相应的棋子数目．
解答：解：以图形的序号为横坐标，棋子的枚数为纵坐标，描点：（1，4）、（2，7）、（3，10）、（4，13）依次连接以上各点，所有各点在一条直线上，
设直线解析式为y=kx+b，把（1，4）、（2，7）两点坐标代入得
，
解得，
所以y=3x+1，
验证：当x=3时，y=10．
所以，另外一点也在这条直线上．
当x=2012时，y=3×2012+1=6037．
答：第2012个图有6037枚棋子．
点评：考查一次函数的应用；根据所给点画出的相关图形判断出相应的函数是解决本题的突破点．
18．（2012 吉林）如图1，A，B，C为三个超市，在A通往C的道路（粗实线部分）上有一D点，D与B有道路（细实线部分）相通．A与D，D与C，D与B之间的路程分别为25km，10km，5km．现计划在A通往C的道路上建一个配货中心H，每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从H出发，单独为A送货1次，为B送货1次，为C送货2次．货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心H，设H到A的路程为xkm，这辆货车每天行驶的路程为ykm．
（1）用含的代数式填空：
当0≤x≤25时，
货车从H到A往返1次的路程为2xkm，
货车从H到B往返1次的路程为 km，
货车从H到C往返2次的路程为 km，
这辆货车每天行驶的路程y= ．
当25＜x≤35时，
这辆货车每天行驶的路程y= ；
（2）请在图2中画出y与x（0≤x≤35）的函数图象；
（3）配货中心H建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？
考点：一次函数的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据当0≤x≤25时，结合图象分别得出货车从H到A，B，C的距离，进而得出y与x的函数关系，再利用当25＜x≤35时，分别得出从H到A，B，C的距离，
即可得出y=100；
（2）利用（1）中所求得出，利用x的取值范围，得出y与x的函数图象以及直线y=100的图象；
（3）结合图象即可得出辆货车每天行驶的路程最短时所在位置．
解答：解：（1）∵当0≤x≤25时，
货车从H到A往返1次的路程为2x，
货车从H到B往返1次的路程为：2（5+25-x）=60-2x，
货车从H到C往返2次的路程为：4（25-x+10）=140-4x，
这辆货车每天行驶的路程为：y=60-2x+2x+140-4x=-4x+200．
当25＜x≤35时，
货车从H到A往返1次的路程为2x，
货车从H到B往返1次的路程为：2（5+x-25）=2x-40，
货车从H到C往返2次的路程为：4[10-（x-25）]=140-4x，
故这辆货车每天行驶的路程为：y=2x+2x-40+140-4x=100；
故答案为：60-2x，140-4x，-4x+200，100；
（2）根据当0≤x≤25时，y=-4x+200，
x=0，y=200，x=25，y=100，
当25＜x≤35时，y=100；
如图所示：
（3）根据（2）图象可得：
当25≤x≤35时，y恒等于100km，此时y的值最小，得出配货中心H建CD段，这辆货车每天行驶的路程最短为100km．
点评：此题主要考查了一次函数的应用以及画函数图象和列代数式，利用已知分别表示出从H到A，B，C距离是解题关键．
19．（2012 黄石）某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：
方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．
方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）
（1）请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式．
（2）小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？
（3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．
考点：一次函数的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据题意分别求出当2≤x≤8时，每平方米的售价应为3000-（8-x）×20元，当9≤x≤23时，每平方米的售价应为3000+（x-8） 40元
（2）由（1）知：当2≤x≤8时，小张首付款为108000元＜120000元，即可得出2～8层可任选，当9≤x≤23时，小张首付款为36（40x+2680）≤120000，9≤x≤16，即可得出小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．
（3）分别求出若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为y1按老王的想法则要交房款为y2，然后根据即y1-y2＞0时，解得0＜a＜66.4，y1-y2≤0时，解得a≥66.4，即可得出答案．
解答：解：（1）当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：
3000-（8-x）×20=20x+2840 （元/平方米）
当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：
3000+（x-8） 40=40x+2680（元/平方米）
∴y=x为正整数
（2）由（1）知：
当2≤x≤8时，小张首付款为
（20x+2840） 120 30%
=36（20x+2840）≤36（20 8+2840）=108000元＜120000元
∴2～8层可任选　 　　　　　　　
当9≤x≤23时，小张首付款为
（40x+2680） 120 30%=36（40x+2680）元
36（40x+2680）≤120000，
解得：x≤，
∵x为正整数，∴9≤x≤16　 　　
综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．
（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：
y1=（40 16+2680） 120 92%-60a（元）
若按老王的想法则要交房款为：
y2=（40 16+2680） 120 91%（元）
∵y1-y2=3984-60a 　　　　　　　　　　　　　　
当y1＞y2即y1-y2＞0时，解得0＜a＜66.4，此时老王想法正确；
当y1≤y2即y1-y2≤0时，解得a≥66.4，此时老王想法不正确．
点评：本题考查的是一次函数的应用，此类题是近年中考中的热点问题，关键是求出一次函数的解析式，应用一次函数的性质，解决实际问题．
22．（2012 安徽）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“买200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；…，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．
（1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？
（2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p=），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；
（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（200≤x＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由．
考点： 反比例函数的应用。810360
分析： （1）根据题意直接列出算式510﹣200即可；
（2）根据商家的优惠率即可列出p与x之间的函数关系式，并能得出p随x的变化情况；
（3）先设购买商品的总金额为x元，（200≤x＜400），得出甲商场需花x﹣100元，乙商场需花0.6x元，然后分三种情况列出不等式和方程即可；
解答： 解：（1）根据题意得：
510﹣200=310（元）
答：顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付310元．
（2）p与x之间的函数关系式为p=，p随x的增大而减小；
（3）设购买商品的总金额为x元，（200≤x＜400），
则甲商场需花x﹣100元，乙商场需花0.6x元，
由x﹣100＞0.6x，得：250＜x＜400，乙商场花钱较少，
由x﹣100＜0.6x，得：200≤x＜250，甲商场花钱较少，
由x﹣100=0.6x，得：x=250，两家商场花钱一样多．
点评： 此题考查了反比例函数的应用，用到的知识点是反比例函数的性质，一元一次不等式等，关键是根据题意求出函数的解析式．
23．（2012 柳州）如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC=．
（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；
（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S△ABD=S△ABC；
（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′B′，与y轴交于点C′，当平移多少个单位时，点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．

附：阅读材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解．如解方程：y4-4y2+3=0．
解：令y2=x（x≥0），则原方程变为x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3．
当x1=1时，即y2=1，∴y1=1，y2=-1．
当x2=3，即y2=3，∴y3=，y4=-．
所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3=，y4=-．
再如x2-2=4，可设y=，用同样的方法也可求解．
考点：二次函数综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据y轴是AB的垂直平分线，则可以求得OA，OB的长度，在直角△OAC中，利用勾股定理求得OC的长度，则A、B、C的坐标即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）首先求得△ABC的面积，根据S△ABD=S△ABC，以及三角形的面积公式，即可求得D的纵坐标，把D的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标．
（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA OB，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值．
解答：解：（1）∵AB的垂直平分线为y轴，
∴OA=OB=AB=×2=1，
∴A的坐标是（-1，0），B的坐标是（1，0）．
在直角△OAC中，OC==2，
则C的坐标是：（0，2）；
（2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b，
根据题意得：，
解得：，
则抛物线的解析式是：y=-2x2+2；
（3）∵S△ABC=AB OC=×2×2=2，
∴S△ABD=S△ABC=1．
设D的纵坐标是m，则AB |m|=1，
则m=±1．
当m=1时，-2x2+2=1，解得：x=±，
当m=-1时，，-2x2+2=-1，解得：x=±，
则D的坐标是：（，1）或（-，1）或（，-1），或（-，-1）．
（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，OA′=1-c，OB′=1+c．
平移以后的抛物线的解析式是：y=-2（x-c）2+b．
令x=0，解得y=-2c2+2．即OC′=-2c2+2．
当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA′ OB′，
则（-2c2+2）2=（1-c）（1+c），
即（4c2-3）（c2-1）=0，
解得：c=，-（舍去），1，-1（舍去）．
故平移或1个单位长度．
点评：本题考查了勾股定理，待定系数法求二次函数的解析式，以及图象的平移，正确理解：当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA OB，是解题的关键．
25．（2012 山西）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：　 　
依据2：　 　
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质。
专题： 几何综合题。
分析： （1）根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可；
（2）证△OMA≌△ONB（AAS），即可得出答案；
（3）求出矩形DMCN，得出DM=CN，△MOC≌△NOB（SAS），推出OM=ON，∠MOC=∠NOB，得出∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，求出∠MON=∠BOC=90°，即可得出答案．
解答： （1）解：故答案为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），角平分线上的点到角的两边距离相等．
（2）证明：∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∵在△OMA和△ONB中
，
∴△OMA≌△ONB（AAS），
∴OM=ON．
（3）解：OM=ON，OM⊥ON．理由如下：
连接CO，则CO是AB边上的中线．
∵∠ACB=90°，
∴OC=AB=OB，
又∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45°，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠2=∠B，
∵BN⊥DE，
∴∠BND=90°，
又∵∠B=45°，
∴∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴DN=NB．
∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°．又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°
∴四边形DMCN是矩形，
∴DN=MC，
∴MC=NB，
∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，
∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，
即∠MON=∠BOC=90°，
∴OM⊥ON．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，角平分线性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，综合性也比较强．2013年中考数学复习专题讲座六：数学思想方法（二）
一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲
考点四：方程思想
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1 （2012 广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？
考点： 一元二次方程的应用。810360
专题： 增长率问题。
分析： （1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解；
（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次．
解答： 解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得
5000（1+x）2 =7200．
解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．
答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．
（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，
则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200×120%=8640万人次．
答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．
点评： 方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程或方程组的知识来解决。具有方程思想就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。
例2 （2012 桂林）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．
（1）李明步行的速度（单位：米/分）是多少？
（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？
考点： 分式方程的应用。810360
专题： 应用题。
分析： （1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分，根据等量关系：骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟可得出方程，解出即可；
（2）计算出步行、骑车及在家拿道具的时间和，然后与42比较即可作出判断．
解答： 解：（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分，
根据题意得：，
解得：x=70，
经检验x=70是原方程的解，
即李明步行的速度是70米/分．
（2）根据题意得，李明总共需要：．
即李明能在联欢会开始前赶到．
答：李明步行的速度为70米/分，能在联欢会开始前赶到学校．
点评： 此题考查了分式方程的应用，设出步行的速度，根据等量关系得出方程是解答本题的关键，注意分式方程一定要检验．
考点五：函数思想
函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。
例4 （2012 十堰）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）
考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用。810360
专题： 应用题。
分析： （1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元，可列出方程组，解方程组即可得到甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；
（2）设生产A产品m件，生产B产品（50﹣m）件，先表示出生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20（50﹣m）+25×20（50﹣m）=﹣100m+40000，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元得到﹣100m+40000≤38000，根据生产B产品不少于28件得到50﹣m≥28，然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m为整数，则m的值为20，21，22，易得符合条件的生产方案；
（3）设总生产成本为W元，加工费为：200m+300（50﹣m），根据成本=材料费+加工费得到W=﹣100m+40000+200m+300（50﹣m）=﹣200m+55000，根据一次函数的性质得到W 随m的增大而减小，然后把m=22代入计算，即可得到最低成本．
解答： 解：（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，则，解得，
所以甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；
（2）设生产A产品m件，生产B产品（50﹣m）件，则生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20（50﹣m）+25×20（50﹣m）=﹣100m+40000，
由题意：﹣100m+40000≤38000，解得m≥20，
又∵50﹣m≥28，解得m≤22，
∴20≤m≤22，
∴m的值为20，21，22，
共有三种方案，如下表：
A（件） 20 21 22
B（件） 30 29 28
（3）设总生产成本为W元，加工费为：200m+300（50﹣m），
则W=﹣100m+40000+200m+300（50﹣m）=﹣200m+55000，
∵W 随m的增大而减小，而m=20，21，22，
∴当m=22时，总成本最低，此时W=﹣200×22+55000=50600元．
点评： 函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是一种策略性的指导方法。运用函数思想通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。
　
22．（2012 广元）某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走．
（1）假如每天能运xm3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
（3）在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
考点： 反比例函数的应用。810360
分析： （1）根据每天能运xm3，所需时间为y天的积就是1200m3，即可写出函数关系式；（2）把x=12×5=60代入，即可求得天数；（3）首先算出8天以后剩余的数量，然后计算出6天运完所需的拖拉机数，即可求解．
解答： 解：（1）y=；（2）x=12×5=60，代入函数解析式得；y==20（天）；（3）运了8天后剩余的垃圾是1200﹣8×60=720m3．务要在不超过6天的时间完成则每天至少运720÷6=120m3，则需要的拖拉机数是：120÷12=10（辆），则至少需要增加10﹣5=5辆这样的拖拉机才能按时完成任务．
点评： 本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义求解．
　
考点六：数形结合思想
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
例5 （2012 襄阳）如图，直线y=k1x+b与双曲线y=相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；
（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。810360
专题： 计算题。
分析： （1）将点A（1，2）代入双曲线y=，求出k2的值，将B（m，﹣1）代入所得解析式求出m的值，再用待定系数法求出k1x和b的值，可得两函数解析式；
（2）根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究；
（3）求不等式k1x+b＞的解集，就是求k1x+b＞时自变量的x的范围，从图象上看：直线在双曲线上方，这是“以形助数”．
根据A、B点的横坐标结合图象进行解答．
解答： 解：（1）∵双曲线y=经过点A（1，2），
∴k2=2，
∴双曲线的解析式为：y=．
∵点B（m，﹣1）在双曲线y=上，
∴m=﹣2，则B
（﹣2，﹣1）．
由点A（1，2），B（﹣2，1）在直线y=k1x+b上，
得，
解得，
∴直线的解析式为：y=x+1．
（2）∵在第三象限内y随x的增大而减小，故y2＜y1＜0，
又∵y3是正数，故y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
（3）由图可知，x＞1或﹣2＜x＜0．
点评：数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与几何图形的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
例7 （2012 济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；
（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
考点： 二次函数综合题。810360
分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；
（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标．
解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），
∴，
解得a=1，b=4，
∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，
∵令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴cos∠CAB=．
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC==．
如答图1所示，连接O1B、O1B，
由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°，
∴△BO1C为等腰直角三角形，
∴⊙O1的半径O1B=BC=．
（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，
∴顶点P坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为x=﹣2．
又∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称．
如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，
∴D（﹣4，3）．
又∵点M为BD中点，B（﹣1，0），
∴M（，），
∴BM==；
在△BPC中，B（﹣1，0），P（﹣2，﹣1），C（0，3），
由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=．
∵△BMN∽△BPC，
∴，即，
解得：BN=，MN=．
设N（x，y），由两点间的距离公式可得：
，
解之得，，，
∴点N的坐标为（，）或（，）．
点评： 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标．
四、中考真题训练
一、选择题
1．（2012 贵港）如图，已知直线y1=x+m与y2=kx﹣1相交于点P（﹣1，1），则关于x的不等式x+m＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
　 A． B．
C． D．
考点： 一次函数与一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集。810360
分析： 根据图象和交点坐标得出关于x的不等式x+m＞kx﹣1的解集是x＞﹣1，即可得出答案．
解答： 解：∵直线y1=x+m与y2=kx﹣1相交于点P（﹣1，1），
∴根据图象可知：关于x的不等式x+m＞kx﹣1的解集是x＞﹣1，
在数轴上表示为：，
故选B．
点评： 本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，主要培养学生的观察图象的能力和理解能力．
　
5．（2012 柳州）小兰画了一个函数y=的图象如图，那么关于x的分式方程=2的解是（　　）
　 A．x=1 B． x=2 C． x=3 D． x=4
考点： 反比例函数的图象。810360
分析： 关于x的分式方程=2的解就是函数y=中，纵坐标y=2时的横坐标x的值，据此即可求解．
解答： 解：关于x的分式方程=2的解就是函数y=中，纵坐标y=2时的横坐标x的值．根据图象可以得到：当y=2时，x=1．
故选A．
点评： 本题考查了函数的图象，正确理解：关于x的分式方程=2的解，就是函数y=中，纵坐标y=2时的横坐标x的值是关键．
6．（2012 广州）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）
　 A．x＜﹣1或x＞1 B． x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。810360
专题： 数形结合。
分析： 根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围即可．
解答： 解：由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2．
故选D．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
7．（2012 南平）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为（　　）
　 A． B． C． D． 3
考点： 翻折变换（折叠问题）。810360
分析： 由正方形纸片ABCD的边长为3，可得∠C=90°，BC=CD=3，由根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF，然后设DF=x，在Rt△EFC中，由勾股定理EF2=EC2+FC2，即可得方程，解方程即可求得答案．
解答： 解：∵正方形纸片ABCD的边长为3，
∴∠C=90°，BC=CD=3，
根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF，
设DF=x，
则EF=EG+GF=1+x，FC=DC﹣DF=3﹣x，EC=BC﹣BE=3﹣1=2，
在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，
即（x+1）2=22+（3﹣x）2，
解得：x=，
∴DF=，EF=1+=．
故选B．
点评： 此题考查了折叠的性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
8．（2012 荆门）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（　　）
　 A．8 B． 4 C． 8 D． 6
考点： 翻折变换（折叠问题）。810360
分析： 首先由正方形ABCD的对角线长为2，即可求得其边长为2，然后由折叠的性质，可得A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，则可得图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD，继而求得答案．
解答： 解：∵正方形ABCD的对角线长为2，
即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，
∴AB=BD cos∠ABD=BD cos45°=2×=2，
∴AB=BC=CD=AD=2，
由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，
∴图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8．
故选C．
点评： 此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想与整体思想的应用．
9．（2012 河北）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（　　）
　 A．70° B． 40° C． 30° D． 20°
考点： 翻折变换（折叠问题）。810360
分析： 由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN=∠FMN=∠A=70°，又由平角的定义，即可求得∠AMF的度数．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN=∠DMN，
∴AB∥CD∥MN，
∵∠A=70°，
∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°，
∴∠AMF=180°﹣∠DMN﹣∠FMN=180°﹣70°﹣70°=40°．
故选B．
点评： 此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
10．（2012 佛山）如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是（　　）
　 A．π B． C． D．
考点： 旋转的性质；扇形面积的计算。810360
分析： 根据直角三角形的性质求出BC、AC的长度，设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD，可以证明△BCD是等边三角形，然后求出点D是AB的中点，所以△ACD的面积等于△ABC的面积的一半，然后根据△ABC扫过的面积=S扇形ACA1+S扇形BCD+S△ACD，然后根据扇形的面积公式与三角形的面积公式列式计算即可得解．
解答： 解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，
∴BC=AB=1，∠B=90°﹣∠BAC=60°，
∴AC==，
∴S△ABC=×BC×AC=，
设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD，
∵BC=DC，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=CD=1，
∴点D是AB的中点，
∴S△ACD=S△ABC=×=，
∴△ABC扫过的面积=S扇形ACA1+S扇形BCD+S△ACD，
=×π×（）2+×π×12+，
=π+π+，
=π+．
故选D．
点评： 此题考查了旋转的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系，利用数形结合思想把扫过的面积分成两个扇形的面积与一个三角形面积是解题的关键，也是本题的难点．
　
14．（2012 威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（　　）
　 A． abc＞0 B． 3a＞2b
　 C． m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数） D． 4a﹣2b+c＜0
考点： 二次函数图象与系数的关系。810360
分析： 根据函数图象可得各系数的关系：a＜0，c＞0，根据对称轴x=﹣=﹣1＜0，则b＜0，再利用图象与x轴交点左侧小于1，则得出图象与坐标轴右侧交点一定小于﹣2，可知，
4a﹣2b+c＞0，再结合图象判断各选项．
解答： 解：A．由函数图象可得各系数的关系：a＜0，c＞0，对称轴x=﹣=﹣1＜0，则b＜0，
故abc＞0，故此选项正确，但不符合题意；
B．∵x=﹣=﹣1，
∴b=2a，
∴2b=4a，
∵a＜0，b＜0，
∴3a＞2b，故此选项正确，但不符合题意；
C．∵b=2a，代入m（am+b）﹣（a﹣b）得：
∴m（am+2a）﹣（a﹣2a），
=am2+2am+a，
=a（m+1）2，
∵a＜0，
∴a（m+1）2≤0，
∴m（am+b）﹣（a﹣b）≤0，
即m（am+b）≤a﹣b，故此选项正确，但不符合题意；
D．当x=﹣2代入y=ax2+bx+c，得出y=4a﹣2b+c，
利用图象与x轴交点左侧小于1，则得出图象与坐标轴右侧交点一定小于﹣2，
故y=4a﹣2b+c＞0，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
点评： 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，同学们应注意，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＜0时，抛物线向下开口，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右，以及利用对称轴得出a，b的关系是解题关键．
　
　
16．（2012 衡阳）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为（　　）
　 A．1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 二次函数图象与系数的关系。810360
分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．
解答： 解：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；
③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选C．
点评： 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
　
　
二、填空题
19．（2012 南宁）如图，已知函数y=x﹣2和y=﹣2x+1的图象交于点P，根据图象可得方程组的解是　 ．
考点： 一次函数与二元一次方程（组）。810360
专题： 推理填空题。
分析： 先由图象得出两函数的交点坐标，根据交点坐标即可得出方程组的解．
解答： 解：∵由图象可知：函数y=x﹣2和y=﹣2x+1的图象的交点P的坐标是（1，﹣1），
又∵由y=x﹣2，移项后得出x﹣y=2，
由y=﹣2x+1，移项后得出2x+y=1，
∴方程组的解是，
故答案为：．
点评： 本题考查了一次函数与二元一次方程组的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好但又比较容易出错的题目．
20．（2012 连云港）如图，直线y=k1x+b与双曲线y=交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜+b的解集是　 　．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。810360
专题： 数形结合。
分析： 根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，相当于把直线向下平移2b个单位，然后根据函数的对称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称，再找出直线在双曲线下方的自变量x的取值范围即可．
解答： 解：由k1x＜+b，得，k1x﹣b＜，
所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移2b个单位得到，
直线向下平移2b个单位的图象如图所示，交点A′的横坐标为﹣1，交点B′的横坐标为﹣5，
当﹣5＜x＜﹣1或x＞0时，双曲线图象在直线图象上方，
所有，不等式k1x＜+b的解集是﹣5＜x＜﹣1或x＞0．
故答案为：﹣5＜x＜﹣1或x＞0．
点评： 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据不等式与函数解析式得出不等式的解集与双曲线和向下平移2b个单位的直线的交点有关是解题的关键．
　
22．（2012 淮安）如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h．
