人教版八年级数学上册第十三章轴对称小结（二）课件(共19张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册第十三章轴对称小结（二）课件(共19张PPT) |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 625.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-09 00:00:00 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
八年级上册－人教版－数学－第十三章
第十三章 小结（二）
学习目标：
1. 分析两个共顶点的等腰三角形图形特点，并推导它的结论；
2. 经历由特殊到一般的探究过程，了解研究几何图形的一般方法。
学习重点：
两个共顶点等腰三角形结论的推导和灵活应用.
热身训练
1. 如图，∠ACB=∠DCE，则∠BCD与∠ACE大小关系如何？
图1
图2
∵∠ACB=∠DCE,
即∠1+∠2=∠1+∠3,
∴∠2=∠3,
即∠BCD=∠ACE.
2
3
1
4
5
6
∵∠ACB=∠DCE,
即∠4=∠5,
∴∠4+∠6=∠5+∠6,
即∠BCD=∠ACE.
将∠DCE绕点C
旋转一个角度
热身训练
2. 如图，∠A=∠B，则∠C与∠D大小关系如何？
∵∠A+∠D+∠1=180°，
∠B+∠C+∠2=180°，
∴∠A+∠D=∠B+∠C，
又∵∠A=∠B，
∴∠C=∠D.
“8字”模型结论
解：
记AC与BD交于点O，
∵∠1与∠2互为对顶角，
∴∠1=∠2，
∵∠AOB是△AOD的一个外角，
∴∠AOB=∠A+∠D；
同理 ∠AOB=∠B+∠C；
∴∠A+∠D=∠B+∠C，
例1 △ABC和△CDE都是等边三角形，
（1）如图，当点D、E分别在BC、AC边上时，试探究BD与AE的数量关系，并说明理由.
探究新知
解：BD=AE，理由如下：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC， DC=EC，
∴BC－DC=AC－EC，
即 BD=AE.
例1 △ABC和△CDE都是等边三角形，
（2） 将△CDE绕点C转到如图所示的位置，连接BD、AE，试探究BD与AE的数量关系，并说明理由.
探究新知
分析：要证BD=AE
证△BCD≌△ACE
证∠1=∠2
∠ACB－∠ACD=∠DCE－∠ACD
BC=AC，
CD=CE，
例1 △ABC和△CDE都是等边三角形，
（2） 将△CDE绕点C转到如图所示的位置，连接BD、AE，试探究BD与AE数量关系，并说明理由.
解答过程
解：BD=AE，理由如下：
∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB－∠ACD=∠DCE－∠ACD,
即 ∠1=∠2.
∴在△BCD和△ACE中
BC=AC，
∠1=∠2，
CD=CE，
∴△BCD≌△ACE (SAS)
∴BD= AE.
课堂练习
练习 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接BD、AE.
求证：BD=AE.
证明：
∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∠1=∠2=60°.
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD,
即 ∠BCD=∠ACE.
∴在△BCD和△ACE中
BC=AC，
∠BCD=∠ACE，
CD=CE，
∴△BCD≌△ACE (SAS)，
∴AE=BD .
两个共顶点的等边三角形，在相对位置发生变化时，始终存在一对三角形全等.
△BCD≌△ACE （SAS）
感悟提升
BD=AE
“手拉手”模型
例题讲解
例1 △ABC和△CDE都是等边三角形，
（3）在(2)的条件下试求BD与AE夹角的度数.
分析：延长BD交AE于点O，
问题转化为求∠AOB的度数.
△BCD≌△ACE
∠1=∠2
∠2+∠BCA=∠1+∠AOB
∠AOB=∠ACB
已知条件
1
2
解答过程
1
2
AFB
1
2
解：延长BD交AE于点O，
∵△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠ =∠ .
记AC、BO交于点F
∴∠ =∠ +∠AOB
=∠ +∠ACB，
∴∠AOB=∠ACB=60°，
即BD与AE夹角度数为60°.
例1 △ABC和△CDE都是等边三角形，
（3）在(2)的条件下试求BD与AE夹角的度数.
求夹角方法总结：由手拉手模型得全等，推导出对应角相等，再利用“8字”模型的结论，将夹角转化为等边三角形的内角.
1
2
等边三角形的“手拉手”模型总结
条件：△ABC和△DCE是等边三角形.
感悟提升
结论1：△BCD≌△ACE，BD=AE；
（左手拉左手等于右手拉右手）
结论2：BD与AE夹角为60°.
