中小学教育资源及组卷应用平台
作者小注：
本套专辑由学科君独家研发，沪教版上海地区2021学年第二学期数学期末考试适用。
尖刀100分制，分冲刺卷（适合75分以上学生使用）、尖刀卷（适合90分学生使用）。
来源为近两年上海地区沪教版数学教材使用地期末原题，包含详细解析。
所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。
（冲刺卷）沪教版七年级下学期期末考试卷（学生版）
一、单选题(每小题3分，共18分)
1．在实数，，3.1415926，中，无理数是（ ）
A． B． C．3.1415926 D．
2．已知，下列四个选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点，点，且A在B的下方，点，连接，若在所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A．边角边 B．三角形中位线定理 C．边边边 D．全等三角形的对应角相等
5．如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫．在螳螂的示意图中，AB∥DE，是等腰三角形，，，则的度数为（ ）
A．16° B．28° C．44° D．45°
6．小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，
小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”
小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”
他们四人中，有（ ）个人的说法是正确的．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每小题3分，共36分)
7．若实数a、b满足|a+2|+＝0，则a+b的算术平方根是_________．
8．在实数中，无理数有________个．
9．计算：______．
10．平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，则当线段取最小值时，点B的坐标为________．
11．将点 P（ 2 ，1）先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后，则平移后点 P 的坐标是______．
12．对于实数，规定，例如，设，则S的值为_________．
13．已知直线，垂足为，在内部，，于点，则的度数是______．
14．如图，AB∥CD，CE交AB于F，∠C＝54°，∠AEC＝14°，则∠A＝_____°．
15．已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有______个．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．
17．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2，E是BC的中点，连接AE，∠DAE的平分线AF与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F，则CF的长为___________________．
18．如图，已知，O是等边内任意一点． ， ，且，，则_______________．
三、解答题(共46分)
19．已知实数a、b、c满足
(1)求证：；
(2)求的平方根．
20．完成下面的证明并在括号内填写依据：
己知：如图，∠B＝∠1，∠A＝∠E．
求证：AC∥EF．
证明：∵∠B＝∠1(已知)，
∴_______∥ED（______________）．
∴∠A＝∠AME（______________）．
∵∠A＝∠E（已知），
∴∠AME＝_______（等量化换）．
∴AC∥EF（______________）．
21．计算下列各式：
(1)
(2)
22．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕．此次冬奥会的国家跳台滑雪中心场馆（雪如意）坐落在河北省的张家口赛区，如左图所示．其侧面可近似看作如右图所示的图形，若，，，求的度数．
23．平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．
(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
24．如图，直角三角形ABC中，，作交边AB于点F，作交边BC于点E，过点E作于点D，ED交CF于点G，求证：．
25．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．
(1)已知点的坐标为，
①在点，，中，为点的“等距点”的是______；
②若点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为______；
(2)若，两点为“等距点”，求的值．
试卷第1页，共3页
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本套专辑由学科君独家研发，沪教版上海地区2021学年第二学期数学期末考试适用。
尖刀100分制，分冲刺卷（适合75分以上学生使用）、尖刀卷（适合90分学生使用）。
来源为近两年上海地区沪教版数学教材使用地期末原题，包含详细解析。
所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。
（冲刺卷）沪教版七年级下学期期末考试卷（教师版）
一、单选题(每小题3分，共18分)
1．在实数，，3.1415926，中，无理数是（ ）
A． B． C．3.1415926 D．
【答案】A
【分析】
根据无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，结合算术平方根的性质分析，即可得到答案．
【详解】
是无理数，故选项A符合题意；
，是整数，属于有理数，故选项B不合题意；
3.1415926是有限小数，属于有理数，故选项C不合题意；
是分数，属于有理数，故选项D不合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数、算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握无理数的定义和算术平方根的性质，从而完成求解．
2．已知，下列四个选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据零指数幂定义、负整数指数幂定义、实数的乘方计算法则即立方根的定义分别判断．
【详解】
解：∵a>0，
∴，，，，
故选：A．
【点睛】