考点： 一次函数的应用。810360
分析： 根据图中信息找出甲，乙两人行驶的路程和时间，进而求出速度即可．
解答： 解：根据图象可得：
∵甲行驶距离为100千米时，行驶时间为5小时，乙行驶距离为80千米时，行驶时间为5小时，
∴甲的速度是：100÷5=20（千米/时）；乙的速度是：80÷5=16（千米/时）；
故这两人骑自行车的速度相差：20﹣16=4（千米/时）；
故答案为：4．
点评： 此题主要考查了一次函数的应用，根据已知得出甲乙行驶的路程与时间是解题关键．
　
　
　
　
27．（2012 朝阳）如图所示中的折线ABC为甲地向乙地打长途电话需付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系，则通话8分钟应付电话费　 　元．
考点： 一次函数的应用。810360
分析： 根据图形写出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出射线BC的解析式，再把t=8代入解析式进行计算即可得解．
解答： 解：由图象可得，点B（3，2.4），C（5，4.4），
设射线BC的解析式为y=kt+b（t≥3），
则，
解得，
所以，射线BC的解析式为y=t﹣0.6（t≥3），
当t=8时，y=8﹣0.6=7.4元．
故答案为：7.4．
点评： 本题考查了一次函数的应用，根据图象写出点B、C的坐标，利用待定系数法求出射线BC的解析式是解题的关键．
　
28．（2012 北海）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=2x﹣4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是　 　．
考点： 一次函数的性质；垂线段最短。810360
专题： 计算题。
分析： 作AB′⊥BB′，B′即为当线段AB最短时B点坐标，求出AB′的解析式，与BB′组成方程组，求出其交点坐标即可．
解答： 解：设AB′解析式为y=kx+b，
∵AB′⊥BB′，BB′解析式为y=2x﹣4，
∴2k=﹣1，
k=﹣，于是函数解析式为y=﹣x+b，
将A（﹣1，0）代入y=﹣x+b得，+b=0，b=﹣，
则函数解析式为y=﹣x﹣，
将两函数解析式组成方程组得，
，
解得，故B点坐标为（，﹣）．
故答案为（，﹣）．
点评： 本题考查了一次函数的性质和垂线段最短，找到B′点是解题的关键，同时要熟悉待定系数法求函数解析式．
　
29．（2012 宜宾）如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是　 　．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。810360
专题： 数形结合。
分析： 根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．
解答： 解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．
故答案为：x＜0或1＜x＜4．
点评： 本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．
　
三、解答题
30．（2012 南通）甲．乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了　 　h；
（2）求线段DE对应的函数解析式；
（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．
考点： 一次函数的应用。810360
分析： （1）利用图象得出CD这段时间为2.5﹣2=0.5，得出答案即可；
（2）利用D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），求出函数解析式即可；
（3）利用OA的解析式得出，当60x=110x﹣195时，即可求出轿车追上货车的时间．
解答： 解：（1）利用图象可得：线段CD表示轿车在途中停留了：2.5﹣2=0.5小时；
（2）根据D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），
代入y=kx+b，得：
，
解得：，
故线段DE对应的函数解析式为：y=110x﹣195；
（3）∵A点坐标为：（5，300），
代入解析式y=ax得，
300=5a，
解得：a=60，
故y=60x，当60x=110x﹣195，
解得：x=3.9小时，故3.9﹣1=2.9（小时），
答：轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车．
点评： 此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出函数解析式利用图象分析得出是解题关键．
31．（2012 新疆）如图，一次函数y=kx﹣3的图象与反比例函数的图象交于P（1，2）．
（1）求k，m的值；
（2）根据图象，请写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。810360
分析： （1）分别把（1，2）代入一次函数和反比例函数解析式，易求k、m；
（2）在交点左边，一次函数的值小于反比例函数的值，易得0＜x＜1．
解答： 解：（1）把（1，2）代入y=kx﹣3，得
k=5，
把（1，2）代入y=，得m=2；
（2）观察可知当0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题，解题的关键是理解点与函数解析式的关系．
　
32．（2012 咸宁）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。810360
专题： 探究型。
分析： （1）先把A（1，6）代入反比例函数的解析式求出m的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把B（a，2）代入反比例函数的解析式即可求出a的值，把点A（1，6），B（3，2）代入函数y1=kx+b即可求出k、b的值，进而得出一次函数的解析式；
（2）根据函数图象可知，当x在A、B点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由A、B两点的横坐标即可求出x的取值范围．
解答： 解：（1）∵点A（1，6），B（a，2）在y2=的图象上，
∴=6，m=6．
∴反比例函数的解析式为：y2=，
∴=2，a==3，
∵点A（1，6），B（3，2）在函数y1=kx+b的图象上，
∴，
解这个方程组，得
∴一次函数的解析式为y1=﹣2x+8，反比例函数的解析式为y2=；
（2）由函数图象可知，当x在A、B之间时一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∵点A（1，6），B（3，2），
∴1≤x≤3．
点评： 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用数形结合求不等式的解集是解答此题的关键．
　
　
33．（2012 长沙）以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个．
（1）求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？
（2）若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道湖南省共引进资金多少亿元？
考点： 二元一次方程组的应用。810360
分析： （1）利用境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个，得出等式方程求出即可；
（2）根据（1）中数据以及境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，得出即可．
解答： 解：（1）设境外投资合作项目个数为x个，
根据题意得出：2x﹣（348﹣x）=51，
解得：x=133，
故省外境内投资合作项目为：348﹣133=215个．
答：境外投资合作项目为133个，省外境内投资合作项目为215个．
（2）∵境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，
∴湖南省共引进资金：133×6+215×7.5=2410.5亿元．
答：东道湖南省共引进资金2410.5亿元．
点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄清题意，找到等量关系：境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个列出方程是解题关键．
　
　
35．（2012 六盘水）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小兰家4、5月份的用水量及收费情况如下表：
月份 用水量（吨） 水费（元）
4 22 51
5 20 45
（1）求该市每吨水的基本价和市场价．
（2）设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，请写出m与n之间的函数关系式．
（3）小兰家6月份的用水量为26吨，则她家要缴水费多少元？
考点： 一次函数的应用。810360
分析： （1）利用已知得出4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，求出市场价收费标准为：（51﹣45）÷（22﹣20）=3（元/吨），进而得出每吨水的基本价；
（2）利用（1）中所求不同水价，再利用当n≤15时，m=2n，当n＞15时，分别求出即可．
（3）根据（1）中所求得出，用水量为26吨时要缴水费．
解答： 解：（1）根据当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费，
∵4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，
∴市场价收费标准为：（51﹣45）÷（22﹣20）=3（元/吨），
设基本价收费为x元/吨，
根据题意得出：15x+（22﹣15）×3=51，
解得：x=2，
故该市每吨水的基本价和市场价分别为：3元/吨，2元/吨；
（2）当n≤15时，m=2n，
当n＞15时，m=15×2+（n﹣15）×3=3n+15，
（3）∵小兰家6月份的用水量为26吨，
∴她家要缴水费15×2+（26﹣15）×3=63元．
点评： 此题主要考查了一次函数的应用关键是分段函数的写法以及求自变量时把函数值正确代入相对应的函数，此题难度不大，是初中阶段考查重点．
　
38．（2012 攀枝花）据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？
考点： 反比例函数的应用。810360
专题： 计算题。
分析： 首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．
解答： 解：（1）设反比例函数解析式为y=，
将（25，6）代入解析式得，k=25×6=150，
则函数解析式为y=（x≥15），
将y=10代入解析式得，10=，
x=15，
故A（15，10），
设正比例函数解析式为y=nx，
将A（15，10）代入上式即可求出n的值，
n==，
则正比例函数解析式为y=x（0≤x≤15）．
（2）=2，
解之得x=75（分钟），
答：从药物释放开始，师生至少在75分钟内不能进入教室．
点评： 本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
39．（2012 呼和浩特）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出时x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。810360
分析： （1）先把（m，6）、B（n，3）代入反比例函数，可求m、n的值，即可得A、B的坐标，然后把AB两点坐标代入一次函数，可得关于k、b的二元一次方程组，解可得k、b的值，进而可得一次函数的解析式；
（2）根据图象可知当1＜x＜2时，一次函数y的值大于反比例函数y的值．
解答： 解：（1）∵点A（m，6）、B（n，3）在函数y=图象上，
∴m=1，n=2，
∴A点坐标是（1，6），B点坐标是（2，3），
把（1，6）、（2，3）代入一次函数y=kx+b中，得
，
解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣3x+9；
（2）由图象知：1＜x＜2．
点评： 本题考查了一次函数与反比例函数交点的问题，解题的关键是先求出m、n的值，并注意待定系数法的使用．
　
　
40．（2012 湖州）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（﹣，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜）
①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）
考点： 二次函数综合题。810360
分析： （1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式；
（2）本问是难点所在，需要认真全面地分析解答：
①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：
（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值；
（II）若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值；
（III）∠DAF≠90°，此时t不存在；
②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围．确定限制条件是解题的关键．
解答： 解：（1）由题意得AB的中点坐标为（﹣，0），CD的中点坐标为（0，3），
分别代入y=ax2+b得
，
解得，，
∴y=﹣x2+3．
（2）①如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2
∴sinC===，∴∠C=60°，∠CBE=30°
∴EC=BC=，DE=
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°
∴∠ADC=180°﹣60°=120°
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角．
（I）若∠ADF=90°
∠EDF=120°﹣90°=30°
在Rt△DEF中，DE=，求得EF=1，DF=2．
又∵E（t，3），F（t，﹣t2+3），∴EF=3﹣（﹣t2+3）=t2∴t2=1，∵t＞0，∴t=1
此时=2，，
∴，
又∵∠ADF=∠DEF
∴△ADF∽△DEF
（II）若∠DFA=90°，
可证得△DEF∽△FBA，则
设EF=m，则FB=3﹣m
∴，即m2﹣3m+6=0，此方程无实数根．
∴此时t不存在；
（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°
∴∠DAF≠90°，此时t不存在．
综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似；
②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N．
观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N．
∵F（t，3﹣t2），∴EF=3﹣（3﹣t2）=t2，∴EE′=2EF=2t2，
由EE′≤BE，得2t2≤3，解得t≤．
∵C′E′=CE=，∴C′点的横坐标为t﹣，
∴MN=3﹣（t﹣）2，又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t2，
由MN≥C′N，得3﹣（t﹣）2≥3﹣2t2，解得t≥．
∴t的取值范围为：．
点评： 本题是动线型中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换（平移与旋转）、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等重要知识点，难度较大，对考生能力要求很高．本题难点在于第（2）问，（2）①中，需要结合△ADF与△DEF相似的三种情况，分别进行讨论，避免漏解；（2）②中，确定“限制条件”是解题关键．
　2013年中考数学复习专题讲座十：方案设计型问题
一、中考专题诠释
方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。
随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。
二、解题策略和解法精讲
方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。
三、中考考点精讲
考点一：设计测量方案问题
这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。
例1 （2012 河南）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°．已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：设AB=x米．根据∠AEB=45°，∠ABE=90°得到BE=AB=x，然后在Rt△ABD中得到tan31°= ．求得x=24．然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC即可．
解答：解：设AB=x米．
∵∠AEB=45°，∠ABE=90°，
∴BE=AB=x
在Rt△ABD中，tan∠D=，
即tan31°=．
∴x=≈=24．
即AB≈24米
在Rt△ABC中，
AC==25．
即条幅的长度约为25米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
考点二：设计搭配方案问题
这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。它一般给出两种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。解题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组），通过不等式组的整数解来确定方案。
例2 （2012 内江）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题：
造型花卉 甲 乙
A 80 40
B 50 70
（1）符合题意的搭配方案有几种？
（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？
考点： 一元一次不等式组的应用。
专题： 应用题；图表型。
分析： （1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60﹣x）个，根据“4200盆甲种花卉”“3090盆乙种花卉”列不等式求解，取整数值即可．
（2）计算出每种方案的花费，然后即可判断出答案．
解答： 解：（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60﹣x）个，
则有 ，
解得37≤x≤40，
所以x=37或38或39或40．
第一方案：A种造型37个，B种造型23个；
第二种方案：A种造型38个，B种造型22个；
第三种方案：A种造型39个，B种造型21个．
第四种方案：A种造型40个，B种造型20个．
（2）分别计算三种方案的成本为：
①37×1000+23×1500=71500元，
②38×1000+22×1500=71000元，
③39×1000+21×1500=70500元，
④40×1000+20×1500=70000元．
通过比较可知第④种方案成本最低．
答：选择第四种方案成本最低，最低位70000元．
点评： 此题考查了一元一次不等式组的应用，是一道实际问题，有一定的开放性，（1）根据图表信息，利用所用花卉数量不超过甲、乙两种花卉的最高数量列不等式组解答；（2）为最优化问题，根据（1）的结果直接计算即可．
考点三：设计销售方案问题
在商品买卖中，更多蕴含着数学的学问。在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。通过计算不同的销售方案盈利情况，可以帮助我们明白更多的道理。近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。
　
例5 （2012 广安）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．
（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？
（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？
（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。
分析： （1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得等量关系：①买1块电子白板的钱=买3台笔记本电脑的钱+3000元，②购买4块电子白板的费用+5台笔记本电脑的费用=80000元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案；
（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得不等关系：①购买笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍；②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000元，根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可；
（3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据（2）中的方案确定买的电脑数与电子白板数，再算出总费用．
解答： 解：（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得：
，
解得：．
答：购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元．
（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得：
，
解得：99≤a≤101，
∵a为正整数，
∴a=99，100，101，则电脑依次买：297台，296台，295台．
因此该校有三种购买方案：
方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块；
方案二：购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块；
方案三：购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块；
（3）解法一：
购买笔记本电脑和电子白板的总费用为：
方案一：295×4000+101×15000=2695000（元）
方案二：296×4000+100×15000=2684000（元）
方案三：297×4000+99×15000=2673000（元）
因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元．
解法二：
设购买笔记本电脑数为z台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为W元，
则W=4000z+15000（396﹣z）=﹣11000z+5940000，
∵W随z的增大而减小，∴当z=297时，W有最小值=2673000（元）
因此，当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时，最省钱，这时共需费用2673000元．
点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
考点四：设计图案问题
图形的分割、拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题，在各地的中考试题中经常出现。这类问题大多具有一定的开放性，要求学生多角度、多层次的探索，以展示思维的灵活性、发散性、创新性。
例6 （2012 遵义）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 13
种．
考点：利用轴对称设计图案 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．
解答：解：如图所示：
故一共有13种做法，
故答案为：13．
点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
四、真题演练
一、选择题
2．（2012 本溪）下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
考点：利用平移设计图案 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据平移及旋转的性质对四个选项进行逐一分析即可．
解答：解：A、是利用图形的旋转得到的，故本选项错误；
B、是利用图形的旋转和平移得到的，故本选项错误；
C、是利用图形的平移得到的，故本选项正确；
D、是利用图形的旋转得到的，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形经过平移后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
3．（2012 丽水）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
考点：利用旋转设计图案 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形关于点A中心对称．
解答：解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．
故选B．
点评：本题考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，要知道，一个图形绕端点旋转180°所形成的图形叫中心对称图形．
4．（2012 广元）下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点：利用旋转设计图案 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；利用轴对称设计图案 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据旋转、轴对称的定义来分析．
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；
轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称．
解答：解：图形1可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形2可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形3可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形4可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．
故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有4个．
故选A．
点评：考查了旋转和轴对称的性质．①旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；②轴对称图形的对应线段、对应角相等．
二、填空题
5．（2012 杭州）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为 （-1，1），（-2，-2），（0，2），（-2，-3）
．
考点：利用轴对称设计图案 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A进行移动可得到点的坐标，注意考虑全面．
解答：解：如图所示：
A′（-1，1），A″（-2，-2），C（0，2），D（-2，-3）
故答案为：（-1，1），（-2，-2）），（0，2），（-2，-3）．
点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义，根据3个定点所在位置，找出A的位置．
6．（2012 漳州）利用对称性可设计出美丽的图案．在边长为1的方格纸中，有如图所示的四边形（顶点都在格点上）．
（1）先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向旋转90°后的图形；
（2）完成上述设计后，整个图案的面积等于 20
．
考点：利用旋转设计图案 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；利用轴对称设计图案 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据图形对称的性质先作出关于直线l的对称图形，再作出所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向旋转90°后的图形即可；
（2）先利用割补法求出原图形的面积，由图形旋转及对称的性质可知经过旋转与轴对称所得图形与原图形全等即可得出结论．
解答：解：（1）如图所示：
先作出关于直线l的对称图形；
再作出所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向
旋转90°后的图形．
（2）∵边长为1的方格纸中一个方格的面积是1，
∴原图形的面积为5，
∴整个图案的面积=4×5=20．
故答案为：20．
点评：本题考查的是利用旋转及轴对称设计图案，熟知经过旋转与轴对称所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
三、解答题
7．（2012 山西）实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．
（1）请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．
（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．
考点：利用旋转设计图案 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；利用轴对称设计图案 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）利用正方形边长的一半为半径，以边长中点为圆心画半圆，画出两个半圆即可得出答案；
（2）利用（1）中图象，直接拼凑在一起得出答案即可．
解答：解：（1）在图3中设计出符合题目要求的图形．
（2）在图4中画出符合题目要求的图形．
评分说明：此题为开放性试题，答案不唯一，只要符合题目要求即可给分．
点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案，仿照已知，利用轴对称图形的定义作出轴对称图形是解题关键．
9．（2012 丹东）南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察．一天我渔政船停在小岛A北偏西37°方向的B处，观察A岛周边海域．据测算，渔政船距A岛的距离AB长为10海里．此时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号．渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的C处？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先B点作BD⊥AC，垂足为D，根据题意，得：∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°，然后分别在Rt△ABD与Rt△CBD中，利用余弦函数求得BD与BC的长，继而求得答案．
解答：解：过B点作BD⊥AC，垂足为D．
根据题意，得：∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°，
在Rt△ABD中，
∵cos∠ABD=，
∴cos37○=≈0.80，
∴BD≈10×0.8=8（海里），
在Rt△CBD中，
∵cos∠CBD=，
∴cos50○=≈0.64，
∴BC≈8÷0.64=12.5（海里），
∴12.5÷30=（小时），
∴×60=25（分钟）．
答：渔政船约25分钟到达渔船所在的C处．
点评：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解题的关键是利用方向角构造直角三角形，然后解直角三角形，注意数形结合思想的应用．
10．（2012 长春）如图，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架OA、OB的长均为108cm，支架OA与水平晾衣杆OC的夹角∠AOC为59°，求支架两个着地点之间的距离AB．（结果精确到0.1cm）[参考数据：sin59°=0.86，cos59°=0.52，tan59°=1.66]
考点：解直角三角形的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：作OD⊥AB于点D，在直角三角形OAD中，利用已知角的余弦值和OA的长求得AD的长即可求得线段AB的长．
解答：解：作OD⊥AB于点D，
∵OA=OB
∴AD=BD
∵OC∥AB
∴∠OAB=59°，
在RtAOD中，AD=OA cos59°，
∴AB=2AD=2OA cos59°=2×108×0.52≈112.3cm．
答：支架两个着地点之间的距离AB约为112.3cm．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解
　
12．（2012 河池）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．
（1）若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．
考点： 一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用。
分析： （1）设年平均增长率是x，根据某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆，可求出增长率，进而可求出到2012年底家庭电动车将达到多少辆．
（2）设建x个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的3倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况．
解答： 解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，
则125（1+x）2=180，
解得x1=0.2=25%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
∴180（1+20%）=216（辆），
答：该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆；
（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，
则，
由①得b=150﹣5a，
代入②得20≤a≤，
∵a是正整数，
∴a=20或21，
当a=20时b=50，当a=21时b=45．
∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个；
方案二：室内车位21个，露天车位45个．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用，关键是先求出增长率，再求出2012年的家庭电动自行车量，然后根据室内车位和露天车位的数量关系列出不等式组求解．
　
15．（2012 丹东）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动．在一个不透明的箱子里放有4个完全相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“30元”和“50元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，消费每满300元，就可以从箱子里先后摸出两个球（每次只摸出一个球，第一次摸出后不放回）．商场根据两个小球所标金额之和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费．某顾客消费刚好满300元，则在本次消费中：
（1）该顾客至少可得 10
元购物券，至多可得 80
元购物券；
（2）请用画树状图或列表法，求出该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据题意即可求得该顾客至少可得的购物券，至多可得的购物券的金额；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券的金额不低于50元的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：（1）根据题意得：该顾客至少可得购物券：0+10=10（元），至多可得购物券：30+50=80（元）．
故答案为：10，80．
（2）列表得：
0 10 30 50
0 - （0，10） （0，30） （0，50）
10 （10，0） - （10，30） （10，50）
30 （30，0） （30，10） - （30，50）
50 （50，0） （50，10） （50，30） -
∵两次摸球可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性相同，而所获购物券的金额不低于50元的结果共有6种．
∴该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率是：．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是不放回实验．
　
　
17．（2012 铁岭）为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获奖同学购买奖品．小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元．
（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？
（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。
分析： （1）每个笔记本x元，每支钢笔y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔（24﹣m）个利用总费用不超过100元和钢笔数不少于笔记本数列出不等式组求得m的取值范围后即可确定方案．
解答： 解：（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元
依题意得：
解得：
答：设每个笔记本3元，每支钢笔5元．
（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔（24﹣m）个
依题意得：
解得：12≥m≥10
∵m取正整数
