21.2.4一元二次方程根与系数的关系 教案

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21.2.4一元二次方程根与系数的关系 教案
课题 21.2.4一元二次方程根与系数的关系 单元 第21单元 学科 数学 年级 九年级（上）
学习目标 1.掌握根与系数的关系；2.利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.
重点 掌握根与系数的关系.
难点 利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题前两天悄悄地听到咱班的小明和小青的一段对话，内容如下：　　小明：我说小青，我有一个秘密，你想听吗？　　小青：什么秘密？　　小明：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？　　小青：哦？小明：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．小青：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了， 而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程 的两根的和呢．小明：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄．完成下列表格，回答问题：问题 你发现上面表格有什么规律？思考1：从因式分解可知，方程(x-x1)(x-x2)=0（x1、x2已知数）的两根为x1，x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？归纳：如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x2= -p， x1 ·x2=q.思考2：一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中，二次根式系数a未必是1，它的两个根x1和x2的和、积与系数a,b,c有又怎样的关系呢？2.填表、观察、猜想证明猜想：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：于是得到，一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间有怎样的关系？ 思考自议师生合作，借用求根公式推导根与系数的关系. 提出问题，寻找解决办法，为下面推导根与系数的关系奠定基础.
讲授新课 提炼概念归纳：一元二次方程根与系数的关系：（由于这是数学家韦达提出并证明了的，所以后人为了纪念就把这个公式叫做韦达定理）即：两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。●注意,韦达定理使用的前提：(b2-4ac≥ 0且a≠0)三、典例精讲 例4 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2 的和与积:x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 解：(1)a=1,b= -6,c= -15 x1+x2= -(-6)=6，x1x2= -15 (2)a=3,b=7,c= -9x1+x2= ，x1x2=-3 (3)方程化为 4x2-5x+1=0 a=4,b= -5,c=1x1+x2= ，x1x2= 小结：求根与系数的关系的步骤：1.化：把方程化成一般形式；2.定：确定a,b,c的值；3.求：求出x1+x2，x1x2的值；4.验：检验b2-4ac≥0.小结：用到根与系数的关系的几种常见的求值（1）（2）（3）（4）（5）（6） 借助典型例题,展示求解两根之和与两根之积的步骤，并进行总结. 培养学生计算能力以及熟练根与系数的关系.
课堂检测 四、巩固训练 1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另 一个根是___，m =____.，-32.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则 X1+X2 = ______ ,X1X2 = ______ X12+X22 = ( X1+X2)2 - _________=______ ( X1-X2)2 = (______)2 - 4X1X2 =______3. 已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.4.不解方程，求一元二次方程2x2+3x-1=0两个根的①平方和；②倒数和。
课堂小结 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系(韦达定理)： 注意：能用根与系数的关系的前提条件：b2-4ac≥0
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