此题考查了计算能力，正确掌握零指数幂定义、负整数指数幂定义、实数的乘方计算法则即分数指数幂的定义是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，点，点，且A在B的下方，点，连接，若在所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意得出除了点C外，其它4个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段AB上，从而求出a的取值范围．
【详解】
解：∵点A（0，a），点，且A在B的下方，
∴a＜3 a，
解得：a＜，
若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，a），（0，3 a），（1，2），
∴区域内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，
∴已知的5个横纵坐标都为整数的点都在区域的边界上，
∵点C（1，2）的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，
∴其他的4个都在线段AB上，AB=3-2a，AB上存在4个整数点，
∴3≤3 2a＜5．
解得：，
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，分析题目找出横纵坐标为整数的三个点存在于线段AB上为解决本题的关键．
4．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A．边角边 B．三角形中位线定理 C．边边边 D．全等三角形的对应角相等
【答案】A
【分析】
根据O是AD与BC的中点，得到OA=OD，OB=OC，根据∠AOB=∠DOC，推出△AOB≌△DOC，是SAS．
【详解】
∵O是AD与BC的中点，
∴OA=OD，OB=OC，
∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB≌△DOC(SAS)．
故选A．
【点睛】
本题考查了测量原理，解决此类问题的关键是根据测量方法和工具推导测量原理．
5．如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫．在螳螂的示意图中，AB∥DE，是等腰三角形，，，则的度数为（ ）
A．16° B．28° C．44° D．45°
【答案】C
【分析】
延长ED，交AC于F，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ACB=28°，根据平行线的性质得出∠CFD=∠A=28°，由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数，于是得到结论．
【详解】
解：延长ED，交AC于F，
∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=124°，
∴∠A=∠ACB=28°，
∵，
∴∠CFD=∠A=28°，
∵∠CDE=∠CFD+∠ACD=72°，
∴∠ACD=72°-28°=44°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质定理是解题的关键．
6．小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，
小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”
小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”
他们四人中，有（ ）个人的说法是正确的．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
由EF⊥AB，知CD∥EF，然后根据平行线的性质和判定即可得出答案．
【详解】
解：已知EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD//EF，
（1）若∠CDG＝∠BFE，
∵∠BCD＝∠BFE，
∴∠BCD＝∠CDG，
∴DG//BC，
∴∠AGD＝∠ACB．
（2）若∠AGD＝∠ACB，
∴DG//BC，
∴∠BCD＝∠CDG，∠BCD＝∠BFE，
∴∠CDG＝∠BFE．
（3）由题意知，EF//DC，
∴∠BFE＝∠DCB＜∠ACB，
如下图，
①当DG∥BC时，则∠AGD＝∠ACB＞∠BFE，
即∠AGD一定大于∠BFE；
②当GD（GD′、GD″）与BC不平行时，
如图，设DG∥BC，
当点G′在点G的上方时，
∵∠AG′D＞AGD，
由①知，∠AG′D一定大于∠BFE；
当点G″在点G的下方时，
见上图，则∠AG″D不一定大于∠BFE，
综上，∠AGD不一定大于∠BFE；
（4）如果连接GF，则GF不一定平行于AB；
综上知：正确的说法有两个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，属于冲刺题，关键是掌握平行线的性质与判定．
二、填空题(每小题3分，共36分)
7．若实数a、b满足|a+2|+＝0，则a+b的算术平方根是_________．
【答案】2
【分析】
根据非负数的和的性质可分别求得a与b的值，从而可求得结果．
【详解】
∵，，且，
∴，，
∴，，
∴，b=6，
∴，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，掌握非负数的性质：几个非负数的和为零则它们都为零，是解题的关键．
8．在实数中，无理数有________个．
【答案】1
【分析】
无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．依此分别判断即可．
【详解】
解：∵，，，是有理数，是无理数，
∴无理数有个．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：, 等，开方开不尽的数，以及像 等有这样规律的数．
9．计算：______．
【答案】
【分析】
根据分数指数幂，同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】
解：原式＝
故答案为：
【点睛】
本题考查了分数指数幂，同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
10．平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，则当线段取最小值时，点B的坐标为________．
【答案】
【分析】
根据点到坐标轴的距离即可求解．
【详解】
解：∵点，点B在y轴上，
∴当线段取最小值时，轴，的纵坐标等于的纵坐标 ，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了点到坐标轴的距离，求点的坐标，理解轴时线段取最小值是解题的关键．
