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章末复习
第十章概率
一
二
三
教学目标
理解随机事件的含义、掌握事件关系与运算
掌握古典概型的特征，会算古典概型的概率
理解概率的性质，会用概率的性质计算相关的事件的概率
教学目标
复习回顾1 理解随机事件的含义、掌握事件关系与运算
问题1 什么是随机事件？
问题2 样本空间、样本点的概念是什么？
事件 定义
随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
必然事件 在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。
不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件
样本点是随机试验的每个可能的基本结果，
样本空间是全体样本点的集合.
列
（1）利用集合表示样本空间
（2）可以借助列举法 图表法 树状图方便理解
复习回顾1 理解随机事件的含义、掌握事件关系与运算
问题3 事件的的关系或运算有哪些？
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 AUB或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω
复习回顾1 理解随机事件的含义、掌握事件关系与运算
问题4 事件与集合对应的关系有哪些？
描述事件的含义，列举出样本空间
测
考点一：理解随机事件的含义
【答案】③④⑥
测
【答案】(1)是互斥事件，也是对立事件；
(2)是互斥事件，但不是对立事件；
(3)既不是互斥事件，也不是对立事件.
考点一：掌握事件关系与运算
测
考点一：事件关系与运算
测
【答案】(1)B A，C A，E A，A=B+C+E
(2)AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，AD=B+C
考点一：事件关系与运算
测
考点二：列出样本空间
测
【答案】(1)）{甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，甲乙，AB，BC，AC}
(2){甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C}．
考点二：列出样本空间
复习回顾2 掌握古典概型的特征，会算古典概型的概率
问题5 什么是古典概型？它的概率公式是什么？
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
复习回顾2 掌握古典概型的特征，会算古典概型的概率
计算古典概型事件的概率三步骤
步骤一,算出样本点的总个数n;
步骤二,求出事件A所包含的样本点个数k;
步骤三,代入公式求出概率P(A).
列
注意等可能性！
测
考点三：计算古典概型的概率
【答案】D
【答案】A
【答案】C
测
考点三：计算古典概型的概率
测
考点三：计算古典概型的概率
复习回顾3 理解概率的性质，并计算相关的事件的概率
问题6 概率的性质有哪些？
对于任意事件A
因为Φ A Ω
所以 0 ≤ P(A) ≤1
复习回顾3 理解概率的性质，并计算相关的事件的概率
1.概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B).
2.在求解复杂的事件的概率时,通常有两种方法,一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的概率之和.
二是先求此事件的对立事件的概率,特别是在涉及“至多”或“至少”问题时,常常用此思维模式.再利用P(A)=1-P( )来得出原问题的解.这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.
注意
复习回顾3 理解概率的性质，并计算相关的事件的概率
互斥事件 相互独立事件
定义 不可能同时发生的两个事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响
概率公式 P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B)
问题7 积事件的概率公式是什么？
解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件.
判断两个事件是否相互独立的方法：
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．P(AB)=P(A)P(B)
相互独立事件的判断方法
1.定义法：P(AB)=P(A)P(B)
2.直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。
若A、B、C为相互独立事件，则
① A、B、C同时发生；
② A、B、C都不发生；
③ A、B、C中恰有一个发生；
④ A、B、C中至少有一个发生的概率；
⑤ A、B、C中至多有一个发生.
注:(1)若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件相互独立，
则称事件 A1，A2 ，… ，An 两两相互独立.
(2)设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< ··· < i k≤n
则称事件 A1，A2 ，… ，An 相互独立.