∴m=10或11或12
∴有三种购买方案：①购买笔记本10个，则购买钢笔14个．
②购买笔记本11个，则购买钢笔13个．
③购买笔记本12个，则购买钢笔12个．
点评： 本题考查了一元一次不等式的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细的分析题意并找到等量关系列方程或不等关系列不等式．
　
18．（2012 南充）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元．
（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？
（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。
分析： （1）设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元．根据题意：“租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元”；“租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元”；列出方程组，求解即可；
（2）根据汽车总数不能小于（取整为6）辆，即可求出共需租汽车的辆数；设出租用大车m辆，则租车费用Q（单位：元）是m的函数，由题意得出100m+1800≤2300，得出取值范围，分析得出即可．
解答： 解：（1）设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元．
可得方程组，
解得．
答：大车每辆的租车费是400元、小车每辆的租车费是300元．
（2）由每辆汽车上至少要有1名老师，汽车总数不能大于6辆；
由要保证240名师生有车坐，汽车总数不能小于（取整为6）辆，
综合起来可知汽车总数为6辆．
设租用m辆甲种客车，则租车费用Q（单位：元）是m的函数，
即Q=400m+300（6﹣m）；
化简为：Q=100m+1800，
依题意有：100m+1800≤2300，
∴m≤5，
又要保证240名师生有车坐，m不小于4，
所以有两种租车方案，
方案一：4辆大车，2辆小车；
方案二：5辆大车，1辆小车．
∵Q随m增加而增加，
∴当m=4时，Q最少为2200元．
故最省钱的租车方案是：4辆大车，2辆小车．
点评： 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用和理解题意的能力，关键是根据题目所提供的等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式求解．
　
　　
19．（2012 朝阳）为支持抗震救灾，我市A、B两地分别有赈灾物资100吨和180吨，需全部运往重灾区C、D两县，根据灾区的情况，这批赈灾物资运往C县的数量比运往D县的数量的2倍少80吨．
（1）求这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是多少吨？
（2）设A地运往C县的赈灾物资数量为x吨（x为整数）．若要B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县赈灾物资数量的2倍，且要求B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨，则A、B两地的赈灾物资运往C、D两县的方案有几种？
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。
专题： 调配问题。
分析： （1）设运往C县的物资是a吨，D县的物资是b吨，然后根据运往两地的物资总量列出一个方程，再根据运往C、D两县的数量关系列出一个方程，然后联立组成方程组求解即可；
（2）根据A地运往C县的赈灾物资数量为x吨，表示出B地运往C县的物资是（160﹣x）吨，A地运往D县的物资是（100﹣x）吨，B地运往D县的物资是120﹣（100﹣x）=（20+x）吨，然后根据“B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县赈灾物资数量的2倍”列出一个不等式，根据“B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨”列出一个不等式，组成不等式组并求解，再根据x为整数即可得解．
解答： 解：（1）设运往C县的物资是a吨，D县的物资是b吨，
根据题意得，，
解得，
答：这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是160吨，120吨；
（2）设A地运往C县的赈灾物资数量为x吨，则B地运往C县的物资是（160﹣x）吨，
A地运往D县的物资是（100﹣x）吨，B地运往D县的物资是120﹣（100﹣x）=（20+x）吨，
根据题意得，，
解不等式①得，x＞40，
解不等式②得，x≤43，
所以，不等式组的解集是40＜x≤43，
∵x是整数，
∴x取41、42、43，
∴方案共有3种，分别为：
方案一：A地运往C县的赈灾物资数量为41吨，则B地运往C县的物资是119吨，
A地运往D县的物资是59吨，B地运往D县的物资是61吨；
方案二：A地运往C县的赈灾物资数量为42吨，则B地运往C县的物资是118吨，
A地运往D县的物资是58吨，B地运往D县的物资是62吨；
方案三：A地运往C县的赈灾物资数量为43吨，则B地运往C县的物资是117吨，
A地运往D县的物资是57吨，B地运往D县的物资是63吨．
点评： 本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，找出题目中的数量关系是解题的关键，（2）难点在于根据A地运往C县的赈灾物资数量为x吨，表示出运往其他县的物资是解题的关键．
　
20．（2012 北海）某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6：5．
（1）求出该班男生与女生的人数；
（2）学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上．请问男、女生人数有几种选择方案？
考点： 一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用。
分析： （1）设男生有6x人，则女生有5x人，根据男女生的人数的和是55人，即可列方程求解；
（2）设选出男生y人，则选出的女生为（20﹣y）人，根据：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上，即可列出不等式组，从而求得y的范围，再根据y是整数，即可求得y的整数值，从而确定方案．
解答： 解：（1）设男生有6x人，则女生有5x人．（1分）
依题意得：6x+5x=55（2分）
∴x=5
∴6x=30，5x=25（3分）
答：该班男生有30人，女生有25人．（4分）
（2）设选出男生y人，则选出的女生为（20﹣y）人．（5分）
由题意得：（6分）
解之得：7≤y＜9
∴y的整数解为：7、8．（7分）
当y=7时，20﹣y=13
当y=8时，20﹣y=12
答：有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人．（8分）
点评： 本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
　
　
21．（2012 温州）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x件产品运往A地．
（1）当n=200时，①根据信息填表：
A地 B地 C地 合计
产品件数（件） x 2x 200
运费（元） 30x
②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？
（2）若总运费为5800元，求n的最小值．
考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。
专题： 应用题。
分析： （1）①运往B地的产品件数=总件数n﹣运往A地的产品件数﹣运往B地的产品件数；运费=相应件数×一件产品的运费；
②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可；
（2）总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费，进而根据函数的增减性及（1）中②得到的x的取值求得n的最小值即可．
解答： 解：（1）①根据信息填表
A地 B地 C地 合计
产品件数（件） 200﹣3x
运费 1600﹣24x 50x 56x+1600
②由题意，得，
解得40≤x≤42，
∵x为整数，
∴x=40或41或42，
∴有三种方案，分别是（i）A地40件，B地80件，C地80件；
（ii）A地41件，B地77件，C地82件；
（iii）A地42件，B地74件，C地84件；
（2）由题意，得30x+8（n﹣3x）+50x=5800，
整理，得n=725﹣7x．
∵n﹣3x≥0，
∴x≤72.5，
又∵x≥0，
∴0≤x≤72.5且x为整数．
∵n随x的增大而减少，
∴当x=72时，n有最小值为221．
点评： 考查一次函数的应用；得到总运费的关系式是解决本题的关键；注意结合自变量的取值得到n的最小值．
　
　
23．（2012 深圳）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如表所示：
价格种类 进价（元/台） 售价（元/台）
电视机 5000 5500
洗衣机 2000 2160
空 调 2400 2700
（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？
（2）在“2012年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出多少张？
考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。
分析： （1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40﹣2x）台，根据空调的数量不超过电视机的数量的3倍，且x以及40﹣2x都是非负整数，即可确定x的范围，从而确定进货方案；
（2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成x的函数，根据函数的性质，即可确定y的最大值，从而确定所要送出的消费券的最大数目．
解答： 解：（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40﹣2x）台，
根据题意得：，
解得：8≤x≤10，
根据x是整数，则从8到10共有3个正整数，分别是8、9、10，因而有3种方案：
方案一：电视机8台、洗衣机8台、空调24台；
方案二：电视机9台、洗衣机9台、空调22台；
方案三：电视机10台、洗衣机10台、空调20台．
（2）三种电器在活动期间全部售出的金额y=5500x+2160x+2700（40﹣2x），
即y=2260x+108000．
由一次函数性质可知：当x最大时，y的值最大．
x的最大值是10，则y的最大值是：2260×10+108000=130600元．
由现金每购1000元送50元家电消费券一张，可知130600元的销售总额最多送出130张消费券．
点评： 本题考查了不等式组的应用以及一次函数的应用，正确确定x的条件是解题的关键．
　
24．（2012 黔西南州）某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
考点： 一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用。
分析： （1）设生产A种产品x件，则生产B种产品有10﹣x件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解；
（2）根据计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，这两个不等关系即可列出不等式组，求得x的范围，再根据x是非负整数，确定x的值，x的值的个数就是方案的个数；
（3）由已知可得，B产品生产越多，获利越大，因而B取最大值时，获利最大，据此即可求解．
解答： 解：（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品10﹣x件，于是有
x+3（10﹣x）=14，
解得：x=8，
则10﹣x=10﹣8=2（件）
所以应生产A种产品8件，B种产品2件；
（2）设应生产A种产品x件，则生产B种产品有10﹣x件，由题意有：
，解得：2≤x＜8；
所以可以采用的方案有：，，，，，共6种方案；
（3）由已知可得，B产品生产越多，获利越大，所以当时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3=26万元．
点评： 本题考查理解题意的能力，关键从表格种获得成本价和利润，然后根据利润这个等量关系列方程，根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解，然后求出哪种方案获利最大从而求出来．
　
25．（2012 攀枝花）煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A、B两厂，通过了解获得A、B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t km”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：
厂别 运费（元/t km） 路程（km） 需求量（t）
A 0.45 200 不超过600
B a（a为常数） 150 不超过800
（1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含a的代数式表示）
考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。
分析： （1）根据总费用=运往A厂的费用+运往B厂的费用．经化简后可得出y与x的函数关系式，
（2）根据图表中给出的判定吨数的条件，算出自变量的取值范围，然后根据函数的性质来算出所求的方案．
解答： 解：（1）若运往A厂x吨，则运往B厂为（1000﹣x）吨．
依题意得：y=200×0.45x+150×a×（1000﹣x）
=90x﹣150ax+150000a，
=（90﹣150a）x+150000a．
依题意得：
解得：200≤x≤600．
∴函数关系式为y=（90﹣150a）x+150000a，（200≤x≤600）．
（2）当0＜a＜0.6时，90﹣150a＞0，
∴当x=200时，y最小=（90﹣150a）×200+150000a=120000a+18000．
此时，1000﹣x=1000﹣200=800．
当a＞0.6时，90﹣150a＜0，又因为运往A厂总吨数不超过600吨，
∴当x=600时，y最小=（90﹣150a）×600+150000a=60000a+54000．
此时，1000﹣x=1000﹣600=400．
答：当0＜a＜0.6时，运往A厂200吨，B厂800吨时，总运费最低，最低运费120000a+18000元．
当a＞0.6时，运往A厂600吨，B厂400吨时，总运费最低，最低运费60000a+54000．
点评： 本题考查了利用一次函数的有关知识解答实际应用题，一次函数是常用的解答实际问题的数学模型，是中考的常见题型，同学们应重点掌握．
　
　
26．（2012 凉山州）某商场计划购进冰箱、彩电进行销售．相关信息如下表：
进价（元/台） 售价（元/台）
冰箱 a 2500
彩电 a﹣400 2000
（1）若商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等，求表中a的值．
（2）为了满足市场需要求，商场决定用不超过9万元采购冰箱、彩电共50台，且冰箱的数量不少于彩电数量的．
①该商场有哪几种进货方式？
②若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出，获得的最大利润为w元，请用所学的函数知识求出w的值．
考点： 一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用。
专题： 应用题；图表型。
分析： （1）分别表示冰箱和彩电的购进数量，根据相等关系列方程求解；
（2）设购买彩电x台，则购进冰箱（50﹣x）台．
①根据题意列表达式组求解；
②用含x的代数式表示利润W，根据x的取值范围和一次函数的性质求解．
解答： 解：（1）根据题意得 =．
解得a=2000．经检验a=2000是原方程的根；
（2）设购买彩电x台，则购进冰箱（50﹣x）台．
①根据题意得 ．
解得：25≤x≤，
故有三种进货方式：
1）购买彩电25台，则购进冰箱25台；
2）购买彩电26台，则购进冰箱24台；
3）购买彩电27台，则购进冰箱23台．
②一个冰箱的利润为：500元，一个彩电的利润为400元，
故w=400x+500（50﹣x）=﹣100x+25000，
w为关于x的一次函数，且为减函数，
而25≤x≤，x取整数，
故当x=25时，获得的利润最大，最大为22500元．
点评： 此题考查了一次函数的应用、分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是求出a的值，利用函数及不等式的知识进行解答．
　
27．（2012 佳木斯）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：
运往地车 型 甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆）
大货车 720 800
小货车 500 650
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用。
分析： （1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共18辆，运输228吨物资，列方程组求解；
（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8﹣a）辆，前往甲地的小货车为（9﹣a）辆，前往乙地的小货车为[10﹣（9﹣a）]辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式；
（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．
解答： 解：（1）解法一、设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得
…（2分）
解得
答：大货车用8辆，小货车用10辆．…（1分）
解法二、设大货车用x辆，则小货车用（18﹣x）辆，根据题意得
16x+10（18﹣x）=228 …（2分）
解得x=8
∴18﹣x=18﹣8=10（辆）
答：大货车用8辆，小货车用10辆；…（1分）
（2）w=720a+800（8﹣a）+500（9﹣a）+650[10﹣（9﹣a）]…（2分）
=70a+11550，
∴w=70a+11550（0≤a≤8且为整数） …（1分）
（3）16a+10（9﹣a）≥120，
解得a≥5，…（1分）
又∵0≤a≤8，
∴5≤a≤8且为整数，…（1分）
∵w=70a+11550，
k=70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a=5时，w最小，
最小值为W=70×5+11550=11900（元） …（1分）
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元．…（1分）
点评： 本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往甲地的大货车数a的关系．
28．（2012 鸡西）为了迎接“五 一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元．
（1）若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？
（2）该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润（利润=售价﹣进价）不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a（0＜a＜20）元出售，乙种服装价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用。
分析： （1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200﹣x）件，根据两种服装共用去32400元，即可列出方程，从而求解；
（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200﹣y）件，根据总利润（利润=售价﹣进价）不少于26700元，且不超过26800元，即可得到一个关于y的不等式组，解不等式组即可求得y的范围，再根据y是正整数整数即可求解；
（3）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．
解答： 解：（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200﹣x）件，
根据题意得：180x+150（200﹣x）=32400，
解得：x=80，
200﹣x=200﹣80=120（件），
则购进甲、乙两种服装80件、120件；
（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200﹣y）件，根据题意得：
，
解得：70≤y≤80，
又∵y是正整数，
∴共有11种方案；
（3）设总利润为W元，
W=（140﹣a）y+130（200﹣y）
即w=（10﹣a）y+26000．
①当0＜a＜10时，10﹣a＞0，W随y增大而增大，
∴当y=80时，W有最大值，即此时购进甲种服装80件，乙种服装120件；
②当a=10时，（2）中所以方案获利相同，
所以按哪种方案进货都可以；
③当10＜a＜20时，10﹣a＜0，W随y增大而减小．
当y=70时，W有最大值，即此时购进甲种服装70件，乙种服装130件．
点评： 本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，以及一次函数的性质，正确利用y表示出利润是关键．
　
29．（2012 黑龙江）2011年11月6日下午，广西第一条高速铁路﹣南宁至钦州铁路扩能改造工程正式进入铺轨阶段．现要把248吨物资从某地运往南宁、钦州两地，用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往南宁、钦州两地的运费如下表：
运往地车型 南宁（元/辆） 钦州（元/辆）
大货车 620 700
小货车 400 550
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往南宁，其余货车前往钦州，设前往南宁的大货车为a辆，前往南宁、钦州两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往南宁的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用。
分析： （1）根据大、小两种货车共20辆，以及两种车所运的货物的和是248吨，据此即可列方程或方程组即可求解；
（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式；
（3）根据运往南宁的物资不少于120吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确定a的值，根据（2）中的函数关系，即可确定w的最小值，确定运输方案．
解答： 解：（1）解法一、设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得
，
解得 ．
答：大货车用8辆，小货车用12辆．
解法二、设大货车用x辆，则小货车用（20﹣x）辆，根据题意得
16x+10（20﹣x）=248，
解得x=8，
∴20﹣x=20﹣8=12（辆）．
答：大货车用8辆，小货车用12辆．
（2）w=620a+700（8﹣a）+400（9﹣a）+550[12﹣（9﹣a）]
=70a+10850，
∴w=70a+10850（0≤a≤8且为整数）；
（3）16a+10（9﹣a）≥120，
解得a≥5，
又∵0≤a≤8，
∴5≤a≤8 且为整数．
∵w=70a+10850，
k=70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a=5时，W最小，
最小值为：W=70×5+10850=11200（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、8辆小货车前往乙地．最少运费为11200元．
点评： 主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
　
　
30．（2012 贵港）某公司决定利用仅有的349个甲种部件和295个乙种部件组装A、B两种型号的简易板房共50套捐赠给灾区．已知组装一套A型号简易板房需要甲种部件8个和乙种部件4个，组装一套B型号简易板房需要甲种部件5个和乙种部件9个．
（1）该公司组装A、B两种型号的简易板房时，共有多少种组装方案？
（2）若组装A、B两种型号的简易板房所需费用分别为每套200元和180元，问最少总组装费用是多少元？并写出总组装费用最少时的组装方案．
考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。
分析： （1）根据题中已知条件列出不等式组，解不等式租得出整数即可解得有3种组装方案；
（2）根据组装方案的费用W关于x 的方程，解得当x=31时，组装费用W最小为9620元．
解答： 解：（1）设组装A型号简易板房x套，则组装B型号简易板房（50﹣x）套，
根据题意得出：
，
解得：31≤x≤33，
故该公司组装A、B两种型号的简易板房时，共有3种组装方案：
组装A型号简易板房31套，则组装B型号简易板房19套，
组装A型号简易板房32套，则组装B型号简易板房18套，
组装A型号简易板房33套，则组装B型号简易板房17套；
（2）设总组装费用为W，
则W=200x+180（50﹣x）=20x+9000，
∵20＞0，
∴W随x的增大而增大，
当x=31时，W最小=20×31+9000=9620（元）．
此时x=31，50﹣31=19，
答：最少总组装费用是9620元，总组装费用最少时的组装方案为：组装A型号简易板房31套，则组装B型号简易板房19套．
点评： 本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，是各地中考的热点，同学们在平时练习时要加强训练，属于中档题．
　
31．（2012 阜新）某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A、B两种共50辆货车运往外地．已知一辆A种货车的运费需0.5万元，一辆B种货车的运费需0.8万元．
（1）设A种货车为x辆，运输这批货物的总运费为y万元，试写出y与x的关系表达式；
（2）若一辆A种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨．按此要求安排A，B两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请设计出来；
（3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？
考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。
分析： （1）设A种货车为x辆，则B种货车为（50﹣x）辆，则表示出两种车的费用的和就是总费用，据此即可求解；
（2）仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，两种车的运载量必须不超过360吨，290吨，据此即可得到一个关于x的不等式组，再根据x是整数，即可求得x的值，从而确定运输方案；
（3）运费可以表示为x的函数，根据函数的性质，即可求解．
解答： 解：（1）设A种货车为x辆，则B种货车为（50﹣x）辆．
根据题意，得y=0.5x+0.8（50﹣x），即y=﹣0.3x+40
（2）根据题意，得
解这个不等式组，得
20≤x≤22
∵x是整数
∴x可取20、21、22
即共有三种方案，
A（辆） B（辆）
一 20 30
二 21 29
三 22 28
（3）由（1）可知，总运费y=﹣0.3x+40，
∵k=﹣0.3＜0，
∴一次函数y=﹣0.3x+40的函数值随x的增大而减小．
所以x=22时，y有最小值，即y=﹣0.3×22+40=33.4（万元）
选择方案三：A种货车为22辆，B种货车为28辆，总运费最少是33.4万元．
点评： 本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程组和不等式组即可求解．
　
32．（2012 郴州）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．
（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？
（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？
考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。
分析： （1）设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元，根据某校计划购买篮球和排球共100个，已知篮球每个80元，排球每个20元可列出函数式．
（2）先设出购买篮球x个，根据篮球的个数不少于排球个数的3倍和购买两种球的总费用及单价，列出不等式组，解出x的值，即可得出答案；
（3）根据（2）得出的篮球和排球的个数，再根据它们的单价，即可求出总费用，再进行比较，即可得出更合算的方案．
解答： 解：（1）设购买排球x个，购买篮球和排球的总费用y元，
y=20x+80（100﹣x）=8000﹣60x；
（2）设购买排球x个，则篮球的个数是（100﹣x），根据题意得：
，
解得：23≤x≤25，
所以x取25，24，23，
当买排球25个时，篮球的个数是75个，
当买排球24个时，篮球的个数是76个，
当买排球23个时，篮球的个数是77个，
所以有3种购买方案．
（3）根据（2）得：
当买排球25个，篮球的个数是75个，总费用是：25×20+75×80=6500（元），
当买排球24个，篮球的个数是76个，总费用是：24×20+76×80=6560（元），
当买排球23个，篮球的个数是77个，总费用是：23×20+77×80=6620（元），
所以采用买排球25个，篮球75个时更合算．
点评： 本题考查的是一元一次不等式组及一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
　
33．（2012 本溪）某商店购进甲、乙两种型号的滑板车，共花费13000元，所购进甲型车的数量不少于乙型车数量的二倍，但不超过乙型车数量的三倍．现已知甲型车每辆进价200元，乙型车每辆进价400元，设商店购进乙型车x辆．
（1）商店有哪几种购车方案？
（2）若商店将购进的甲、乙两种型号的滑板车全部售出，并且销售甲型车每辆获得利润70元，销售乙型车每辆获得利润50元，写出此商店销售这两种滑板车所获得的总利润y（元）与购进乙型车的辆数x（辆）之间的函数关系式？并求出商店购进乙型车多少辆时所获得的利润最大？
考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。
分析： （1）设商店购进乙型车x辆．则甲型是：辆．根据所购进甲型车的数量不少于乙型车数量的二倍，但不超过乙型车数量的三倍，即可得到关于x的不等式组，从而求得x的范围，然后根据甲、乙的辆数都是正整数，即可确定x的值，从而确定方案；
（2）根据总获利=甲型的获利+乙型的获利，即可得到函数解析式，然后利用函数的性质即可确定商店购进乙型车多少辆时所获得的利润最大．
解答： 解：（1）设商店购进乙型车x辆．则甲型是：辆．
根据题意得：，
解得：13≤x≤，
∵x是正整数，是正整数．
∴x=13或14或15或16．
则有4种方案：方案一：乙13辆，甲39辆；
方案二：乙14辆，甲37辆；
方案三：乙15辆，甲35辆；
方案四：乙16辆，甲33辆．
（2）y=70×+50x，
即y=﹣90x+4550．
∵﹣90＜0，则y随x的增大而减小，
∴当x=13时，y最大．
答：当乙型车购进13辆时所获得的利润最大．
点评： 本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系，及符合题意的不等关系式．要会利用函数的单调性结合自变量的取值范围求得利润的最大值．
　
34．（2012 鞍山）某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．
（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；
（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案．
考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用。
分析： （1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元分别得出等式方程，组成方程组求出即可；
（2）根据购买两种学习桌共98张，设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，根据以至少满足248名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过6000元得出不等式，进而求出即可．
解答： 解：（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据题意得出：
，
解得：，
答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为50元，70元；
（2）设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，
购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，
则W与x的函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860；
根据题意得出：
，
由50x+70（98﹣x）≤6000，
解得：x≥43，
由2x+3（98﹣x）≥248，
解得：x≤46，
故不等式组的解集为：43≤x≤46，
故所有购买方案为：当购买两人桌43张时，购买三人桌58张，
当购买两人桌44张时，购买三人桌54张，
当购买两人桌45张时，购买三人桌53张，
当购买两人桌46张时，购买三人桌52张．
点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．2013年中考数学专题讲座二：新概念型问题
一、中考专题诠释
所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力
二、解题策略和解法精讲
“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．
三、中考典例剖析
考点一：规律题型中的新概念
例1 （2012 永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 21
．
思路分析：由于3-1=2，7-3=4，13-7=6，…，由此得出相邻两数之差依次大2，故13的后一个数比13大8．
解答：解：由数字规律可知，第四个数13，设第五个数为x，
则x-13=8，解得x=21，即第五个数为21，
故答案为：21．
点评：本题考查了数字变化规律类问题．关键是确定二阶等差数列的公差为2．
对应训练
1．（2012 自贡）若x是不等于1的实数，我们把 称为x的差倒数，如2的差倒数是 =-1，-1的差倒数为 = ，现已知x1=- ，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依次类推，则x2012= ．
考点二：运算题型中的新概念
例2 （2012 菏泽）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，概念=ad-bc，上述记号就叫做2阶行列式．若=8，则x= 2
．
思路分析：根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．
解：根据题意化简=8，得：（x+1）2-（1-x）2=8，
整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-8=0，即4x=8，
解得：x=2．
故答案为：2
点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．
对应训练
2．（2012 株洲）若（x1，y1） （x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5） （6，8）=　 　．
考点三：探索题型中的新概念
例3 （2012 南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．
（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，
①若AB是⊙O的直径，则∠APB=　 　°；
②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；
（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
思路分析： （1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；
②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90．
②如图，连接AB、OA、OB．
在△AOB中，
∵OA=OB=1．AB=，
∴OA2+OB2=AB2．
∴∠AOB=90°．
当点P在优弧上时，∠AP1B=∠AOB=45°；
当点P在劣弧上时，∠AP2B=（360°﹣∠AOB）=135°…6分
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．
第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①
∵∠MAN=∠APB+∠ANB，
∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB；
第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB），
∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°；
第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．
∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，
∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB，
第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，
∠APB=∠MAN+∠ANB．
点评： 综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用．
对应训练
3．（2012 陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是 等腰
三角形；
（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
考点四：开放题型中的新概念