11．将点 P（ 2 ，1）先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后，则平移后点 P 的坐标是______．
【答案】（0，2）
【分析】
直接利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此可得．
【详解】
解：将点P（-2，1）向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
则平移后点的坐标是（-2+2，1+1），即（0，2），
故答案为：（0，2）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
12．对于实数，规定，例如，设，则S的值为_________．
【答案】
【分析】
根据已知中的规定，分别计算f(1)，f(3)，f(5)，f(7)，f(9)，f()，f()，f()，f()，的结果，再代入计算即可得答案．
【详解】
解：∵，
∴f(1)=，f(3)=，f(5)=，f(7)=，f(9)=，，，，，
∴
=++++++++
=．
【点睛】
本题考查新定义，有理数运算，理解新定义是解题的关键．
13．已知直线，垂足为，在内部，，于点，则的度数是______．
【答案】125°或55°
【分析】
根据题意画出图形，分两种情况：当点F在射线OM上，当点F′在射线ON上，然后分别进行计算即可解答．
【详解】
解：如图：
分两种情况：
当点F在射线OM上，
∵AB⊥CD，OF⊥OE，
∴∠AOC＝∠EOF＝90°，
∴∠AOC＋∠COF＝∠EOF＋∠COF，
∴∠AOF＝∠COE，
∵∠COE＝125°，
∴∠AOF＝125°，
当点F′在射线ON上，
∵∠AOF＝125°，
∴∠AOF′＝180° ∠AOF＝55°，
综上所述，∠AOF的度数为125°或55°，
故答案为：125°或55°．
【点睛】
本题考查了对顶角、邻补角，垂线，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键，同时渗透了数学的分类讨论思想．
14．如图，AB∥CD，CE交AB于F，∠C＝54°，∠AEC＝14°，则∠A＝_____°．
【答案】40
【分析】
根据平行线的性质求出∠EFB，根据三角形外角性质求出∠A=∠EFB-∠E，代入求出即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠C=54°，
∴∠EFB=∠C=54°，
∵∠AEC=14°，
∴∠A=∠EFB-∠E=40°，
故答案为：40．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质的运用．解此题的关键是求出∠EFB的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
15．已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有______个．
【答案】4
【分析】
依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4＜a＜10，进而得出a的取值范围是5＜a＜10，即可得到a的整数解有4个．
【详解】
解：
解不等式①，可得x＜a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴a＞5，
又∵存在以3，a，7为边的三角形，
∴4＜a＜10，
∴a的取值范围是5＜a＜10，
∴a的整数解有4个，
故答案为：4．
【点睛】
此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．
【答案】①②④
【分析】
由角平分线的定义，可得∠PAB+∠PBA=45°，由三角形内角和定理可得结论①；由△BPA≌△BPF可得结论②；由△APH≌△FPD可得结论④；若PH=HC，则PD=HC，由AD＞AC可得AP＞AH不成立，故③错误；
【详解】
解：∵∠CAB+∠CBA=90°，AD、BE平分∠CAB、∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠CAB+∠CBA）=45°，
△PAB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，
故①正确；
∵∠ADF+∠F=90°，∠ADF+∠DAC=90°，
∴∠F=∠DAC=∠DAB，
△BPA和△BPF中：∠PBA=∠PBF，∠PAB=∠PFB，BP=BP，
∴△BPA≌△BPF（AAS），
∴BA=BF，PA=PF，
故②正确；
△APH和△FPD中：∠PAH=∠PFD，PA=PF，∠APH=∠FPD=90°，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，故④正确；
若PH=HC，则PD=HC，
AD＞AC，则AD-PD＞AC-HC，即AP＞AH，不成立，
故③错误；
综上所述①②④正确，
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
17．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2，E是BC的中点，连接AE，∠DAE的平分线AF与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F，则CF的长为___________________．
【答案】##
【分析】
由勾股定理求得的长，再由角平分线的性质与平行线的性质可得，进而可求得的长．
【详解】
解：四边形是矩形，
，．
是的中点，．
在中，．
，，
平分，，
，．
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理，熟练运用相关知识是解题的关键．
18．如图，已知，O是等边内任意一点． ， ，且，，则_______________．
【答案】
【分析】
连接OA、OB、OC，利用等边三角形的性质得到三边相等，根据等面积法进行求解即可．
【详解】
连接OA、OB、OC
是等边三角形，
， ，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质及等面积法，熟练掌握知识点并准确添加辅助线是解题的关键．
三、解答题(共46分)
19．已知实数a、b、c满足
(1)求证：；
(2)求的平方根．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
根据算术平方根的非负性，即可得证；
（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得的值，进而求得的平方根．
(1)
证明：∵，，
；
(2)
解：，，
，
，
，
，
