21.2.4一元二次方程根与系数的关系 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
21.2.4一元二次方程根与系数的关系
人教版九年级上册
教学目标
教学目标：1.掌握根与系数的关系；
2.利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.
教学重点：熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系.
教学难点：灵活利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
新知导入
情境引入
　　前两天悄悄地听到咱班的小明和小青的一段对话，内容如下：
　　小明：我说小青，我有一个秘密，你想听吗？
　　小青：什么秘密？
　　小明：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？
　　小青：哦？
小明：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程 的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．
小青：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，
而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程
的两根的和呢．
小明：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄．
新知讲解
合作学习
方程
完成下列表格，回答问题：
问题 你发现上面表格有什么规律？
2
3
5
6
2
-10
-5
-3
思考1：从因式分解可知，方程(x-x1)(x-x2)=0（x1、x2已知数）的两根为x1，x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
★归纳：
如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x2= -p， x1 ·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
思考2：一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中，二次根式系数a未必是1，它的两个根x1和x2的和、积与系数a,b,c有又怎样的关系呢？
2.填表、观察、猜想
2
一元二次方程 两 根 关 系
x1 x2 2x2-3x-2=0
5x2+6x+1=0
x1+x2=
x1·x2=-1
-1
x1+x2=
x1·x2=
提炼概念
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比；即：
温馨提示：满足上述关系的前提条件：
1.将方程化为一般形式： ax2+bx+c=0（a≠0）2.b2=4ac≥0
证明
猜想：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
(b2-4ac≥ 0且a≠0)
思考3： 你能利用求根公式推导根与系数的关系吗？
典例精讲
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 – 6x – 15 = 0；
解：a = 1 , b = – 6 , c = – 15 .
x1 + x2 = –( – 6 ) =6， x1 x2 = – 15 .
（2）3x2 +7x-9 = 0；
x1 + x2 =- ， x1 x2 =
解： a = 3 , b = 7, c = -9.
（3） 5x – 1 = 4x2 .
解：方程可化为 4x2 – 5x +1 =0，
a =4， b = – 5，c = 1.
x1 + x2 = ， x1 x2 = .
知识点拨：在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可 .
常见的求值式子：
归纳概念
在使用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：
（1）不是一元二次方程一般形式的要先化成一般形式；
（2）在使用　　　　　 时， 注意“－ ”号不要漏写．
课堂练习
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另 一个根是___，m =____.
-3
2x1x2
2.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则
(1) x1+x2 = _____ , x1x2 = _______，
(2) x12+x22 = (x1+x2)2 - ________ = ______,
(3) (x1-x2)2 = (______)2 - 4x1x2 = _______.
4
1
14
12
x1+x2
3. 已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以 x1 + x2 = 1+x2 = 6 ，
解得x2 = 5.
由于x1·x2 = 1×5 =
得m = 15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
解：根据根与系数的关系可知：
4. 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
课堂总结
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应 用
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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