【数学总复习-考点精讲】RJA 第一章 第2讲　常用逻辑用语 （学案）

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第2讲　常用逻辑用语
考向预测 核心素养
主要考查充分、必要条件的判断、含有一个量词的命题的否定及真假判断，题型以选择题为主，低档或中档难度. 数学抽象、逻辑推理
一、知识梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题
推出关系 p q pq p q
条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 p是q的充分必要条件，简称为充要条件
2.全称量词和存在量词
全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有全称量词的命题叫做全称量词命题 含有存在量词的命题叫做存在量词命题
命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
3.全称量词命题和存在量词命题的否定
命题 命题的否定 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题 x∈M，p(x) x∈M， p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
常用结论
1.p是q的充分不必要条件，等价于 q是 p的充分不必要条件.
2.从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：
(1)若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若A＝B，则p是q的充要条件；
(3)若A?B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律：“改量词，否结论”.
二、教材衍化
1.(人A必修第一册P21例3(3)改编)“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选B.因为xy＞0 / x＜0，y＜0，且x＜0，y＜0 xy＞0，所以“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分条件.
2.(人A必修第一册P31习题1.5T3(1)改编)命题：“ x∈Z，|x| N”的否定是____________________.
答案： x∈Z，|x|∈N
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　)
(2)q不是p的必要条件时，“p / q”成立.(　　)
(3)“梯形的对角线相等”是全称量词命题.(　　)
(4)“并非 x∈M，p(x)”是全称量词命题.(　　)
一、思考辨析
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
二、易错纠偏
1.(含一个量词的命题否定不当致误)命题p： x∈(0，＋∞)，sin x＞x的否定为(　　)
A. x∈(0，＋∞)，sin x＞x
B. x∈(0，＋∞)，sin x≤x
C. x∈(－∞，0]，sin x＞x
D. x∈(－∞，0]，sin x≥x
2.(多选)(充要条件理解不当致误)设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是(　　)
A.x＜1 B.x＞1
C.x＞－1 D.x＞3
3.设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件.
参考答案与解析
一、思考辨析
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
二、易错纠偏
1.解析：选B.因为原命题是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即 p： x∈(0，＋∞)，sin x≤x.
2.答案：BC
3.答案：必要不充分
考点一　全称量词命题与存在量词命题(综合研析)
复习指导：理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
(1)(链接常用结论3)(2022·广西重点中学3月联考)命题p： x>0，ln(x＋1)>x2，则 p为(　　)
A. x>0，ln(x＋1)≤x2
B. x>0，ln(x＋1)≤x2
C. x≤0，ln(x＋1)≤x2
D. x≤0，ln(x＋1)>x2
(2)若“ x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
【解析】　(1)由于存在量词命题的否定是全称量词命题，所以改变量词，否定结论即可.
(2)因为函数y＝tan x在上是增函数，所以ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.所以m的最小值为1.
【答案】　(1)B　(2)1
(1)全称量词命题中的量词可以省略.
(2)判断含量词的命题的真假有两种思路：根据量词的意义从命题本身判断或利用命题的否定的真假进行判断.
训练
1.(2022·河南驻马店高三阶段性检测)已知命题p： x∈(0，＋∞)，3x>x3，则 p是(　　)
A. x∈(－∞，0)，3x≤x3
B. x∈(－∞，0)，3x>x3
C. x∈(－∞，0)，3x≤x3
D. x∈(0，＋∞)，3x≤x3
2.(2022·辽宁大连4月二模)若“ x∈，使得2x2－λx－1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为________.
参考答案与解析
1解析：选D.根据特称命题的否定可知， p： x∈(0，＋∞)，3x≤x3.
2解析：若“ x∈，使得2x2－λx－1＜0成立”是假命题，
则“ x∈，2x2－λx－1≥0成立”是真命题，
分离参数得λ≤＝2x－.
设f(x)＝2x－，x∈，则f′(x)＝2＋＞0，
所以f(x)在上单调递增.
所以f(x)的最小值为f＝－1，所以λ≤－1.
答案：(－∞，－1]
考点二　充分条件、必要条件的判断(自主练透)
复习指导：理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
1.(2021·高考天津卷)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的(　　)
A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2021·高考浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4．(2021·高考北京卷)设函数f(x)的定义域为[0，1]，则“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
充分条件、必要条件的2种判断方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断.
(2)集合法：根据p，q成立的对应集合之间的包含关系进行判断.
[提醒]　判断充要条件需注意3点
(1)要分清条件与结论分别是什么.
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断.
(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明.
参考答案与解析
1解析：选A.由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立；
若a2>36，则a>6或a<－6，推不出a>6，故必要性不成立；
所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.故选A.
2解析：选A.当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；
若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合.
综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A.
3解析：选B.由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件.故选B.
4解析：选A.若函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，而f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，并不能得到f(x)在[0，1]上单调递增，所以“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的充分而不必要条件．
考点三　充分条件、必要条件的应用(思维发散)
复习指导：通过条件之间的关系探求参数范围是充分、必要条件的重要应用，解决关键是将条件之间的关系转化为集合之间的关系.
(链接常用结论2)已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若p是q的必要条件，求实数m的取值范围.
【解】　由题易知，
P＝{x|－2≤x≤10}，
由p是q的必要条件，知S P.
则所以0≤m≤3.
即m的取值范围是[0，3].
1.本例中，若x P是x S的必要条件，求实数m的取值范围.
解：若x P是x S的必要条件，则x S x P，
所以x∈P x∈S，
所以P S，
则
所以m≥9，
故实数m的取值范围是[9，＋∞).
2.若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.
解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
所以方程组无解，
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.
根据充分条件、必要条件求解参数范围需注意以下2点：
(1)将条件间的关系转化为集合间的关系，列出关于参数的不等式；
(2)注意端点处函数值的检验.
训练
1.(2022·石家庄期中)函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是(　　)
A.a＝0 B.a<0 C.02.若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________.
参考答案与解析
1解析：选D.当a＝0时，f(x)＝－2x＋3，在区间[1，3]上为减函数，所以不合题意，舍去；
当a≠0时，二次函数f(x)＝ax2－2x＋3的对称轴为x＝，要想f(x)在区间[1，3]上为增函数，则要满足①或②，解①得a≥1，解②得 .综上，函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是a≥1.
解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.
因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，
所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，
即a≥3，故a的最小值为3.
答案：3
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