人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题（第一课时）课件 (共22张PPT)

(共22张PPT)
八年级—人教版—数学—第十三章
13.4课题学习 最短路径问题（第一课时）
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题．
2.能把实际问题抽象为数学问题，体会图形的变化
在解决最值问题中的作用，感悟转化和类比思想．
学习目标
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
学习重点
情境引入
观察图片，生活中你通常如何选择路径，使所走路径最短呢？
1.如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
①
②
③
A
B
路线②最短，因为两点之间，线段最短．
PC最短，因为垂线段最短．
复习旧知
例：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
A
B
l
l
A
B
如图，在直线l上找一点C，使CA+CB最短.
典型问题
l
A
B
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
思考1：你能联系已学的知识，回忆在最短问题中，我们是通过什么知识进行解决呢？
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
已知，如图，点A、B在直线l的两侧，在l上求作一点C，使得CA+CB最短．
解决问题一
已知，如图，点A、B在直线l的两侧，在l上求作一点C，使得CA+CB最短．
解决问题一
连接AB，线段AB与直线l交于点C，点C即为所求．
两点之间，线段最短
作法：
依据：
已知，如图，点A、B在直线l的两侧，在l上求作一点C，使得CA+CB最短．
解决问题一
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
思考2：能否通过图形的变换，把左边未知的问题转化为我们右边研究过的问题呢？
l
A
B
A、B在直线l的同侧
A、B在直线l的异侧
解决问题二
l
A
B
问题转化为：
在直线l上求作一点C，使CA+CB'最短．
B'
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
作法：
(1)作点B关于直线l的对称点B'，
(2)连接AB'交直线l于点C，
(3)则点C即为所求．
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
在直线上另外任取一点C'，连接AC',BC',B'C'.
思考3：如何证明CA+CB最短？
需证明：
证明：
解决问题二
∵
∴
∴
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
方法归纳
A
B
抽象成数学模型
B'
例：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
l
A
B
联想
旧知
解决实
际问题
用旧知解决新知
思考4：此题，能否作点A关于直线l的对称点呢？
B'
作法：
(1)作点A关于直线l的对称点A'，(2)连接A'B交直线l于点C，
(3)则点C即为所求．
如图，牧马人从P地出发，先牵马去草地OA吃草，再牵马去河边OB喝水，最后回到P地.问：这位牧马人怎样走路径最短？
拓展提升
如图，分别在OA、OB上找点C、D，使得PC+CD+DP和最短．
如图，分别在OA、OB上求作点C、D，使得PC+CD+DP和最短．
思考：你能利用解决牧马人饮马问题的办法，解决本题吗？
利用轴对称(实现线段转移).
PC+CD+DP
=
P1C+CD+DP2
两点之间，线段最短．
拓展提升
作法：
（1）过点P分别作关于OA、OB的对称点P1 、P2　，
（2）连接P1P2分别交OA、OB于点C、D，
（3）点C、D即为所求．
此时PC+CD+DP最短．
拓展提升
如图，分别在OA、OB上求作点C、D，使得PC+CD+DP和最短．
方法归纳
轴对称
解决实际问题
抽象成数学模型
思想方法：类比、转化
如图，牧马人从P地出发，先牵马去草地OA吃草，再牵马去河边OB喝水，最后回到P地.问：这位牧马人怎样走路径最短？
B'
类比、转化
两点之间，线段最短
轴对称变换
轴对称变换
课堂小结
解决方法：利用轴对称实现线段的转移，化折为直.
理论依据：两点之间，线段最短.
思想方法：类比、转化.
最短路径问题：
谢 谢