例4 （2012 北京）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下概念：
若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|；
若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|．
例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．
（1）已知点A（-，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．
思路分析：（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的概念可以确定|0-y|=2，据此可以求得y的值；
②设点B的坐标为（0，y）．因为|- -0|≥|0-y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|- -0|= ；
（2）①设点C的坐标为（x0，x0+3）．根据材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为-x0= x0+2，据此可以求得点C的坐标；
②当点E在过原点且与直线y= x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即E（- ， ）．解答思路同上．
解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|--0|=≠2，
∴|0-y|=2，
解得，y=2或y=-2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，-2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为；
（2）①∵C是直线y=x+3上的一个动点，
∴设点C的坐标为（x0，x0+3），
∴-x0=x0+2，
此时，x0=-，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：，
此时C（-，）；
②E（-，）．
--x0=x0+3-，
解得，x0=-，
则点C的坐标为（-，），
最小值为1．
点评：本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的概念是正确解题的关键．
对应训练
4．（2012 台州）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a b”，使得下列算式成立：
1 2=2 1=3，（-3） （-4）=（-4） （-3）=- ，（-3） 5=5 （-3）=- ，…
你规定的新运算a b= （用a，b的一个代数式表示）．
考点五：阅读材料题型中的新概念
例5 （2012 常州）平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：
（1）点O的“距离坐标”为（0，0）；
（2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；
（3）到直线AB、CD的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）．
设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：
（1）画出图形（保留画图痕迹）：
①满足m=1，且n=0的点M的集合；
②满足m=n的点M的集合；
（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．（说明：图中OI长为一个单位长）
思路分析：（1）①以O为圆心，以2为半径作圆，交CD于两点，则此两点为所求；②分别作∠BOC和∠BOD的角平分线并且反向延长，即可求出答案；
（2）过M作MN⊥AB于N，根据已知得出OM=n，MN=m，求出∠NOM=60°，根据锐角三角函数得出sin60°==，求出即可．
解：（1）①如图所示：
点M1和M2为所求；
②如图所示：
直线MN和直线EF（O除外）为所求；
（2）如图：
过M作MN⊥AB于N，
∵M的“距离坐标”为（m，n），
∴OM=n，MN=m，
∵∠BOD=150°，直线l⊥CD，
∴∠MON=150°-90°=60°，
在Rt△MON中，sin60°==，
即m与n所满足的关系式是：m=n．
点评：本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含30度角的直角三角形的应用，主要考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
对应训练
5．（2012 钦州）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：
①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）；
②g（x，y）=（-x，-y），如g（2，3）=（-2，-3）．
按照以上变换有：f（g（2，3））=f（-2，-3）=（-3，-2），那么g（f（-6，7））等于（　　）
A．（7，6） B．（7，-6） C．（-7，6） D．（-7，-6）
四、中考真题演练
一、选择题
1．（2012 六盘水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（-m，-n）．例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）．则g[f（-5，6）]等于（　　）
A．（-6，5） B．（-5，-6） C．（6，-5） D．（-5，6）
2． （2012 湘潭）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入 ，则输出的结果为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键．
3． （2012 丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（　　）
A．2010 B．2012 C．2014 D．2016
二、填空题
4．（2012 常德）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[]的值为　 　．
5．（2012 随州）概念：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（　　）
A．2 B．1 C．4 D．3
6．（2012 荆门）新概念：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m-2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程 +=1的解为 x=3
．
7．（2012 自贡）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是 4π
．
8． （2012 泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）．
（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有 1
条；
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当 = 时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的．
三、解答题
9．（2012 铜仁地区）如图，概念：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= = ，根据上述角的余切概念，解下列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
10．（2012 无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．
（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．
11．（2012 厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连接AB．如果点P在直线y=x-1上，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“临近点”．
（1）判断点C（）是否是线段AB的“临近点”，并说明理由；
（2）若点Q（m，n）是线段AB的“临近点”，求m的取值范围．
12．（2012 兰州）如图，概念：若双曲线y=（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y=（k＞0）的对径．
（1）求双曲线y= 的对径．
（2）若双曲线y=（k＞0）的对径是10，求k的值．
（3）仿照上述概念，概念双曲线y= （k＜0）的对径．
13．（2012 绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．
概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数．
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．
14．（2012 嘉兴）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．
（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC= 3
；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为 60
度；
（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；
（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．
15．（2012 台州）概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．
已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述概念，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是 2
；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为 ；
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；
②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MN⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
专题讲座二：新概念型问题参考答案
三、中考典例剖析
对应训练
1．
解：∵x1=-，
∴x2==，x3==4，x4=，
∴差倒数为3个循环的数，
∵2012=670×3+2，
∴x2012=x2=，
故答案为：．
2．64
解：∵（x1，y1） （x2，y2）=x1x2+y1y2，
∴（4，5） （6，8）=4×6+5×8=64，
故答案为64．
3．解：（1）如图；
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．
故填：等腰．
（2）∵抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
∴该抛物线的顶点（）满足（b＞0）．
∴b=2．
（3）存在．
如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．
当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形，
又∵AO=AB，
∴△OAB为等边三角形．
作AE⊥OB，垂足为E，
∴AE=OE．
∴= （b′＞0）．
∴b′=2．
∴A（，3），B（2，0）．
∴C（-，-3），D（-2，0）．
设过点O、C、D的抛物线为y=mx2+nx，则
，
解得．
故所求抛物线的表达式为y=x2+2x．
4．解：根据题意可得：
1 2=2 1=3=，
（-3） （-4）=（-4） （-3）=-=，
（-3） 5=5 （-3）=-=，
则a b==．
故答案为：．
5．C
解：∵f（-6，7）=（7，-6），
∴g（f（-6，7））=g（7，-6）=（-7，6）．
故选C．
四、中考真题演练
一、选择题
1．A
2．B．
3．D
解：∵3，6，9，12，…称为三角形数，
∴三角数都是3的倍数，
∵4，8，12，16，…称为正方形数，
∴正方形数都是4的倍数，
∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，
∵2010÷12=167…6，
2012÷12=167…8，
2014÷12=167…10，
2016÷12=168，
∴2016既是三角形数又是正方形数．
故选D．
二、填空题
4．4
解：∵3＜＜4，
∴3+1＜+1＜4+1，
∴4＜+1＜5，
∴[+1]=4，
故答案为：4．
5．C
解：如图所示，所求的点有4个，
故选C．
6．x=3
解：根据题意可得：y=x+m-2，
∵“关联数”[1，m-2]的一次函数是正比例函数，
∴m-2=0，
解得：m=2，
则关于x的方程+=1变为+=1，
解得：x=3，
检验：把x=3代入最简公分母2（x-1）=4≠0，
故x=3是原分式方程的解，
故答案为：x=3．
7．4π
解：弧CD的长是=，
弧DE的长是：=，
弧EF的长是：=2π，
则曲线CDEF的长是：++2π=4π．
故答案是：4π．
8．（1）1；（2）或或
解：（1）存在另外 1 条相似线．
如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；
故答案为：1；
（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．
如图2所示，共有4条相似线：
①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；
②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥AC，∴=；
③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；
④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴，
∴=．
故答案为：或或．
三、解答题
9．解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC=AB，
∴AC===AB，
∴ctan30°==．
故答案为：；
（2）∵tanA=，
∴设BC=3，AC=4，则AB=5，
∴ctanA==．
10．解：（1）由题意，得|x|+|y|=1，
所有符合条件的点P组成的图形如图所示。

（2）∵d（M，Q）=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|，
又∵x可取一切实数，|x-2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3．
∴点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3。
11．解：（1）点C（）是线段AB的“临近点”．理由是：
∵点P到直线AB的距离小于1，A、B的纵坐标都是3，
∴AB∥x轴，3-1=2，3+1=4，
∴当纵坐标y在2＜y＜4范围内时，点是线段AB的“临近点”，点C的坐标是（），
∴y=＞2，且小于4，
∵C（）在直线y=x-1上，
∴点C（）是线段AB的“临近点”．
（2）由（1）知：线段AB的“临近点”的纵坐标的范围是2＜y＜4，
把y=2代入y=x-1得：x=3，
把y=4代入y=x-1得：x=5，
∴3＜x＜5，
∵点Q（m，n）是线段AB的“临近点”，
∴m的取值范围是3＜m＜5．
12．解：过A点作AC⊥x轴于C，如图，
（1）解方程组，得，，
∴A点坐标为（1，1），B点坐标为（-1，-1），
∴OC=AC=1，
∴OA=OC=，
∴AB=2OA=2，
∴双曲线y=的对径是2；
（2）∵双曲线的对径为10，即AB=10，OA=5，
∴OA=OC=AC，
∴OC=AC=5，
∴点A坐标为（5，5），
把A（5，5）代入双曲线y=（k＞0）得k=5×5=25，
即k的值为25；
（3）若双曲线y=（k＜0）与它的其中一条对称轴y=-x相交于A、B两点，
则线段AB的长称为双曲线y=（k＜0）的对径．
13．解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，
∵CD为等边三角形的高，
∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，
∴PD=DB=AB，
与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，
②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°，
故∠APB=90°；
探究：解：∵BC=5，AB=3，
∴AC===4，
①若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4-x）2，
∴x=，即PA=，
②若PA=PC，则PA=2，
③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或．
14．解：（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′，
∴S△AB′C′：S△ABC=（）2=（）2=3，∠B=∠B′，
∵∠ANB=∠B′NM，
∴∠BMB′=∠BAB′=60°；
故答案为：3，60；
（2）∵四边形 ABB′C′是矩形，
∴∠BAC′=90°．
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°．
在 Rt△ABC 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，
∴∠AB′B=30°，
∴n==2；
（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC=36°，
∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°．
∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB：BB′=CB：AB，
∴AB2=CB BB′=CB（BC+CB′），
而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，
∴AB2=1（1+AB），
∴AB=，
∵AB＞0，
∴n==．
15．解：（1）当m=2，n=2时，
如题图1，线段BC与线段OA的距离等于平行线之间的距离，即为2；
当m=5，n=2时，
B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，
如答图1，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB==．
（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：
当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；
当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，
ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：
∴d===．
（3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：
由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，
其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．
②结论：存在．
∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．
∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．
如图4所示，相似三角形有三种情形：
（I）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．
如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m，
由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2-m），
∴m=1；
（II）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．
如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2，
由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m-2），
∴m=3；
（III）△AM3H3，此时点B落在⊙A上．
如图，OH3=m+2，AH3=OH3-OA=m-2，
过点B作BN⊥x轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m-4，
由相似关系可知，AH3=2M3H3，即m-2=2n （1）
在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m-4）2+n2 （2）
由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2，
当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，
∴m=．
综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，m的取值为：1、3或．2013年中考数学复习专题讲座五：数学思想方法（一）
一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲
考点一：整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1 10．（2012 德州）已知，则a+b等于（　　）
　 A．3 B． C． 2 D． 1
考点： 解二元一次方程组。
专题： 计算题。
分析： ①+②得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案．
解答： 解：，
∵①+②得：4a+4b=12，
∴a+b=3．
故选A．
点评： 本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．
运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析。运用整体思想方法，往往能起到化繁为简，化难为易的效果。
考点二：转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2 （2012 内江）已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标为　 　．
考点： 一次函数综合题；三角形三边关系；关于x轴、y轴对称的点的坐标。
分析： 作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．利用待定系数法求出直线AB′的解析式，然后求出其与x轴交点的坐标，即M点的坐标．
解答： 解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．此时AM﹣BM=AM﹣B′M=AB′．
不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B．
则M′A﹣M′B=M′A﹣M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．
∴M′A﹣M′B＜AM﹣BM，即此时AM﹣BM最大．
∵B′是B（3，﹣1）关于x轴的对称点，∴B′（3，1）．
设直线AB′解析式为y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得：
，解得，
∴直线AB′解析式为y=﹣2x+7．
令y=0，解得x=，
∴M点坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．
点评： 本题可能感觉无从下手，主要原因是平时习惯了线段之和最小的问题，突然碰到线段之差最大的问题感觉一筹莫展．其实两类问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“两点之间线段最短”问题，而后者（本题）是通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问题．可见学习知识要活学活用，灵活变通．
　
考点三：分类讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．　
例3 （2012 黔东南州）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？
考点： 一次函数的应用。
分析： 当x≤35时，选择两个，宾馆是一样的；当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜，当x＞35时，两个宾馆的收费可以表示成人数x的函数，比较两个函数值的大小即可．
解答： 解：设总人数是x，
当x≤35时，选择两个，宾馆是一样的；
当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜；
当x＞45时，甲宾馆的收费是：y甲=35×120+0.9×120×（x﹣35），即y甲=108x+420；
y乙=45×120+0.8×120（x﹣45）=96x+1080，
当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，解得：x=55；
当y甲＞y乙时，即108x+420＞96x+1080，解得：x＞55；
当y甲＜y乙时，即108x+420＜96x+1080，解得：x＜55；
总之，当x≤35或x=55时，选择两个，宾馆是一样的；
当35＜x＜55时，选择甲宾馆比较便宜；
当x＞55时，选乙宾馆比较便宜．
点评： 此题的关键是用代数式列出在甲、乙两宾馆的费用，用了分类讨论的方法，是解决此类问题常用的方法．
例4 （2012 丽水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=，AC与y轴交于点E．
（1）求AC所在直线的函数解析式；
（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；
（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 一次函数综合题。
分析： （1）根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解；
（2）在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积；
（3）分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上．求直线OP与直线AC的交点坐标即可．
解答： 解：（1）在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE==，∴点E（0，2）．
设直线AC的函数解析式为y=kx+，有，解得：k=．
∴直线AC的函数解析式为y=．
（2）在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE==，
设EG=3t，OG=5t，OE==t，∴，得t=2，
故EG=6，OG=10，
∴S△OEG=．
（3）存在．
①当点Q在AC上时，点Q即为点G，
如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，
由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x=10时，
y=﹣=，
∴点P1（10，）．
②当点Q在AB上时，
如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，
过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，
则BH=QH=14﹣a，
在Rt△OQH中，a2+（14﹣a）2=100，
解得：a1=6，a2=8，
∴Q（﹣6，8）或Q（﹣8，6）．
连接QF交OP2于点M．
当Q（﹣6，8）时，则点M（2，4）．
当Q（﹣8，6）时，则点M（1，3）．
设直线OP2的解析式为y=kx，则
2k=4，k=2．
∴y=2x．
解方程组，得．
∴P2（）；
当Q（﹣8，6）时，则点M（1，3），
同理可求P2′（），P3（）；
如图，有QP4∥OF，QP4=OF=10，点P4在E点，
设P4的横坐标为x，则点Q的横坐标为x﹣10，
∵yQ=yP，直线AB的函数解析式为y=x+14，
∴（x﹣10）+14=﹣x+2，
解得：x=，可得：y=，
∴点P4（，），
当Q在BC边上时，如图，OQ=OF=10，点P5在E点，
∴P5（0，2），
综上所述，满足条件的P点坐标为（10，）或（）或（）或（，）或（0，2）．
点评： 此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法，综合性强，难度大．
四、中考真题演练
一、选择题
1．（2012 东营）若3x=4，9y=7，则3x﹣2y的值为（　　）
　 A． B． C． ﹣3 D．
考点： 同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方。
分析： 由3x=4，9y=7与3x﹣2y=3x÷32y=3x÷（32）y，代入即可求得答案．
解答： 解：∵3x=4，9y=7，
∴3x﹣2y=3x÷32y=3x÷（32）y=4÷7=4÷7=．
故选A．
点评： 此题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的应用．此题难度适中，注意将3x﹣2y变形为3x÷（32）y是解此题的关键．
2．（2012 南京）计算（a2）3÷（a2）2的结果是（　　）
　 A．a B． a2 C． a3 D． a4
考点： 整式的除法。
分析： 根据幂的乘方首先进行化简，再利用同底数幂的除法的运算法则计算后直接选取答案．
解答： 解：（a2）3÷（a2）2
=a6÷a4
=a2．
故选：B．
点评： 本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
　
3．（2012 南昌）已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（　　）
　 A．10 B． 6 C． 5 D． 3
考点： 完全平方公式。
专题： 计算题。
分析： 根据完全平方公式由（m﹣n）2=8得到m2﹣2mn+n2=8①，由（m+n）2=2得到m2+2mn+n2=2②，然后①+②得，2m2+2n2=10，变形即可得到m2+n2的值．
解答： 解：∵（m﹣n）2=8，
∴m2﹣2mn+n2=8①，
∵（m+n）2=2，
∴m2+2mn+n2=2②，
①+②得，2m2+2n2=10，
∴m2+n2=5．
故选C．
点评： 本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
4．（2012 本溪）已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　）
　 A．13 B． 11或13 C． 11 D． 12
考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质。
分析： 由一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，利用因式分解法求解即可求得等腰△ABC的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为3和5时与当底边长和腰长分别为5和3时去分析，即可求得答案．
解答： 解：∵x2﹣8x+15=0，
∴（x﹣3）（x﹣5）=0，
∴x﹣3=0或x﹣5=0，
即x1=3，x2=5，
∵一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，
∴当底边长和腰长分别为3和5时，3+3＞5，
∴△ABC的周长为：3+3+5=11；
∴当底边长和腰长分别为5和3时，3+5＞5，
∴△ABC的周长为：3+5+5=13；
∴△ABC的周长为：11或13．
故选B．
点评： 此题考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．此题难度不大，注意分类讨论思想的应用．
5．（2012 莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（　　）
　 A．9 B． ±3 C． 3 D． 5
考点： 根与系数的关系；二次根式的化简求值。
专题： 整体思想。
分析： 根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．
解答： 解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，
∴m+n=﹣2，mn=1，
∴====3．
故选C．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1 x2=．也考查了二次根式的化简求值．
6．（2012 广元）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（　　）
　 A．（0，0） B．
C． D．
考点： 一次函数的性质；正数和负数；垂线段最短。
专题： 计算题。
分析： 先过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，由于点B在直线y=x上运动，所以△AOB′是等腰直角三角形，由勾股定理求出OB′的长即可得出点B′的坐标．
解答： 解：先过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，由垂线段最短可知，当B′与点B重合时AB最短，
∵点B在直线y=x上运动，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
过B′作B′C⊥x轴，垂足为C，
∴△B′CO为等腰直角三角形，
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OC=CB′=OA=×1=，
∴B′坐标为（﹣，﹣），
即当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣），
故选B．
点评： 本题考查了一次函数的性质、垂线段最短和等腰直角三角形的性质，找到表示B′点坐标的等腰直角三角形是解题的关键．
　
7． （2012 黔西南州）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 轴对称-最短路线问题；二次函数的性质；相似三角形的判定与性质。810360
分析： 首先可求得二次函数的顶点坐标，再求得C关于x轴的对称点C′，求得直线C′D的解析式，与x轴的交点的横坐标即是m的值．
解答： 解：∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2=0，
∴b=﹣，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2，
∴顶点D的坐标为（，﹣），
作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2
连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，
∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴=，
即=，
∴m=．
故选B．
点评： 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，找对相似三角形．
8．（2012 黄石）如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（　　）
　 A．（，0） B． （1，0） C． （，0） D． （，0）
考点： 反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形三边关系。
专题： 计算题。
分析： 求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．
解答： 解：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=得：y1=2，y2=，
∴A（，2），B（2，），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A、B的坐标代入得：，
解得：k=﹣1，b=，
∴直线AB的解析式是y=﹣x+，
当y=0时，x=，
即P（，0），
故选D．
点评： 本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．
9．（2012 兰州）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　）
　 A．130° B． 120° C． 110° D． 100°
考点： 轴对称-最短路线问题。
分析： 根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
解答： 解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故选：B．
点评： 此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
　
10．（2012 威海）向一个图案如图所示的正六边形靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率为（　　）
　 A． B． C． 1﹣ D．
考点： 几何概率；正多边形和圆；扇形面积的计算。
分析： 根据已知假设出六边形边长为1，进而求出正六边形面积和S扇形FAB，S扇形BCD，S扇形DEF，再利用三个扇形面积减去正六边形面积等于阴影部分面积，进而得出飞镖插在阴影区域的概率．
解答： 解：根据图象可以得出，O为正六边形中心，过点O作OM⊥BC，
设正六边形边长为1，根据正六边形每个内角为120°，
则S扇形FAB==，故S扇形BCD==，S扇形DEF==，
∵OC=BC=BO=1，OM⊥BC，
∴OM==
∴S△OBC=×OM×BC=××1=，
∴S正六边形面积=×6=，
∴S阴影=﹣，
∴飞镖插在阴影区域的概率为：=﹣1．
故选：A．
点评： 此题主要考查了概率公式以及正六边形面积求法和扇形面积公式等知识，根据已知得出三个扇形面积减去正六边形面积等于阴影部分面积是解题关键．
　
11．（2012 铁岭）在如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概率为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 几何概率。