课堂练习
练习 如图，△ABC与△DCE都为等腰直角三角形，连接AD、BE，相交于点O.
（1）试探究AD与BE的数量关系，并说明理由；
（2）求AD与BE之间的夹角∠AOB的度数.
解答过程
练习 如图，△ABC与△DCE都为等腰直角三角形，连接AD、BE，相交于点O.
（1）试探究AD与BE的数量关系，并说明理由；
解：AD＝BE．理由如下：
∵ △ABC与△DCE都为等腰
直角三角形，
∴AC=BC, DC=EC，
∠ACB＝∠DCE＝90°.
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD
即∠ACD＝∠BCE．
∴在△ACD和△BCE中，
AC=BC,
∠ACD=∠BCE,
DC=EC,
∴△ACD≌△BCE （SAS）．
∴AD＝BE．
解答过程
练习 如图，△ABC与△DCE都为等腰直角三角形，连接AD、BE，相交于点O.
（2）求AD与BE之间的夹角∠AOB的度数.
解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠1＝∠2．
记AD与BC交于点F，
∴∠AFB ＝ ∠1+∠ACF＝∠2 +∠AOB，
∴∠AOB＝∠ACB＝90°．
2
1
等腰直角三角形的“手拉手”模型总结
条件：△ABC和△DCE是等腰直角三角形，AD与BE相交于点O.
感悟提升
结论1：△ACD≌△BCE，AD=BE；
（左手拉左手等于右手拉右手）
结论2：AD与BE夹角∠AOB=90°.
拓展提升
练习 如图，△ABC与△ADE是共顶点的等腰三角形，且顶角相等。连接BD与CE，你又能得到哪些结论？
结论1：△ABD≌△ACE，
结论2：BD与CE的夹角等于顶角∠BAC.
证明：延长BD、CE交于点O,
∵△ABD≌△ACE，
∴∠1＝∠2．
记BO与AC交于点F，
∴∠AFO ＝ ∠1+∠BAC＝∠2 +∠BOC，
∴∠BOC＝∠BAC．
1
2
F
课堂小结
1.两个共顶点的等腰三角形必得一对三角形全等；
2.数学思想方法：特殊到一般。
特殊
一般
谢 谢
八年级上册－人教版－数学－第十三章
第十三章 小结（二）
学习目标：
1. 分析两个共顶点的等腰三角形图形特点，并推导它的结论；
2. 经历由特殊到一般的探究过程，了解研究几何图形的一般方法。
学习重点：
两个共顶点等腰三角形结论的推导和灵活应用.
热身训练
1. 如图，∠ACB=∠DCE，则∠BCD与∠ACE大小关系如何？
图1
图2
∵∠ACB=∠DCE,
即∠1+∠2=∠1+∠3,
∴∠2=∠3,
即∠BCD=∠ACE.
2
3
1
4
5
6
∵∠ACB=∠DCE,
即∠4=∠5,
∴∠4+∠6=∠5+∠6,
即∠BCD=∠ACE.
将∠DCE绕点C
旋转一个角度
热身训练
2. 如图，∠A=∠B，则∠C与∠D大小关系如何？
∵∠A+∠D+∠1=180°，
∠B+∠C+∠2=180°，
∴∠A+∠D=∠B+∠C，
又∵∠A=∠B，
∴∠C=∠D.
“8字”模型结论
解：
记AC与BD交于点O，
∵∠1与∠2互为对顶角，
∴∠1=∠2，
∵∠AOB是△AOD的一个外角，
∴∠AOB=∠A+∠D；
同理 ∠AOB=∠B+∠C；
∴∠A+∠D=∠B+∠C，
例1 △ABC和△CDE都是等边三角形，
（1）如图，当点D、E分别在BC、AC边上时，试探究BD与AE的数量关系，并说明理由.
探究新知
解：BD=AE，理由如下：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC， DC=EC，
∴BC－DC=AC－EC，
即 BD=AE.
例1 △ABC和△CDE都是等边三角形，
（2） 将△CDE绕点C转到如图所示的位置，连接BD、AE，试探究BD与AE的数量关系，并说明理由.
探究新知
分析：要证BD=AE
证△BCD≌△ACE
证∠1=∠2
∠ACB－∠ACD=∠DCE－∠ACD
BC=AC，
CD=CE，
例1 △ABC和△CDE都是等边三角形，
（2） 将△CDE绕点C转到如图所示的位置，连接BD、AE，试探究BD与AE数量关系，并说明理由.