的平方根是．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．
20．完成下面的证明并在括号内填写依据：
己知：如图，∠B＝∠1，∠A＝∠E．
求证：AC∥EF．
证明：∵∠B＝∠1(已知)，
∴_______∥ED（______________）．
∴∠A＝∠AME（______________）．
∵∠A＝∠E（已知），
∴∠AME＝_______（等量化换）．
∴AC∥EF（______________）．
【答案】AB，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠E；内错角相等，两直线平行
【分析】
由∠B＝∠1，根据平行线的判定定理判断出AB∥ED；然后由平行线的性质定理得出∠A＝∠AME；等量代换得出∠AME＝∠E；最后根据平行线的判定定理判断出AC∥EF即可．
【详解】
证明：∵∠B＝∠1（已知），
∴AB∥ED（同位角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠AME（两直线平行，内错角相等），
∵∠A＝∠E（已知），
∴∠AME＝∠E（等量化换）．
∴AC∥EF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AB，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠E；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，能够灵活运用平行线的判定和性质是解答本题的关键．
21．计算下列各式：
(1)
(2)
【答案】(1)-2
(2)11+
【分析】
（1）先求出立方根和算术平方根，然后利用有理数的混合计算法则求解即可；
（2）利用算术平方根和绝对值的计算方法求解即可．
(1)
解：，
=-3++0.4，
=-2；
(2)
解：，
=2×5+3-（2-），
=13-2+，
=11+．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，算术平方根，绝对值和立方根，解题的关键是能够熟练掌握相关知识进行求解．
22．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕．此次冬奥会的国家跳台滑雪中心场馆（雪如意）坐落在河北省的张家口赛区，如左图所示．其侧面可近似看作如右图所示的图形，若，，，求的度数．
【答案】
【分析】
过点作．根据平行线的性质得出，，得出，结合图形即可得出结果．
【详解】
解：如图，过点作．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查利用平行线的性质求角的度数，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
23．平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．
(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立
(2)AF-BF=2CE
【分析】
（1）过B作BH⊥CE于点H，可证△ACE≌△CBH，通过线段的等量代换可得结论；
（2）过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，△ACE≌△CBG，通过线段的等量代换可得答案．
(1)
解：图2，AF+BF=2CE仍成立，
证明：如图，过B作BH⊥CE于点H，
∵∠BCH+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCH，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°
∴△ACE≌△CBH．
∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
(2)
解：不成立，线段AF、BF、CE之间的数量关系为：AF-BF=2CE
证明：如图，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵∠BCG+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°
∴△ACE≌△CBG．
∴CG=AE，BF=GE，CE=BG，
∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．如图，直角三角形ABC中，，作交边AB于点F，作交边BC于点E，过点E作于点D，ED交CF于点G，求证：．
【答案】见解析
【分析】
根据已知条件得出，进而得出，再由代换即可得出答案．
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和平行线的性质是解题的关键．
25．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．
(1)已知点的坐标为，
①在点，，中，为点的“等距点”的是______；
②若点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为______；
(2)若，两点为“等距点”，求的值．
【答案】(1)①E、F；②（ 3，3）；
(2)k的值是1或2
【分析】
（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；
②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；
（2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可．
(1)
解：①∵点A（ 3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，
∴与A点是“等距点”的点是E、F．
②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（ 3，3）、（ 9， 3），
这些点中与A符合“等距点”的是（ 3，3）．
故答案为①E、F；②（ 3，3）；
(2)
T1（ 1， k 3），T2（4，4k 3）两点为“等距点”，
①若|4k 3|≤4时，则4＝ k 3或 4＝ k 3
解得k＝ 7（舍去）或k＝1．
②若|4k 3|＞4时，则|4k 3|＝| k 3|
解得k＝2或k＝0（舍去）．
根据“等距点”的定义知，k＝1或k＝2符合题意．
即k的值是1或2．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形性质，理解读懂“等距点”的定义是解题的关键．
试卷第1页，共3页
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