分析： 先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再根据旋转的性质求出阴影区域的面积即可．
解答： 解：根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，
根据旋转的性质易证阴影区域的面积=正方形面积4份中的一份，
故针头扎在阴影区域的概率为；
故选A．
点评： 此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
　
12．（2012 连云港）向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 几何概率。
分析： 求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答．
解答： 解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是=，
所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于．
故选C．
点评： 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
二、填空题
13．（2012 扬州）已知2a﹣3b2=5，则10﹣2a+3b2的值是　 　．
考点： 代数式求值。
专题： 计算题。
分析： 先将10﹣2a+3b2进行变形，然后将2a﹣3b2=5整体代入即可得出答案．
解答： 解：10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2），
又∵2a﹣3b2=5，
∴10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2）=10﹣5=5．
故答案为：5．
点评： 此题考查了代数式求值的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握整体思想的运用．
14．（2012 黔西南州）已知﹣2xm﹣1y3和xnym+n是同类项，则（n﹣m）2012=　 　．
考点： 同类项。
专题： 计算题。
分析： 根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程求出m，n的值，再代入代数式计算即可．
解答： 解：∵﹣2xm﹣1y3和xnym+n是同类项，
∴m﹣1=n，3=m+n，
解得m=2，n=1，
所以（n﹣m）2012=（1﹣2）2012=1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了同类项的定义，注意同类项定义中的两个“相同”：
（1）所含字母相同；
（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值．
　
15．（2012 常州）已知x=y+4，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25的值为　 　．
考点： 完全平方公式。
分析： 根据已知条件“x=y+4”可知“x﹣y=4”；然后将所求的代数式转化为含有x﹣y的形式，将x﹣y的值代入求值即可．
解答： 解：∵x=y+4，
∴x﹣y=4，
∴x2﹣2xy+y2﹣25=（x﹣y）2﹣25=16﹣25=﹣9，
故答案是：﹣9．
点评： 本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
　
17．（2012 黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为　 　．
考点： 完全平方公式。
专题： 计算题。
分析： 将x+=3两边平方，然后移项即可得出答案．
解答： 解：由题意得，x+=3，
两边平方得：x2+2+=9，
故x2+=7．
故答案为：7．
点评： 此题考查了完全平方公式的知识，掌握完全平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题．
18．（2012 鄂州）在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是　 　．
考点： 轴对称-最短路线问题。
专题： 探究型。
分析： 过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．
解答： 解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC cos45°=4×=4．
故答案为：4．
点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
　
三、解答题
16．（2012 丽水）已知A=2x+y，B=2x﹣y，计算A2﹣B2．
考点： 完全平方公式。
分析： 把A、B两式代入，再计算完全平方公式，去括号，合并同类项即可．
解答： 解：A2﹣B2=（2x+y）2﹣（2x﹣y）2
=（4x2+4xy+y2）﹣（4x2﹣4xy+y2）
=4x2+4xy+y2﹣4x2+4xy﹣y2
=8xy．
点评： 此题主要考查了完全平方公式，关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
20．（2012 攀枝花）先化简，再求值：，其中x满足方程：x2+x﹣6=0．
考点： 分式的化简求值；一元二次方程的解。
专题： 计算题。
分析： 将原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并后利用平方差公式分解因式，然后将除式的分子利用完全平方公式分解因式，并利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后求出x满足方程的解，将满足题意的x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
解答： 解：（x+1﹣）÷
=÷
=
=，
∵x满足方程x2+x﹣6=0，
∴（x﹣2）（x+3）=0，
解得：x1=2，x2=﹣3，
当x=2时，原式的分母为0，故舍去；
当x=﹣3时，原式==．
点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式时，应先将多项式分解因式后再约分，此外分式的化简求值题，要先将原式化为最简再代值．本题注意根据分式的分母不为0，将x=2舍去．
　
23．（2012 襄阳）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2012年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：
一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过150千瓦时 a
超过150千瓦时但不超过300千瓦时的部分 b
超过300千瓦时的部分 a+0.3
2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元．该市一户居民在2012年5月以后，某月用电x千瓦时，当月交电费y元．
（1）上表中，a=　 　；b=　 　；
（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？
考点： 一次函数的应用。
分析： （1）利用居民甲用电100千瓦时，交电费60元，可以求出a的值，进而利用居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元，求出b的值即可；
（2）利用当x≤150时，当150＜x≤300时，当x＞300时分别求出即可；
（3）根据当居民月用电量x≤150时，0.6x≤0.62x，当居民月用电量x满足150＜x≤300时，0.65x﹣75≤0.62x，当居民月用电量x满足x＞300时，0.9x﹣82.5≤0.62x，分别得出即可．
解答： 解：（1）根据2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；
得出：a=60÷100=0.6，
居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元．
则（122.5﹣0.6×150）÷（200﹣150）=0.65，
故：a=0.6；b=0.65．
（2）当x≤150时，y=0.6x．
当150＜x≤300时，y=0.65（x﹣150）+0.6×150=0.65x﹣7.5，
当x＞300时，y=0.9（x﹣300）+0.6×150+0.65×150=0.9x﹣82.5；
（3）当居民月用电量x≤150时，
0.6x≤0.62x，故x≥0，
当居民月用电量x满足150＜x≤300时，
0.65x﹣75≤0.62x，
解得：x≤250，
当居民月用电量x满足x＞300时，
0.9x﹣82.5≤0.62x，
解得：x≤294，
综上所述，试行“阶梯电价”后，该市一户居民月用电量不超过250千瓦时时，其月平均电价每千瓦时不超过0.62元．
点评： 此题主要考查了一次函数的应用以及分段函数的应用，根据自变量取值范围不同得出x的取值是解题关键．
24．（2012 天门）张勤同学的父母在外打工，家中只有年迈多病的奶奶．星期天早上，李老师从家中出发步行前往张勤家家访．6分钟后，张勤从家出发骑车到相距1200米的药店给奶奶买药，停留14分钟后以相同的速度按原路返回，结果与李老师同时到家．张勤家、李老师家、药店都在东西方向笔直大路上，且药店在张勤家与李老师家之间．在此过程中设李老师出发t（0≤t≤32）分钟后师生二人离张勤家的距离分别为S1、S2．S与t之间的函数关系如图所示，请你解答下列问题：
（1）李老师步行的速度为　 　；
（2）求S2与t之间的函数关系式，并在如图所示的直角坐标系中画出其函数图象；
（3）张勤出发多长时间后在途中与李老师相遇？
考点： 一次函数的应用。
分析： （1）根据速度=，再结合图形，即可求出李老师步行的速度；
（2）根据题意分0≤t≤6，6＜t≤12，12＜t≤26，26＜t≤32四种情况进行讨论，即可得出S2与t之间的函数关系式；
（3）由S1=S2得，200t﹣1200=﹣50t+1600，然后求出t的值即可；
解答： 解：（1）李老师步行的速度为1600÷32=50米/分；
故答案为：50米/分．
（2）根据题意得：
当0≤t≤6时，S2=0，
当6＜t≤12时，S2=200t﹣1200，
当12＜t≤26时，S2=1200，
当26＜t≤32时，S2=﹣200t+6400，
（3）S1=﹣50t+1600，
由S1=S2得，200t﹣1200=﹣50t+1600，
解得t=11.2，
可得t﹣6=11.2﹣6=5.2（分）
则张勤出发5.2分钟后在途中与李老师相遇．
点评： 此题考查了一次函数的应用，此类题是近年中考中的热点问题，在此题中作图的关键是联系实际的变化，确定拐点．
25．（2012 绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．
（1）求G点坐标；
（2）求直线EF解析式；
（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 一次函数综合题。
分析： （1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB﹣AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标；
（2）由题意，可知△AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式；
（3）本问关键是确定平行四边形的位置与形状．因为M、N均为动点，只有FG已经确定，所以可从此入手，按照FG为一边、FG为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状．确定平行四边形的位置与形状之后，利用全等三角形求得M点的纵坐标，再利用直线解析式求出M点的横坐标，从而求得M点的坐标．
解答： 解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1
∵四边形ABCD为矩形
∴∠B=90°
BG===
∴G点的坐标为（3，4﹣）；
（2）设直线EF的解析式是y=kx+b
在Rt△BFG中，cos∠BFG==
∴∠BFG=60°
∴∠AFE=∠EFG=60°
∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2
∴E点的坐标为（0，4﹣2）
又F点的坐标是（2，4）
∴
解得k=，b=4﹣2；
∴直线EF的解析式为y=x+4﹣2；
注：
求E点坐标方法二：过点E作EP⊥BC于点P，利用△BFG∽△PGE得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）；
求E点坐标方法三：在Rt△GEP中，由勾股定理得EG2=GP2+EP2，得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）；
求E点坐标方法四：连接AG，证△AEG是等边三角形，得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）．
（3）若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：
①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示．
过M1点作M1H⊥x轴于点H，易证△M1HN1≌△GBF，
∴M1H=GB=，即yM1=．
由直线EF解析式y=x+4﹣2，求出xM1=3﹣．
∴M1（3﹣，）；
②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示．
仿照与①相同的办法，可求得M2（1﹣，﹣）；
③FG为平行四边形的对角线，如图3所示．
过M3作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△M3FH≌△GN3C，则有M3H=CG=4﹣，所以M3的纵坐标为8﹣；
代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为1+．
∴M3（1+，8﹣）．
综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形．
点M的坐标为：M1（3﹣，），M2（1﹣，﹣），M3（1+，8﹣）．
点评： 本题考查了直角坐标系中一次函数与平面图形的性质，涉及到的考点包括待定系数法求一次函数（直线）解析式、矩形、平行四边形、直角三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，对解题能力要求较高．难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意平行四边形有三种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏．
　
　
　2013年中考数学复习专题讲座七：归纳猜想型问题（一）
一、中考专题诠释
归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲
归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲
考点一：猜想数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2012 沈阳）有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为　 　．
考点： 多项式。810360
专题： 规律型。
分析： 首先观察归纳，可得规律：第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n，然后将n=10代入，即可求得答案．
解答： 解：∵第1个多项式为：a1+b2×1，
第2个多项式为：a2﹣b2×2，
第3个多项式为：a3+b2×3，
第4个多项式为：a4﹣b2×4，
…
∴第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n，
∴第10个多项式为：a10﹣b20．
故答案为：a10﹣b20．
点评： 此题考查的知识点是多项式，此题难度不大，注意找到规律第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n是解此题的关键．
例2 （2012 珠海）观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×　 　=　 　×25；
②　 　×396=693×　 　．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
考点： 规律型：数字的变化类。
专题： 规律型。
分析： （1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；
（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可．
解答： 解：（1）①∵5+2=7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，
∴52×275=572×25，
②∵左边的三位数是396，
∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，
63×369=693×36；
故答案为：①275，572；②63，36．
（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，
=（10a+b）（100b+10a+10b+a），
=（10a+b）（110b+11a），
=11（10a+b）（10b+a），
右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
=（100a+10a+10b+b）（10b+a），
=（110a+11b）（10b+a），
=11（10a+b）（10b+a），
左边=右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．
点评： 本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．
考点二：猜想图形规律
根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
例3 1．（2012 重庆）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（　　）
　 A． 50 B． 64 C． 68 D． 72
考点： 规律型：图形的变化类。
分析： 先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑥个图形中五角星的个数．
解答： 解：第①个图形一共有2个五角星，
第②个图形一共有：2+（3×2）=8个五角星，
第③个图形一共有8+（5×2）=18个五角星，
…
第n个图形一共有：
1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n﹣1）
=2[1+3+5+…+（2n﹣1）]，
=[1+（2n﹣1）]×n
=2n2，
则第（6）个图形一共有：
2×62=72个五角星；
故选D．
点评： 本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成三部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．
例4 （2012 绍兴）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 规律型：图形的变化类。
分析： 根据题意可得，第一个灯的里程数为10米，第二个灯的里程数为50，第三个灯的里程数为90米…第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=40n﹣30米，从而可计算出530米处哪个里程数是灯，也就得出了答案．
解答： 解：根据题意得：第一个灯的里程数为10米，
第二个灯的里程数为50，
第三个灯的里程数为90米
…
第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米，
故当n=14时候，40n﹣30=530米处是灯，
则510米、520米、540米处均是树，
故应该是树、树、灯、树，
故选B．
点评： 本题考查了图形的变化类问题，解决本题的关键是从原图中找到规律，并利用规律解决问题．
例5 （2012 荆门）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（　　）
　 A． 8048个 B． 4024个 C． 2012个 D． 1066个
考点： 规律型：图形的变化类。
专题： 规律型。
分析： 写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n，根据此规律求解即可．
解答： 解：第1个图形，有4个直角三角形，
第2个图形，有4个直角三角形，
第3个图形，有8个直角三角形，
第4个图形，有8个直角三角形，
…，
依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，
所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024．
故选B．
点评： 本题主要考查了图形的变化，根据前几个图形的三角形的个数，观察出与序号的关系式解题的关键．
考点三：猜想坐标变化
例6 （2012 德州）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为　 　．
考点： 等腰直角三角形；点的坐标。
专题： 规律型。
分析： 由于2012是4的倍数，故A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，可见，A2012在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即可解答．
解答： 解：∵2012是4的倍数，
∴A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，
∴A2012在x轴上方，横坐标为2，
∵A4、A8、A12的纵坐标分别为2，4，6，
∴A12的纵坐标为2012×=1006．
故答案为（2，1006）．
点评： 本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，主要是根据坐标变化找到规律，再依据规律解答．
例7 （2012 鸡西）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2012的坐标为　 　．
考点： 正方形的性质；坐标与图形性质。
专题： 规律型。
分析： 首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2012的坐标．
解答： 解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB=，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2=2，B2点坐标为（﹣2，2），
同理可知OB3=4，B3点坐标为（﹣4，0），
B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），
B6（8，﹣8），B7（16，0）
B8（16，16），B9（0，16），
由规律可以发现，每经过9次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2012÷9=223…5，
∴B2012的纵横坐标符号与点B4的相同，纵横坐标都是负值，
∴B2012的坐标为（﹣21006，﹣21006）．
故答案为（﹣21006，﹣21006）．
点评： 本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过9次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．
四、中考真题演练
一、选择题
1．（2012 烟台）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（　　）
　 A．3 B． 4 C． 5 D． 6
考点： 规律型：图形的变化类。
专题： 规律型。
分析： 答案中断去的菱形个数均为较小的正整数，由所示的图形规律画出完整的装饰链，可得断去部分的小菱形的个数．
解答： 解：
如图所示，断去部分的小菱形的个数为5，
故选C．
点评： 考查图形的变化规律；按照图形的变化规律得到完整的装饰链是解决本题的关键．
　
2．（2012 铜仁地区）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（　　）
　 A． 54 B． 110 C． 19 D． 109
考点： 规律型：图形的变化类。
专题： 规律型。
分析： 得到第n个图形在1的基础上如何增加2的倍数个平行四边形即可．
解答： 解：第①个图形中有1个平行四边形；
第②个图形中有1+4=5个平行四边形；
第③个图形中有1+4+6=11个平行四边形；
第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形；
…
第n个图形中有1+2（2+3+4+…+n）个平行四边形；
第⑩个图形中有1+2（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=109个平行四边形；
故选D．
点评： 考查图形的变化规律；得到第n个图形中平行四边形的个数在第①个图形中平行四边形的个数1的基础上增加多少个2是解决本题的关键．
　
　
　
4．（2012 永州）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（　　）
　 A．0 B． 1 C． 2 D． 3
考点： 规律型：图形的变化类。
分析： 因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
解答： 解：因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，
这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜k≤10，设k=7+t（t=1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p=7m+t（t+1），
由此可知，停棋的情形与k=t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，
即：这枚棋子永远不能到达的角的个数是3．
故选D．
点评： 本题考查理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．
　
5．（2012 扬州）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是（　　）
　 A． 43 B． 44 C． 45 D． 46
考点： 规律型：数字的变化类。
专题： 规律型。
分析： 观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出2013所在的奇数的范围，即可得解．
解答： 解：∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，
…
∴m3分裂后的第一个数是m（m﹣1）+1，共有m个奇数，
∵45×（45﹣1）+1=1981，46×（46﹣1）+1=2071，
∴第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，
∴m=45．
故选C．
点评： 本题是对数字变化规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题的关键．
　
6．（2012 盐城）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=﹣|a1+1|，a3=﹣|a2+2|，a4=﹣|a3+3|，…，依次类推，则a2012的值为（　　）
　 A．﹣1005 B． ﹣1006 C． ﹣1007 D． ﹣2012
考点： 规律型：数字的变化类。
专题： 规律型。
分析： 根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于﹣，n是偶数时，结果等于﹣，然后把n的值代入进行计算即可得解．
解答： 解：a1=0，
a2=﹣|a1+1|=﹣|0+1|=﹣1，
a3=﹣|a2+2|=﹣|﹣1+2|=﹣1，
a4=﹣|a3+3|=﹣|﹣1+3|=﹣2，
a5=﹣|a4+4|=﹣|﹣2+4|=﹣2，
…，
所以，n是奇数时，an=﹣，n是偶数时，an=﹣，
a2012=﹣=﹣1006．
故选B．
点评： 本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．
　
二．填空题　
9．（2012 泰州）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：x，3x2，5x3，　 　，9x5，…．
考点： 单项式。
专题： 规律型。
分析： 本题规律比较明显，先观察得出系数为7，然后再推算x的次数．
解答： 解：由题意得，系数的变化规律为：1、3、5、7、9…；
x的次数的变化规律为：1、2、3、4…；
故可得中间的空需要填：7x4．
故答案为：7x4．
点评： 此题考查了单项式的知识，属于基础题，解答本题关键是依次寻找系数及x的次数的变化规律．
10．（2012 肇庆）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 ．
考点： 规律型：数字的变化类。
分析： 根据已知得出数字分母与分子的变化规律，分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，进而得出第k个数分子的规律是2k，分母的规律是2k+1，进而得出这一组数的第k个数的值．
解答： 解：因为分子的规律是2k，分母的规律是2k+1，
所以第k个数就应该是：，
故答案为：．
点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．解题的关键是把数据的分子分母分别用组数k表示出来．
　
11．（2012 云南）观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第18个图形是 ．（填图形的名称）▲■★■▲★▲■★■▲★▲…
考点： 规律型：图形的变化类。
分析： 本题是循环类问题，只要找到所求值在第几个循环，便可找出答案．
解答： 解：根据题意可知，每6个图形一个循环，第18个图形经过了3个循环，且是第3个循环中的最后1个，
即第18个图形是五角星．
故答案为：五角星．
点评： 此题考查了图形的变化类，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，主要培养学生的观察能力和归纳总结能力．
　
12．（2012 岳阳）图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m= 用含n的代数式表示）．
考点： 规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类。
分析： 根据8=2×4，5×7=35，8×10=80，得出2，5，8…第n个数为：2+3（n﹣1），4，7，10，…第n个数为：4+3（n﹣1）即可得出第n个圆中，m的值．
解答： 解：∵2×4=8，
5×7=35，
8×10=80，
…
∴2，5，8…第n个数为：2+3（n﹣1），
4，7，10，…第n个数为：4+3（n﹣1），
∴第n个圆中，m=[2+3（n﹣1）]×[4+3（n﹣1）]=（3n+1）（3n﹣1）=9n2﹣1．
故答案为：9n2﹣1．
点评： 此题主要考查了数字变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
13．（2012 宿迁）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是　 　．
考点： 规律型：图形的变化类。
专题： 规律型。
分析： 观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白色地砖多1个，求出第n个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑色地砖的块数，再把n=14代入进行计算即可．
解答： 解：第1个图案只有1块黑色地砖，
第2个图案有黑色与白色地砖共32=9，其中黑色的有5块，
第3个图案有黑色与白色地砖共52=25，其中黑色的有13块，
…
第n个图案有黑色与白色地砖共（2n﹣1）2，其中黑色的有[（2n﹣1）2+1]，
当n=14时，黑色地砖的块数有[（2×14﹣1）2+1]=×730=365．
故答案为：365．
点评： 本题是对图形变化规律的考查，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号之间的关系是解题的关键，还要注意奇数块地砖，一种比另一种多一块的求法．
　
14．（2012 山西）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是　 　．
考点： 规律型：图形的变化类。
分析： 对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
解答： 解：由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个．第二图案有阴影小三角形2+4=6个．第三个图案有阴影小三角形2+8=10个，那么第n个就有阴影小三角形2+4（n﹣1）=4n﹣2个，
故答案为：4n﹣2（或2+4（n﹣1））
点评： 本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个就有正三角形4n﹣2个．这类题型在中考中经常出现．
　
15．（2012 三明）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是　 　．
考点： 规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类。
分析： 根据已知数据即可得出，最下面一行数字变化规律，进而得出答案．
解答： 解：根据下面一行数字变化规律为：
1×4=4，
4×9=36，
9×16=144，
16×25=400，
25×36=a=900，
故答案为：900．
点评： 此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
　
16．（2012 青海）观察下列一组图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有　 　个★．
考点： 规律型：图形的变化类。
专题： 规律型。
分析： 把五角星分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第n个图形中五角星的个数的关系式．
解答： 解：观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3=4，
第2个图形五角星的个数是：1+3×2=7，
第3个图形五角星的个数是：1+3×3=10，
第4个图形五角星的个数是：1+3×4=13，
…
依此类推，第n个图形五角星的个数是：1+3×n=3n+1．
故答案为：3n+1．
点评： 本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成两部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．
　
17．（2012 黔东南州）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第（n）个图有　 　个相同的小正方形．
考点： 规律型：图形的变化类。
专题： 规律型。
分析： 观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可．
解答： 解：第（1）个图有2个相同的小正方形，2=1×2，
第（2）个图有6个相同的小正方形，6=2×3，
第（3）个图有12个相同的小正方形，12=3×4，
第（4）个图有20个相同的小正方形，20=4×5，
…，
按此规律，第（n）个图有n（n+1）个相同的小正方形．
故答案为：n（n+1）．
点评： 本题是对图形变化规律的考查，发现正方形的个数是两个连续整数的乘积是解题的关键，此类题目对同学们的能力要求较高，在平时的学习中要不断积累．
18．（2012 潍坊） 如图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+…+（2n﹣1）=　 　（用n表示，n是正整数）
考点： 规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类。
专题： 数形结合。
分析： 根据图形面积得出，第2个图形面积为22，第3个图形面积为32，第4个图形面积为42，…第n个图形面积为n2，即可得出答案．
解答： 解：利用每个小方格的面积为1，可以得出：
1+3=4=22，
1+3+5=9=32，
1+3+5+7=16=42，…
1+3+5+7+…+（2n﹣1）=n2．
故答案为：n2．
点评： 此题主要考查了数字变化规律以及图形变化规律，根据图形面积得出变化规律是解题关键，这也是中考中考查重点．
19．（2012 南宁）有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是　 　；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是　 　．
考点： 规律型：图形的变化类。
分析： 第1张纸片的周长为8，由2张纸片所组成的图形的周长比第1张纸片的周长增加了2．由3张纸片所组成的图形的周长比前2张纸片所组成的图形的周长增加了4，按此规律可知：
①纸张张数为1，图片周长为8=3×1+5；纸张张数为3，图片周长为8+2+4=3×3+5；纸张张数为5，图片周长为8+2+4+2+4=3×5+5；…；当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+5；
②纸张张数为1，图片周长为8+2=3×2+4；纸张张数为4，图片周长为8+2+4+2=3×4+4；纸张张数为6，图片周长为8+2+4+2+4+2=3×6+4；…；当n为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+4．
解答： 解：从图形可推断：
纸张张数为5，图片周长为8+2+4+2+4=3×5+5=20；
当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+4+…+2+4=3n+5；
当n为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+…+4+2=3n+4．
综上，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+5或3n+4．
故答案为：20，3n+5或3n+4．
点评： 本题考查了规律型：图形的变化，解题的关键是将纸片的张数分奇偶两种情况进行讨论，得出组成的大平行四边形或梯形的周长．
　
20．（2012 梅州）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达G点时移动了　 　cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在　 　点．
考点： 规律型：图形的变化类。
专题： 规律型。
分析： ①结合图形，找出第一次到达G点时走过的正方形的边长数即可得解；