复习回顾3 理解概率的性质，并计算相关的事件的概率
测
【答案】C
【答案】BCD
考点三：利用性质计算事件的概率
测
【答案】ABD
考点三：利用性质计算事件的概率
测
【答案】AB
【答案】0.98
【答案】B
考点三：利用性质计算事件的概率
测
考点三：利用性质计算事件的概率
测
考点三：利用性质计算事件的概率
测
考点三：利用性质计算事件的概率
测
考点四：综合运用（与统计结合）
测
考点四：综合运用（与统计结合）
测
考点四：综合运用（与统计结合）
测
考点四：综合运用（与统计结合）
测
测
考点四：综合运用（与统计结合）
测
小结第十章章末复习
考点一：理解随机事件的含义、掌握事件关系与运算
1.（2022·全国·高二课时练习）在下列现象中，随机现象是______．（选填序号）
①汽车排放尾气会污染环境；
②实数a、b都不为0，则；
③任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面；
④将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面；
⑤函数（）在定义域内为严格增函数；
⑥三个小球全部放入两个盒子中，其中一个盒子里有三个球．
2.（2022·全国·高一课时练习）从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，判断下列每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件．
(1)“取出3个红球”与“取出3个球中至少有1个白球”；
(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”；
(3)“取出3个红球”与“取出的球中至少有1个红球”．
3.（2022·全国·高二课时练习）在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A={出现点数1}，B={出现点数3或4}，C={出现的点数是奇数}，D={出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求，，，，．
4.（2022·全国·高一课时练习）1.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.
5.（2022·全国·高二课时练习）“五行”指金、木、水、火、土，其中金克木，木克土、土克水、水克火、火克金．现从“五行”中随机抽取“两行”．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)写出事件“从五行中抽取两行，抽取的两行不相克”对应的子集．
6.（2022·全国·高二课时练习）从2名男生和3名女生中随机选出2人．
(1)写出样本空间；
(2)写出事件：“两人恰好是1名男生和1名女生”对应的集合．
考点二：计算古典概型的概率
6.（2021·湖南师大附中高一期末）随机抛郑两枚均匀骰子，观察得到的点数，则得到的两个骰子的点数之和能被3整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
7.（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）盒中装有形状大小相同的球6个，其中红球3个，编号为0、1、2，蓝球3个，编号为3、4、5，从中取2球，则两球颜色不同，且编号之和不小于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
8.（2022·全国·高一单元测试）不透明的袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“”、“ ”、“ ”、“ ”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字中一个数字的两倍等于其余两个数字之和的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·北京·清华附中朝阳学校高一阶段练习）从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为_____．
10.（2022·天津南开·高二学业考试）某班有60名学生，其中女生24人，现任选一人，则选中男生的概率为___________．
11.（2021·湖南师大附中高一期末）某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图．
(1)求直方图中的值；
(2)请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；
(3)样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率．
考点三：利用性质计算事件的概率
12.保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
13.甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（ ）
A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是
C．乙输的概率是 D．乙不输的概率是
14.已知事件A，B，且，则（ ）
A．如果，那么
B．如果A与B互斥，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
15.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率，从两袋各摸出一个球，则（ ）
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．2个球至多有一个红球的概率为 D．2个球中至少有1个红球的概率为
16.设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8，0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为________
16.甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为( )
A．0.2 B．0.8 C．0.4 D．0.1
17.为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，则：
(1)恰有1罐中奖的概率为多少？
(2)能中奖的概率为多少？
18.掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：
(1)A∩B，BC及相应的概率
(2)A∪B，B+C及相应的概率；
(3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率.
19..已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是、、．设各次射击都相互独立．
(1)若乙对同一目标射击两次，求恰有一次命中目标的概率；
(2)若甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率．
考点四：综合运用（与统计结合）
20.（2022·全国·高一单元测试）某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
21.（2020·全国·高一课时练习）甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B为“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知.
(1)求甲获得比赛胜利的概率；
(2)求甲、乙两人获得平局的概率.
22．（2022·全国·高一单元测试）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）这一组的频数 频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数 众数 中位数.
（3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.
23.（2022·全国·高一单元测试）已知关于的二次函数，令集合，，若分别从集合、中随机抽取一个数和，构成数对.
（1）列举数对的样本空间；
（2）记事件为“二次函数的单调递增区间为”，求事件的概率；
（3）记事件为“关于的一元二次方程有4个零点”，求事件的概率.
24.（2022·江西抚州·高二期末（文））在2016珠海航展志愿服务开始前，团珠海市委调查了北京师范大学珠海分校某班50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据如下表：单位：人
参加志愿服务礼仪培训 未参加志愿服务礼仪培训
参加赛会应急救援培训 8 8
未参加赛会应急救援培训 4 30
（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；
（2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的8名同学中，有5名男同学A，A，A，A，A名女同学B，B，B现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A被选中且B未被选中的概率.