解答过程
解：BD=AE，理由如下：
∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB－∠ACD=∠DCE－∠ACD,
即 ∠1=∠2.
∴在△BCD和△ACE中
BC=AC，
∠1=∠2，
CD=CE，
∴△BCD≌△ACE (SAS)
∴BD= AE.
课堂练习
练习 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接BD、AE.
求证：BD=AE.
证明：
∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∠1=∠2=60°.
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD,
即 ∠BCD=∠ACE.
∴在△BCD和△ACE中
BC=AC，
∠BCD=∠ACE，
CD=CE，
∴△BCD≌△ACE (SAS)，
∴AE=BD .
两个共顶点的等边三角形，在相对位置发生变化时，始终存在一对三角形全等.
△BCD≌△ACE （SAS）
感悟提升
BD=AE
“手拉手”模型
例题讲解
例1 △ABC和△CDE都是等边三角形，
（3）在(2)的条件下试求BD与AE夹角的度数.
分析：延长BD交AE于点O，
问题转化为求∠AOB的度数.
△BCD≌△ACE
∠1=∠2
∠2+∠BCA=∠1+∠AOB
∠AOB=∠ACB
已知条件
1
2
解答过程
1
2
AFB
1
2
解：延长BD交AE于点O，
∵△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠ =∠ .
记AC、BO交于点F
∴∠ =∠ +∠AOB
=∠ +∠ACB，
∴∠AOB=∠ACB=60°，
即BD与AE夹角度数为60°.
例1 △ABC和△CDE都是等边三角形，
（3）在(2)的条件下试求BD与AE夹角的度数.
求夹角方法总结：由手拉手模型得全等，推导出对应角相等，再利用“8字”模型的结论，将夹角转化为等边三角形的内角.
1
2
等边三角形的“手拉手”模型总结
条件：△ABC和△DCE是等边三角形.
感悟提升
结论1：△BCD≌△ACE，BD=AE；
（左手拉左手等于右手拉右手）
结论2：BD与AE夹角为60°.
课堂练习
练习 如图，△ABC与△DCE都为等腰直角三角形，连接AD、BE，相交于点O.
（1）试探究AD与BE的数量关系，并说明理由；
（2）求AD与BE之间的夹角∠AOB的度数.
解答过程
练习 如图，△ABC与△DCE都为等腰直角三角形，连接AD、BE，相交于点O.
（1）试探究AD与BE的数量关系，并说明理由；
解：AD＝BE．理由如下：
∵ △ABC与△DCE都为等腰
直角三角形，
∴AC=BC, DC=EC，
∠ACB＝∠DCE＝90°.
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD
即∠ACD＝∠BCE．
∴在△ACD和△BCE中，
AC=BC,
∠ACD=∠BCE,
DC=EC,
∴△ACD≌△BCE （SAS）．
∴AD＝BE．
解答过程
练习 如图，△ABC与△DCE都为等腰直角三角形，连接AD、BE，相交于点O.
（2）求AD与BE之间的夹角∠AOB的度数.
解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠1＝∠2．
记AD与BC交于点F，
∴∠AFB ＝ ∠1+∠ACF＝∠2 +∠AOB，
∴∠AOB＝∠ACB＝90°．
2
1
等腰直角三角形的“手拉手”模型总结
条件：△ABC和△DCE是等腰直角三角形，AD与BE相交于点O.
感悟提升
结论1：△ACD≌△BCE，AD=BE；
（左手拉左手等于右手拉右手）
结论2：AD与BE夹角∠AOB=90°.
拓展提升
练习 如图，△ABC与△ADE是共顶点的等腰三角形，且顶角相等。连接BD与CE，你又能得到哪些结论？
结论1：△ABD≌△ACE，
结论2：BD与CE的夹角等于顶角∠BAC.
证明：延长BD、CE交于点O,
∵△ABD≌△ACE，
∴∠1＝∠2．
记BO与AC交于点F，
∴∠AFO ＝ ∠1+∠BAC＝∠2 +∠BOC，
∴∠BOC＝∠BAC．
1
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F
课堂小结
1.两个共顶点的等腰三角形必得一对三角形全等；
2.数学思想方法：特殊到一般。
特殊
一般
谢 谢