②根据移动一圈的路程为8cm，用2012除以8，余数是几就落在从A开始所走的距离，然后即可找出最后停的点．
解答： 解：①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，
所以共移动了7cm；
②∵机器人移动一圈是8cm，
2012÷8=251…4，
∴移动2012cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点．
故答案为：7，E．
点评： 本题考查的是循环的规律，要注意所求的值经过了几个循环，然后便可得出结论．
　
21．（2012 娄底）如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个图案中“ ”，共　 　个．
考点： 规律型：图形的变化类。
分析： 本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2012被4整除，从而确定是共第503 ．
解答： 解：根据题意可知梅花是1，2，3，4即4个一循环．所以2012÷4=503．
所以共有503个 ．
故选答案为503．
点评： 主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
　
22．（2012 六盘水）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4=　 ．
考点： 规律型：数字的变化类；完全平方公式。
专题： 规律型。
分析： 由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1．
解答： 解：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
点评： 本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
三．解答题（共13小题）
23．（2012 益阳）观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
图① 图② 图③
三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60
三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12
积与和的商 ﹣2÷2=﹣1，
（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．
考点： 规律型：数字的变化类。
分析： （1）根据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格；
（2）根据图①②③可知，中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求出x、y的值．
解答： 解：（1）图②：（﹣60）÷（﹣12）=5，
图③：（﹣2）×（﹣5）×17=170，
（﹣2）+（﹣5）+17=10，
170÷10=17．
图① 图② 图③
三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60 （﹣2）×（﹣5）×17=170
三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12 （﹣2）+（﹣5）+17=17
积与和的商 ﹣2÷2=﹣1， （﹣60）÷（﹣12）=5， 170÷10=17
（2）图④：5×（﹣8）×（﹣9）=360，
5+（﹣8）+（﹣9）=﹣1，
y=360÷（﹣12）=﹣30，
图⑤：=﹣3，
解得x=﹣2；．
点评： 此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
　
24．（2012 宁波）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
考点： 规律型：图形的变化类。
分析： （1）根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；
（2）根据（1）所找出的规律，列出式子，即可求出答案．
解答： 解：（1）第一个图需棋子6，
第二个图需棋子9，
第三个图需棋子12，
第四个图需棋子15，
第五个图需棋子18，
…
第n个图需棋子3（n+1）枚．
答：第5个图形有18颗黑色棋子．
（2）设第n个图形有2013颗黑色棋子，
根据（1）得3（n+1）=2013
解得n=670，
所以第670个图形有2013颗黑色棋子．
点评： 此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
　2013年中考数学复习专题讲座八：归纳猜想型问题（二）
一、中考专题诠释
归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲
归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲
考点四：猜想数量关系
数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。
例8 （2012 苏州）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。
专题： 规律型。
分析： 利用正方形的性质以及平行线的性质分别得出D1E1=B2E2=，B2C2=，进而得出B3C3=，求出WQ=×=，FW=WA3 cos30°=×=，即可得出答案．
解答： 解：过小正方形的一个顶点W作FQ⊥x轴于点Q，过点A3F⊥FQ于点F，
∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴∠B3C3 E4=60°，∠D1C1E1=30°，∠E2B2C2=30°，
∴D1E1=D1C1=，
∴D1E1=B2E2=，
∴cos30°==，
解得：B2C2=，
∴B3E4=，
cos30°=，
解得：B3C3=，
则WC3=，
根据题意得出：∠WC3 Q=30°，∠C3 WQ=60°，∠A3 WF=30°，
∴WQ=×=，
FW=WA3 cos30°=×=，
则点A3到x轴的距离是：FW+WQ=+=，
故选：D．
点评： 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数的应用等知识，根据已知得出B3C3的长是解题关键．
例9 （2012 绍兴）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 翻折变换（折叠问题）。
专题： 规律型。
分析： 先写出AD、AD1、AD2、AD3的长度，然后可发现规律推出ADn的表达式，继而根据APn=ADn即可得出APn的表达式，也可得出AP6的长．
解答： 解：由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…，ADn=，
又APn=ADn，
故AP1=，AP2=，AP3=…APn=，
故可得AP6=．
故选A．
点评： 此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力．
例10 （2012 广州）如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，
以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，
…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的　 　倍，第n个半圆的面积为　 　（结果保留π）
考点： 规律型：图形的变化类。
分析： 根据已知图形得出第4个半圆的半径是第3个半圆的半径，进而得出第4个半圆的面积与第3个半圆面积的关系，得出第n个半圆的半径，进而得出答案．
解答： 解：∵以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，
∴第4个半圆的面积为：=8π，
第3个半圆面积为：=2π，
∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的=4倍；
根据已知可得出第n个半圆的直径为：2n﹣1，
则第n个半圆的半径为：=2n﹣2，
第n个半圆的面积为：=22n﹣5π．
故答案为：4，22n﹣5π．
点评： 此题主要考查了数字变化规律，注意数字之间变化规律，根据已知得出第n个半圆的直径为：2n﹣1是解题关键．
　
考点五：猜想变化情况
随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。
例11 （2012 常德）若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段作类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为（　　）
　 A． 2 B． C． D．
考点： 规律型：图形的变化类；等边三角形的性质。
分析： 当n=2时，折线的长度为：1+=；当n=3时，折线的长度为：+×=；当n=4时，折线的长度为：+×=，从而可求出折线的总长度．
解答： 解：由题意得：当n=2时，折线的长度为：1+=；
当n=3时，折线的长度为：+×=；
当n=4时，折线的长度为：+×=．
故选D．
点评： 此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，同时考查学生分析归纳问题的能力，其关键是读懂题意，找出规律解答．
例12 （2012 河北）用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为　 　．
考点： 平面镶嵌（密铺）。
专题： 应用题。
分析： 根据正六边形的一个内角为120°，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数．
解答： 解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240°，
故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，
故答案为：6．
点评： 此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数，有一定难度．
　
例13 （2012 无锡）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45，2）的是点　 　．
考点： 正多边形和圆；坐标与图形性质；旋转的性质。
专题： 规律型。
分析： 先连接A′D，过点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，由正六边形的性质得出A′的坐标，再根据每6个单位长度正好等于正六边形滚动一周即可得出结论．
解答： 解：如图所示：
当滚动一个单位长度时E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，连接A′D，点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，
∵六边形ABCD是正六边形，
∴∠A′F′G=30°，
∴A′G=A′F′=，同理可得HD=，
∴A′D=2，
∵D（2，0）
∴A′（2，2），OD=2，
∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，
∴从点（2，2）开始到点（45，2）正好滚动43个单位长度，
∵=7…1，
∴恰好滚动7周多一个，
∴会过点（45，2）的是点B．
故答案为：B．
点评： 本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质，根据题意作出辅助线，利用正六边形的性质求出A′点的坐标是解答此题的关键．
　
例14 （2012 绥化）长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n=3时，a的值为　 　．
考点： 翻折变换（折叠问题）。
专题： 规律型。
分析： 首先根据题意可得可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20﹣a，第二次操作时正方形的边长为20﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a，2a﹣20．然后分别从20﹣a＞2a﹣20与20﹣a＜2a﹣20去分析求解，即可求得答案．
解答： 解：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20﹣a，
所以第二次操作时正方形的边长为20﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a，2a﹣20．
此时，分两种情况：
①如果20﹣a＞2a﹣20，即a＜40，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣20．
则2a﹣20=（20﹣a）﹣（2a﹣20），解得a=12；
②如果20﹣a＜2a﹣20，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为20﹣a．
则20﹣a=（2a﹣20）﹣（20﹣a），解得a=15．
∴当n=3时，a的值为12或15．
故答案为：12或15．
点评： 此题考查了折叠的性质与矩形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．
考点六：猜想数字求和
例16 （2012 黄石）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 S=1+2+3+…+98+99+100 ①
S=100+99+98+…+3+2+1 ②
①+②：有2S=（1+100）×100 解得：S=5050
请类比以上做法，回答下列问题：
若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n=　 　．
考点： 有理数的混合运算。
专题： 规律型。
分析： 根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可．
解答： 解：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，
则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，
①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，
整理得，n2+2n﹣168=0，
解得n1=12，n2=﹣14（舍去）．
故答案为：12．
点评： 本题考查了有理数的混合运算，读懂题目提供的信息，表示出这列数据的和并列出方程是解题的关键．
四、真题演练
一．选择题
1．（2012 自贡）一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 规律型：点的坐标。
分析： 根据题意，得第一次跳动到OM的中点M3处，即在离原点的处，第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的（）2处，则跳动n次后，即跳到了离原点的处．
解答： 解：由于OM=1，
所有第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=，
同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的（）2处，
同理跳动n次后，即跳到了离原点的处，
故选D．
点评： 本题主要考查点的坐标，这是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解答本题的关键是找出各个点跳动的规律，此题比较简单．
　
　
2．（2012 鄂州）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（　　）
　 A． B．
C． D．
考点： 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质。
专题： 规律型。
分析： 首先设正方形的面积分别为S1，S2…S2012，由题意可求得S1的值，易证得△BAA1∽△B1A1A2，利用相似三角形的对应边成比例与三角函数的性质，即可求得S2的值，继而求得S3的值，继而可得规律：Sn=5×（）2n﹣2，则可求得答案．
解答： 解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA=1，OD=2，
设正方形的面积分别为S1，S2…S2012，
根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，
∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x，
∵∠ABA1=∠A1B1A2=90°，
∴△BAA1∽△B1A1A2，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD==，
∴AB=AD=BC=，
∴S1=5，
∵∠DAO+∠ADO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
∴tan∠BAA1===，
∴A1B=，
∴A1B=A1C=BC+A1B=，
∴S2=×5=5×（）2，
∴==，
∴A2B1=×=，
∴A2C1=B1C1+A2B1=+==×（）2，
∴S3=×5=5×（）4，
由此可得：Sn=5×（）2n﹣2，
∴S2012=5×（）2×2012﹣2=5×（）4022．
故选D．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，解题的关键是得到规律Sn=5×（）2n﹣2．
3．（2012 镇江）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　）
　 A． B．
C． D．
考点： 等边三角形的判定与性质。
专题： 规律型。
分析： 连接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF=ZN=a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是a，是等边三角形QKM的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长．
解答： 解：连接AD、DF、DB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF=∠∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和RtAFD中
∴Rt△△ABD≌Rt△AFD，
∴∠BAD=∠FAD=×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，
∴∠EDM=60°=∠M，
∴ED=EM，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，
过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF=ZN=a，
∵GF=AF=×a=a，∠FGI=60°（已证），
∴∠GFZ=30°，
∴GZ=GF=a，
同理IN=a，
∴GI=a+a+a=a，即第一个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；
同理第第二个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；
同理第三个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a；
第四个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a；
第五个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a，
即第六个正六边形的边长是×a，
故选A．
点评： 本题考查了正六边形、等边三角形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的应用，能总结出规律是解此题的关键，题目具有一定的规律性，是一道有一定难度的题目．
二．填空题　
4．（2012 天门）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=　 　．
考点： 整式的混合运算。
专题： 规律型。
分析： 方法一：根据连接BE，则BE∥AM，利用△AME的面积=△AMB的面积即可得出Sn=n2，Sn﹣1=（n﹣1）2=n2﹣n+，即可得出答案．
方法二：根据题意得出图象，根据当AB=n时，BC=1，得出Sn=S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，得出S与n的关系，进而得出当AB=n﹣1时，BC=2，Sn﹣1=n2﹣n+，即可得出Sn﹣Sn﹣1的值．
解答： 解：方法一：连接BE，
∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，
∴BE∥AM，
∴△AME与△AMB同底等高，
∴△AME的面积=△AMB的面积，
∴当AB=n时，△AME的面积记为Sn=n2，
Sn﹣1=（n﹣1）2=n2﹣n+，
∴当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=，
故答案为：；
方法二：如图所示：延长CE与NM，交于点Q，
∵线段AC=n+1（其中n为正整数），
∴当AB=n时，BC=1，
∴当△AME的面积记为：
Sn=S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，
=n（n+1）﹣×1×（n+1）﹣×1×（n﹣1）﹣×n×n，
=n2，
当AB=n﹣1时，BC=2，
∴当△AME的面积记为：
Sn﹣1=S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，
=（n+1）（n﹣1）﹣×2×（n+1）﹣×2×（n﹣3）﹣×（n﹣1）（n﹣1），
=n2﹣n+，
∴当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n2﹣n+）=n﹣=，
故答案为：．
点评： 此题主要考查了三角形面积求法以及正方形的性质，根据已知得出正确图形，得出S与n的关系是解题关键．
　
　
　
　
　
6．（2012 威海）如图，在平面直角坐标系中，线段OA1=1，OA1与x轴的夹角为30°，线段A1A2=1，A2A1⊥OA1，垂足为A1；线段A2A3=1，A3A2⊥A1A2，垂足为A2；线段A3A4=1，A4A3⊥A2A3，垂足为A3；…按此规律，点A2012的坐标为　 　．
考点： 规律型：点的坐标。
专题： 规律型。
分析： 过点A1作A1B⊥x轴，作A1C∥x轴A2C∥y轴，相交于点C，然后求出点A1的坐标，以及A1C、A2C的长度，并出A2、A3、A4、A5、A6的坐标，然后总结出点的坐标的变化规律，再把2012代入规律进行计算即可得解．
解答： 解：如图，过点A1作A1B⊥x轴，作A1C∥x轴A2C∥y轴，相交于点C，
∵OA1=1，OA1与x轴的夹角为30°，
∴OB=OA1 cos=1×=，
A1B=OA1 sin30°=1×=，
∴点A1的坐标为（，），
∵A2A1⊥OA1，OA1与x轴的夹角为30°，
∴∠OA1C=30°，∠A2A1C=90°﹣30°=60°，
∴∠A1A2C=90°﹣60°=30°，
同理可求：A2C=OB=，A1C=A1B=，
所以，点A2的坐标为（﹣，+），
点A3的坐标为（﹣+，++），即（﹣，+1），
点A4的坐标为（﹣﹣，+1+），即（﹣1，+1），
点A5的坐标为（﹣1+，+1+），即（﹣1，+），
点A6的坐标为（﹣1﹣，++），即（﹣，+），
…，
当n为奇数时，点An的坐标为（﹣，+），
当n为偶数时，点An的坐标为（﹣，+），
所以，当n=2012时，﹣=503﹣503，+=503+503，
点A2012的坐标为（503﹣503，503+503）．
故答案为：（503﹣503，503+503）．
点评： 本题考查了点的坐标的规律变化问题，作出辅助线，求出各点的横坐标与纵坐标的规律变化的数值，然后依次写出前几个点的坐标，根据坐标与点的序号的特点找出点的坐标的通式是解题的关键．
　
　
7．（2012 湖州）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若=，则△ABC的边长是　 　．
考点： 菱形的性质；等边三角形的性质。
专题： 规律型。
分析： 设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．
解答： 解：设正△ABC的边长为x，则高为x，
S△ABC=x x=x2，
∵所分成的都是正三角形，
∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（x﹣）=x﹣1，
∴黑色菱形的面积=（x﹣）（x﹣1）=（x﹣2）2，
∴==，
整理得，11x2﹣144x+144=0，
解得x1=（不符合题意，舍去），x2=12，
所以，△ABC的边长是12．
故答案为：12．
点评： 本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．
8．（2012 泰安）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为　 　．
考点： 点的坐标。
专题： 规律型。
分析： 观察图形可知，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．
解答： 解：根据图形，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，
…
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452=2025，45是奇数，
∴第2025个点是（45，0），
第2012个点是（45，13），
所以，第2012个点的横坐标为45．
故答案为：45．
点评： 本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．
　
9．（2012 北京）在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是　 　；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=　 　（用含n的代数式表示）．
考点： 点的坐标。
专题： 规律型。
分析： 根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案．
解答： 解：如图：
当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1）（1，2）（2，1），共三个点，
所以当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；
因为△AOB内部（不包括边界）的整点个数=[（点B的横坐标﹣1）×（点A的纵坐标﹣1）﹣3]÷2，
所以当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=[（4n﹣1）×（4﹣1）﹣3]÷2=6n﹣3；
故答案为：3或4，6n﹣3．
点评： 此题考查了点的坐标，关键是根据题意画出图形，找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系，考查数形结合的数学思想方法．
　
10．（2012 佳木斯）如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…按此作法进行去，点Bn的纵坐标为　 （n为正整数）．
考点： 一次函数综合题。
专题： 规律型。
分析： 由A1（1，0），可知B1的横坐标为1，由于B1，B2，B3，..，Bn都在直线y=x上，可知B1，B2，B3，..，Bn各点的横坐标与纵坐标相等，即B1（1，1），由勾股定理得OB1=，由此可得A2（，0），则B2（，），由勾股定理得OB2=2，则A3（2，0），则B3（2，2），…，由此得出一般结论．
解答： 解：∵B1，B2，B3，…，Bn都在直线y=x上，
∴B1，B2，B3，…，Bn各点的横坐标与纵坐标相等，
由A1（1，0），得B1（1，1），
此时OB1=，
可知，A2（，0），则B2（，），
同理可得B3（2，2），…，
则Bn（，）．
故答案为：（，）．
点评： 本题考查了一次函数的综合运用．关键是明确直线y=x上点的横坐标与纵坐标相等特点，由易到难，由特殊到一般，得出规律．
11．（2012 鄂州）已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，…，如此继续下去，得到△OB2012C2012，则m=　 　．点C2012的坐标是　 　．
考点： 坐标与图形变化-旋转；解直角三角形。
专题： 规律型。
分析： 先解直角三角形求出∠BOC=60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出m的值，然后求出OC1、OC2、OC3、…、OCn的长度，再根据周角等于360°，每6个为一个循环组，求出点C2012是第几个循环组的第几个点，再根据变化规律写出点的坐标即可．
解答： 解：∵∠OBC=90°，OB=1，BC=，
∴tan∠BOC==，
∴∠BOC=60°，
∴OC=2OB=2×1=2，
∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，
∴m=2，
∴OC1=2OC=2×2=4=22，
OC2=2OC1=2×4=8=23，
OC3=2OC2=2×8=16=24，
…，
OCn=2n+1，
∴OC2012=22013，
∵2012÷6=335…2，
∴点C2012与点C2x在同一射线上，在x轴负半轴，坐标为（﹣22013，0）．
故答案为：2，（﹣22013，0）．
点评： 本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，解直角三角形，根据解直角三角形，以及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出m的值是解题的关键．
　
12．（2012 泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ．（用含n的式子表示）
考点： 相似三角形的判定与性质。
专题： 规律型。
分析： 由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B1C1Mn的面积，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．
解答： 解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，
∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，
S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，
S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，
S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，
S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=，
∵BnCn∥B1C1，
∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，
∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，
即Sn：=，
∴Sn=．
故答案为：．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
　
13．（2012 衡阳）观察下列等式
①sin30°= cos60°=
②sin45°= cos=45°=
③sin60°= cos30°=
…
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=　 　．
考点： 互余两角三角函数的关系。
专题： 规律型。
分析： 根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案．
解答： 解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；
sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；
sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；
故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．
故答案为：1．
点评： 此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sin2a+sin2（90°﹣a）=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用．
14．（2012 东营）在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（），那么点An的纵坐标是　 　．
考点： 一次函数综合题。
专题： 代数几何综合题；规律型。
分析： 利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，再求出直线与x轴、y轴的交点坐标，求出直线与x轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到各点的纵坐标的规律．
解答： 解：∵A1（1，1），A2（，）在直线y=kx+b上，
∴，
解得，
∴直线解析式为y=x+，
如图，设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N、M，
当x=0时，y=，
当y=0时，x+=0，解得x=﹣4，
∴点M、N的坐标分别为M（0，），N（﹣4，0），
∴tan∠MNO===，
作A1C1⊥x轴与点C1，A2C2⊥x轴与点C2，A3C3⊥x轴与点C3，
∵A1（1，1），A2（，），
∴OB2=OB1+B1B2=2×1+2×=2+3=5，
tan∠MNO===，
∵△B2A3B3是等腰直角三角形，
∴A3C3=B2C3，
∴A3C3==（）2，
同理可求，第四个等腰直角三角形A4C4==（）3，
依次类推，点An的纵坐标是（）n﹣1．
故答案为：（）n﹣1．
点评： 本题是对一次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形斜边上的高线就是斜边上的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及正切的定义，规律性较强，注意指数与点的脚码相差1．
　
15．（2012 绍兴）如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 （用含n的代数式表示）
考点： 反比例函数综合题。
分析： 可设反比例函数解析式为y=，根据第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，可分两种情况：①与BC，AB平移后的对应边相交；②与OC，AB平移后的对应边相交；得到方程求得反比例函数解析式，再代入第n次（n＞1）平移的横坐标得到矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值．
解答： 解：设反比例函数解析式为y=，则
①与BC，AB平移后的对应边相交；
与AB平移后的对应边相交的交点的坐标为（2，1.4），
则1.4=，
解得k=2.8=，
故反比例函数解析式为y=．
则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：﹣=；
②与OC，AB平移后的对应边相交；
k﹣=0.6，
解得k=．
故反比例函数解析式为y=．
则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：﹣=．
故第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为或．
故答案为：或．
点评： 考查了反比例函数综合题，本题的关键是根据第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，分①与BC，AB平移后的对应边相交；②与OC，AB平移后的对应边相交；两种情况讨论求解．
　
　
16．（2012 黑龙江）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…，过A1、A2、A3、A4、A5…分别作x轴的垂线与反比例函数y=的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为 n为正整数）．
考点： 反比例函数综合题。
分析： 根据反比例函数y=中k的几何意义再结合图象即可解答．
解答： 解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=|k|=2．
所以S1=2，S2= S1=1，S3=S1=，S4=S1=，S5=S1=．
依次类推：Sn的值为．
故答案是：．
点评： 主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
17．（2012 铁岭）如图，点E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，连接A1F、B1G、C1H、D1E得四边形A2B2C2D2，以此类推得四边形A3B3C3D3…，若菱形A1B1C1D1的面积为S，则四边形AnBnCnDn的面积为 ．
考点： 三角形中位线定理；菱形的性质。
专题： 规律型。
分析： 由E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，得到A1H=C1F，又A1H∥C1F，利用一组边长平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形A1HC1F为平行四边形，根据平行线间的距离相等及平行四边形与三角形的面积公式，可得出四边形A1HC1F的面积等于△HB1C1面积的2倍，等于△A1D1F面积的2倍，而这三个的面积之和为菱形的面积S，可得出四边形A1HC1F面积为菱形面积S的一半，再由平行线等分线段定理得到A2为A1D2的中点，C2为C1B2的中点，B2为B1A2的中点，D2为D1C2的中点，利用三角形的中位线定理得到HB2=A1A2，D2F=C1C2，可得出A1A2B2H和C1C2D2F都为梯形，且高与平行四边形A2B2C2D2的高h相等（设高为h），下底与平行四边形A2B2C2D2的边A2D2与x相等（设A2D2=x），分别利用梯形的面积公式及平行四边形的面积公式表示出各自的面积，得出三个面积之比，可得出平行四边形A2B2C2D2的面积占三个图形面积的，即为四边形A1HC1F面积的，为菱形面积的，同理得到四边形A3B3C3D3的面积为菱形面积的（）2，以此类推，表示出四边形AnBnCnDn的面积即可．
解答： 解：∵H为A1B1的中点，F为C1D1的中点，
∴A1H=B1H，C1F=D1F，
又A1B1C1D1为菱形，∴A1B1=C1D1，
∴A1H=C1F，又A1H∥C1F，
∴四边形A1HC1F为平行四边形，
∴S四边形A1HC1F=2S△HB1C1=2S△A1D1F，
又S四边形A1HC1F+S△HB1C1+S△A1D1F=S菱形A1B1C1D1=S，
∴S四边形A1HC1F=S，
又GD1=B1E，GD1∥B1E，
∴GB1ED1为平行四边形，
∴GB1∥ED1，又G为A1D1的中点，
∴A2为A1D2的中点，
同理C2为C1B2的中点，B2为B1A2的中点，D2为D1C2的中点，
∴HB2=A1A2，D2F=C1C2，
又A1A2B2H和C1C2D2F都为梯形，且高与平行四边形A2B2C2D2的高h相等（设高为h），
下底与平行四边形A2B2C2D2的边A2D2与x相等（设A2D2=x），
∴S梯形A1A2B2H=S梯形C1C2D2F=（x+x）h=xh，S平行四边形A2B2C2D2=xh，
即S梯形A1A2B2H：S梯形C1C2D2F：S平行四边形A2B2C2D2=3：4：3，
又S梯形A1A2B2H+S梯形C1C2D2F+S平行四边形A2B2C2D2=S四边形A1HC1F，
∴S平行四边形A2B2C2D2=S四边形A1HC1F=S，
同理S四边形A3B3C3D3=（）2S，
以此类推得四边形AnBnCnDn的面积为（）n﹣1S或．
故答案为：（）n﹣1S或．
点评： 此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，平行线等分线段定理，以及平行四边形与三角形面积的计算，利用了转化的数学思想，是一道规律型试题，灵活运用三角形中位线定理是解本题的关键．
　
18．（2012 贵阳）如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为 ．
考点： 等腰三角形的性质；三角形的外角性质。
专题： 规律型。
分析： 先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠An的度数．
解答： 解：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，
∴∠BA1A===80°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1===40°；
同理可得，
∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，
∴∠An=．
故答案为：．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
　
　
19．（2012 鞍山）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于 ．
考点： 直角三角形斜边上的中线；三角形的面积；三角形中位线定理。
专题： 规律型。
分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD，然后判定出△ACD是等边三角形，同理可得被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，再根据后一个等边三角形的边长是前一个等边三角形的边长的一半求出第n个三角形的边长，然后根据等边三角形的面积公式求解即可．
解答： 解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∵∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，
∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，…，
∴第一个等边三角形的边长CD=DB=AB=AC=a，
第二个等边三角形的边长EF=DB=a，
…
第n个等边三角形的边长为a，
所以，第n个三角形的面积=×a×（ a）=．
故答案为：．
点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积判断出后一个三角形的边长是前一个三角形边长的一半，求出第n个等边三角形的边长是解题的关键．
　
20．（2012 湛江）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an= ．
考点： 正方形的性质。
专题： 规律型。
分析： 求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算a3、a4．由求出的a2=a1，a3=a2…，an=an﹣1=（）n﹣1，可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．
解答： 解：∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴a2=a1=，
同理a3=a2=2，
a4=a3=2，
…
由此可知：an=（）n﹣1a1=（）n﹣1，
故答案为：（）n﹣1
点评： 本题考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键．
三．解答题（共13小题）
　
21．（2012 广东）观察下列等式：
第1个等式：a1==×（1﹣）；
第2个等式：a2==×（﹣）；
第3个等式：a3==×（﹣）；
第4个等式：a4==×（﹣）；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5= ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
考点： 规律型：数字的变化类。
分析： （1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的2倍减1和序号的2倍加1．
（3）运用变化规律计算．
解答： 解：根据观察知答案分别为：
（1）； ；
（2）； ；
（3）a1+a2+a3+a4+…+a100的
=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×
=（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=（1﹣）
=×
=．
点评： 此题考查寻找数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．2013年中考数学复习专题讲座四：探究型问题
一、中考专题诠释
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．
二、解题策略与解法精讲
由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．
2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．
4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．
三、中考考点精讲
考点一：动态探索型：
此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．
例1 （2012 自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
考点： 菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。
分析： （1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．
解答： （1）证明：连接AC，如下图所示，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF；
（2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE=S△ACF，
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
S四边形AECF=S△ABC=BC AH=BC =4，
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．
∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=4﹣×2×=．
点评： 本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△ABE≌△ACF是解题的关键，有一定难度．
考点二：结论探究型：
此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．
例3 　（2012 盐城）如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．
（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题： 几何综合题。
分析： （1）由四边形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAB，然后利用AAS证得△ADD1≌△CAB，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AB；
（2）首先过点C作CH⊥AB于H，由DD1⊥AB，可得∠DD1A=∠CHA=90°，由四边形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAH，然后利用AAS证得△ADD1≌△CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AH，同理EE1=BH，则可得AB=DD1+EE1．
（3）证明方法同（2），易得AB=DD1﹣EE1．
解答： （1）证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=90°，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠ABC=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∴∠ADD1=∠CAB，
在△ADD1和△CAB中，
，
∴△ADD1≌△CAB（AAS），
∴DD1=AB；
（2）解：AB=DD1+EE1．
证明：过点C作CH⊥AB于H，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠CHA=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∵四边形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD1+∠CAH=90°，
∴∠ADD1=∠CAH，
在△ADD1和△CAH中，
，
∴△ADD1≌△CAH（AAS），
∴DD1=AH；
同理：EE1=BH，
∴AB=AH+BH=DD1+EE1；
（3）解：AB=DD1﹣EE1．
证明：过点C作CH⊥AB于H，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠CHA=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∵四边形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD1+∠CAH=90°，
∴∠ADD1=∠CAH，
在△ADD1和△CAH中，
，
∴△ADD1≌△CAH（AAS），
∴DD1=AH；
同理：EE1=BH，
∴AB=AH﹣BH=DD1﹣EE1．
点评： 此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
　
例4 （2012 丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．
（1）如图1，当点A的横坐标为　 　时，矩形AOBC是正方形；
（2）如图2，当点A的横坐标为时，
①求点B的坐标；
②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=﹣x2，试判断抛物线y=﹣x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．
考点： 二次函数综合题。
专题： 代数几何综合题。
分析： （1）过点A作AD⊥x轴于点D，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠AOC=45°，所以∠AOD=45°，从而得到△AOD是等腰直角三角形，设点A坐标为（﹣a，a），然后利用点A在抛物线上，把点的坐标代入解析式计算即可得解；
（2）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，先利用抛物线解析式求出AE的长度，然后证明△AEO和△OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系，然后利用点B在抛物线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；
②过点C作CG⊥BF于点G，可以证明△AEO和△BGC全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=OE，BG=AE，然后求出点C的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式，把点C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C，如果经过点C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可．
解答： 解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵矩形AOBC是正方形，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD=90°﹣45°=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
设点A的坐标为（﹣a，a）（a≠0），
则（﹣a）2=a，
解得a1=﹣1，a2=0（舍去），
∴点A的坐标﹣a=﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
当x=﹣时，y=（﹣）2=，
即OE=，AE=，
∵∠AOE+∠BOF=180°﹣90°=90°，
∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠BOF，
又∵∠AEO=∠BFO=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴===，
设OF=t，则BF=2t，
∴t2=2t，
解得：t1=0（舍去），t2=2，
∴点B（2，4）；
②过点C作CG⊥BF于点G，
∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠AOE=∠FBO，
∴∠EAO=∠CBG，
在△AEO和△BGC中，，
∴△AEO≌△BGC（AAS），
∴CG=OE=，BG=AE=．
∴xc=2﹣=，yc=4+=，
∴点C（，），
设过A（﹣，）、B（2，4）两点的抛物线解析式为y=﹣x2+bx+c，由题意得，，
解得，
∴经过A、B两点的抛物线解析式为y=﹣x2+3x+2，
当x=时，y=﹣（）2+3×+2=，所以点C也在此抛物线上，
故经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=﹣x2+3x+2=﹣（x﹣）2+．
平移方案：先将抛物线y=﹣x2向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线y=﹣（x﹣）2+．
点评： 本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一．
考点三：规律探究型：
规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.
例5 （2012 青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：
证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．
∵∠AEF=90°
∴∠FEC+∠AEB=90°
又∵∠EAM+∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF=135°
∴△AEM≌△EFC（ASA）
∴AE=EF
（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．
（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题： 阅读型。
分析： （2）在AB上截取AM=EC，然后证明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角边角”证明△AEM和△EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；
（3）延长BA到M，使AM=CE，然后证明∠BME=45°，从而得到∠BME=∠ECF，再利用两直线平行，内错角相等证明∠DAE=∠BEA，然后得到∠MAE=∠CEF，再利用“角边角”证明△MAE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
解答： （2）探究2，证明：在AB上截取AM=EC，连接ME，
由（1）知∠EAM=∠FEC，
∵AM=EC，AB=BC，
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=∠ECF=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
又∵∠EAM+∠AEB=90°，
∴∠EAM=∠FEC，
在△AEM和△EFC中，，
∴△AEM≌△EFC（ASA），
∴AE=EF；
（3）探究3：成立，
证明：延长BA到M，使AM=CE，连接ME，
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠BME=∠ECF，
又∵AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，
又∵∠MAD=∠AEF=90°，
∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF，
即∠MAE=∠CEF，
在△MAE和△CEF中，，
∴△MAE≌△CEF（ASA），
∴AE=EF．
点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是取AM=EC，然后构造出△AEM与△EFC全等是解题的关键．
例6 （2012 永州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
（1）求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；
（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题。
专题： 压轴题。
分析： （1）根据二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），待定系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出；
（2）令y=ax2+bx﹣1=0，解出x的值，进而求出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）分别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．然后观察其规律，再进行证明；
（4）由（3）知OP=OH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表达式，令两式相等，求出m和n的值．
解答： 解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），
∴，
解得a=，b=0，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣1，
（2）令y=x2﹣1=0，
解得x=﹣2或x=2，
由图象可知当﹣2＜x＜2时y＜0，
（3）当m=0时，|PO|2=1，|PH|2=1；
当m=2时，P点的坐标为（2，0），|PO|2=4，|PH|2=4，
当m=4时，P点的坐标为（4，3），|PO|2=25，|PH|2=25，
由此发现|PO|2=|PH|2，
设P点坐标为（m，n），即n=m2﹣1
|OP|=，
|PH|2=n2+4n+4=n2+m2，
故对于任意实数m，|PO|2=|PH|2；
（4）由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，
设P点坐标为（m，n），|OP|=，
|OH|=，
|OP|=|OH|，即n2=4，解得n=±2，
当n=﹣2时，n=m2﹣1不符合条件，
故n=2，m=±2时可使△POH为正三角形．
点评： 本题主要考查二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图形特征和性质，特别是（3）问的解答很关键，是解答（4）问的垫脚石，此题难度一般．
考点四：存在探索型：
此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．
例7 （2012 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=6，点C的坐标为（﹣9，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=2，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，是否存在点P，使以O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 一次函数综合题。
分析： （1）过点B作BF⊥x轴于F，在Rt△BCF中，已知∠BCO=45°，BC=6，解直角三角形求CF，BF，确定B点坐标；
（2）过点D作DG⊥y轴于点G，由平行线的性质得出△ODG∽△OBA，利用相似比求DG，OG，确定D点坐标，由已知得E点坐标，利用“两点法”求直线DE的解析式；
（3）存在．由已知的OE=2，分别以O、E为圆心，2为半径画弧，与直线DE相交，或作线段OE的垂直平分线与直线DE相交，交点即为所求．
解答： 解：（1）过点B作BF⊥x轴于F，…（1分）
在Rt△BCF中，
∵∠BCO=45°，BC=6，
∴CF=BF=6，…（1分）
∵C 的坐标为（﹣9，0），
∴AB=OF=3，
∴点B的坐标为（﹣3，6）；…（1分）
（2）过点D作DG⊥y轴于点G，…（1分）
∵AB∥DG，
∴△ODG∽△OBA，
∵===，AB=3，OA=6，
∴DG=2，OG=4，…（1分）
∴D（﹣2，4），E（0，2），
设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）
∴，
∴，…（1分）
∴直线DE解析式为y=﹣x+2； …（1分）
（3）存在P1（2，0）、P2（1，1）、P3（，2﹣）、P4（﹣，2+）…（3分）
（写对一个点得1分，写对两个点或三个点得2分）
点评： 本题考查了一次函数的综合运用．关键是通过作辅助线，解直角三角形，证明三角形相似，确定相关线段的长和点的坐标，得出直线解析式，再根据等腰三角形的性质，分类求P点坐标．
例8 （2012 北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0）、B（0，1）、C（d，2）．
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
考点： 反比例函数综合题。
专题： 计算题。
分析： （1）过C作CN垂直于x轴，交x轴于点N，由A、B及C的坐标得出OA，OB，CN的长，由∠CAB=90°，根据平角定义得到一对角互余，在直角三角形ACN中，根据两锐角互余，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AC=BC，利用AAS得到三角形ACN与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得出CN=0A，AN=0B，由AN+OA求出ON的长，再由C在第二象限，可得出d的值；
（2）由第一问求出的C与B的横坐标之差为3，根据平移的性质得到纵坐标不变，故设出C′（m，2），则B′（m+3，1），再设出反比例函数解析式，将C′与B′的坐标代入得到关于k与m的两方程，消去k得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出k的值，得到反比例函数解析式，设直线B′C′的解析式为y=ax+b，将C′与B′的坐标代入，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出直线B′C′的解析式；
（3）存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形，理由为：设Q为GC′的中点，令第二问求出的直线B′C′的解析式中x=0求出y的值，确定出G的坐标，再由C′的坐标，利用线段中点坐标公式求出Q的坐标，过点Q作直线l与x轴交于M′点，与y=的图象交于P′点，若四边形P′G M′C′是平行四边形，则有P′Q=Q M′，易知点M′的横坐标大于，点P′的横坐标小于，作P′H⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，由两直线平行得到一对同位角相等，再由一对直角相等及P′Q=QM′，利用AAS可得出△P′EQ与△QFM′全等，根据全等三角形的对应边相等，设EQ=FM′=t，由Q的横坐标﹣t表示出P′的横坐标，代入反比例函数解析式确定出P′的纵坐标，进而确定出M′的坐标，根据P′H﹣EH=P′H﹣QF表示出P′E的长，又P′Q=QM′，分别放在直角三角形中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，进而确定出P′与M′的坐标，此时点P′为所求的点P，点M′为所求的点M．
解答： 解：（1）作CN⊥x轴于点N，
∵A（﹣2，0）、B（0，1）、C（d，2），
∴OA=2，OB=1，CN=2，
∵∠CAB=90°，即∠CAN+∠BAO=90°，
又∵∠CAN+∠ACN=90°，
∴∠BAO=∠ACN，
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
∵，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），
∴NC=OA=2，AN=BO=1，
∴NO=NA+AO=3，又点C在第二象限，
∴d=﹣3；
（2）设反比例函数为y=（k≠0），点C′和B′在该比例函数图象上，
设C′（m，2），则B′（m+3，1），
把点C′和B′的坐标分别代入y=，得k=2m；k=m+3，
∴2m=m+3，
解得：m=3，
则k=6，反比例函数解析式为y=，点C′（3，2），B′（6，1），
设直线C′B′的解析式为y=ax+b（a≠0），
把C′、B′两点坐标代入得：
，
∴解得：；
∴直线C′B′的解析式为y=﹣x+3；
（3）存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形，理由为：
设Q是G C′的中点，令y=﹣x+3中x=0，得到y=3，
∴G（0，3），又C′（3，2），
∴Q（，），
过点Q作直线l与x轴交于M′点，与y=的图象交于P′点，
若四边形P′G M′C′是平行四边形，则有P′Q=Q M′，
易知点M′的横坐标大于，点P′的横坐标小于，
作P′H⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，
∵QF∥P′E，
∴∠M′QF=∠QP′E，
在△P′EQ和△QFM′中，
∵，
∴△P′EQ≌△QFM′（AAS），
∴EQ=FM′，P′Q=QM′，
设EQ=FM′=t，
∴点P′的横坐标x=﹣t，点P′的纵坐标y===，点M′的坐标是（+t，0），
∴P′E=P′H﹣EH=P′H﹣QF=﹣，
又∵P′Q=QM′，
根据勾股定理得：P′E2+EQ2=QF2+FM′2，
∴（﹣）2+t2=（）2+t2，
整理得：=5，
解得：t=（经检验，它是分式方程的解），
∴﹣t=﹣=；==5；+t=+=，
∴P′（，5），M′（，0），
则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M．
点评： 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质，是一道综合性较强的试题，要求学生掌握知识要全面．
四、中考真题演练
1．（2012 广东）如图，直线y=2x﹣6与反比例函数y=的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 反比例函数综合题。
专题： 数形结合。
分析： （1）先把（4，2）代入反比例函数解析式，易求k，再把y=0代入一次函数解析式可求B点坐标；
（2）假设存在，然后设C点坐标是（a，0），然后利用两点之间的公式可得=，借此无理方程，易得a=3或a=5，其中a=3和B点重合，舍去，故C点坐标可求．
解答： 解：（1）把（4，2）代入反比例函数y=，得
k=8，
把y=0代入y=2x﹣6中，可得
x=3，
故k=8；B点坐标是（3，0）；
（2）假设存在，设C点坐标是（a，0），则
∵AB=AC，
∴=，
即（4﹣a）2+4=5，
解得a=5或a=3（此点与B重合，舍去）
故点C的坐标是（5，0）．
点评： 本题考查了反比函数的知识，解题的关键是理解点与函数的关系，并能灵活使用两点之间的距离公式．
2．（2012 乐山）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．
（1）求k的值；
（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 反比例函数综合题。
分析： （1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标．从而可求K的值；
（2）根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点N关于x轴的对称点N1，连接MN1与x轴的交点就是满足条件的P点位置．
解答： 解：
（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2．…（1分）
∵tan∠AHO=2，∴OH=1．…（2分）
∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1．
∵点M在直线y=2x+2上，
∴点M的纵坐标为4．即M（1，4）．…（3分）
∵点M在y=上，
∴k=1×4=4．…（4分）
（2）存在．
∵点N（a，1）在反比例函数（x＞0）上，
∴a=4．即点N的坐标为（4，1）．…（5分）
过点N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P（如图所示）．
此时PM+PN最小．…（6分）
∵N与N1关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），
∴N1的坐标为（4，﹣1）．…（7分）
设直线MN1的解析式为y=kx+b．
由解得k=﹣，b=．…（9分）
∴直线MN1的解析式为．
令y=0，得x=．
∴P点坐标为（，0）．…（10分）
点评： 此题考查一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，难度中等．
　
3．（2012 莆田）如图，一次函数y=k1x+b的图象过点A（0，3），且与反比例函数（x＞O）的图象相交于B、C两点．
（1）若B（1，2），求k1 k2的值；
（2）若AB=BC，则k1 k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
考点： 反比例函数综合题。
专题： 综合题。
分析： （1）分别利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式与反比例函数解析式，然后代入k1 k2进行计算即可得解；
（2）设出两函数解析式，联立方程组并整理成关于x的一元二次方程，根据AB=BC可知点C的横坐标是点B的纵坐标的2倍，再利用根与系数的关系整理得到关于k1、k2的关系式，整理即可得解．
解答： 解：（1）∵A（0，3），B（1，2）在一次函数y=k1x+b的图象图象上，
∴，
解得；
∵B（1，2）在反比例函数图象上，
∴=2，
解得k2=2，
所以，k1 k2=（﹣1）×2=﹣2；
（2）k1 k2=﹣2，是定值．
理由如下：
∵一次函数的图象过点A（0，3），
∴设一次函数解析式为y=k1x+3，反比例函数解析式为y=，
∴k1x+3=，
整理得k1x2+3x﹣k2=0，
∴x1+x2=﹣，x1 x2=﹣
∵AB=BC，
∴点C的横坐标是点B的横坐标的2倍，不防设x2=2x1，
∴x1+x2=3x1=﹣，x1 x2=2x12=﹣，
∴﹣=（﹣）2，
整理得，k1 k2=﹣2，是定值．
点评： 本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，根与系数的关系，（2）中根据AB=BC，得到点B、C的坐标的关系从而转化为一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
　
　
4．（2012 长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（2，0）、C（﹣1，2），反比例函数y=（k≠0）的图象经过点B．
（1）求k的值．
（2）将平行四边形OABC沿x轴翻折，点C落在点C′处，判断点C′是否在反比例函数y=（k≠0）的图象上，请通过计算说明理由．
考点： 反比例函数综合题。
分析： （1）根据平行四边形的性质可得AO=BC，再根据A、C点坐标可以算出B点坐标，再把B点坐标代入反比例函数解析式中即可求出k的值；
（2）根据翻折方法可知C与C′点关于x轴对称，故C′点坐标是（﹣1，﹣2），把C′点坐标（﹣1，﹣2）代入解析式发现能使解析式左右相等，故点C′是否在反比例函数y=的图象上．
解答： 解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC=AO，
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴BC=2，
∵C（﹣1，2），
∴CD=1，
∴BD=BC﹣CD=2﹣1=1，
∴B（1，2），
∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点B，
∴k=1×2=2；
（2）∵ OABC沿x轴翻折，点C落在点C′处，
∴C′点坐标是（﹣1，﹣2），
∵k=2，
∴反比例函数解析式为y=，
把C′点坐标（﹣1，﹣2）代入函数解析式能使解析式左右相等，
故点C′在反比例函数y=的图象上．
点评： 此题主要考查了反比例函数点的坐标与反比例函数解析式的关系，以及平行四边形的性质，关键是熟练把握凡是反比例函数图象经过的点都能满足解析式．
　
　
　
　
7．（2012 宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题。
专题： 压轴题；分类讨论。
分析： （1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．
（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．
（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①ADPB、②ABPD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．
解答： 解：（1）∵顶点A的横坐标为x==1，且顶点A在y=x﹣5上，
∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，
∴A（1，﹣4）．
（2）△ABD是直角三角形．
将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，
∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3
∴C（﹣1，0），D（3，0），
BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，
BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．
（3）存在．
由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点A（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）
∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l，即PA∥BD
则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，
过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C
设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）
则PC=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|
PA=BD=3
由勾股定理得：
（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4
∴P（﹣2，﹣7），P（4，﹣1）
存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．
点评： 题目考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、平行四边形的判定等基础知识，综合性较强；（3）题应注意分类讨论，以免漏解．
　
8．（2012 温州）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．
（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？
（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题。
分析： （1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△ACH∽△PCB，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；
（3）存在，本题要分当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1和当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标．
解答： 解：（1）当m=3时，y=﹣x2+6x
令y=0得﹣x2+6x=0
∴x1=0，x2=6，
∴A（6，0）
当x=1时，y=5
∴B（1，5）
∵抛物线y=﹣x2+6x的对称轴为直线x=3
又∵B，C关于对称轴对称
∴BC=4．
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）
由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB
又∵∠AHC=∠PBC=90°
∴△ACH∽△PCB，
∴，
∵抛物线y=﹣x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，
又∵B，C关于对称轴对称，
∴BC=2（m﹣1），
∵B（1，2m﹣1），P（1，m），
∴BP=m﹣1，
又∵A（2m，0），C（2m﹣1，2m﹣1），
∴H（2m﹣1，0），
∴AH=1，CH=2m﹣1，
∴，
∴m=．
（3）∵B，C不重合，∴m≠1，
（I）当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1，
（i）若点E在x轴上（如图1），
∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP，
∴△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（m﹣1）=m，
∴m=2，此时点E的坐标是（2，0）；
（ii）若点E在y轴上（如图2），
过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴m﹣1=1，
∴m=2，
此时点E的坐标是（0，4）；
（II）当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，
（i）若点E在x轴上（如图3），
易证△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（1﹣m）=m，
∴m=，此时点E的坐标是（，0）；
（ii）若点E在y轴上（如图4），
过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴1﹣m=1，∴m=0（舍去），
综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），
当m=时，点E的坐标是（，0）．
点评： 此题主要考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和相似三角形的性质以及全等三角形的性质和全等三角形的判定、需注意的是（3）题在不确E点的情况下需要分类讨论，以免漏解．题目的综合性强，难度也很大，有利于提高学生的综合解题能力，是一道不错的题目．
　
9．（2012 威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为点F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；
（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题。
分析： （1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式；
（2）根据△PCM为等边三角形，则△CGM中，∠CMD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CM，即等边△CMP的边长，则P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标；
（3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解；
（4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CMN≌△CPE，可以证得EN=EF，即N与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点N与点F不重合相矛盾，故N不存在．
解答： 解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，将点A（0，2）代入，得
a（0﹣2）2+1=2…1分
解这个方程，得a=
∴抛物线的表达式为y=（x﹣2）2+1。
（2）将x=2代入y=x，得y=2
∴点C的坐标为（2，2）即CG=2，
∵△PCM为等边三角形
∴∠CMP=60°，CM=PM
∵PM⊥x轴，∴∠CMG=30°
∴CM=4，GM=2．
∴OM=2+2，PM=4，
将y=4代入y=（x﹣2）2+1，得4=（x﹣2）2+1
解这个方程，得x1=2=OM，x2=2﹣2＜0（不合题意，舍去）．
∴点P的坐标为（2+2，4）。
（3）相等。
把y=x代入y=x2﹣x=2，得x=x2﹣x+2
解这个方程，得x1=4+2，x2=4﹣2＜2（不合题意，舍去）
∴y=4+2=EF
∴点E的坐标为（4+2，4+2）
∴OE==4+4
又∵OC=，
∴CE=OE﹣OC=4
∴CE=EF。
（4）不存在
假设x轴上存在一点，使△CMN≌△CPE，则CN=CE，∠MNC=∠PCE
∵∠MCP=60°，
∴∠NCE=60°
又∵CE=EF，
∴EN=EF。
又∵点E为直线y=x上的点，∴∠CEF=45°，
∴点N与点F不重合．∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，
∴原假设错误，满足条件的点N不存在。
点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键．
　　
　10．（2012 泰安）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．
考点： 二次函数综合题。
分析： （1）利用待定系数法求抛物线的解析式．因为已知A（3，0），所以需要求得B点坐标．如答图1，连接OB，利用勾股定理求解；
（2）由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上．如答图2，OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解；
（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB面积的表达式，这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值．
解答： 解：（1）如答图1，连接OB．
∵BC=2，OC=1
∴OB==
∴B（0，）
将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式
得，解得，
∴y=﹣x2+x+．
（2）存在．
如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．
∵B（0，），O（0，0），
∴直线l的表达式为y=．代入抛物线的表达式，
得﹣x2+x+=；
解得x=1±，
∴P（1±，）．
（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．
设M（xm，ym），
则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB） OH+HA MH﹣OA OB
=（ym+）xm+（3﹣xm）ym﹣×3×
=xm+ym﹣
∵ym=﹣xm2+xm+，
∴S△MAB=xm+（﹣xm2+xm+）﹣
=xm2+xm
=（xm﹣）2+
∴当xm=时，S△MAB取得最大值，最大值为．
点评： 本题是二次函数综合题，重点考查二次函数相关性质、圆的性质、垂直平分线/勾股定理、面积求法等知识点．第（2）问中注意垂直平分线与抛物线的交点有两个，不要漏解；第（3）问中，重点关注图形面积的求法以及求极值的方法．本题考查知识点较多，要求同学们对所学知识要做到理解深刻、融会贯通、灵活运用，如此方能立于不败之地．
　
12．（2012 岳阳）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。
专题： 几何综合题。
分析： （1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD；
（2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD；
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′．
解答： 解：（1）AF=BD；
证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），
∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；
同理知，DC=CF，∠DCF=60°；
∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF；
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）；
（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立；
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；
证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；
同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，
∴AF+BF′=BD+AD=AB；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；
证明如下：在△BCF′和△ACD中，
，
∴△BCF′≌△ACD（SAS），
∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；
又由（2）知，AF=BD；
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．等边三角形的三条边都相等，三个内角都是60°．
　
13．（2012 烟台）（1）问题探究
如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明．
（2）拓展延伸
①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质；正多边形和圆。
专题： 几何综合题。
分析： （1）根据正方形的每一个角都是90°可以证明∠AHK=90°，然后利用平角等于180°以及直角三角形的两锐角互余证明∠D1CK=∠HAC，再利用“角角边”证明△ACH和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得D1M=CH，同理可证D2N=CH，从而得证；
（2）①过点C作CG⊥AB，垂足为点G，根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°证明得到∠H1AC=∠D1CM，然后利用“角角边”证明△ACG和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=D1M，同理可证CG=D2N，从而得证；
②结论仍然成立，与①的证明方法相同．
解答： （1）D1M=D2N．
证明：∵∠ACD1=90°，
∴∠ACH+∠D1CK=180°﹣90°=90°，
∵∠AHK=∠ACD1=90°，
∴∠ACH+∠HAC=90°，
∴∠D1CK=∠HAC，
在△ACH和△CD1M中，，
∴△ACH≌△CD1M（AAS），
∴D1M=CH，…（3分）
同理可证D2N=CH，
∴D1M=D2N；
（2）①证明：D1M=D2N成立．
过点C作CG⊥AB，垂足为点G，
∵∠H1AC+∠ACH1+∠AH1C=180°，
∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°，
∠AH1C=∠ACD1，
∴∠H1AC=∠D1CM，
在△ACG和△CD1M中，，
∴△ACG≌△CD1M（AAS），
∴CG=D1M，
同理可证CG=D2N，
∴D1M=D2N；
②作图正确．
D1M=D2N还成立．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正多边形的性质，读懂题意，证明得到∠D1CK=∠HAC（或H1AC=∠D1CM）是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点与突破口．
　
14．（2012 湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．
考点： 等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质。
专题： 探究型。
分析： （1）由平移的性质可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论；
（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．
解答： 解：（1）AC⊥BD∵△DCE由△ABC平移而成，
∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，
∴DE=BE，
∵BD⊥DE，
∵∠E=∠ACB=60°，
∴AC∥DE，
∴BD⊥AC；
（2）在Rt△BED中，
∵BE=6，DE=3，
∴BD===3．
点评： 本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．
　
　
15．（2012 苏州）如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为　 　，点C的坐标为　 　（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题。
分析： （1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标；
（2）存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明△PEC≌△PDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标；
（3）存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，有条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴；
要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可．
解答： 解：（1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0，
解得：x=1或b，
∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，
∴点B的坐标为（b，0），
令x=0，
解得：y=，
∴点C的坐标为（0，），
故答案为：（b，0），（0，）；
（2）存在，
假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．
设点P的坐标为（x，y），连接OP．
则S四边形POCB=S△PCO+S△POB= x+ b y=2b，
∴x+4y=16．
过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．
∴四边形PEOD是矩形．
∴∠EPO=90°．
∴∠EPC=∠DPB．
∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．
由解得
由△PEC≌△PDB得EC=DB，即﹣=b﹣，
解得b=＞2符合题意．
∴P的坐标为（，）；
（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，
∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．
∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．
∵b＞2，
∴AB＞OA，
∴∠Q0A＞∠ABQ．
∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，
由QA⊥x轴知QA∥y轴．
∴∠COQ=∠OQA．
∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．
（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．
∴AQ=CO=．
由AQ2=OA AB得：（）2=b﹣1．
解得：b=8±4．
∵b＞2，
∴b=8+4．
∴点Q的坐标是（1，2+）．
（II）当∠OQC=90°时，△QCO∽△QOA，
∴=，即OQ2=OC AQ．
又OQ2=OA OB，
∴OC AQ=OA OB．即 AQ=1×b．
解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，
∴点Q的坐标是（1，4）．
∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．
点评： 此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，还考查等腰三角形的性质及勾股定理，同时还让学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想．
　
16．（2012 泉州）如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q．
（1）求h的值；
（2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）；
（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．
考点： 二次函数综合题。
专题： 压轴题；动点型；数形结合。
分析： （1）根据二次函数图象上的点的坐标特征，利用待定系数法求得h的值．
（2）该小题应从三角形的面积公式入手分析，首先要选取合适的底和高；在△POQ中，OA的长是不变的，那么若以OA为底，P、Q到y轴的距离和为高，即可得到△PQO的面积．先设P点横坐标，然后根据抛物线、直线PA的解析式求出Q点横坐标，通过不等式的相关知识即可解出P、Q到y轴距离和的最小值．
（3）判断四边形AOBQ的形状，可从四个顶点的坐标特征上来判断．首先设出P、Q的坐标，然后根据点P、C求出直线BC的解析式，进而表示出点B的坐标，然后再通过直线PQ以及P、A、Q三点坐标，求出Q、B两点坐标之间的关联，进而判断该四边形是否符合梯形的特征．（需要注意的是：判定梯形的条件：一组对边平行且另一组对边不平行）
解答： 解：（1）∵抛物线y=x2+h经过点C（0，1），
∴+h=1，
解得h=1．
（2）依题意，设抛物线y=x2+1上的点，P（a，a2+1）、Q（b，b2+1）（a＜0＜b）
过点A的直线l：y=kx+2经过点P、Q，
∴a2+1=ak+2…①
b2+1=bk+2…②
①×b﹣②×a得：（a2b﹣b2a）+b﹣a=2（b﹣a），
化简得：b=﹣；
∴S△POQ=OA |xQ﹣xP|= OA |﹣﹣a|=（﹣）+（﹣a）≥2 =4
由上式知：当﹣=﹣a，即|a|=|b|（P、Q关于y轴对称）时，△POQ的面积最小；
即PQ∥x轴时，△POQ的面积最小，且POQ的面积最小为4．
（3）连接BQ，若l与x轴不平行（如图），即PQ与x轴不平行，
依题意，设抛物线y=x2+1上的点，P（a，a2+1）、Q（b，b2+1）（a＜0＜b）
直线BC：y=k1x+1过点P，
∴a2+1=ak1+1，得k1=a，
即y=ax+1．
令y=0得：xB=﹣，
同理，由（2）得：b=﹣
∴点B与Q的横坐标相同，
∴BQ∥y轴，即BQ∥OA，
又∵AQ与OB不平行，
∴四边形AOBQ是梯形，
据抛物线的对称性可得（a＞0＞b）结论相同．
故在直线l旋转的过程中：当l与x轴不平行时，四边形AOBQ是梯形；当l与x轴平行时，四边形AOBQ是正方形．
点评： 题目考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、不等式的应用、三角形面积的解法、梯形的判定等知识，综合性强，难度较大．注意在判定梯形时不要遗漏“一边不平行”的条件．
　
17．（2012 绍兴）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．
【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，
则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2
而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由+=得方程　 　，
解方程得x1=　 　，x2=　 　，
∴点B将向外移动　 　米．
（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．
考点： 勾股定理的应用；一元二次方程的应用。
专题： 探究型。
分析： （1）直接把B1C、A1C、A1B1的值代入进行解答即可；
（2）把（1）中的0.4换成0.9可知原方程不成立；设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入（1）中方程，求出x的值符合题意．
解答： 解：（1）（x+0.7）2+22=2.52，
故答案为；0.8，﹣2.2（舍去），0.8．
（2）①不会是0.9米，
若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4﹣0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，
1.52+1.62=4.81，2.52=6.25
∵+≠，
∴该题的答案不会是0.9米．
②有可能．
设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，
则有（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，
解得：x=1.7或x=0（舍）
∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．
点评： 本题考查的是解直角三角形的应用及一元二次方程的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．
　
　
20．（2012 广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
考点： 平行四边形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理。
专题： 代数几何综合题。
分析： （1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解；
（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解；
②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答．
解答： 解：（1）∵α=60°，BC=10，
∴sinα=，
即sin60°==，
解得CE=5；
（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．
理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，
∴AF=FD，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠DCF，
在△AFG和△CFD中，，
∴△AFG≌△CFD（AAS），
∴CF=GF，AG=CD，
∵CE⊥AB，
∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠AEF=∠G，
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，
∴AG=5，AF=AD=BC=5，
∴AG=AF，
∴∠AFG=∠G，
在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等），
∴∠CFD=∠AEF，
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF；
②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，
∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，
在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2，
在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x，
∵CF=GF（①中已证），
∴CF2=（CG）2=CF2=（200﹣20x）=50﹣5x，
∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+，
∴当x=，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值，
此时，EG=10﹣x=10﹣=，
CE===，
所以，tan∠DCF=tan∠G===．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数的最值问题，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键，另外根据数据的计算求出相等的边长也很重要．
21．（2012 厦门）已知：⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E，∠BCD=∠BAC．
（1）求证：AC=AD；
（2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若∠BCF=30°，则结论“CF一定是⊙O的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例．
考点： 切线的判定；垂径定理；圆周角定理。
专题： 几何综合题。
分析： （1）连接AD．根据∠BCD=∠BAC，∠CBE=∠ABC，证出△CBE∽△ABC，可得∠BEC=90°，于是∠D=∠CBA=∠ACD，故AC=AD．
（2）连接OC，不正确，可令∠CAB=20°，据此推出∠OCF≠90°，从而证出∠BCF=30°时“CF不一定是⊙O的切线”．
解答： 证明：（1）连接AD，
∵∠BCD=∠BAC，∠CBE=∠ABC，
∴△CBE∽△ABC，
∴∠BEC=∠BCA=90°，
∴∠CBA=∠ECA，
又∵∠D=∠ABC，
∴∠D=∠ACD，
∴AC=AD．
（2）连接OC，令∠CAB=20°，则∠ACO=∠CAB=20°，
于是∠COB=20°+20°=40°，
则∠OCB=（180°﹣40°）=70°，
于是∠FCO=∠FCB+∠OCB=70°+30°=100°，
故此时FC不是⊙O的切线．
同理，当∠CAB=30°时，FC不一定是⊙O的切线．
点评： 本题考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理，作出辅助线OC、AD是解题的关键．
　
23．（2012 德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
考点： 翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。
分析： （1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可．
解答： （1）解：如图1，∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．
（2）△PHD的周长不变为定值8．
证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP．
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH．
∴CH=QH．
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．
又∵EF为折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，
∴∠EFM=∠ABP．
又∵∠A=∠EMF=90°，
∴△EFM≌△BPA．
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．
解得，．
∴．
又四边形PEFG与四边形BEFC全等，
∴．
即：．
配方得，，
∴当x=2时，S有最小值6．
点评： 此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．
　
24．（2012 北京）操作与探究：
（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．
点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是　 　；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是　 　；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 ．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．
考点： 坐标与图形变化-平移；数轴；正方形的性质；平移的性质。
专题： 应用题。
分析： （1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解；
（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F的坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可．
解答： 解：（1）点A′：﹣3×+1=﹣1+1=0，
设点B表示的数为a，则a+1=2，
解得a=3，
设点E表示的数为b，则a+1=b，
解得b=；
故答案为：0，3，；
（2）根据题意得，，
解得，
设点F的坐标为（x，y），
∵对应点F′与点F重合，
∴x+=x，y+2=y，
解得x=1，y=4，
所以，点F的坐标为（1，4）．
点评： 本题考查了坐标与图形的变化，数轴上点右边的总比左边的大的性质，读懂题目信息是解题的关键．
　
25．（2012 日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．
（Ⅰ）探究新知
如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．
（1）求证：内切圆的半径r1=1；
（2）求tan∠OAG的值；
（Ⅱ）结论应用
（1）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；
（2）如图③，若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切，求rn的值．
考点： 相切两圆的性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形。
分析： （Ⅰ）（1）根据切线的性质以及正方形的判定得出四边形CEOF是正方形，进而得出CE=CF=r1，再利用切线长定理求出即可；
（2）在Rt△AOG中，根据r1=1，AG=3﹣r1=2，求出tan∠OAG的值即可；
（Ⅱ）（1）由tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，同理可得：tan∠O2BE==，进而得出AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2，即可求出r2=；
（2）根据（1）中所求可以得出AD=2rn，DE=2rn，…，MB=3rn，得到2rn+2rn+…+3rn=5，求出即可．
解答： （Ⅰ）（1）证明：在图①中，连接OE，OF，OA．
∵⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．
∴OF⊥BC，OE⊥AC，∠ACB=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
又∵EO=OF，
∴四边形CEOF是正方形，
CE=CF=r1．
又∵AG=AE=3﹣r1，BG=BF=4﹣r1，
AG+BG=5，
∴（3﹣r1）+（4﹣r1）=5．
即r1=1．
（2）解：连接OG，在Rt△AOG中，
∵r1=1，AG=3﹣r1=2，
tan∠OAG==；
（Ⅱ）（1）解：连接O1A、O2B，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E，AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC．
由tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，
同理可得：tan∠O2BE==，
∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2．
∵AD+DE+BE=5，
r2=；
（2）解：如图③，连接O1A、OnB，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、…、OnM⊥AB交于点M．
则AO1、BOn分别平分∠CAB、∠ABC．
tan∠O1AD=，tan∠OnBM=，
AD=2rn，DE=2rn，…，MB=3rn，
又∵AD+DE+…+MB=5，
2rn+2rn+…+3rn=5，
（2n+3）rn=5，
rn=．
点评： 此题主要考查了切线长定理以及锐角三角函数关系以及相切两圆的性质，根据已知得出tan∠O1AD=，tan∠O2BE==是解题关键．
26．（2012 衢州）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：
（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．
（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：
第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；
第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；
第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．
请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．
（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．
…
考点： 翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质；图形的剪拼。
专题： 几何综合题。
分析： （1）根据==2 ==，得出矩形纸片ABEF也是标准纸；
（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出==，即可得出答案；
（3）分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可．
解答： 解：（1）是标准纸，
理由如下：
∵矩形ABCD是标准纸，
∴=，
由对开的含义知：AF=BC，
∴==2 ==，
∴矩形纸片ABEF也是标准纸．
（2）是标准纸，理由如下：
设AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，
DG⊥EM，
∵由图形折叠可知：△ABE≌△AFE，
∴∠DAE=∠BAD=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴在Rt△ADG中，AD==a，
∴==，
∴矩形纸片ABCD是一张标准纸；
（3）
对开次数：
第一次，周长为：2（1+）=2+，
第二次，周长为：2（+）=1+，
第三次，周长为：2（+）=1+，
第四次，周长为：2（+）=，
第五次，周长为：2（+）=，
第六次，周长为：2（+）=，
…
∴第5次对开后所得标准纸的周长是：，
第2012次对开后所得标准纸的周长为：．
点评： 此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用，根据已知得出对开后所得标准纸的周长变化规律是解题关键．
27．18．（2012 连云港）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，
问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？
问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质；根的判别式；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质。
专题： 代数几何综合题。
分析： 问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB=x，可得方程x2+32+（2﹣x）2+1=8，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等；
问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4；
问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD=DE，可得==，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案；
问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得=与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB=45°，可得△CKH是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案．
解答： 解：问题1：∵四边形PCQD是平行四边形，
若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
∴∠DPC=90°，
∵AD=1，AB=2，BC=3，
∴DC=2，
设PB=x，则AP=2﹣x，
在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2﹣x）2+1=8，
化简得x2﹣2x+3=0，
∵△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，
∴方程无解，
∴对角线PQ与DC不可能相等．
问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，
则G是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
问题3：如图3，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴==，
∴G是DC上一定点，
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即==，
∴CH=2，
∴BH=BC+CH=3+2=5，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．
问题4：如图4，设PQ与AB相交于点G，
∵PE∥BQ，AE=nPA，
∴=，
∴G是AB上一定点，
作QH∥CD，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，
∴∠QBH=∠PAD，
∴△ADP∽△BHQ，
∴，
∵AD=1，
∴BH=n+1，
∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，
过点D作DM⊥BC于M，
则四边形ABMD是矩形，
∴BM=AD=1，DM=AB=2
∴CM=BC﹣BM=3﹣1=2=DM，
∴∠DCM=45°，
∴∠KCH=45°，
∴CK=CH cos45°=（n+4），
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为（n+4）．
点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．